2018-2019学年山东省德州市高一下学期期末数学试题（解析版）

2018-2019学年山东省德州市高一下学期期末数学试题（解析版）

2018-2019 学年山东省德州市高一下学期期末数学试题 一、单选题 1．如图，设 是正六边形 的中心，则与 相等的向量为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】容易看出，四边形 是平行四边形，从而得出 . 【详解】 根据图形看出，四边形 是平行四边形 故选： 【点睛】 本题考查相等向量概念辨析，属于基础题. 2．不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】将不等式 的两边同乘 后，将二次项系数化为正，进而根据 大于看两边，小于看中间，求出不等式的解集. 【详解】 O ABCDEF BC BA CD AD OD BCDO BC OD=  BCDO / / ,BC OD BC OD∴ = BC OD∴ =  D ( 1)(2 ) 0x x− − ≥ { }|1 2x x≤ ≤ { }1 2x x x≤ ≥或 { }1 2x x< < { }1 2x x x或 ( 1)(2 ) 0x x− − ≥ -1 ( 1)(2 ) 0x x− − ≥ ( 1)( -2) 0x x∴ − ≤ 解集是 故选： 【点睛】 本题考查一元二次不等式解法，属于基础题. 3．函数 的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令 ，即有 ，则 ，运用基本 不等式即可得到所求最小值，注意等号成立的条件. 【详解】 令 ，即有 ，则 ， 当且仅当 ，即 时，取得最小值 . 故选： 【点睛】 本题考查基本不等式，配凑法求解，属于基础题. 4．已知平面向量 ， 的夹角为 ， ， ，则向 的值为 （ ） A．－2 B． C．4 D． 【答案】C 【解析】通过已知条件，利用向量的数量积化简求解即可. 【详解】 平面向量 ， 的夹角为 ， 或 ， 则向量 . ∴ { }1 2x x≤ ≤ A 2 2 ( 1)1 xy xx += >− 2 3 2- - 2 3 2− + 2 3 2− 2 3 2+ ( )1 0t x t= − > 1x t= + ( )21 2 3 2ty tt t + += = + + ( )1 0t x t= − > 1x t= + ( )21 2 3 2ty tt t + += = + + 32 2 2 3 2t t ≥ ⋅ + = + 3t t = 3, 1 3t x= = + 2 2 3+ D a b 2 3 π 3a = 2b = ( ) ( )2a b a b+ ⋅ −    1 3 3− 3 3 1+ a b 2 3 π 3a = 2b = ( ) ( ) 2 2 12 = 2 9 3 2 8 42a b a b a a b b  + ⋅ − − ⋅ − = − × × − − =          故选： 【点睛】 本题考查向量数量积公式，属于基础题. 5．已知 ，且 ，则实数 的值为（ ） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【解析】根据二角和与差的正弦公式化简， ，再切化弦，即 可求解. 【详解】 由题意 又 解得 故选： 【点睛】 本题考查两角和与差的正弦公式，属于基础题. 6．已知 ，若 、 、 三点共线，则 为（ ） A． B． C． D．2 【答案】C 【解析】由平面向量中的三点共线问题可得： ，由基本定理及线性运算可得：即 得解. 【详解】 因为 ，若 ， ， 三点共线 则 ，解得 ， C sin( ) sin( )mα β α β− = + tan 2tan 0α β= ≠ m 1 2 1 3 sin( ) sin( )mα β α β− = + sin( ) sin( )mα β α β− = + [ ]sin cos cos sin sin cos cos sinmα β α β α β α β− = + ( ) ( )1 sin cos 1 cos sinm mα β α β∴ − = + ( ) ( )1 tan 1 tanm mα β∴ − = + tan 2tan 0α β= ≠ ( )2 1 1m m∴ − = + 1 3m = D 2 3PA PB tPC= +   A B C AB AC   2 3 2 5 1 2 1 3t = 2BA AC=  2 3PA PB tPC= +   A B C 2 13 t+ = 1 3t = 即 即 即 即 故选： 【点睛】 本题考查平面向量基本定理和共线定理，属于基础题. 7．在等比数列 中， ， ，则数列 的前六项和为 （ ） A．