2020届二轮复习二项式定理教案（全国通用）

2020届二轮复习二项式定理教案（全国通用）

二项式定理 模块框架 高考要求 要求层次 重难点 二项式定理 用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题 B 二项式定理 ‎① 能用计数原理证明二项式定理．‎ ‎② 会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．‎ 知识内容 ‎1．二项式定理 ‎⑴二项式定理 这个公式表示的定理叫做二项式定理．‎ ‎⑵二项式系数、二项式的通项 叫做的二项展开式，其中的系数叫做二项式系数，式中的叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：． ‎ ‎⑶二项式展开式的各项幂指数 二项式的展开式项数为项，各项的幂指数状况是 ‎①各项的次数都等于二项式的幂指数．‎ ‎②字母的按降幂排列，从第一项开始，次数由逐项减1直到零，字母按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到．‎ ‎⑷几点注意 ‎①通项是的展开式的第项，这里．‎ ‎②二项式的项和的展开式的第项是有区别的，应用二项式定理时，其中的和是不能随便交换的．‎ ‎③注意二项式系数（）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负．‎ ‎④通项公式是这个标准形式下而言的，如的二项展开式的通项公式是（只须把看成代入二项式定理）这与是不同的，在这里对应项的二项式系数是相等的都是，但项的系数一个是，一个是，可看出，二项式系数与项的系数是不同的概念．‎ ‎⑤设，则得公式：． ‎ ‎⑥通项是中含有五个元素，‎ 只要知道其中四个即可求第五个元素．‎ ‎⑦当不是很大，比较小时可以用展开式的前几项求的近似值．‎ ‎2．二项式系数的性质 ‎⑴杨辉三角形：‎ 对于是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也可以直接用杨辉三角计算．‎ 杨辉三角有如下规律：“左、右两边斜行各数都是1．其余各数都等于它肩上两个数字的和．”‎ ‎⑵二项式系数的性质：‎ 展开式的二项式系数是：，从函数的角度看可以看成是为自变量的函数，其定义域是：．‎ 当时，的图象为下图：‎ 这样我们利用“杨辉三角”和时的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质．‎ ‎①对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．‎ 事实上，这一性质可直接由公式得到．‎ ‎②增减性与最大值 如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；‎ 如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大．‎ 由于展开式各项的二项式系数顺次是 ‎，‎ ‎，．．．，‎ ‎，，．．．，‎ ‎．‎ 其中，后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小1的数（如），分母是乘以逐次增大的数（如1，2，3，…）．因为，一个自然数乘以一个大于1的数则变大，而乘以一个小于1的数则变小，从而当依次取1，2，3，…等值时，的值转化为不递增而递减了．又因为与首末两端“等距离”的两项的式系数相等，所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在中间．‎ 当是偶数时，是奇数，展开式共有项，所以展开式有中间一项，并且这一项的二项式系数最大，最大为．‎ 当是奇数时，是偶数，展开式共有项，所以有中间两项．‎ 这两项的二项式系数相等并且最大，最大为．‎ ‎③二项式系数的和为，即．‎ ‎④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即 ‎．‎ 常见题型有：‎ 求展开式的某些特定项、项数、系数，二项式定理的逆用，赋值用，简单的组合数式问题．‎ 典例分析 【例1】 的展开式中的系数是 A． B． C．2 D．4‎ ‎【考点】求展开式中的指定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】选择 ‎【关键字】2018年，全国高考 ‎【解析】中的系数为．‎ ‎【答案】C；‎ 【例2】 若的展开式中的系数是，则 ．‎ ‎【考点】求展开式中的指定项 ‎【难度】2星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】2018，全国高考 ‎【解析】略 ‎【答案】1；‎ 【例3】 若，则的值为（ ）‎ A．270 B．270 C． 90 D．90‎ ‎【考点】求展开式中的指定项 ‎【难度】2星 ‎【题型】选择 ‎【关键字】2018年，宣武2模 ‎【解析】此题考察二项式定理．容易知道．‎ ‎【答案】C 【例1】 的展开式中的系数是_______（用数字作答）．