2018届二轮复习ֱ线与Բ课件（全国通用）

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第一讲 直 线 与 圆 【 必备知识 】 1. 直线的斜率 直线过点 A(x 1 ,y 1 ), B(x 2 ,y 2 ), 其倾斜角为 α 则斜率 k=________=______. tanα 2. 直线的两种位置关系 直线 L 1 y=k 1 x+b 1 A 1 x+B 1 y+C 1 =0 直线 L 2 y=k 2 x+b 2 A 2 x+B 2 y+C 2 =0 直线平行或重合 的充要条件 _____ __________ 直线垂直的充要条件 _________ __________ k 1 =k 2 A 1 B 2 -A 2 B 1 =0 k 1 · k 2 =-1 A 1 A 2 +B 1 B 2 =0 3. 三种距离公式 (1) 两点间的距离 : 若 A(x 1 ,y 1 ),B(x 2 ,y 2 ), 则 |AB|= __________________. (2) 点到直线的距离 : 点 P(x 0 ,y 0 ) 到直线 Ax+By+C=0 的距离 d=______________. (3) 两平行线的距离 : 若直线 l 1 , l 2 的方程分别为 l 1 :Ax+By+C 1 =0, l 2 :Ax+By+C 2 =0, 则两平行线的距离 d=_________. 4. 圆的方程 (1) 标准 方程 :_________________ (2) 一般方程 : 方程 x 2 +y 2 +Dx+Ey+F=0 表示圆的充要 条件是 __________, 其中圆心 是 ________, 半径 r=____________. (x-a) 2 +(y-b) 2 =r 2 . D 2 +E 2 -4F>0 5. 直线与圆的位置关系 设圆心到直线的距离为 d, 圆的半径为 r d 与 r 的关系 直线与圆的关系 d>r 相离 d=r 相切 dr 1 +r 2 _____ 内含 内切 相交 外切 外离 【 真题体验 】 1.(2016 · 全国卷 Ⅱ) 圆 x 2 +y 2 -2x-8y+13=0 的圆心到直线 ax+y-1=0 的距离为 1 ，则 a=( 　　 ) 【 解析 】 选 A. 圆 x 2 +y 2 -2x-8y+13=0 化为标准方程为 (x-1) 2 +(y-4) 2 =4 ， 故圆心为 (1 ， 4) ， d= 解得 a=- . 2.(2015 · 全国卷 Ⅱ) 过三点 A(1 ， 3) ， B(4 ， 2) ， C(1 ， -7) 的圆交 y 轴于 M ， N 两点，则 |MN|=( 　　 ) A.2 　　 B.8 　　 C.4 　　 D.10 【 解析 】 选 C. 由已知得 k AB = k CB = =3 ，所以 k AB · k CB =-1 ，所以 AB⊥CB ，即△ ABC 为直角 三角形，其外接圆圆心为 (1 ， -2) ，半径 r=5 ，所以外 接圆方程为 (x-1) 2 +(y+2) 2 =25 ，令 x=0 得 y=±2 -2 ， 所以 |MN|=4 . 3.(2017 · 全国卷 Ⅱ) 已知 F 是抛物线 C ： y 2 =8x 的焦点， M 是 C 上一点， FM 的延长线交 y 轴于点 N. 若 M 为 FN 的中点，则 |FN|=________. 【 解析 】 设 N(0 ， a) ， F(2 ， 0) ，那么 M ，点 M 在 抛物线上，所以 =8 ，解得 a=±4 ，所以 N(0 ， ±4 ) ，那么 |FN|= 答案： 6 4.(2016 · 全国卷 Ⅰ) 设直线 y=x+2a 与圆 C:x 2 +y 2 - 2ay-2=0 相交于 A,B 两点 , 若 |AB|=2 , 则圆 C 的 面积为 ________. 【 解析 】 由圆 C:x 2 +y 2 -2ay-2=0 可得 x 2 +(y-a) 2 =a 2 +2, 所以圆心 C(0,a), 由题意可知 解得 a 2 =2, 所以圆 C 的面积为 π(a 2 +2)=4π. 答案 : 4π 5.(2016 · 全国卷 Ⅲ) 已知直线 l :x- y+6=0 与圆 x 2 +y 2 =12 交于 A,B 两点 , 过 A,B 分别作 l 的垂线与 x 轴 交于 C,D 两点 , 则 |CD|=________. 