63 B．－63 C．－31 D．31 【答案】B 【解析】利用等比数列通项公式求出公式 ，由此能求出数列 的前六项和. 【详解】 在等比数列中， ， ， 解得 数列 的前六项和为： . 故选： 【点睛】 本题考查等比数列通项公式求解基本量，属于基础题. 8．在 中，角 、 、 所对的边长分别为 ， ， ， ， ， ，则 的面积为（ ） A． B． C． D．9 【答案】A 2 1 3 3PA PB PC= +   ( ) ( )2 1 3 3PA PB PC PA− = −    2BA AC=  1 2 AB AC =   C { }na 1 1a = − ( )5 7 2 48a a a a+ = + { }na 2q = { }na 1 1a = − ( )5 7 2 48a a a a+ = + ( )4 61 1q q∴− × + − × ( ) 38 1 1q q = − × + − ×  2q = ∴ { }na ( )6 6 1 1 2 631 2S − × − = = −− B ABC∆ A B C a b c 3a = 2 3c = sin cos 6b A a B π = +   ABC∆ 3 3 2 3 3 9 2 【解析】 ，利用正弦定理，和差公式化简可得 ，再利用三角 形面积计算公式即可得出. 【详解】 化为： 的面积 故选： 【点睛】 本题考查正弦定理与两角和余弦公式化简求值，属于基础题. 9．已知数列 的前 项和为 ，且 ，若 ， ，则 的值为（ ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】B 【解析】推导出数列 是等差数列，由 解得 ，由此利用 能求出 的值. 【详解】 数列 的前 项和为 ，且 数列 是等差数列 sin cos 6b A a B π = +   B  sin cos 6b A a B π = +   3 1sin sin sin cos sin2 2B A A B B  ∴ = −    sin 0A ≠ 3 1sin cos sin2 2B B B∴ = − ( )3tan , 0,3B B π= ∈ 6B π∴ = ABC∆∴ 1 3 33 2 3sin2 6 2 π= × × = A { }na n nS 2 nS an bn= + 7 23a a= 8 2S aλ= λ { }na 7 23a a= 1 3 2a d= 8 2S aλ= λ  { }na n nS 2 nS an bn= + ∴ { }na 7 23a a∴ = ( )1 16 3a d a d∴ + = + 解得 解得 故选： 【点睛】 本题考查等差数列的判定和基本量的求解，属于基础题. 10．已知在 中， 为 的中点， ， ，点 为 边上的动点，则 最小值为（ ） A．2 B． C． D．－2 【答案】C 【解析】由 ，结合投影几何意义，建立平面直角坐 标系，结合向量数量积的定义及二次函数的性质即可求解. 【详解】 由 ,结合投影几何意义有：过点 作 的垂线， 垂足 落在 的延长线上，且 , 以 所在直线为 轴，以 中点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则 设 ，其中 1 3 2a d= 8 2S aλ= ( )1 1 8 78 2a d a dλ×∴ + = + 540 2d dλ∴ = × 16λ = B ABC∆ D AC 2BC = cos , 1BA BA BC = −   P BC ( )2PC PB PD⋅ +   3 4 − 25 12 − cos , cos 1BA BA BC BA B= = −    cos , cos 1BA BA BC BA B= = −    A BC E CB 1BE = 2BC =  BC x BC ( ) ( ) ( ) 1 12, , 1,0 , 1,0 , ,2 2A y B C D y − − −   ( ),0P x 1 1x− ≤ ≤ 则 解析式是关于 的二次函数，开口向上，对称轴时取得最小值， 当 时取得最小值 故选： 【点睛】 本题考查向量方法解决几何最值问题，属于中等题型. 二、多选题 11．已知锐角 ，内角 、 、 的对边分别为 ， ， ，若 ， ，则边 的可能取值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】CD 【解析】由于三角形的正弦定理和正弦函数的值域可得 的范围，讨论 ， 结合条件可得所求结论. 【详解】 在 中， ， ， 由 可得 ， 由于 可得 ，即有 若 ，则 ，即 ， 为等边三角形成立； 若 可得 ，且 ，即 即为 ，即有 成立. 故选： 【点睛】 本题考查正弦定理与三角函数有界性，考查计算能力，属于中等题型. 