2018届二轮复习集合与简易逻辑与数学文化学案（全国通用）
一．考场传真
1. 【2017课表1，文1】已知集合A=，B=，则
A．AB= B．AB
C．AB D．AB=R
【答案】A
【解析】
2．【2017课标II，文1】设集合则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意，故选A.学科&网
3．【2017课标3，文1】已知集合A={1,2,3,4}，B={2,4,6,8}，则中元素的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】由题意可得： ，中元素的个数为2，所以选B.
4．【2017天津，文2】设，则“”是“”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
【答案】
5．【2017山东，文5】已知命题p：;命题q：若,则a
b>c，则a+b>c”是假命题的一组整数a,b,c
的值依次为______________________________．
【答案】-1，-2，-3（答案不唯一）
【解析】相矛盾，所以验证是假命题. 学科&网
7．【2017浙江，11】我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积， ．
【答案】
【解析】
二．高考研究
【考纲解读】
1.考纲要求
1．了解集合的含义，元素与集合的属于关系，能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法、描述法）描述不同的具体问题.了解“若则”形式的逆命题，否命题和逆否命题，会分析四种命题的相互关系.了解逻辑联接词“或”、“且”、“非”的含义.
2．理解集合之间的包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，在具体情境中，了解全集与空集的含义.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集. 理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集. 能使用韦恩（Venn）图表达集合的关系与运算. 理解命题的概念.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义.理解全称量词和存在量词的意义.
3.体会数学语言的简洁性与明确性，发展运用数学语言交流问题的能力.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.体会分类讨论思想、数形结合思想、函数方程思想等数学思想在解题中的运用.
4．解决问题的创新题常分三步：①信息提取，确定划归方向；②对所提取的信息进行加工，探求解决方法；③将涉及到的知识进行转换，有效地输出，其中信息的提取与划归是解题的关键，也是解题的难点.
5．增加中华优秀传统文化的考核内容，积极培育和践行社会主义核心价值观，充分发挥高考命题的育人功能和积极导向作用.能力要求：经命题专家精细加工，再渗透现代数学思想和方法；在内涵方面，增加了基础性、综合性、应用性、创新性的要求.
2.命题规律
从近几年高考题来看，集合的运算考查比较频繁，新课标用韦恩图表达集合的关系与运算，集合在高考中主要考查三方面内容:一是考查集合的概念、集合间的关系;二是考查集合的运算和集合语言的运用,常以集合为载体考查函数、不等式、解析几何等知识;三是以创新题型的形式考查考生分析、解决集合问题的能力. 常用逻辑用语的考查一般以一个选择题或一个填空题的形式出现，以集合、函数、数列、三角函数、不等式及立体几何中的线面关系为载体，考查充要条件或命题的真假判断等，难度一般不大，对数学文化应结合教材内容学习，特别是教材中渗透数学文化的内容要充分重视，重点研究；结合近年新课标试题中出现的与数学文化有关的试题进行学习，重点关注题源、考法命题形式．
3．学法导航
1.活用“定义法”解题，重视“数形结合”
涉及本单元知识点的高考题，综合性大题不多，所以在复习中不宜做过多过高的要求，只要灵活掌握小型综合题型就可以了.
定义是一切法则和性质的基础，是解题的基本出发点，注意方法的选择,抽象到直观的转化.
2．有意识地在各模块复习中渗透数学思维方法
数学是理性思维的学科，高考尤其强调“全卷要贯穿思维能力的考查”简易逻辑用于可以和各章融合命题,正是这一理性思维的体现，学生只有在思维能力上有所提高才能让数学学习有一个质的飞跃。但思维的培养不是一朝一夕的，因此，在第一轮各模块的复习中应尽量加强学生思维能力方面的培养
3．夯实基础的同时加大信息量高考资源网
夯实双基是提高数学能力的必要条件，只有对数学基础知识和数学规律、性质有一定的了解才谈得上思维能力的开拓，因此必须注重数学基础的学习。同时，对于有能力的学生，加大信息量，在教材之外，适当的把一些数学思想，以及与高中数学相关的部分高等数学内容和思想方法进行适当的渗透，都有助其解决问题.
