河南省商丘市商丘第一高级中学2020届高三第一学期期中考试数学（理）试卷
数学试卷（理科 ）
考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.考生作答时，将答案
答在答题卡上（答题注意事项见答题卡），在本试卷上答题无效.
第Ⅰ卷（选择题，共 60 分）
一、选择题:本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1.已知集合 ， ，
则 的子集的个数为（ ）
.2 .3 .4 D．5
2.命题“对任意 ，都有 ”的否定为( )
.对任意 ，都有 .不存在 ，使得
.存在 ，使得 .存在 ，使得
3.下列函数中为偶函数的是（ ）
. . . .
4. 若函数 ，若 ，则 的值为（ ）
. . . .
5．要得到函数 的图象，只需将函数 的图象（ ）
.向右平移 个单位长度 .向左平移 个单位长度
.向右平移 个单位长度 .向左平移 个单位长度
6．若实数 满足 ，则 的最大值为( )
A．2 .3 .5 .7
sin 2y x=
{ }1,),( 22 =+= yxyxyxA 为实数，且 { }xyyxyxB == 为实数，且,),(
BA
A B C
Rx∈ 02 ≥x
A Rx∈ 02
B
)0()1(),0()2019( 2019 efffef >> C )0()1(),0()2019( 2019 efffef ><
D )0()1(),0()2019( 2019 efffef <<
)sin,(cos ααP xy 2−= )4tan(
πα +
( 1,1)A − (1,2)B ( 2, 1)C − − (3,4)D AB CD
_____.
15．设函数 的最大值为 ,最小值为 ，则 ________.
16. 不等式 对任意 恒成立，则实数
的取值范围是_________.
三、解答题：(本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.（本题满分 10 分）
已知等比数列{ }的公比是 2，且 是 与 的等差中项．
（Ⅰ）求数列{ }的通项公式；
（Ⅱ）若 ＝17＋2 ，求数列{ }的前 项和 ．
18．(本题满分 12 分)
已知 ， ， ．
（Ⅰ）求函数 的单调递增区间；
（Ⅱ）当 时，对任意 ，不等式 恒成立，求实数
的 取值范围．
19．（本题满分 12 分）
已知 分别为△ABC 的三个内角 的对边， ，且
.
（Ⅰ）求角 的大小；
（Ⅱ）若 ，求△ABC 的面积.
20. （本题满分 12 分）
如图，四棱锥 的底面 为平行四边形，.
( 3sin ,cos sin )a x x x= + (2cos ,sin cos )b x x x= − ( )f x a b= ⋅
( )f x
5 5,24 12x
π π ∈ t R∈ 2 3 ( )mt mt f x+ + ≥
m
( )
1
sin20191)( 2
2
+
++=
x
xxxf M m =+ mM
[ ] [ ] mmabab −≥−−+−− 222 )1(ln)2( Rab ∈> ,0 m
na 22 +a 1a 3a
na
nb 1
2
log na nb n nS
a b c， ， CBA ,, (sin ,1), (cos , 3)= = m A n A
/ / m n
A
2, 2 2= =a b
ABCDP − ABCD BPBADPDA == ,
（Ⅰ）求证： ;
（Ⅱ）若 , 求二面角 的正弦值.
21.(本题满分 12 分)
已知数列 是首项 的等比数列，且 ， 是首项为 的等差数列，又
， .
（Ⅰ）求数列 和 的通项公式；
（Ⅱ）求数列 的前 项和 .
22．(本题满分 12 分)
已知函数 （ ）．
（Ⅰ）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（Ⅱ）设 ，当 时，若对任意 ，存在 ，使
，求实数 的取值范围．
BDPA ⊥
2,60, ====∠⊥ ° BDBPBAABPDPDA BPCD −−
}{ na 11 =a 0>na }{ nb 1
2135 =+ ba 1353 =+ ba
}{ na }{ nb
}2{
n
n
a
b n nS
x
mmxxxf
−+−= 1ln)( Rm ∈
2=m )(xfy = ))1(,1( f
nxxxg +−= 2)( 2
12
1=m )2,0(1 ∈x ]2,1[2 ∈x
)()( 21 xgxf ≥ n
数学试卷（理科）
参考答案与评分细则
一、选择题:
1—4 CDBC 5—8 ADCA 9—12 CDBD
二、填空题：
13. 14. 15. 2 16.
