【数学】2018届一轮复习人教A版（文）专题05解三角形学案

【数学】2018届一轮复习人教A版（文）专题05解三角形学案

专题五 解三角形 ‎【解三角形定义】‎ 一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。‎ 主要方法：‎ 正弦定理、余弦定理。‎ ‎【解三角形常用方法】‎ ‎1.已知一边和两角解三角形：已知一边和两角（设为b、A、B），解三角形的步骤：‎ ‎2.已知两边及其中一边的对角解三角形：已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其他边角时，首先必须判断是否有解，例如在中，已知问题就无解。如果有解，是一解，还是两解。解得个数讨论见下表：‎ ‎3.已知两边及其夹角解三角形：已知两边及其夹角（设为a,b,C），解三角形的步骤：‎ ‎4.已知三边解三角形：已知三边a，b，c，解三角形的步骤：  ①利用余弦定理求出一个角；  ②由正弦定理及A +B+C=π，求其他两角． 5.三角形形状的判定： 判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形、锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别，依据已知条件中的边角关系判断时，主要有如下两条途径： ①利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状； ②利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数的恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A+B +C=π这个结论，在以上两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解． 6.解斜三角形应用题的一般思路： (1)准确理解题意，分清已知与所求，准确理解应用题中的有关名称、术语，如坡度、仰角、俯角、视角、象限角、方位角、方向角等； (2)根据题意画出图形； (3)将要求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识建立数学模型，然后正确求解，演算过程要算法简练，计算准确，最后作答，     用流程图可表示为：‎ ‎【2017年高考全国卷1卷，文11】‎ ‎△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知，a=2，c=，则C=‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得 ‎，‎ 即，所以．‎ 由正弦定理得，即，得，故选B．‎ ‎【考点】解三角形 ‎【名师点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．‎ 答题思路 ‎【命题意图】考查正弦定理、余弦定理及三角形面积公式，考查三角函数中同角三角函数关系、诱导公式、两角和与差三角函数公式、二倍角公式在恒等变形中的应用，考查化简变形能力、数形结合思想、等价转换思想.‎ ‎【命题规律】解三角形是高考的必考内容，重点是正弦定理、余弦定理和三角形面积公式，考题灵活多样，选择题、填空题和解答题都有考到，难度中低中档题均有.以求边长、求角（三角函数值）或研究三角形的面积为目标，往往是利用正弦定理、余弦定理和三角形面积公式进行有效的边角转换，利用和差倍半的三角函数公式，对等式进行恒等变形，有时会结合角的范围，研究三角函数式的取值范围等. ‎ ‎【答题模板】‎ ‎(1)通过正弦定理实施边角转换；‎ ‎(2)通过余弦定理实施边角转换；‎ ‎(3)通过三角变换找出角之间的关系；‎ ‎(4)通过三角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性进行讨论；‎ ‎(5)若涉及两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解条件多的三角形，再逐步求出其他三角形的边和角，其中往往用到三角形内角和定理，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)求解.‎ ‎【方法总结】 ‎ ‎1.三角形中判断边、角关系的具体方法：‎ ‎(1)通过正弦定理实施边角转换；‎ ‎(2)通过余弦定理实施边角转换；‎ ‎(3)通过三角变换找出角之间的关系；‎ ‎(4)通过三角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性进行讨论；‎ ‎(5)若涉及两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解条件多的三角形，再逐步求出其他三角形的边和角，其中往往用到三角形内角和定理，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)求解.‎ ‎2.三角形的有关性质在解三角形问题中起着重要的作用，如利用“三角形的内角和等于π”和诱导公式可得到sin(A＋B)＝sin C，sin＝cos 等，利用“大边对大角”可以解决解三角形中的增解问题，如：在斜三角形中，用正弦定理求角时，若已知小角求大角，则有两解；若已知大角求小角，则只有一解，注意确定解的个数.‎ ‎3. 如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．已知两角和一边或两边及夹角，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性.‎ ‎4. 在解决三角形的问题中，面积公式最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.‎ ‎1．【2017年高考全国Ⅲ卷，文15】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C=60°，b=，c=3，则A=_________.‎ ‎【答案】75°‎ ‎【考点】正弦定理 ‎【点拨】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：‎ 第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.‎ 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.‎ 第三步：求结果.‎ ‎2．【2017年高考浙江卷，文14】已知△ABC，AB=AC=4，BC=2． 点D为AB延长线上一点，BD=2，连结CD，则△BDC的面积是______，cos∠BDC=_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【考点】解三角形 ‎【点拨】利用正、余弦定理解决实际问题的一般思路：（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可以利用正弦定理或余弦定理求解；（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，再逐步解其他三角形，有时需要设出未知量，从几个三角形中列出方程（组），解方程（组）得出所要的解．‎ ‎3. 【2017年高考江苏卷，文18】如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为‎32cm,容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm,容器Ⅱ的两底面对角线,的长分别为‎14cm和‎62cm. 分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水,水深均为‎12cm. 现有一根玻璃棒l,其长度为‎40cm.