12．对任意平面向量 ， ， ，下列命题中真命题是（ ） A．若 ，则 B．若 ， ，则 C． D． 【答案】BD ( ) ( ) ( )2 1 ,0 2 3 ,PC PB PD x x y⋅ + = − ⋅ − −   ( )( )2 3 1x x= − − − 23 2x x= − − x 1 6x = 25 12 − C ABC∆ A B C a b c 4c = 60B∠ = ° b b 4, 5b b= = ABC∆ 4c = 60B∠ = ° sin sin b c B C = 34sin 2 32 sin sin sin c Bb C C C × = = = 0 90C< <  ( )sin 0,1C ∈ 2 3b > 4b = b c= 60B C= =  ABC∆ 5b = 2 3 1 3sin ,5 2 2C  = ∈    b c> B C> 30 60C< <  60 90A< <  CD a b c a b b c⋅ = ⋅    a c=  a b=  b c=  a c ＝ a b a b− < +    a b a b⋅ ≤    【解析】利用反例判断 的正误；向量相等关系判断 的正误；向量的模的运算法则 判断 的正误；利用向量的数量积的性质判断 的正误. 【详解】 若 ，则 ，反例 ，则 与 具有任意性，所以 不正确； 若 ， ，则 ，向量相等的充要条件，所以 正确； ，如果 ，则不等式不成立，所以 不正确； ，所以 正确. 故选： 【点睛】 本题考查向量数量积概念辨析，属于基础题. 13．已知 ， ，下列不等式成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】由指数函数的单调性可判断 ；由作差法和不等式的性质可判断 ；可根据 换底公式，取 ， ，运用对数函数单调性，可判断 ；运 用作差法和不等式的性质，可判断 . 【详解】 由 ， ，可得 ，故 正确； 由 ， ， 可得 ， ，故 错误； 由 ， ， ， ，则 ， 则 ，可得 ，故 正确； 由 ， ， 可得 ，故 正确. A B C D a b b c⋅ = ⋅    a c=  0b = a c A a b=  b c=  a c ＝ B a b a b− < +    0b = C ( )|cos , |a b a b a b a b⋅ = ≤       D BD 1a > 0 1c b< < < b ca a> c c a b b a +> + log logb ca a< b c b a c a >+ + A B 1log logb a a b = 1log logc a a c = C D 1a > 0 1c b< < < b ca a> A 1a > 0 1c b< < < c c a b b a +− + ( ) ( ) ( ) 0a c bcb ca bc ba b b a b b a −+ − −= = <+ + c c a b b a +< + B 1a > 0 1c b< < < 1log logb a a b = 1log logc a a c = log log 0a ac b< < 1 1 0log loga ab c < < log logb ca a< C 1a > 0 1c b< < < ( )( ) ( ) ( )( ) 0a b cb c bc ba cb ca b a c a b a c a b a c a −+ − −− = = >+ + + + + + b c b a c a >+ + D 故选: 【点睛】 本题考查不等式基本性质和利用指数函数、对数函数单调性比较大小，属于基础题. 三、填空题 14．设 ， ， ，若 ，则实数 的值为______ 【答案】 【解析】根据题意，可以求出 ，根据 可得出 ，进行数量 积的坐标运算即可求出 的值. 【详解】 故答案为： 【点睛】 本题考查向量垂直的坐标表示，属于基础题. 15．已知 ，则 的值为______ 【答案】 【解析】根据两角差的正弦公式，化简 ，解出 的值，再平方，即可求解. 【详解】 由题意，可知 ， ，平方可得 ACD (1,2)a = (1, 1)b = − c a kb= +   b c⊥  k 1 2 ( )1,2c k k= + − b c⊥  0b c⋅ =  k ( ) ( )1 ,2 , 1, 1c k k b= + − = − b c⊥   1 2 0b c k k∴ ⋅ = + + − =  1 2k∴ = 1 2 3sin( )4 5 πθ − = sin 2θ 7 25 2 2 3sin( ) sin cos4 2 2 5 πθ θ θ− = − = sin cosθ θ− 2 2 3sin( ) sin cos4 2 2 5 πθ θ θ− = − = 3 2sin cos 5 θ θ∴ − = 181 2sin cos 25 θ θ− = 72sin cos 25 θ θ∴ = 则 故答案为： 【点睛】 本题考查三角函数常用公式 关系转换，属于基础题. 