‎ ‎【考点】求展开式中的指定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】2018年，全国高考 ‎【解析】原多项式可化为，所以要求的的系数分两部分：‎ 的常数项与的项系数的积；的项系数与的常数项的积．因此所求的的系数是．‎ ‎【答案】-3；‎ 【例2】 求展开式中含项系数．‎ ‎【考点】求展开式中的指定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】用排列组合的观点求．13个式子相乘，项为：‎ ‎．故所求系数为．‎ ‎【答案】-123‎ 【例3】 的展开式中的系数等于________．（用数字作答）‎ ‎【考点】求展开式中的指定项 ‎【难度】2星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】无 ‎【解析】可以直接将6个式子中的项的系数相加减，然后用组合数的性质来计算．‎ 如果注意到原多项式可化简为，只需要求中项的系数即可，不难算出为．‎ ‎【答案】-20；‎ 【例4】 求展开式中的系数．‎ ‎【考点】求展开式中的指定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】看成6个相乘，每个因式各取一项相乘可得到乘积的一项，‎ 项可由下列几种可能得到．5个因式中取x，一个取1得到．‎ ‎3个因式中取x，一个取，两个取1得到．‎ ‎1个因式中取x，两个取，三个取1得到．‎ 合并同类项为，项的系数为6．‎ ‎【答案】6；‎ 【例1】 的展开式中的系数是_______（用数字作答）．‎ ‎【考点】求展开式中的指定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】2018年全国高考 ‎【解析】原多项式可化为，所以要求的的系数分两部分：‎ 的常数项与的项系数的积；的项系数与的常数项的积．因此所求的的系数是．‎ ‎【答案】-3；‎ 【例2】 若的展开式中的常数项为，则实数___________． ‎ ‎【考点】求展开式中的特定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】2018年，崇文1模 ‎【解析】由二项式定理．令．‎ 于是有．‎ ‎【答案】；‎ 【例3】 在的展开式中，常数项是______．（结果用数值表示）‎ ‎【考点】求展开式中的特定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】2018年，西城2模 ‎【解析】容易知道为所求．‎ ‎【答案】15；‎ 【例4】 如果展开式中，第四项与第六项的系数相等，则 ‎ ‎，展开式中的常数项的值等于 ．‎ ‎【考点】求展开式中的特定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】2018年，朝阳2模 ‎【解析】由题意有；展开式的常数项的值为．‎ ‎【答案】8，70；‎ 【例1】 若的展开式中存在常数项，则的值可以是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【考点】求展开式中的特定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】选择 ‎【关键字】2009年，东城区一模 ‎【解析】通项公式，由题设知存在，‎ 使得，即，因此应是的倍数，只有选项符合要求，验证可知满足要求．‎ ‎【答案】A；‎ 【例2】 若（，为有理数），则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】求展开式中的特定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】选择 ‎【关键字】2009年，北京高考 ‎【解析】．‎ ‎【答案】C；‎ 【例3】 已知的展开式中前三项的系数成等差数列．‎ ‎⑴求的值；‎ ‎⑵求展开式中系数最大的项．‎ ‎【考点】求展开式中的特定项 ‎【难度】4星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】⑴由题设，得，即，解得或 ‎（舍去）．‎ ‎⑵设第项的系数最大，则，即 解得或．‎ 所以系数最大的项为．‎ 【例1】 若展开式的各项系数之和为，则_____，其展开式中的常数项为______．（用数字作答）‎ ‎【考点】赋值求某些项系数的和与差 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】2018年，北京高考 ‎【解析】令得．‎ ‎，于是时，对应常数项．‎ ‎【答案】；‎ 【例2】 证明：能被整除．‎ ‎【考点】证明整除或求余数 ‎【难度】3星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】∵，‎ ‎∴只需证能被2整除．‎ 而能被2整除，‎ 因此能被整除．‎ 【例3】 已知：，求证：，‎ ‎【考点】证明不等式 ‎【难度】3星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】设，，则 ‎．‎