2018-2019学年四川省广元市高一上学期期末教学质量监测数学试题（解析版）

2018-2019学年四川省广元市高一上学期期末教学质量监测数学试题（解析版）

‎2018-2019学年四川省广元市高一上学期期末教学质量监测数学试题 一、单选题 ‎1．已知集合，，则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据题意，只要求解出两集合元素的公共部分即可．‎ ‎【详解】‎ ‎∵，，，‎ ‎∴A∩B＝{2，4 }‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了集合的交集的运算，属于基础题.‎ ‎2．不等式的解集是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用指数函数y＝2x在R上的单调性，得出关于x的不等式2x﹣7<4x﹣1，解此不等式，从而得出不等式的解集；‎ ‎【详解】‎ 因为y＝2x在R上是增函数，，‎ 所以2x﹣7<4x﹣1，‎ 即x>﹣3‎ 所以不等式的解集是{x|x>﹣3}，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查指数函数单调性的应用、不等式的解法，考查化归与转化思想，属于基础题．‎ ‎3．( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】将15°表示为45°﹣30°，再利用两角差的正弦公式，结合特殊角的三角函数，即可得出答案．‎ ‎【详解】‎ sin15°＝sin（45°﹣30°）‎ ‎＝sin45°cos30°﹣cos45°sin30°‎ ‎ ‎ ‎．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了两角差的正弦公式与特殊角的三角函数计算问题，是基础题目．‎ ‎4．在下列函数中，图像关于坐标原点对称的是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据函数的性质可得奇函数关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，要找图象关于原点对称，即在4个选项中找出奇函数即可，结合选项利用排除法．‎ ‎【详解】‎ 根据函数的性质可得奇函数关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，‎ A：y＝lgx是非奇非偶函数，错误；‎ B：y＝sinx为奇函数，图象关于原点对称，正确；‎ C：y＝cosx为偶函数，图象关于y轴对称， 错误；‎ D： y＝|x|为偶函数，图象关于y轴对称，错误；‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数奇偶性，奇函数关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，判断函数的奇偶性时，不但要检验f（﹣x）与f（x）的关系，更不能漏掉对函数的定义域要求对称的检验，属于基础题．‎ ‎5．函数的定义域是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】直接利用对数的真数大于0，底数大于0，且不等于1，列出不等式求解即可．‎ ‎【详解】‎ 要使函数有意义，可得，解得20的解集为，‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数单调性与奇偶性的应用，考查解不等式，属于中档题．‎ ‎10．已知函数，，则函数的零点个数为( )‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎【答案】B ‎【解析】画出函数y＝lgx的图象和函数y＝sinx的图象，通过判断两个函数图象的交点个数可得函数的零点的个数.‎ ‎【详解】‎ 函数＝lgx﹣sinx的零点的个数，‎ 即函数y＝lgx的图象和函数y＝sinx的图象的交点个数，‎ 如图所示：‎ 显然，函数y＝lgx的图象和函数y＝sinx的图象的交点个数为3，‎ 所以，函数＝lgx﹣sinx的零点的个数为3,.‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数图象交点个数的判断方法，体现了转化以及数形结合的数学思想，属于中档题．‎ ‎11．设，，，则，，的大小关系是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用幂函数的性质比较a与b的大小，利用指数函数的性质比较a与1的大小，利用对数式的运算性质得到c大于1，从而得到结论．‎ ‎【详解】‎ 因为y＝x0.5在（0，+∞）上是为增函数，且0.5＞0.3，所以0.50.5＞0.30.5，即a＞b．‎ c＝log0.30.2＞log0.30.3＝1，而1＝0.50＞0.50.5．‎ 所以b＜a＜c．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了不等关系，考查了基本初等函数的单调性，是基础题．‎ ‎12．已知函数，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若动直线与函数和的图象分别交于，两点，则的最大值为( )‎ A．2 B． C．1 D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】首先求得g（x），然后根据动直线x＝t与函数y＝f（x）和y＝g（x）的图象分别交于M、N两点，可得|MN|＝|f（x）﹣g（x）|，将两个函数的解析式代入化简，再由余弦型函数的值域即可得到结论．‎ ‎【详解】‎ f（x）＝sin（2x），g（x）＝sin[2（x）]＝sin（2x），‎ 所以|MN|＝|f（x）﹣g（x）|‎ ‎＝|sin（2x）﹣sin（2x）|，‎ ‎|cos2x|，‎ 则cos2x＝±1时，‎ ‎|MN|的最大值为：．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角函数的图象变换，考查了两角和差的正弦公式及余弦函数的图象和性质，属于中档题．‎ 二、填空题 ‎13．函数的最小正周期是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用二倍角公式化简函数的解析式为y，再根据y＝Asin（ωx+）的周期等于T，可得结论．‎ ‎【详解】‎ 函数＝，‎ ‎∴最小正周期为，‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查二倍角公式的逆用，三角函数的周期性及其求法，利用了y＝Asin（ωx+）的周期等于T可求，属于基础题．‎ ‎14．已知函数若，则__________．‎ ‎【答案】-3‎ ‎【解析】当x≤0时，f（x）＝x2+1＝10；当x＞0时，f（x）＝﹣2x＝10，由此能求出结果．