高考文科数学复习：夯基提能作业本 (39)

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第二节　不等式的证明 A组　基础题组 ‎1.已知a>b>c,且a+b+c=0,求证:b‎2‎‎-ac<‎3‎a.‎ ‎2.设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明:‎ ‎(1)ab+bc+ca≤‎1‎‎3‎;‎ ‎(2)a‎2‎b+b‎2‎c+c‎2‎a≥1.‎ ‎3.(2016福建福州模拟)已知函数f(x)=|x+1|.‎ ‎(1)求不等式f(x)<|2x+1|-1的解集M;‎ ‎(2)设a,b∈M,证明: f(ab)>f(a)-f(-b).‎ ‎4.(2016广东肇庆三模)已知a>0,b>0,且a+b=1.‎ ‎(1)求ab的最大值;‎ ‎(2)求证:a+‎‎1‎ab+‎‎1‎b≥‎25‎‎4‎.‎ B组　提升题组 ‎5.(1)已知a,b都是正数,且a≠b,求证:a3+b3>a2b+ab2;‎ ‎(2)已知a,b,c都是正数,求证:a‎2‎b‎2‎‎+b‎2‎c‎2‎+‎c‎2‎a‎2‎a+b+c≥abc.‎ ‎6.在△ABC中,内角A,B,C所对的边的长分别为a,b,c,证明:‎ ‎(1)‎1‎a‎3‎+‎1‎b‎3‎+‎1‎c‎3‎+abc≥2‎3‎;‎ ‎(2)πA+πB+πC≥9.‎ ‎7.已知a是常数,对任意实数x,不等式|x+1|-|2-x|≤a≤|x+1|+|2-x|都成立.‎ ‎(1)求a的值;‎ ‎(2)设m>n>0,求证:2m+‎1‎m‎2‎‎-2mn+‎n‎2‎≥2n+a.‎ 答案全解全析 A组　基础题组 ‎1.解析　要证b‎2‎‎-ac<‎3‎a,只需证b2-ac<3a2.‎ ‎∵a+b+c=0,∴只需证b2+a(a+b)<3a2,‎ 只需证2a2-ab-b2>0,‎ 只需证(a-b)(2a+b)>0,‎ 只需证(a-b)(a-c)>0.‎ ‎∵a>b>c,∴a-b>0,a-c>0.‎ ‎∴(a-b)(a-c)>0显然成立,‎ 故原不等式成立.‎ ‎2.证明　(1)由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,得a2+b2+c2≥ab+bc+ca.‎ 由题设得(a+b+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.‎ 所以3(ab+bc+ca)≤1,‎ 即ab+bc+ca≤‎1‎‎3‎.‎ ‎(2)因为a‎2‎b+b≥2a,b‎2‎c+c≥2b,c‎2‎a+a≥2c,故a‎2‎b+b‎2‎c+c‎2‎a+(a+b+c)≥2(a+b+c),即a‎2‎b+b‎2‎c+c‎2‎a≥a+b+c.‎ 所以a‎2‎b+b‎2‎c+c‎2‎a≥1.‎ ‎3.解析　(1)当x≤-1时,原不等式可化为-x-1<-2x-2,解得x<-1;‎ 当-11,‎ 综上,M={x|x<-1或x>1}.‎ ‎(2)证明:证法一: f(ab)=|ab+1|=|(ab+b)+(1-b)|≥|ab+b|-|1-b|=|b||a+1|-|1-b|.‎ 因为a,b∈M,所以|b|>1,|a+1|>0,‎ 所以f(ab)>|a+1|-|1-b|,‎ 即f(ab)>f(a)-f(-b).‎ 证法二:因为f(a)-f(-b)=|a+1|-|-b+1|≤|a+1-(-b+1)|=|a+b|,‎ 所以要证f(ab)>f(a)-f(-b),‎ 只需证|ab+1|>|a+b|,‎ 即证|ab+1|2>|a+b|2,‎ 即证a2b2+2ab+1>a2+2ab+b2,‎ 即证a2b2-a2-b2+1>0,‎ 即证(a2-1)(b2-1)>0.‎ 因为a,b∈M,所以a2>1,b2>1,‎ 所以(a2-1)(b2-1)>0成立,‎ 所以原不等式成立.‎ ‎4.解析　(1)∵a>0,b>0,且a+b=1,‎ ‎∴ab≤a+b‎2‎=‎1‎‎2‎,‎ ‎∴ab≤‎1‎‎4‎当且仅当a=b=‎1‎‎2‎时,等号成立,‎ 即ab的最大值为‎1‎‎4‎.‎ ‎(2)证明:证法一:(分析法)‎ 欲证原式,需证4(ab)2+4(a2+b2)-25ab+4≥0,即证4(ab)2-33ab+8≥0,即证ab≤‎1‎‎4‎或ab≥8.‎ ‎∵a>0,b>0,a+b=1,∴ab≥8不可能成立.‎ ‎∵1=a+b≥2ab,∴ab≤‎1‎‎4‎,得证.‎ 证法二:(比较法)‎ ‎∵a+b=1,a>0,b>0,∴a+b≥2ab,‎ ‎∴00.‎ 又因为a≠b,所以(a-b)2>0.‎ 于是(a+b)(a-b)2>0,即(a3+b3)-(a2b+ab2)>0,所以a3+b3>a2b+ab2.‎ ‎(2)因为b2+c2≥2bc,a2>0,所以a2(b2+c2)≥2a2bc.①‎ 同理,b2(a2+c2)≥2ab2c.②‎ c2(a2+b2)≥2abc2.③‎ ‎①②③相加得2(a2b2+b2c2+c2a2)≥2a2bc+2ab2c+2abc2,‎ 从而a2b2+b2c2+c2a2≥abc(a+b+c).‎ 由a,b,c都是正数,得a+b+c>0,因此a‎2‎b‎2‎‎+b‎2‎c‎2‎+‎c‎2‎a‎2‎a+b+c≥abc.‎ ‎6.证明　(1)因为a,b,c为正实数,‎ 由基本不等式可得‎1‎a‎3‎+‎1‎b‎3‎+‎1‎c‎3‎≥3‎3‎‎1‎a‎3‎‎·‎1‎b‎3‎·‎‎1‎c‎3‎,‎ 即‎1‎a‎3‎+‎1‎b‎3‎+‎1‎c‎3‎≥‎3‎abc,‎ 所以‎1‎a‎3‎+‎1‎b‎3‎+‎1‎c‎3‎+abc≥‎3‎abc+abc,‎ 而‎3‎abc+abc≥2‎3‎abc‎·abc=2‎3‎,‎ 所以‎1‎a‎3‎+‎1‎b‎3‎+‎1‎c‎3‎+abc≥2‎3‎.‎ 当且仅当a=b=c=‎6‎‎3‎时取等号.‎ ‎(2)‎1‎A+‎1‎B+‎1‎C≥3‎3‎‎1‎ABC=‎3‎‎3‎ABC≥‎3‎A+B+C‎3‎=‎9‎π,所以πA+πB+πC≥9,‎ 当且仅当A=B=C=π‎3‎时取等号.‎ ‎7.解析　(1)令f(x)=|x+1|-|2-x|,‎ 则f(x)=‎‎-3,x≤-1,‎‎2x-1,-1n>0,‎ ‎∴(m-n)+(m-n)+‎1‎‎(m-n‎)‎‎2‎≥3‎3‎‎(m-n)(m-n)‎‎1‎‎(m-n‎)‎‎2‎=3,‎ ‎∴2m+‎1‎m‎2‎‎-2mn+‎n‎2‎≥2n+a.‎