一．基础知识整合
基础知识：
1．集合
(1)集合的运算性质：并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A．
交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B．
补集的性质：A∪(CUA)＝U；A∩(CUA)＝∅；CU(CUA)＝A．
子集的性质：①A∪B＝A⇔B⊆A；②A∩B＝B⇔B⊆A；③A⊆B⇔∁UA⊇∁UB.
集合运算中的常用结论:；
；；(2)子集、真子集个数计算公式
对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n,2n－1,2n－1,2n－2.
(3)集合运算中的常用方法
若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解；若已知的集合是点集，用数形结合法求解；若已知的集合是抽象集合，用Venn图求解．
2．四种命题及其相互关系
(1)
(2) 互为逆否的两个命题是等价的．即原命题为真，它的逆命题不一定为真．原命题为真，它的否命题不一定为真．原命题为真，它的逆否命题一定为真．
3．含有逻辑联结词的命题的真假
(1)命题p∨q：若p，q中至少有一个为真，则命题为真命题，简记为：一真则真．
(2)命题p∧q：若p，q中至少有一个为假，则命题为假命题，p，q同为真时，命题才为真命题，简记为：一假则假，同真则真．
(3)命题：与命题p真假相反．
4．全称命题、特称(存在性)命题及其否定
(1)全称命题p：∀x∈M，p(x)，其否定为特称(存在性)命题：∃x0∈M， (x0)．
(2)特称(存在性)命题p：∃x0∈M，p(x0)，其否定为全称命题：∀x∈M， (x)．
常见结论的否定形式
原结论
否定形式
原结论
否定形式
是
不是
至少有一个
一个也没有
都是[来源:学_科_网Z_X_X_K]
不都是
至多有一个
至少有二个
大于
不大于
至少有个
至多有-1个
小于
不小于
至多有个
至少有+1个
或
且
对所有成立
存在某不成立
且
或
对任何不成立
存在某成立
5．充分条件与必要条件的三种判定方法
(1)定义法：正、反方向推理，若p⇒q，则p是q的充分条件(或q是p的必要条件)；若p⇒q，且q⇏p，则p是q的充分不必要条件(或q是p的必要不充分条件)．
(2)集合法：利用集合间的包含关系．例如，若A⊆B，则A是B的充分条件(B是A的必要条件)；若A＝B，则A是B的充要条件．
(3)等价法：将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题．
二．高频考点突破
考点1 集合的概念与运算
【例1】已知集合，则等于（ ）
A． B． C． D．
分析：本题考查集合的运算性质和应用．根据集合和集合之间的关系，然后根据交集的定义进行求解即可．
【答案】B
【解析】
所以，选B.
【规律方法】1.解决集合问题的一般思路:(1)研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性，对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性．(2)对于集合相等首先要分析已知元素与另一个集合中哪一个元素相等，分几种情况列出方程(组)进行求解，要注意检验是否满足互异性．
2.判断两集合的关系常有两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．
3．已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常需要合理利用数轴、Venn图帮助分析．
4.[注意] 当题目中有条件B⊆A时，不要忽略B＝∅的情况！
5.集合的基本运算应把握：
(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．
(2)对集合化简．有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．
(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．
【举一反三】
【2018陕西西安长安区联考】若，则，就称是伙伴关系集合，集合的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是（ ）
A. 31 B. 7 C. 3 D. 1
【答案】B
考点2 四种命题的关系
【例2】三个学生参加了一次考试，的得分均为70分，的得分为65分．已知命题若及格分低于70分，则都没有及格．在下列四个命题中，为的逆否命题的是（ ）
A．若及格分不低于70分，则都及格 B．若都及格，则及格分不低于70分
C．若至少有一人及格，则及格分不低于70分 D．若至少有一人及格，则及格分高于70分
【答案】C
【规律方法】四种命题的定义和区别，主要在于命题的结论和条件的变化上；由于互为逆否命题的两个命题是等价的，所以我们在证明一个命题的真假时，可以通过其逆否命题的证明来达到目的.适合这种处理方法的题型有：①原命题含有否定词“不”、“不能”、“不是”等；②原命题含有“所有的”、“任意的”、“至少 ”、“至多”等；③原命题分类复杂，而逆否命题分类简单；④原命题化简复杂，而逆否命题化简简单.