16 题解答： 恒成立，左端为点 与点
距离平方，因为 分别在曲线 及直线 上，由
得 ，故与 平行且与 相切的切点为（1,0）所以 最小值
，所以 ，解得 。
三、解答题：
17．解析：
（Ⅰ）∵ 是 与 的等差中项，∴ ，………… 1 分
又 是公比为 2 的等比数列，
∴ ，解得 ．解得 ．……………… 2 分
∴ ．…………………………………………4 分
即数列 的通项公式为 ．……………………………………5 分
（Ⅱ）∵ ．……………6 分
∴ 是以 13 为首项，以 为公差的等差数列，……………………8 分
从而 ,
即数列 的前 项和 ．………………………………10 分
18.
1 2m− ≤ ≤
2 2 2[ ( 2)] [ln ( 1)]b a b a m m− − + − − ≥ − ( ),lnP b b
( 2, 1)Q a a− − ,P Q : lnC y x= : 1l y x= +
1 1y x
′ = = 1x = l : lnC y x= PQ
2 2
2
d = = 2 2m m− ≤ 1 2m− ≤ ≤
3
1−
2
23
22 +a 1a 3a 312 )2(2 aaa +=+
}{ na
111 4)22(2 aaa +=+ 41 =a 41 =a
111
1 224 +−− =⋅=⋅= nnn
n qaa
}{ na 12 += n
na
nnb n
n 215)1(2172log217 1
2
1 −=+−=+= +
}{ nb 2−
214)2()1(2
113 nnnnnSn −=−⋅−+=
}{ nb n 214 nnSn −=
解析：
………………2 分
（1）令 得 ,
………………4 分
所以函数的单调递增区间为
………………5 分
（2）当 时， ， ，……7 分
因为对任意 ，不等式 恒成立……8 分
所以 恒成立，即 ，即 恒成立
若 ，符合条件；若 ，则 且 ，即 ；……10 分
所以实数 的取值范围为 ……………………12 分
19. 解析：
（I） …4 分
（II）由正弦定理可得， ， 或 ……
6 分
当 时，
…………8 分
当 时，
…………11 分
故△ABC 的面积为 或 .…………12 分
( ) 2 3sin cos (cos sin )(sin cos ) 3sin 2 cos2 2sin(2 )6f x a b x x x x x x x x x
π= ⋅ = − + − = − = −
Zkkxk ∈+≤−≤+− ,226222
πππππ
Zkkxk ∈+≤≤+− ,36
ππππ
Zkkk ∈++− ],3,6[ ππππ
∈
12
5,24
5 ππ
x 3
2
624
πππ ≤−≤ x 2)62sin(22 ≤−≤∴ π
x
Rt ∈ )(32 xfmtmt ≥++
max
2 )(3 xfmtmt ≥++ 232 ≥++ mtmt 012 ≥++ mtmt
0=m 0≠m 0>m 042 ≤− mm 40 ≤< m
m 40 ≤≤ m
3, 3sin cos 0, tan . A (0, ), A .3 6
⊥ ∴ − = ∴ = ∈ ∴ =
m n A A A
ππ
sin 2sinB 2 2
= =b A , , 4
< ∴ < ∴ =a b A B B
π 3
4
π
4
=B
π 2(1 3)sin sin( ) sin cos cos sin ,4
+= + = + =C A B A B A B
13sin2
1 +==∴ ∆ CabS ABC
3
4
=B
π 2( 3 1)sin sin( ) sin cos cos sin ,4
−= + = + =C A B A B A B
13sin2
1 −==∴ ∆ CabS ABC
13 + 13 −
20.解答：
(Ⅰ)证明：取 中点 ，连 , ………… 1 分
, ,
………… 2 分
面 , ………… 3 分
又 面 ………… 4 分
………… 5 分
（Ⅱ） ,
是等腰三角形， 是等边三角形 ………… 6 分
,
以 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系， ………… 7 分
则 ， , ………… 8 分
从而得 ，
,