【 解析 】 取 AB 的中点 E, 连接 OE, 过点 C 作 BD 的垂线 , 垂足为 F, 圆心到直线的距离 d= =3, 所以在 Rt△OBE 中 ,|BE| 2 =|OB| 2 -d 2 =3, 所以 |AB|=2 =|CF|, 又在△ CDF 中∠ FCD=30°, 所以 |CD|= =4. 答案 : 4 【 大数据易错点 】 排序 1: 忽略条件致误 . 应用两平行线间的距离公式时忽略两平行线方程中 x,y 的系数相等 . 排序 2: 忽略直线方程的适用范围致误 . 点斜式、斜截式直线方程不包括垂直于 x 轴的直线 ; 两点式方程不包括与坐标轴垂直的直线 ; 截距式直线方程不包括与坐标轴垂直及过原点的直线 . 排序 3: 概念理解不正确致误 . 误认为两圆相切为两圆外切 , 忽略两圆内切的情况 ; 误认为两圆无公共点即相离 , 忽略两圆内含的情况 . 排序 4: 考虑不全面致误 . 过圆外一定点求圆的切线 , 应该有两个结果 , 若只求出一个结果 , 应该考虑切线斜率不存在的情况 . 热点考向一　直线的方程 命题解读 : 主要考查直线方程的求法、两直线的位置关系以及三种距离的求解 , 经常以选择题、填空题的形式出现 . 【 典例 1】 (1) 已知直线 l 1 :(k-3)x+(4-k)y+1=0 与直线 l 2 :2(k-3)x-2y+3=0 平行 , 则 k 的值是　 ( 　　 ) A.1 或 3 　　 B.1 或 5 C.3 或 5 　　 D.1 或 2 (2) 在△ ABC 中 ,A(1,1),B(m, )(10), 由题意知 解得 a=2, 所以 r= =3, 故圆 C 的方程为 (x-2) 2 +y 2 =9. 答案 : (x-2) 2 +y 2 =9 【 规律方法 】 求圆的方程的两种方法 (1) 几何法 : 通过已知条件 , 利用相应的几何知识求圆的圆心 , 半径 . (2) 代数法 : 用待定系数法先设出圆的方程 , 再由条件求得各系数 . 【 变式 1+1】 1.(2017 · 重庆一模 ) 若 P(2,1) 为圆 (x-1) 2 +y 2 =25 的弦 AB 的中点 , 则直线 AB 的方程为　 ( 　　 ) 　　　　　　 A.x-y-1=0 B.2x-y-3=0 C.x+y-3=0 D.2x+y-5=0 【 解析 】 选 C. 圆 (x-1) 2 +y 2 =25 的圆心为 (1,0), 直线 AB 的斜率等于 =-1, 由点斜式得到直线 AB 的方程 为 y-1=-1(x-2), 即 x+y-3=0. 2.( 新题预测 ) 在平面直角坐标系 xOy 中，以点 (1 ， 0) 为圆心且与直线 mx-y-2m-1=0(m∈R) 相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 ________. 【 解析 】 由题意得：半径等于 当且仅当 m=1 时取等号，所 以半径最大为 r= ，所求圆为 (x-1) 2 +y 2 =2. 答案： (x-1) 2 +y 2 =2 【 加练备选 】 1. 抛物线 y 2 =4x 与过其焦点且垂直于 x 轴的直线相交于 A,B 两点 , 其准线与 x 轴的交点为 M, 则过 M,A,B 三点的圆的标准方程为 ________. 【 解析 】 由题意知 ,A(1,2),B(1,-2),M(-1,0), △AMB 是以点 M 为直角顶点的直角三角形 , 则线段 AB 是所求圆的直径 , 故所求圆的标准方程为 (x-1) 2 +y 2 =4. 答案 : (x-1) 2 +y 2 =4 2. 已知☉ M 的圆心在第一象限 , 过原点 O, 被 x 轴截得的弦长为 6, 且与直线 3x+y=0 相切 , 则圆 M 的标准方程为 ________. 【 解析 】 设 ☉ M 的方程为 (x-a) 2 +(y-b) 2 =r 2 (a>0,b>0,r>0), 由题意知 故☉ M 的方程为 (x-3) 2 +(y-1) 2 =10. 答案 : (x-3) 2 +(y-1) 2 =10 热点考向三　直线 ( 圆 ) 与圆的位置关系 类型一 直线 ( 圆 ) 与圆的位置关系的判断与应用 【 典例 3】 (2017 · 惠州一模 ) 在平面直角坐标系 xOy 中 , 点 A(0,3), 直线 l :y=2x-4, 设圆 C 的半径为 1, 圆心在 l 上 . 