2019-2020学年湖北省荆州中学高一上学期期末数学试题（解析版）

2019-2020学年湖北省荆州中学高一上学期期末数学试题（解析版）

‎2019-2020学年湖北省荆州中学高一上学期期末数学试题 一、单选题 ‎1．设全集，集合，，则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】，，，所以，故选择C.‎ ‎2．下列函数与是相同函数的是( )‎ A．， B．；‎ C．； D．；‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，这两个函数是同一函数，进行判断即可.‎ ‎【详解】‎ 解：对于A，，对应关系不同，不是同一函数； 对于B，的定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一函数； 对于C，定义域相同，对应关系也相同，是同一函数； 对于D，的定义域为，的定义域为或，定义域不同，不是同一函数， 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了判断两个函数是否为同一函数的问题，解题时应判断它们的定义域是否相同，对应关系是否也相同，是基础题.‎ ‎3．已知函数在区间上是单调函数,则实数k的取值范围是 A． B． C．​ D．​​‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据二次函数的单调性，先求出的对称轴，即可得到的单调区间。要使在区间上是单调函数，即分别是两个单调区间的子集，再根据子集成立的条件求出k的取值范围。‎ ‎【详解】‎ 二次函数的对称轴为，开口朝上，‎ 在上单调递减，在上单调递增。‎ 要使在区间上是单调函数：‎ 若单调递减，则；‎ 若单调递增，则。‎ 即实数k的取值范围是。‎ 故选：A。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了已知单调性求参数的取值范围，遇到含参函数可以先把含有参数的单调区间表示出来，再去判断单调区间与已知或所求区间之间的关系即可。本题属于中等题。‎ ‎4．设函数的定义域是，则函数的定义域为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】先求出，再求的定义域.‎ ‎【详解】‎ 解：由函数的定义域是得，‎ ‎，‎ 则函数中，解得，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抽象函数的定义域，抓住与中的与的范围相同解题，是基础题.‎ ‎5．设是上的偶函数，且在上是减函数，若且，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．与大小不确定 ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：由是上的偶函数，且在上是减函数，所以在上是增函数，因为且，所以，所以，又因为，所以，故选A.‎ ‎【考点】函数奇偶性与单调性的综合应用.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的综合应用，其中解答中涉及函数的单调性和函数奇偶性的应用等知识点，本题的解答中先利用偶函数的图象的对称性得出在上是增函数，然后在利用题设条案件把自变量转化到区间上是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用，试题有一定的难度，属于中档试题.‎ ‎6．已知向量与的夹角为，则在方向上的投影为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：投影为.‎ ‎【考点】向量概念及运算．‎ ‎7．已知，则函数与函数的图象可能是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】条件化为，然后由的图象 确定范围，再确定是否相符．‎ ‎【详解】‎ ‎，即.‎ ‎∵函数为指数函数且的定义域为，函数为对数函数且的定义域为，A中，没有函数的定义域为，∴A错误；B中，由图象知指数函数单调递增，即，单调递增，即，可能为1，∴B正确；C中，由图象知指数函数单调递减，即，单调递增，即，不可能为1，∴C错误；D中，由图象知指数函数单调递增，即，单调递减，即，不可能为1，∴D错误．‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查指数函数与对数函数的图象与性质，确定这两个的图象与性质是解题关键．‎ ‎8．已知函数的定义域为，若成立，则实数的取值范围为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先判断的奇偶性，进而方便得出在上的单调性，利用单调性列不等式组求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎，故是奇函数，‎ 又在上单调递增，且在定义域上是连续函数，‎ 则在上单调递增，‎ ‎，解得：，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的奇偶性，单调性，利用性质把不等式转化为关于的不等式组是解决问题的关键，属基础题.‎ ‎9．定义集合的商集运算为，已知集合，，则集合中的元素个数为( )‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎【答案】B ‎【解析】求出，从而求出，进而可得，由此能求出集合元素的个数.‎ ‎【详解】‎ 解：∵集合的商集运算为 ‎， 集合，， ∴， ∴. ∴集合元素的个数为6个. 