16．若数列 满足 ，且对于任意的 ，都有 ，则 ___；数列 前 10 项的和 ____． 【答案】 , 【解析】试题分析：由 得 由 得 ，所以数列 为等比数列，因此 【考点】等比数列通项与和项 17．在 中，角 、 、 所对应边分别为 、 、 ， ， 的平分线交 于点 ，且 ，则 的最小值为______ 【答案】18 【解析】根据三角形面积公式找到 的关系，结合基本不等式即可求得最小值. 【详解】 根据题意， ， 因为 的平分线交 于点 ，且 ， 所以 而 所以 ，化简得 则 当且仅当 ，即 ， 时取等号，即最小值为 . 故答案为： 7sin 2 25 θ = 7 25 ( )2sin cos 1 2sin cosθ θ θ θ− = − { }na 1 2a = − *,m n∈ N m n m na a a+ = ⋅ 3a = { }na 10S = 8− 682 m n m na a a+ = ⋅ 2 1 1 3 2 14, 8,a a a a a a= ⋅ = = ⋅ = − m n m na a a+ = ⋅ 1 1 2n n na a a a+ = ⋅ = − { }na 10 10 2[1 ( 2) ] 682.1 ( 2)S − − −= = −− − ABC∆ A B C a b c 90ABC∠ °＝ ABC∠ AC D 2 2BD = 4a c+ ,a c 1 1sin2 2ABCS ac B ac∆ = = ABC∠ AC D 2 2BD = 1 sin2CBDS BD c ABD c∆ = × × × ∠ = 1 sin2CBDS BD a CBD a∆ = × × ∠ = ABC ABD CBDS S S ∆∆ ∆= + 1 2 ac c a= + 2 2 1a c + = ( ) 2 2 2 8 2 84 4 10 10 2 18a c a ca c a c a c c a c a  + = + ⋅ + = + + ≥ + × =   2a c= 3c = 6a = 18 18 【点睛】 本题考查三角形面积公式和基本不等式，考查计算能力，属于中等题型 四、解答题 18．已知向量 ， ， . （1）若 、 、 三点共线，求 ； （2）求 的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】（1）根据题意，若 、 、 三点共线，则表达 和 ，根据向量共线定理的坐标表示，可求解参数值，即可求解模长. （2）根据题意，先求 ， ，再求向量 、 的夹角，代入三角 形面积公式，即可求解. 【详解】 解：（1）已知向量 ， ， ∴ ， ， 由点 、 、 三点共线， 得 .解得 . ， （3）因为 ， ， 所以 ， ， ， ， ， 【点睛】 本题考查（1）向量共线的坐标表示；（2）三角形面积公式；考查计算能力，属于基础 题. 19．已知 ， ，其中 . (3, 4)OA = − (6, 3)OB = − (3 ,4 )OC m m= − + A B C OC OAB∆ 85 15 2 A B C (3,1)AB = ( ,8 )AC m m= − + 5OA = 3 5OB = OA OB (3, 4)OA = − (6, 3)OB = − (3 ,4 )OC m m= − + (3,1)AB = ( ,8 )AC m m= − + A B C 3(8 )m m+ = − 6m = − (9, 2)OC = − 81 4 85OC = + = (3, 4)OA = − (6, 3)OB = − 5OA = 3 5OB = 30OA OB⋅ =  2 5cos 5 OA OBOA OB OA OB ⋅⋅ = =      5sin 5OA OB⋅ =  1 1 5 15sin 5 3 52 2 5 2OABS OA OB OA OB∆ = ⋅ = × × × =    1cos( )4 3 πβ − = 4sin( ) 5 β α+ = π0 π2 α β< < < < （1）求 的值； （2）求 的值. 【答案】（1） （2） 【解析】（1）根据题意，由 ，求解 ，注意角的范 围，可求得 值，再根据 运用两角和正切公式，即可求解； （2）由题意，配凑组合角 ，运用两角差余弦公式，即可 求解. 