2018届二轮复习 圆锥曲线的综合问题 学案（ 江苏专用）

2018届二轮复习 圆锥曲线的综合问题 学案（ 江苏专用）

专题12：圆锥曲线的综合问题(两课时)‎ 班级 姓名 ‎ 一、前测训练 ‎1．（1）点A是椭圆＋＝1的左顶点，点F是右焦点，若点P在椭圆上，且位于轴上方，满足PA⊥PF，则点P的坐标为 ．‎ ‎（2）若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为 ．‎ 答案：(1)(，)．(2)6．‎ ‎2．如果椭圆＋＝1的弦被点A(4，－1)平分，则这条弦所在的直线方程是 ．‎ 答案：y＝x－5． ‎ F1‎ F2‎ O x y B C A ‎3．如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，顶点B的坐标为(0，b)，连结BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连结F‎1C.‎ ‎(1)若点C的坐标为(，)，且BF2＝，求椭圆的方程；‎ ‎(2)若F‎1C⊥AB，求椭圆离心率e的值.‎ 答案：（1）＋y2＝1；（2）e＝． ‎ 二、方法联想 ‎1．椭圆上一个点问题 ‎（1）设点的坐标，寻找第二个方程联立方程组，通过解方程组获得解． ‎ ‎（2）设点的坐标，利用点在曲线上可以消去一个未知数，从而转化为函数问题，消元后要注意曲线上点的坐标的范围．‎ 变式：如图，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的上、下顶点分别为A，B，右焦点为F，点P在椭圆C上,且OP⊥AF.‎ 求证：存在椭圆C，使直线AF平分线段OP.‎ 答案：略(已知椭圆上一点，利用该点坐标满足椭圆方程，方程有解进行证明)‎ ‎2．直线与椭圆相交于两点问题 方法1 已知直线与椭圆两交点中的一个，直接求出另一个点坐标；‎ 方法2 设两点A(x1，y1)、B(x2，y2)，直线方程与椭圆方程联立，消去y得关于x的方程Ax2＋Bx＋C＝0，由韦达定理得x1＋x2＝－，x1x2＝，代入已知条件所得式子消去x1，x2(其中y1，y2通过直线方程化为x1，x2)．‎ 注意：(1)设直线方程时要注意直线垂直于x轴情况；‎ ‎(2)通过△判断交点个数；‎ ‎ (3)根据需要也可消去x得关于y的方程．‎ 结论：弦长公式 AB＝｜x1－x2｜＝｜y1－y2｜．‎ 方法3 设两点A(x1，y1)、B(x2，y2)，代入椭圆方程得通过已知条件建立x1、y1与x2、y2的关系，消去x2、y2解关于x1、y1的方程组（或方程）．‎ 方法4 点差法 设两点A(x1，y1)、B(x2，y2)，代入椭圆方程得两式相减得＝－×，即kAB＝－×，其中AB中点M为(x0，y0)．‎ ‎ 注意：点差法一般仅适用于与弦中点与弦的斜率相关的问题．‎ 变式：如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，长轴长为4.过椭圆的左顶点A作直线l，分别交椭圆和圆x2＋y2＝a2于相异两点P，Q.‎ ‎①若直线l的斜率为，求的值；‎ ‎②若＝λ，求实数λ的取值范围．‎ 答案：①；②（0,1）(已知直线与椭圆、圆分别交于两点，并且其中一点已知，求另一点)‎ 三、例题分析 例1 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋2＝0相切．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ x y O T M P Q N ‎（2）已知点P(0，1)，Q(0，2)．设M，N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点，直线PM与QN相交于点T，求证：点T在椭圆C上．‎ 答案：（1）椭圆C的方程为＋＝1．‎ ‎ （2）略．‎ ‎〖教学建议〗‎ 一、主要问题归类与方法：‎ ‎1．椭圆标准方程，椭圆中的离心率及椭圆的短半轴长等椭圆中的基本概念．‎ ‎2．直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径．‎ ‎3．两直线的交点．‎ ‎4．点在椭圆上，点的坐标满足椭圆方程．‎ 二、方法选择与优化建议：‎ 解法一：很自然地设出点M，N的坐标，利用两直线相交求出交点T 的坐标，看它是否满足椭圆方程．解法二：可先设出点T的坐标（x，y），利用两条直线方程，把M或N点的坐标表示出来，再代入椭圆方程，得出关于x，y的方程．本题解法二的计算量相对小一点．‎ 例2 如图，A，B是椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左右顶点，M是椭圆上异于A，B的任意一点，若椭圆C的离心率为，且右准线l的方程为x＝4．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）设直线AM交l于点P，以MP为直径的圆交直线MB于点Q，试证明：直线PQ与x轴的交点R为定点，并求出R点的坐标．‎ 答案：（1）椭圆C方程为＋＝1．‎ ‎（2）R点的坐标为（－，0）．‎ ‎〖教学建议〗‎ 一、主要问题归类与方法：‎ ‎1．椭圆标准方程，椭圆的右准线方程和离心率．‎ ‎2．kMAkMB＝－．‎ ‎3．两点式直线方程，两直线的交点，点斜式直线方程．‎ ‎4．直径所对的圆周角是直角，互相垂直的两条直线斜率之间的关系．‎ 二、方法选择与优化建议：‎ 解析几何的解题要关注平面几何性质的运用，以简化运算．‎ 例3 如图，圆O与离心率为的椭圆T：＋＝1(a＞b＞0)相切于点M(0，1)．‎ ‎⑴求椭圆T与圆O的方程;‎ ‎⑵过点M引两条互相垂直的两直线l1，l2与两曲线分别交于点A，C与点B，D(均不重合).