【举一反三】原命题为“三角形ABC中，若cosA <0，则三角形ABC为钝角三角形”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（ ）
A．真，真，真 B. 假，假，真 C．真，真，假 D．真，假，假
【答案】B
【解析】，为钝角，则三角形为钝角三角形，所以原命题为真,则逆否命题也为真.
三角形为钝角三角形，可能是或者为钝角，可能为锐角，.所以逆命题为假,则否命题也为假.故B正确.
考点3 充分条件与必要条件
【例3】【2018东北名校联考】对于实数，若或，则是的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】原命题的逆否命题是：若，则，为真命题，则原命题也为真命题．即，由，但时有，即．故本题答案选．
点睛：本题考查充要条件的判断，若，则是的充分条件，若，则是的必要条件，若，则是的充要条件；从集合的角度看，若，则是的充分条件，若，则是的必要条件，若，则是的充要条件，若是的真子集，则是的充分不必要条件，若是的真子集，则是的必要不充分条件.学科&网
【规律方法】充分条件、必要条件常用判断法：
1、 定义法：判断是的什么条件，实际上就是判断或是否成立，只要把题目中所给条件按照逻辑关系画出箭头示意图，再利用定义即可判断．
若,则是的充分条件．
若 ,则是的必要条件．
若 ,则是的充要条件．
若且，则是的既不充分也不必要条件．[来源:Z#xx#k.Com]
2、转换法：当所给命题的充要条件不易判断时，可对命题进行等价转换，例如改用其逆否命题进行判断．
3、集合法：在命题的条件和结论间的关系判断有困难时，有时可以从集合的角度来考虑，记条件、所对应的集合分别为、，则：
若,则是的充分条件．若,则是的充分不必要条件．[来源:学|科|网Z|X|X|K]
若,则是的必要条件．若A,则是的必要不充分条件．
若=, 则是的充要条件．若, 且则是的既不充分也不必要条件．
【举一反三】 “”是“”的（ ）
A．充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】，故正确答案是分不必要条件，故选B.
考点4 全称命题与特称命题
【例4】已知命题：，，，则是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】C
【规律方法】 有关全(特)称命题问题的解题策略．
(1)判断全(特)称命题真假时，要注意假命题时只需举出一个反例否定即可，而真命题必须保证对限定的集合中每一个元素都成立．
(2)写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到其量词的位置及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论．
【举一反三】
1.已知命题：，则为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】为，选D.
考点5集合中的创新问题
【例5】若x∈A，则∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M＝的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( )
A．1 B．3 C．7 D．31
分析:抓住新定义的特点，“若，则”，从而得出具有伙伴关系集合的元素特点，进而研究由这些特殊元素组成的集合的元素个数．
【规律方法】与集合有关的新概念问题属于信息迁移类问题，它是化归思想的具体运用，集合的新定义问题的解决方法是：
①遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质.
②按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.
③对于选择题，可以结合选项通过验证，用排除、对比、特值等方法求解.