【详解】 （1）∵ ，∴ ， ∵ ，∴ ， ∴ ， ， （2）∵ ， ∴ ， ， ∵ ， ， ∴ ， ， ∴ tan β cos( )4 πα + 9 4 2 7 +− 8 2 3 15 − 1cos( )4 3 πβ − = 2 2sin 4 3 πβ − =   tan 4 πβ −   4 4 π πβ β = − +   ( )4 4 π πα α β β   + = + − −       2 π β π< < 3 4 4 4 π π πβ< − < 1cos 4 3 πβ − =   2 2sin 4 3 πβ − =   sin 4tan 2 24 cos 4 πβπβ πβ  −    − = =     −   tan tan4 4tan tan 4 4 1 tan tan4 4 π πβπ πβ β π πβ  − +     = − + =       − −   2 2 1 9 4 2 71 2 2 + += = − − π0 π2 α β< < < < 3 4 4 4 π π πβ< − < 3 2 2 π πα β< + < 1cos 4 3 πβ − =   4sin( ) 5 α β+ = 2 2sin 4 3 πβ − =   3cos( ) 5 α β+ = − cos cos ( )4 4 π πα α β β    + = + − −         . 【点睛】 本题考查三角恒等变换中的由弦求切、两角和正切公式、两角差余弦公式，考查配凑组 合角，考查计算能力，属于基础题. 20．已知函数 . （1）若 ，且对任意的 ， 恒成立，求实数 的取值范围； （2）求 ，解关于 的不等式 . 【答案】（1） （2）见解析 【解析】（1）由题意，若 ，则函数关于 对称，根据二次函数 对称性，可求 ，代入化简得 在 上恒成立，由 ，知当 为最小值，根据恒成立思想，令最小值 ，即可求解； （2）根据题意，由 ，化简一元二次不等式为 ，讨论参数范 围，写出解集即可. 【详解】 解：（1）若 ，所以函数对称轴 ， . ，即 在 恒成立， 即 在 上恒成立 所以 ，又 ，故 （2） ，所以 ； 原不等式变为 ， 因为 ，所以 . cos( )cos sin( )sin4 4 π πα β β α β β   = + − + + −       3 1 4 2 2 8 2 3 5 3 5 3 15 −= − × + × = 2( ) ( )1 0f x ax bx a= + + > (2 ) (4 )f x f x+ = − [ ], 3x a a∈ + 2( )f x ax≤ a (1) 0f = x ( ) 0f x < 6 6a ≥ (2 ) (4 )f x f x+ = − 3x = 6b a= − 6 1ax ≥ [ ], 3x a a∈ + 0a > x a= 1≥ 0a > 1 ( 1) 0a x xa  − − <   (2 ) (4 )f x f x+ = − 32 bx a = − = 6b a= − 2( )f x ax≤ 2 26 1ax ax ax− + ≤ [ ], 3x a a∈ + 6 1ax ≥ [ ], 3x a a∈ + 26 1a ≥ 0a > 6 6a ≥ (1) 0f = 1b a= − − ( 1)( 1) 0ax x− − < 0a > 1 ( 1) 0a x xa  − − <   所以当 ，即 时，解为 ； 当 时，解集为 ； 当 ，即 时，解为 综上，当 时，不等式的解集为 ； 当 时，不等式的解集为必 ； 当 时，不等式的解隼为 【点睛】 本题考查（1）函数恒成立问题；（2）含参一元二次不等式的解法；考查计算能力，考 查分类讨论思想，属于中等题型. 21．习主席说：“绿水青山就是金山银山”.某地相应号召，投入资金进行生态环境建设， 并以此发展旅游产业，根据规划，2018 年投入 1000 万元，以后每年投入将比上一年减 少 ，本年度当地旅游业收入估计为 500 万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预 计今后的旅游业收入每年会比上一年增加 . （1）设 年内（2018 年为第一年）总投入为 万元，旅游业总收入为 万元，写出 、 的表达式； （2）至少到哪一年，旅游业的总收入才能超过总投入. （参考数据： ， ， ） 【答案】（1） ， ； （2）2022 年 【解析】（1）根据题意，知每年投入资金和旅游业收入是等比数列，根据等比数列的前 n 项和公式，即可求解； （2）根据（1）中解析式，列出不等式 ，令 ，化简不等式，即可 求解. 