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查新定义集合中元素的求解，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.‎ ‎10．将函数的周期扩大到原来的2倍，再将函数图象左移，得到图象对应解析式是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】直接利用函数图象的与平移变换求出函数图象对应解析式．‎ ‎【详解】‎ 解：将函数y＝5sin（﹣3x）的周期扩大为原来的2倍，‎ 得到函数y＝5sin（x），再将函数图象左移，‎ 得到函数y＝5sin[（x）]＝5sin（）＝5sin（）‎ 故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换，属于基础题.‎ ‎11．在中，下列命题正确的个数是（ ）‎ ‎①；②；③点为的内心，且，则为等腰三角形；④，则为锐角三角形．‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用向量的定义和运算法则逐一考查所给的命题是否正确即可得到正确命题的个数.‎ ‎【详解】‎ 逐一考查所给的命题：‎ ‎①由向量的减法法则可知：，题中的说法错误；‎ ‎②由向量加法的三角形法则可得：，题中的说法正确；‎ ‎③因为，‎ 即；‎ 又因为，‎ 所以，‎ 即，‎ 所以△ABC是等腰三角形.题中的说法正确；‎ ‎④若，则，据此可知为锐角，无法确定为锐角三角形，题中的说法错误．‎ 综上可得，正确的命题个数为2.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查平面向量的加法法则、减法法则、平面向量数量积的应用，由平面向量确定三角形形状的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎12．已知函数，若函数的所有零点依次记为，且，则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】函数的所有零点，转化为函数与 的交点问题，求出函数的对称轴，根据的对称性得出任意两相邻两零点的和，从而得出答案.‎ ‎【详解】‎ 令得函数对称轴为，‎ ‎∵的最小正周期为，‎ 当时，第一条对称轴为，当时，可得，‎ ‎∴在有11条对称轴，函与有11个交点，‎ 与关于对称，与关于对称，……，与关于对称，即，，……，，‎ ‎.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了正弦函数的图象与性质，函数对称性的应用，属于中档题.‎ 二、填空题 ‎13．已知函数f（x）=x5+ax3+bx-6，且f（-2）=10，则f（2）= ______ ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，且，即，整理得，，∴，故答案为.‎ ‎14．如图，扇面是中国画一种常见的表现形式，某班级想用布料制作一面圆心角为120°的扇面.若扇面的外圆半径为，内圆半径为，则制作这面扇形需要的布料为______.（用数字作答，取3.14）‎ ‎【答案】2198‎ ‎【解析】由扇形的面积公式，可得制作这样一面扇面需要的布料.‎ ‎【详解】‎ 解：由扇形的面积公式，可得制作这样一面扇面需要的布料为：‎ ‎，‎ 故答案为：2198.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查实际问题转化为扇形面积公式的应用，是基础题.‎ ‎15．在中，，，. 若，，且，则的值为______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 ,则 ‎.‎ ‎【考点】向量的数量积 ‎【名师点睛】根据平面向量的基本定理，利用表示平面向量的一组基地可以表示平面内的任一向量，利用向量的定比分点公式表示向量，计算数量积，选取基地很重要，本题的已知模和夹角，选作基地易于计算数量积.‎ ‎16．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若，，则实数的取值范围为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】当时， ‎ 所以根据奇函数作函数图，由图得 ‎ 三、解答题 ‎17．（1）已知角的终边经过点，且，求和的值.‎ ‎（2）已知，，且，求角.‎ ‎【答案】（1），（2）‎ ‎【解析】（1）利用三角函数的定义，列方程求出，进而根据定义可得和的值；‎ ‎（2）先通过，求出，，在利用通过两角差的余弦公式展开求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1），‎ ‎∴‎ ‎∴，；‎ ‎（2）由，，得，‎ 由,，得，‎ 得，‎ 所以 ‎，‎ 又，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数的定义，以及两角和与差的余弦公式，其中是关键，是基础题.‎ ‎18．已知函数是定义在上的奇函数.‎ ‎（1）求的解析式及值域；‎ ‎（2）判断在上的单调性，并说明理由.‎ ‎【答案】（1）；值域为. （2）函数在上是增函数 见解析 ‎【解析】（1）根据题意，由奇函数的性质可得，解可得的值，验证可得的值，由指数函数的性质分析可的，则，进而可得函数的值域； （2）任取，，由作差法分析可得结论.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意可知得，故，‎ 所以；经检验符合题意. ‎ 由，所以，，‎ 即的值域为； ‎ ‎（2）任取，且，，‎ ‎，则，‎ 又，‎ 所以函数在上是增函数.