‎ ‎①若P为椭圆上任一点，记点P到两直线的距离分别为d1，d2，求d＋d的最大值；‎ ‎②若3·＝4·，求l1与l2的方程．‎ 解: (1)＋y2＝1，x2＋y2＝1． ‎ ‎(2)①，此时P(±，－)．‎ ‎②l1：y＝x＋1，l2：y＝－x＋1‎ 或l1：y＝－x＋1，l2：y＝x＋1‎ ‎〖教学建议〗‎ ‎1．主要问题归类与方法：‎ ‎（1）椭圆的基本量计算．‎ ‎（2）椭圆上点的坐标的设法及范围，直线与圆锥曲线相交，已知其中一个交点 ‎，求另一交点的坐标，利用相似比减少解析几何中的运算量 ‎2．方法选择与优化建议：‎ ‎（1）问题2中，d＋d实际上就是矩形的对角线的平方，即PM2．‎ ‎（2）问题3中，求出A，C点坐标后，直接用－替换k，得到B，D点坐标．‎ 或将3·＝4·转化为3(k2＋1)xAxC＝4(＋1)xBxD．‎ 四、反馈练习 ‎1．过椭＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则弦AB＝________.‎ 答案： ‎（考查：直线被椭圆截得的弦长）‎ ‎2．已知点A(2，0)，抛物线C：x2＝4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则FM∶MN＝ ________.‎ 答案：1∶ ‎（考查：抛物线定义，直线与抛物线的交点）‎ ‎3．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若AB＝10，BF＝8，cos∠ABF＝，则椭圆C的离心率为________．‎ 答案： ‎（考查：椭圆离心率，椭圆的定义，解三角形）‎ ‎4．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p>0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p＝________.‎ 答案：2‎ ‎（考查：双曲线的渐近线，双曲线与抛物线的关系）‎ ‎5．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3，0)，离心率等于，则双曲线C的方程是 ________.‎ 答案：－＝1‎ ‎（考查：双曲线中的基本量的计算）‎ ‎6．抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－＝1的渐近线的距离是 ________.‎ 答案： ‎（考查内容：双曲线、抛物线中的基本量的计算）‎ ‎7．设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆C上的点，PF2⊥F‎1F2，∠PF‎1F2＝30°，则椭圆C的离心率为 ________.‎ 答案： ‎（考查内容：椭圆离心率，椭圆的定义）‎ ‎8． O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若PF＝4，则△POF的面积为 ________.‎ 答案：2 ‎（考查：圆与抛物线的交点，待定系数法）‎ ‎9．已知椭圆：＋＝1(a＞b＞0)，是它的下顶点，是其右焦点，的延长线与椭圆及其右准线分别交于，两点，若点恰好是的中点，则此椭圆的离心率是___.‎ 答案： ‎(考查：椭圆中基本量计算，椭圆的离心率)‎ ‎10．已知抛物线y2＝8x的准线过双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________．‎ 答案：x2－＝1‎ ‎（考查内容：双曲线与抛物线中基本量之间的关系）‎ ‎11．已知椭圆C1：＋y2＝1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率．‎ ‎(1)求椭圆C2的方程；‎ ‎(2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，＝2，求直线AB的方程．‎ 答案：(1) ＋＝1.(2) y＝x或y＝－x.‎ ‎（考查：椭圆基本量的计算，待定系数法）‎ ‎12．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)过点P(－1，－1)，c为椭圆的半焦距，且c＝b．过点P作两条互相垂直的直线l1，l2与椭圆C分别交于另两点M，N．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）若直线l1的斜率为－1，求△PMN的面积；‎ ‎ （3）若线段MN的中点在x轴上，求直线MN的方程．‎ 答案：（1）＋＝1．（2）2．（3）x＋y＝0或x＝－． ‎ ‎（考查：椭圆中的基本量计算，直线与椭圆的交点）‎ ‎13．已知椭圆＋＝1上任一点P，由点P向x轴作垂线PQ，垂足为Q，设点M在PQ上，且＝2，点M的轨迹为C.‎ ‎(1)求曲线C的方程；‎ ‎(2)过点D(0，－2)作直线l与曲线C交于A、B两点，若OA⊥OB，求直线l的方程．‎ 答案：　(1)曲线C的方程是＋y2＝1.(2)直线l的方程为y＝±2x－2.‎ ‎（考查：点的轨迹，直线与椭圆的交点，根与系数的关系．） ‎ ‎14．已知椭圆C：9x2＋y2＝m2(m＞0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．‎ ‎（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；‎ ‎（2）若l过点(，m)，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由。‎ 答案：（1）－9；（2）存在k＝4± ‎（考查内容：根与系数的关系；直线与椭圆的交点）‎