【详解】 解：（1）2018 年投入为 1000 万元，第 年投入为 万元，所以， 年 内 1 1a < 1a > 1 1xa < < 1a = ∅ 1 1a > 0 1a< < 11 x a < < 0 1a< < 1|1x x a  < <   1a = ∅ 1a > 1| 1x xa  < <   1 5 1 4 n nS nT nS nT lg 2 0.3010= lg3 0.4771= lg5 0.6990= nS = 45000 1 5 n  −      nT = 52000 14 n   −      0n nT S− > 4 5 n x  =    n 111000 1 5 n− × −   n 的总投入为 . 2018 年旅游业收入为 500 万元，第 年旅游业收入为 万元，所以， 年 内的旅游业总收入为 . （2）设至少经讨 年，旅游业的总收入才能超讨总投入，由此得 ， 即 ， 令 ，代入上式得 ， 解得 或 （舍去）， 即 ， 不等式两边取常用对数， ， 即 . ∴ ∴至少到 2022 年，旅游业的总收入才能超过总投入. 【点睛】 本题考查等比数列求和公式，转化法解指数不等式，考查数学建模思想方法，考查计算 21 1 11000 1000 1 1000 1 1000 15 5 5 n nS      = + − + − +⋅⋅⋅+ −           41000 1 5 45000 14 51 5 n n   −         = = −     − n 11500 1 4 n− × +   n 2 11 1 1500 500 1 500 1 500 14 4 4 n nT −     = + + + + +⋅⋅⋅+ +           5500 1 4 52000 15 41 4 n n   −         = = −     − n 0n nT S− > 5 42000 1 5000 1 04 5 n n      − − − >                4 5 n x  =    25 7 2 0x x− + > 2 5x < 1x > 4 2 5 5 n  <   4 2nlg lg5 5 < 2lg lg 2 lg5 2lg 2 15 4.14 lg 4 lg5 3lg 2 1lg 5 n − −> = = ≈− − 5n ≥ 能力，属于中等题型. 22．己知向量 ， ，设函数 ，且 的 图象过点 和点 . （1）当 时，求函数 的最大值和最小值及相应的 的值； （2）将函数 的图象向右平移 个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸 长为原来的 4 倍，纵坐标不变，得到函数 的图象，若 在 有两 个不同的解，求实数 的取值范围. 【答案】（1）最大值为 2，此时 ；最小值为－1，此时 . （2） 【解析】（1）根据向量数量积坐标公式，列出函数 ， 再根据函数图像过定点，求解函数解析式，当 时，解出 的范围，根 据三角函数性质，可求最值； （2）根据三角函数平移伸缩变换，写出 解析式，画出 在 上 的图象，根据图像即可求解参数取值范围. 【详解】 解：（1）由题意知 . 根据 的图象过点 和 ，得到 ， 解得 ， . 当 时， ， ， 最大值为 2，此时 ， 最小值为－1，此时 . （2）将函数 的图象向右平移一个单位 ( ),cos2a m x= ( )sin 2 ,b x n= ( )f x a b= ⋅  ( )y f x= ( , 3)12 π 2( , 2)3 π − 6 3x π π− ≤ ≤ ( )y f x= x ( )y f x= 4 π ( )y g x= ( )g x m= [ ]0,2π m 6x π= 6x π= − 3 2m≤ < ( ) sin 2 cos2f x a b m x n x= ⋅ = +  6 3x π π− ≤ ≤ 2 6x π+ ( )y g x= ( )y g x= [ ]0,2π ( ) sin 2 cos2f x a b m x n x= ⋅ = +  ( )y f x= , 312 π     2 , 23 π −   3 sin cos6 6 4 42 sin cos3 3 m n m n π π π π  = + − = + 3m = 1n = ( ) 3sin 2 cos2 2sin 2 6f x a b x x x π = ⋅ = + = +     6 3x π π− ≤ ≤ 526 6 6x π π π− ≤ + ≤ 1 2sin 2 26x π − ≤ + ≤   ( )f x 6x π= ( )f x 6x π= − ( )y f x= 得 ， 再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的 4 倍，纵坐标不变，得 令 ， ，如图当 时， 在 有两个不同的解 ∴ ，即 . 【点睛】 本题考查（1）三角函数最值问题（2）三角函数的平移伸缩变换，考查计算能力，考查 转化与化归思想，考查数形结合思想，属于中等题型. 