【举一反三】
1. 【河北省衡水中学2018届测试】用表示非空集合中的元素个数，定义，若，且，设实数的所有可能取值集合是，则（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】B
2. 对于非空实数集A，记A*＝{y|∀x∈A，y≥x}．设非空实数集合M、P满足：M⊆P，且若x＞1，则x∉P.现给出以下命题：
①对于任意给定符合题设条件的集合M、P，必有P*⊆M*；
②对于任意给定符合题设条件的集合M、P，必有M*∩P≠Ø；
③对于任意给定符合题设条件的集合M、P，必有M∩P*＝Ø；
④对于任意给定符合题设条件的集合M、P，必存在常数a，使得对任意的b∈M*，恒有a＋b∈P*，其中正确的命题是( )
A．①③ B．③④ C．①④ D．②③
【答案】C
【解析】对于②，假设，则，则，因此②错误；对于③，假设，则，又，则，因此③也错误，而①和④都是正确的，故选C.[来源:学科网]
考点6 数学文化
【例6】【2018百校联盟联考】我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其重量为，现将该金杖截成长度相等的10段，记第段的重量为，且，若，则（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】C
【方法点睛】本题主要考查阅读能力、等差数列的通项公式、等差数列的前 项和公式以及转化与划归思想，属于中档题.等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等差数列的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程.
【规律方法】认真阅读试题，理解试题含义，看清题意本质，了解试题考查的知识，利用所学知识进行解题，.
【举一反三】
1．【辽宁省沈阳市2018年质监】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中提到了一种名为“刍甍”的五面体（如图）面为矩形，棱.若此几何体中， ， 和都是边长为的等边三角形，则此几何体的表面积为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】过F作FO⊥平面ABCD，垂足为O，取BC的中点P，连结PF，过F作FQ⊥AB，垂足为Q，连结OQ．
∵△ADE和△BCF都是边长为2的等边三角形，∴OP=（AB﹣EF）=1，PF=，OQ=BC=1，
∴OF==，FQ==，∴S梯形EFBA=S梯形EFCB=
=3，
又S△BCF=S△ADE==，S矩形ABCD=4×2=8，∴几何体的表面积S==8+8．
故选：B．
1. 已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解，即，得.故.表示函数的值域，因为，所以，所以，即.故.故选C．
押题依据 集合的运算在历年高考中的地位都很重要，已成为送分必考试题．集合的运算常与不等式(特别是一元一次不等式、一元二次不等式)的求解、函数的定义域、函数的值域等知识相交汇．
2. 已知数列，满足 ，则“数列为等差数列”是“数列为等差数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
押题依据 充分、必要条件的判定一直是高考考查的重点，该类问题必须以其他知识为载体，综合考查数学概念．
3. 已知命题：命题“”的否定是“”；命题：在中，角的对边分别为，则“”是“”的充要条件，则下列命题为真命题的是
(A) (B) (C) (D)
【答案】A
【解析】对于命题命题“”的否定是，故为假命题；对于命题由正弦定理得，，故，故为真命题，所以为真，选A.
押题依据 常用逻辑用语中命题真假的判断、充要条件、全称量词、存在量词及逻辑联结词是数学学习的重要工具，也是高考考查的热点问题．
4. 原命题：“，为两个实数，若，则，中至少有一个不小于1”，下列说法错误的是
（A）逆命题为：若，中至少有一个不小于1则，为假命题
（B）否命题为：若则，都小于1 ，为假命题
（C）逆否命题为：若，都小于1则 ，为真命题
（D）“”是“，中至少有一个不小于1”的必要不充分条件
【答案】D
押题依据 常用逻辑用语中命题真假的判断、充要条件、全称量词、存在量词及逻辑联结词是数学学习的重要工具，也是高考考查的热点问题．
5. 我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金箠由粗到细的重量是均匀变化的，问原有的金箠的重量为
（A） 6 斤 （B） 14斤 （C） 15斤 （D） 20 斤
【答案】C源:Z&xx&k.Com]
【解析】由题意得每段重量构成等差数列，且，所以5段重量之和为,故原有的金箠的重量为15斤.
押题依据 近年增加对数学文化的考查，能充分发挥高考命题的育人功能和积极导向作用，渗透现代数学思想和方法；在内涵方面，增加了基础性、综合性、应用性、创新性的要求，故押此题.