设平面 的法向量 ，则 ，即 ，
令 ，得 ， ， ………… 9 分
设平面 的法向量 ，由 ,得 ，
令 ,得 ， ………… 10 分
， ………… 11 分
设二面角 为 ， 。 ………… 12 分
注 ： 因 为 两 平 面 法 向 量 选 取 不 同 ， 得 到 ，
AP M DM BM
DA DP= BA BP=
,PA DM PA BM∴ ⊥ ⊥
DM BM M=
PA∴ ⊥ DMB
BD ⊂ DMB
PA BD∴ ⊥
,DA DP BA BP= = , 60DA DP ABP⊥ ∠ = °
DAP∴∆ ABP∆
2, 1, 3AB PB BD DM BM= = = ∴ = =
2 2 2BD MB MD∴ = + MD MB∴ ⊥
, ,MP MB MD , ,x y z
( 1,0,0), (0, 3,0)A B− (1,0,0), (0,0,1)P D
(1,0, 1),DP = − (1, 3,0)DC AB= =
(1, 3,0)BP = − (1,0,1)BC AD= =
DPC 1 1 1 1( , , )n x y z= 1
1
0
0
n DP
n DC
⋅ = ⋅ =
1 1
1 1
0
3 0
x z
x y
− = + =
1 1y = 1 1 3x z= = − 1 ( 3,1, 3)n∴ = − −
PCB 2 2 2 2( , , )n x y z= 2
2
0
0
n BC
n BP
⋅ = ⋅ =
2 2
2 2
0
3 0
x z
x y
+ = − =
2 1y = 2 3x = 2 3,z = − 2 ( 3,1, 3)n∴ = −
1 2
1 2
1 2
1cos , 7
n nn n
n n
⋅∴ = =
D PC B− − α 2
1 2
4 3sin 1 cos , 7n nα∴ = − < > =
1 2
1 2
1 2
1cos , 7
n nn n
n n
⋅= = −
A B
CD
P
M
x
y
z
仍然正确
21．(Ⅰ)设数列{an}的公比为 q，{bn}的公差为 d，则由已知条件得：
，解之得： .···4 分
∴an＝2n－1，bn＝1＋(n－1)×2＝2n－1.···············6 分
（Ⅱ）由(1)知 bn
2an＝2n－1
2n .······························8 分
∴Sn＝1
2＋ 3
22＋ 5
23＋…＋2n－3
2n－1 ＋2n－1
2n . ①
∴1
2Sn＝ 1
22＋ 3
23＋…＋2n－3
2n ＋2n－1
2n＋1 . ②·········10 分
①－②得：1
2Sn＝1
2＋ 2
22＋ 2
23＋…＋ 2
2n－2n－1
2n＋1
＝1
2＋(1
2＋ 1
22＋…＋ 1
2n－1)－2n－1
2n＋1
＝1
2＋
1
2[1－1
2n－1]
1－1
2
－2n－1
2n＋1
＝1
2＋1－(1
2)n－1－2n－1
2n＋1 .
∴Sn＝3－2n＋3
2n . ································12 分
22. 解析：
（Ⅰ）当 时， ， ， ，……2 分
，故切线方程为 .………………4 分
（Ⅱ）当 时， ，
，…………………………6 分
2
1 2
4 3sin 1 cos , 7n nα∴ = − < > =
{ 2121
1341
4
2
=++
=++
dq
dq
{ 2
)(22
=
−==
d
qq 舍去或
2=m xxxxf 12ln)( −−= 3)1( −=∴ f 2
121)(' xxxf +−=
0)1(' == fk 3−=y
12
1=m xxxxf 12
11
12
1ln)( +−=
22
2
12
)11)(1(
12
1112)(' x
xx
x
xxxf
−−−=+−−=
所以函数在 上为减函数，在 上为增函数.
所以对任意 ， .……………………9 分
又因为存在 ，使
即存在 ，使 成立，
因为 ， 则 ，所以
)1,0( )2,1[
)2,0(1 ∈x 6
5)1()( 1 =≥ fxf
]2,1[2 ∈x )()( 21 xgxf ≥
]2,1[2 ∈x 6
52)( 2 ≤+−= nxxxg
1)1()( −=≥ ngxg 6
51≤−n 6
11≤n