23．设 和 是两个等差数列，记 （ ），其中 表示 ， ， 这 个数中最大的数.已知 为数列 的前 项和， ， . （1）求数列 的通项公式； （2）若 ，求 ， ， 的值，并求数列 的通项公式； （3）求数列 前 项和 . 【答案】（1） ；（2） ， ， ， ；（3） 【解析】（1）根据题意，化简 得 ，运用已 知 求 公式，即可求解通项公式； 2sin 2 2sin 24 6 3y x x π π π    = − + = −         ( ) 2sin 2 3 xg x π = −   2 3 xt π= − 2,3 3t π π ∈ −   3 sin 12 t≤ < ( )g x m= [ ]0,2π 3 2sin 22 3 x π ≤ − <   3 2m≤ < { }na { }nb { }1 1 2 2max , , ,n n nc a b n a b n a b n= − − ⋅⋅⋅ − 1,2,3n = ⋅⋅⋅ { }1 2max , , sx x x⋅⋅⋅ 1x 2x sx⋅⋅ s nS { }na n 0na > 1 2 n n aS += { }na 1 2 n n ab += 1c 2c 3c { }nc { }12 na nc +⋅ n nT 2 1na n= − 1 0c = 2c = 1− 3c = 2− nc = 1 n− (4 3 )4 16 9 n n nT − −= 1 2 n n aS += 2 21 2 1 2 4 n n n n a a aS + + + = =   nS na （2）根据题意，写出 通项，根据 定义，令 ，可求解 ， ， 的值，再判断 单调递减，可求数列 的通项公式； （3）由（1）（2）的数列 、 的通项公式，代入数列 中，运用错位 相减法求和. 【详解】 （1）∵ ，∴ ， 当 时， ，化简得 ，∴ ， 当 时， ， ， ∵ ，∴ ， ∴ 是首项为 1，公差为 2 的等差数列， ∴ . （2） ， ， ， 当 时， ， ∴ 单调递减， 所以 . （3） 作差，得 nb nc 1, 2, 3n n n= = = 1c 2c 3c k ka nb− { }nc { }na { }nc { }12 na nc +⋅ 1 2 n n aS += 2 21 2 1 2 4 n n n n a a aS + + + = =   1n = 2 2 1 1 1 1 1 1 2 1 2 4 a a aa S + + + = = =   2 1 12 1 0a a− + = 1 1a = 2n ≥ 2 2 1 1 1 2 1 2 1 4 4 n n n n n n n a a a aa S S − − − + + + += − = − ( )( )2 2 1 1 1 12 2 2 0n n n n n n n na a a a a a a a− − − −− − − = + − − = 0na > 1 2n na a −− = { }na 1 2( 1) 2 1na n n= + − = − 1 2 n n ab n += = 1 1 1 0c a b= − = { }2 1 1 2 2max 2 , 2c a b a b= − − max{1 2 1,3 2 2} 1= − × − × = − { }3 1 1 2 2 3 3max 3 , 3 , 3c a b a b a b= − − − max{1 3 1,3 3 2,5 3 3} 2= − × − × − × = − 3n ≥ ( )1 1 2 0k k k ka nb a nb n+ +− − − = − < k ka nb− { }1 1 2 2max , , ,n n nc a b n a b n a b n= − − − 1 1 1a b n n= − = − 1 22 (1 ) 2 (1 ) 4na n n nc n n+⋅ = − ⋅ = − ⋅ 1 2 3(1 1) 4 (1 2) 4 (1 3) 4 (1 ) 4n nT n= − × + − × + − × +⋅⋅⋅+ − × [ ]2 3 14 (1 1) 4 (1 2) 4 1 ( 1) 4 (1 ) 4n n nT n n += − × + − × + + − − × + − × 【点睛】 本题考查（1）已知 求 公式；（2）数列的单调性；（3）错位相减法求和；考查 计算能力，考查分析问题解决问题的能力，综合性较强，有一定难度. ( )2 3 1(1 4) 4 4 4 (1 )4n n nT n +− = − + +⋅⋅⋅+ − − 1 116 4 (4 3 )4 16(1 )41 4 3 n n n nn + +− − −= − − = −− (4 3 )4 16 9 n n nT − −= nS na