世纪金榜导学号 92494098 (1) 若圆心 C 也在直线 y=x-1 上 , 过点 A 作圆 C 的切线 , 求切线的方程 . (2) 若圆 C 上存在点 M, 使 |MA|=2|MO|, 求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围 . 【 题目拆解 】 高考大题综合性较强 , 求解时 , 把这类复杂问题拆解成若干个小问题来解决 , 可化难为易 , 得步骤分 . 学会了快速拆解题目 , 就能在解大题时得高分、得满分 . 解答本题第 (2), 可拆分成三个小题 : ① 设圆 C 的圆心 C 的横坐标为 a, 求圆 C 的方程 ; ② 设点 M 的坐标为 (x,y), 求点 M 的轨迹方程 ; ③ 由点 M 在圆 C 上 , 也在②的轨迹上求 a 的取值范围 . 【 规范解答 】 (1) 因为圆心在直线 l :y=2x-4 上 , 也在直 线 y=x-1 上 , 所以解方程组 得圆心 C(3,2), 又因为圆的半径为 1, 所以圆的方程为 : (x-3) 2 +(y-2) 2 =1, 又因为点 A(0,3), 显然过点 A, 圆 C 的切线的斜率存在 , 设所求的切线方程为 : y=kx+3, 即 kx-y+3=0, 所以 =1, 解上式得 :k=0 或 k=- , 所以所求切线方程为 :y=3 或 y=- x+3, 即 y-3=0 或 4y+3x-12=0. (2) 因为圆 C 的圆心在直线 l :y=2x-4 上 , 所以 , 设圆心 C 为 (a,2a-4), 又因为圆 C 的半径为 1, 则圆 C 的方程 为 :(x-a) 2 +(y-2a+4) 2 =1, 设 M(x,y), 又因为 |MA|=2|MO|, 则有 整理得 : x 2 +(y+1) 2 =4, 设为圆 D, 所以点 M 既在圆 C 上 , 又在圆 D 上 , 即圆 C 与圆 D 有交点 , 所以 2-1≤ ≤2+1, 解得 0≤a≤ 【 易错警示 】 解答本题易出现以下两种错误 : 一是求切线方程时漏掉斜率为 0 的情况 ; 二是不会利用 |MA|=2|MO| 这一条件 , 造成思路受阻 , 或者运算量过大 , 进而得出错误结论 . 类型二 已知直线 ( 圆 ) 与圆的位置关系求参数 【 典例 4】 (1) 已知过点 A(0,1) 且斜率为 k 的直线 l 与圆 C:(x-2) 2 +(y-3) 2 =1 交于 M,N 两点 , 若 则直线 l 的方程为 ________. 　 世纪金榜导学号 92494099 (2)( 新题预测 ) 设直线 x-y-a=0 与圆 x 2 +y 2 =4 相交于 A,B 两点 ,O 为坐标原点 , 若△ AOB 为等边三角形 , 则实数 a 的值为　 世纪金榜导学号 92494100 ( 　　 ) A.± 　 B.± 　　 C.±3 　　 D.±9 【 解题导引 】 (1) 先求圆心到直线 l 的距离 , 然后根据勾股定理列方程求解 . (2) 由等边三角形求出高 , 即圆心到直线的距离 . 【 规范解答 】 (1) 直线 l 的方程为 y=kx+1, 圆心 C(2,3) 到直线 l 的距离 解得 k=2 或 , 所求直线 l 的方程为 y=2x+1 或 y= x+1. 答案 : y=2x+1 或 y= x+1 (2) 选 B. 由题意知 : 圆心坐标为 (0,0), 半径为 2, 则 △ AOB 的边长为 2, 所以△ AOB 的高为 , 即圆心到直 线 x-y-a=0 的距离为 , 所以 解得 a=± . 【 母题变式 】 1. 在本例 (1) 中若把条件 “ ” , 改为 其中 O 为坐标原点 , 则 | MN| =________. 【 解析 】 设 M(x 1 ,y 1 ),N(x 2 ,y 2 ), 由题意得直线 l 的方程为 y=kx+1, 代入方程 (x-2) 2 +(y-3) 2 =1, 整理得 (1+k 2 )x 2 -4(1+k)x+7=0, 所以 由题设可知 +8=12, 解得 k=1, 所以直线 l 的方程为 y=x+1, 故圆心 C 在直线 l , 所以 | MN| =2. 答案 : 2 2. 在本例 (1) 中若圆 C 的方程不变 , 且过点 A(0,1) 且斜率为 k 的直线 l 上至少存在一点 , 使得以该点为圆心 ,1 为半径的圆与圆 C 有公共点 , 求 k 的取值范围 . 【 解析 】 由题意知直线 l 的方程为 y=kx+1, 要使直线 l 上 至少存在一点 , 使得以该点为圆心 ,1 为半径的圆与圆 C 有公共点 , 只需直线 l 与圆 C′:(x-2) 2 +(y-3) 2 =4 有公共 点 , 所以 ≤ 2, 即 ≤ 2, 解得 k≥0. 