‎ ‎【详解】‎ ‎∵函数f（x），f（x）＝10，‎ ‎∴当x≤0时，f（x）＝x2+1＝10，‎ 解得x＝﹣3或x＝3（舍）；‎ 当x＞0时，f（x）＝﹣2x＝10，解得x＝﹣5，不合题意．‎ 综上，x＝﹣3．‎ 故答案为：﹣3．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了分段函数及函数值的求法，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．‎ ‎15．若，是方程的两根，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由韦达定理可得tanα+tanβ与tanαtanβ的值，代入两角和的正切公式可得．‎ ‎【详解】‎ ‎∵tanα，tanβ是方程3x2+5x﹣2＝0的两根，‎ ‎∴tanα+tanβ，tanαtanβ，‎ ‎∴tan（α+β）‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查两角和与差的正切公式，考查了一元二次方程的韦达定理，属于基础题．‎ ‎16．函数的最大值是_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】【详解】‎ 注意到，函数式可视为定点与动点连线的斜率，而动点 的轨迹是一个单位圆.‎ 设过点的直线方程为.‎ 当斜率取最大值时，该直线应是单位圆的一条切线，于是，原点到该直线距离为1.‎ 故.因此，函数的最大值为.‎ 三、解答题 ‎17．（Ⅰ）若，求的值；‎ ‎（Ⅱ）计算.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】（Ⅰ）利用对数恒等式即可得出；‎ ‎（Ⅱ）运用对数的运算法则，通过换底进行化简，得到本题结论．‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）∵，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎（Ⅱ）原式 ‎=‎ ‎=‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了对数恒等式和对数的运算法则，考查了换底公式，属于基础题．‎ ‎18．已知函数.‎ ‎（Ⅰ）画出的图象；‎ ‎（Ⅱ）根据图象写出的单调减区间和最值；‎ ‎【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）的单减区间为，的最小值为3，没有最大值.‎ ‎【解析】（Ⅰ）利用零点分段法化简f（x），描点作图即可；‎ ‎（Ⅱ）根据图象直接得f（x）的单调减区间和最值.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ），‎ 图像如图：‎ ‎（Ⅱ）由图可知：的单减区间为，的最小值为3，没有最大值.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查含绝对值函数的图象及性质，函数最值的求解，去绝对值化为分段函数及作图是关键，属于基础题．‎ ‎19．（Ⅰ）已知为第二象限，化简；‎ ‎（Ⅱ）化简.‎ ‎【答案】（Ⅰ）原式（Ⅱ）原式=-1‎ ‎【解析】（Ⅰ）由为第二象限，结合已知条件利用同角三角函数基本关系式求解．‎ ‎（Ⅱ）通过切化弦，通分以及两角差的正弦函数化简，然后利用诱导公式以及二倍角公式化简，可得结果．‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）原式 ‎=‎ ‎=‎ ‎（Ⅱ）原式 ‎=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎【点睛】‎ 本题是基础题，考查三角函数的恒等变形，诱导公式、两角差的三角函数等基本知识的灵活运用，注意公式的正确应用，考查计算能力．‎ ‎20．已知函数.‎ ‎（Ⅰ）讨论的奇偶性；‎ ‎（Ⅱ）讨论的单调性.‎ ‎【答案】（Ⅰ）奇函数（Ⅱ）在上是减函数 ‎【解析】（Ⅰ）根据函数f（x）的奇偶性的定义，结合已知中f（x）解析式可得结论；‎ ‎（Ⅱ）设x1，x2∈（﹣2，2）且x1＜x2，利用作差法判断出，即可得函数的单调性．‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）由得 ‎∴的定义域为 又 ‎∴是奇函数.‎ ‎（Ⅱ）设x1，x2∈（﹣2，2）且x1＜x2，‎ ‎∴x2﹣x1＞0，2+x1＞0，2+x2＞0，‎ ‎∴0‎ 即，即 ‎∴ >0，‎ 即f（x1）＞f（x2），‎ ‎∴在上是减函数 ‎【点睛】‎ 本题考查了函数奇偶性的判断，必须先求出定义域，单调性的判断要在定义域内用定义判断，属于基础题．‎ ‎21．如图，是半径为2，圆心角为的扇形，是扇形弧上一动点，记，四边形的面积为.‎ ‎（Ⅰ）利用一般三角形的面积公式（即三角形的面积等于两边的长与其夹角的正弦值的乘积的一半），找出与的函数关系；‎ ‎（Ⅱ）为何值时最大，找出的最大值.‎ ‎【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）当时，最大为2.‎ ‎【解析】（1）由三角形面积公式即可得到S与θ的函数关系．‎ ‎（2）对三角函数化简，由θ的范围，得到S的最大值．‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）∵，‎ 又∵‎ ‎ ,‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ‎=‎ ‎∴当时，最大为2.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查在实际问题中建立三角函数模型，求解问题的关键是根据图形建立起三角模型，将三角模型用所学的恒等式变换公式进行化简，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．‎ ‎22．已知函数的图象的相邻两条对称轴的距离为. ‎ ‎（Ⅰ）求的值并写出函数的单调递增区间；‎ ‎（Ⅱ）设是第一象限角，且，求的值.‎ ‎【答案】（Ⅰ），的单调递增区间为，（Ⅱ）‎ ‎【解析】（Ⅰ）先把函数解析式利用二倍角公式及两角和与差的正弦函数公式化简整理，根据相邻对称轴间的距离求出函数周期，利用周期公式即可求出ω的值，由正弦函数的单调递增区间[2kπ，2kπ]即可得到函数的单调递增区间；‎ ‎（Ⅱ）化简已知等式求出cosα的值，进而求出sinα的值，原式化简后代入计算即可求出值．‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）‎ ‎=，‎ 由题意知 ‎ ‎∴即，∴‎ 又由 得，‎ ‎∴的单调递增区间为，‎ ‎（Ⅱ）由题意知：‎ ‎∴，为第一象限角 ‎∴ ，‎ ‎∴ .‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，三角函数的周期性单调性及其求法，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键，属于中档题．‎