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数单调性的证明，关键求出的值.‎ ‎19．已知函数 ‎0‎ ‎（1）填表并在坐标系中用“五点法”画出函数在一个固期上的图象：‎ ‎（2）求的对称轴与对称中心；‎ ‎（3）求在区间上的最大值和最小值以及对应的值.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）对称轴为：.对称中心为： （3）时，.时，‎ ‎【解析】（1）用五点法，列表，描点，连线，作函数在一个周期上的简图； （2）令，可得对称轴，令，可得对称中心； （3）根据，得到，由三角函数性质可得最值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）列表 ‎0‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎；‎ ‎（2）令，即对称轴为：； ‎ 令，即对称中心为：；‎ ‎（3）当时，令，‎ 当，即时，；‎ 当，即时，.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查用五点法作函数在一个周期上的简图，以及函数的对称性和最值，属于基础题.‎ ‎20．已知为坐标原点，，，.‎ ‎（1）求函数在上的单调增区间；‎ ‎（2）当时，若方程有根，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）单调增区间为， （2）‎ ‎【解析】（1）通过向量的坐标运算求出，通过三角公式整理化简，然后可求得其单调区间；‎ ‎（2）将方程有根转化为在上有解，求出在上的值域即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ ‎，‎ 则此函数单调增区间：，‎ ‎，‎ 设，，‎ 则，‎ 所以函数在上的单调增区间为，；‎ ‎（2）当时，若方程有根，‎ 所以在上有解，‎ 由，得，‎ 所以，则，‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数恒等变形，三角函数的性质，是基础题.‎ ‎21．某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商品一种小物品的销售情况的调查发现：该小物品在过去的一个月内（以30天计）每件的销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系近似满足（为正常数），日销售量（单位：件）与时间（单位：天）的部分数据如下表所示：‎ ‎/天 ‎10‎ ‎20‎ ‎25‎ ‎30‎ ‎/件 ‎110‎ ‎120‎ ‎125‎ ‎120‎ 已知第10天的日销售收入为121元.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）给出以下四种函数模型：①，②，③，④.请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述日销售量（单位：件）与时间（单位：天）的变化关系，并求出该函数的解析式.‎ ‎（3）求该小物品的日销售收入（单位：元）的最小值.‎ ‎【答案】（1） （2）选②（3）.‎ ‎【解析】（1）由列方程求解即可；‎ ‎（2）由表中的数据知，当时间变化时，日销售量有增有减并不单调，故只能选②，从表中任意取两组值代入解析式可求得结果；‎ ‎（3）由（2）可得 ‎，分段求其最值即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）依题意知第10天的日销售收入为，得； ‎ ‎（2）由表中的数据知，当时间变化时，日销售量有增有减并不单调，故只能选②，‎ ‎，‎ 从表中任意取两组值代入可得，，解得，‎ ‎； ‎ ‎（3）由（2）知，‎ 所以，‎ 当时，在上是减函数，在是增函数，‎ 所以. ‎ 当时，为减函数，‎ 所以.‎ 综上所述，当时，取得最小值，.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数模型的建立，考查函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.‎ ‎22．已知函数f(x)＝ .‎ ‎(1)求函数f(x)的定义域和值域；‎ ‎(2)设F(x)＝m＋f(x)，求函数F(x)的最大值的表达式g(m)．‎ ‎【答案】（1）[，2]；（2）g(m)＝ .‎ ‎【解析】(1)由 解不等式可得函数的定义域，先求得，结合，可得，结合即可得到函数的值域； (2) 令， 可得，根据二次函数的图象和性质，利用分类讨论思想即可得到结论.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)要使函数f(x)有意义，需满足 得－1≤x≤1.‎ 故函数f(x)的定义域是{x|－1≤x≤1}．‎ ‎∵[f(x)]2＝2＋2 ，且0≤≤1，‎ ‎∴2≤[f(x)]2≤4，又∵f(x)≥0，‎ ‎∴≤f(x)≤2，‎ 即函数f(x)的值域为[，2]．‎ ‎(2)令f(x)＝t，则t2＝2＋2，‎ 则＝t2－1，‎ 故F(x)＝m(t2－1)＋t ‎＝mt2＋t－m，t∈[，2]，‎ 令h(t)＝mt2＋t－m，‎ 则函数h(t)的图像的对称轴方程为t＝－.‎ ‎①当m>0时，－ <0，函数y＝h(t)在区间[，2]上递增，‎ ‎∴g(m)＝h(2)＝m＋2.‎ ‎②当m＝0时，h(t)＝t，g(m)＝2；‎ ‎③当m<0时，－ >0，若0<－≤，‎ 即m≤－时，函数y＝h(t)在区间[，2]上递减，‎ ‎∴g(m)＝h()＝，‎ 若<－≤2，即－2，即－

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