【 规律方法 】 1. 直线 ( 圆 ) 与圆位置关系问题的求解思路 (1) 研究直线与圆的位置关系主要通过圆心到直线的距离和半径的比较实现 , 两个圆的位置关系的判断依据是两圆心距离与两半径差与和的比较 . (2) 利用位置关系求过圆外一定点的切线方程的基本思路 : 首先将直线方程设为点斜式 , 然后利用圆心到直线的距离等于半径求斜率 , 最后若求得的斜率只有一个 , 则存在一条过切点与 x 轴垂直的切线 . 2. 弦长的求解方法 (1) 根据半径 , 弦心距 , 弦长构成的直角三角形 , 构成三 者间的关系 R 2 =d 2 + ( 其中 l 为弦长 ,r 为圆的半径 ,d 为 圆心到直线的距离 ). (2) 根据公式 : l = |x 1 -x 2 | 求解 ( 其中 l 为弦长 ,x 1 ,x 2 为直线与圆相交所得交点的横坐标 ,k 为直线的斜率 ). (3) 求出交点坐标 , 用两点间距离公式求解 . 【 加练备选 】 1. 已知圆 C:(x-2) 2 +y 2 =4, 圆 M: (x-2-5cosθ) 2 +(y-5sinθ) 2 =1(θ∈R), 过圆 M 上任 意一点 P 作圆 C 的两条切线 PE,PF, 切点分别为 E,F, 则 的最小值是　 ( 　　 ) A.5 　　　 B.6 　　 C.10 　　　 D.12 【 解析 】 选 B.(x-2) 2 +y 2 =4 的圆心 C(2,0), 半径等于 2, 圆 M(x-2-5cosθ) 2 +(y-5sinθ) 2 =1, 圆心 M(2+5cosθ,5sinθ), 半径等于 1. 因为 |CM|=5>2+1, 故两圆相离 . 因为 要使 最小 , 需 最小 , 且∠ EPF 最大 , 如图所示 , 设直线 CM 和圆 M 交于 H,G 两点 , 则 最小值是 |HC|=|CM|-1=5-1=4,|HE|= sin∠CHE= 所以 cos∠EHF=cos2∠CHE=1-2sin 2 ∠CHE= , 所以 2.(2017 · 昆明一模 ) 点 P 是圆 (x+3) 2 +(y-1) 2 =2 上的动点 , 点 Q(2,2),O 为坐标原点 , 则△ OPQ 面积的最小值是 ________. 【 解析 】 因为圆 (x+3) 2 +(y-1) 2 =2, 直线 OQ 的方程为 y=x, 所以圆心 (-3,1) 到直线 OQ 的距离为 d= 所以圆上的动点 P 到直线 OQ 的距离的最小值为 所以△ OPQ 面积的最小值为 答案 : 2 3. 已知 a∈R, 方程 a 2 x 2 +(a+2)y 2 +4x+8y+5a=0 表示圆 , 则圆心坐标是 ________, 半径是 ________. 【 解题导引 】 若方程表示圆 , 则 x 2 的系数与 y 2 的系数相等 . 【 解析 】 由题意知 a 2 =a+2, 解得 a=-1 或 2. 当 a=-1 时方 程为 x 2 +y 2 +4x+8y-5=0, 即 (x+2) 2 +(y+4) 2 =25, 圆心为 (-2,-4), 半径为 5, 当 a=2 时 , 方程为 4x 2 +4y 2 +4x+8y+10=0, 即 +(y+1) 2 =- 不表示圆 . 答案 : (-2,-4) 　 5 4.( 新题预测 ) 已知圆 C 经过点 A(-2,0),B(0,2), 且圆心 C 在直线 y=x 上 , 又直线 l :y=kx+1 与圆 C 相交于 P,Q 两点 . (1) 求圆 C 的方程 . (2) 过点 (0,1) 作直线 l 1 与 l 垂直 , 且直线 l 1 与圆 C 交于 M,N 两点 , 求四边形 PMQN 面积的最大值 . 【 解析 】 (1) 设圆心 C(a,a), 半径为 r, 因为圆 C 经过点 A(-2,0),B(0,2), 所以 |AC|=|BC|=r, 即 解得 a=0,r=2, 故所求圆 C 的方程为 x 2 +y 2 =4. (2) 设圆心 C 到直线 l , l 1 的距离分别为 d,d 1 , 四边形 PMQN 的面积为 S. 因为直线 l , l 1 都经过点 (0,1), 且 l 1 ⊥ l , 根据勾股定理 , 有 +d 2 =1. 又 |PQ|=2× ,|MN|=2× 所以 S= |PQ| · |MN|, 当且仅当 d 1 =d 时 , 等号成立 , 所以四边形 PMQN 面积的最大值为 7.