（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）‎ ‎ （1）将放在容器Ⅰ中,的一端置于点A处,另一端置于侧棱上,求没入水中部分的长度；‎ ‎ （2）将放在容器Ⅱ中,的一端置于点E处，另一端置于侧棱上，求没入水中部分的长度.‎ ‎【答案】（1）16（2）20‎ ‎【解析】解:（1）由正棱柱的定义，平面，所以平面平面，.‎ 记玻璃棒的另一端落在上点处.‎ ‎( 如果将“没入水中部分冶理解为“水面以上部分冶，则结果为24cm)‎ ‎ ‎ ‎（2）如图，O，O1是正棱台的两底面中心.‎ 由正棱台的定义，OO1⊥平面 EFGH， 所以平面E1EGG1⊥平面EFGH，O1O⊥EG.‎ 同理，平面 E1EGG1⊥平面E1F1G1H1，O1O⊥E1G1.‎ 记玻璃棒的另一端落在GG1上点N处.‎ 过G作GK⊥E1G，K为垂足， 则GK =OO1=32. ‎ 因为EG = 14，E1G1= 62，‎ 所以KG1= ，从而. ‎ 设则.‎ 因为，所以.‎ 在中，由正弦定理可得，解得. ‎ 因为，所以.‎ 于是.‎ 记EN与水面的交点为P2，过 P2作P2Q2⊥EG，Q2为垂足，则 P2Q2⊥平面 EFGH，故P2Q2=12，从而 EP2=.‎ 答:玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm.‎ ‎(如果将“没入水中部分冶理解为“水面以上部分冶，则结果为20cm)‎ ‎【考点】正余弦定理 ‎【点拨】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：‎ 第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.‎ 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.‎ 第三步：求结果.‎ ‎4.【2017年高考山东卷，文17】（本小题满分12分）在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=3,,S△ABC=3,求A和a.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 又，所以，‎ 由余弦定理，‎ 得，‎ 所以.‎ ‎【考点】解三角形 ‎【点拨】正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理,它将三角形的边和角有机地联系起来,从而使三角与几何产生联系,为求与三角形有关的量(如面积、外接圆、内切圆半径和面积等)提供了理论依据,也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据．其主要方法有：化角法,化边法,面积法,运用初等几何法．注意体会其中蕴涵的函数与方程思想、等价转化思想及分类讨论思想．‎ ‎5．【2017甘肃二诊】已知的三角形所对的边分别为，下列条件中，能使得的形状唯一确定的是（ ）‎ ‎①；②， ；③， ， ；④， ．‎ A. ①③ B. ①②③ C. ①② D. ②③④‎ ‎【答案】A ‎6．【2017湖南娄底二模】在中，角， ， 的对边分别是， ， ，已知， ，且，点为边上一点，且，则的面积为__________．‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】由正弦定理得，可得，从而 ‎3.【2017重庆二诊】设中，角所对的边分别为，若的面积为，则__________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎7.【2017安徽马鞍山三模】在锐角中，内角， ， 的对边分别为， ， ，且．若，则的取值范围是___．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据正弦定理，边角互化后可得 ， ，解得，又根据正弦定理， ，所以 ，所以 ，因为是锐角三角形，所以，所以 ，那么，故填： .‎ ‎8.【2017四川南充三诊】已知在中，角所对的边分别为已知 ‎（Ⅰ）求的值 ‎（Ⅱ）若,求的面积 ‎【答案】（Ⅰ）;(Ⅱ) .‎ ‎【解析】试题分析:（Ⅰ）根据正弦定理化简已知等式,利用两角和与差的展开式以及内角和为即可求出;(Ⅱ)分别求出,可得为直角三角形,进而求出三角形的面积.‎ ‎(Ⅱ)由（Ⅰ）可得，联立,解得.由，得为直角三角形,所以 ‎6. 【2017福建漳州5月质检】的内角的对边分别为，其中，且，延长线段到点，使得.‎ ‎（Ⅰ）求证： 是直角；‎ ‎（Ⅱ）求的值.‎ ‎【答案】(1)详见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ 证明：‎ ‎（Ⅰ）因为 由正弦定理，得，‎ 所以，又，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以，‎ 即是直角.‎ ‎9.【2017河北唐山三模】在中，角， ， 所对应的边分别为， ， ， .‎ ‎（1）求证： ；‎ ‎（2）若， ，求.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） ．‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）由根据正弦定理得，‎ 即，‎ ‎，，得． ‎ ‎（Ⅱ）由，且， ，得， ‎ 由余弦定理， ，‎ 所以．‎ ‎10.【2017陕西汉中二模】在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且 ‎ ‎（1）求角B的大小 ‎（2）若b＝3，sinC=2sinA,求a、c的值及△ABC的面积 ‎【答案】（1）（2）‎ ‎11.【2017新疆乌鲁木齐三模】中，角的对边分别是，已知.‎ ‎（Ⅰ）求的大小；‎ ‎（Ⅱ）若，求周长的最大值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） .‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）由正弦定理可得，再根据余弦定理得结果；（Ⅱ）根据正弦定理可得，再利用两角和与差的正弦公式化简，根据三角函数的有界性求解.‎ 试题解析：（Ⅰ）由已知，得，即，‎ ‎∴，∴；‎ ‎（Ⅱ）∵，∴，∴.‎ 设周长为，则 ‎∵,∴,‎ ‎∴周长的最大值为.‎ ‎12.【2017湖南岳阳二模】在锐角中，角的对边分别为，且满足.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎（2）∵，∴由正弦定理有： ，‎ ‎∴由正弦定理有： ，‎ ‎∴，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴‎ ‎∵为锐角三角形，∴，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴.‎ ‎13.【2016年高考全国卷1卷，文4】‎ ‎△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知，，，则b=‎ ‎（A） （B） （C）2 （D）3‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由余弦定理得，解得（舍去），选D.‎ ‎【考点】余弦定理 ‎【点拨】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！‎ ‎14.【2016年高考北京卷，文13】在△ABC中， ，a=c，则=_________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由正弦定理知，所以，则，所以，所以，即．‎ ‎【考点】解三角形 ‎【点拨】①根据所给等式的结构特点，利用余弦定理将角化边是迅速解答本题的关键．②熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用．‎