贵州省遵义市求是中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学（文）试题

贵州省遵义市求是中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学（文）试题

湄潭县求是高级中学2020届高二下数学（文科）试题 第Ⅰ卷（选择题60分）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1.已知i是虚数单位,若复数z满足,则=‎ A. -2i B. 2i C. -2 D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由得,即,所以,故选A.‎ ‎【名师点睛】复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据,加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式乘法法则,除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化.注意下面结论的灵活运用：(1)(1±i)2＝±2i；(2)＝i,＝－i.‎ ‎2.设，，则“”是“”的（ ）‎ A. 充要条件 B. 充分而不必要条件 C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 不能推出，反过来，若则成立，故为必要不充分条件.‎ ‎3.如果直线与直线平行，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：因为直线与直线平行，所以，故选B．‎ 考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．‎ ‎4.已知，是两条不同直线，，是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ）‎ A. 若，垂直于同一平面，则与平行 B. 若，平行于同一平面，则与平行 C. 若，不平行，则在内不存在与平行的直线 D. 若，不平行，则与不可能垂直于同一平面 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由，若，垂直于同一平面，则，可以相交、平行，故不正确；由，若，平行于同一平面，则，可以平行、重合、相交、异面，故不正确；由，若，不平行，但平面内会存在平行于的直线，如平面中平行于，交线的直线；由项，其逆否命题为“若与垂直于同一平面，则，平行”是真命题，故项正确.所以选D.‎ 考点：1.直线、平面的垂直、平行判定定理以及性质定理的应用.‎ ‎5.若圆关于直线：对称，则直线在轴上的截距为（ ）‎ A. -l B. l C. 3 D. -3‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 圆关于直线：对称,等价于圆心在直线：上,由此可解出.然后令 ,得,即为所求.‎ ‎【详解】因为圆关于直线：对称,‎ 所以圆心在直线：上,即 ,解得.‎ 所以直线,令 ,得.‎ 故直线在轴上的截距为.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查了圆关于直线对称,属基础题.‎ ‎6.如图所示的流程图中，输出的含义是（ ）‎ A. 点到直线的距离 B. 点到直线的距离的平方 C. 点到直线的距离的倒数 D. 两条平行线间的距离 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将代入 中,结合点到直线距离公式可得.‎ ‎【详解】因为,,‎ 所以,故的含义是表示点到直线的距离.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查了程序框图以及点到直线的距离公式,属基础题.‎ ‎7.观察，，，由归纳推理可得：若定义在上的函数满足，记为的导函数，则=‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由归纳推理可知偶函数的导数是奇函数，因为是偶函数，则是奇函数，所以，应选答案D。‎ ‎8.某考察团对全国10大城市进行职工人均工资水平x（千元）与居民人均消费水平y（千元）统计调查发现，y与x具有相关关系，回归方程为=0.66x+1.562．若某城市居民人均消费水平为7.675（千元），估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为（　　）‎ A. 83% B. 72% C. 67% D. 66%‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把y=7.675代入回归直线方程求得x，再求的值．‎ ‎【详解】当居民人均消费水平为7.675时， 则7.675=0.66x+1.562，即职工人均工资水平x≈9.262， ∴人均消费额占人均工资收入的百分比为 ‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查了回归直线方程的应用，熟练掌握回归直线方程变量的含义是解题的关键．‎ ‎9.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱（其底面是正方形，且侧棱垂直于底面）高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正四棱柱的底面是正方形,高为4,体积为16,求得底面正方形的边长,再求出其对角线长,然后根据正四棱柱的体对角线是外接球的直径可得球的半径,再根据球的表面积公式可求得.‎ ‎【详解】依题意正四棱柱的体对角线是其外接球的直径, 的中点是球心,‎ 如图: ‎ 依题意设 ,则正四棱柱的体积为:,解得,‎ 所以外接球的直径,‎ 所以外接球的半径,则这个球的表面积是.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查了球与正四棱柱的组合体,球的表面积公式,正四棱柱的体积公式,属中档题.‎ ‎10.已知函数，是函数的导函数，则的图象大致是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求得导函数解析式，根据导函数的奇偶性可排除，再根据，可排除，从而得到结果.‎ ‎【详解】由题意得：‎ ‎ 为奇函数，图象关于原点对称 可排除 又当时，，可排除 本题正确选项：‎ ‎【点睛】此题考查函数图象的识别，考查对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力，关键是能够利用奇偶性和特殊位置的符号来排除错误选项，属于中档题．‎ ‎11.我们把离心率为黄金分割系数的椭圆称为“黄金椭圆”.已知“黄金椭圆”的中心在坐标原点，为左焦点，，分别为右顶点和是上顶点，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出椭圆的方程，根据题意写出A,B,F的坐标，利用向量与向量乘积为0，得到.‎ ‎【详解】设椭圆的方程为，‎ 由已知，得 则 离心率 即 故答案选D ‎【点睛】本题主要考查了椭圆的基本性质，属于基础题.‎ ‎12.已知函数，若存在，使得有解，则实数的取值范围是（ )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用参数分离法进行转化,构造函数求出函数的最值即可得到结论.‎ ‎【详解】解:由,得:‎ 令,‎ 当时，‎ 当时， ‎ 在递增,在递减,‎ 的最大值是,‎ 故 所以B选项是正确的.‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用导数研究能成立问题，关键利用参数分离法，构造函数转化为求最值问题.‎ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）‎ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 双曲线焦点(±4,0)，顶点(±2,0)，故椭圆的焦点为(±2,0)，顶点(±4,0)．‎ 答案：‎ ‎14.已知，且，则，‎ 中至少有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为_______．‎ ‎【答案】，均不大于1（或者且）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 假设原命题不成立，即找，中至少有一个大于1的否定即可.‎ ‎【详解】∵x，y中至少有一个大于1，‎ ‎∴其否定为x，y均不大于1，即x≤1且y≤1，‎ 故答案为：x≤1且y≤1．‎ ‎【点睛】本题考查反证法，考查命题的否定，属于基础题．‎ ‎15.如图所示，在圆锥中，为底面圆的两条直径，，且,，为的中点，则异面直线与所成角的正切值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由于与是异面直线，所以需要平移为相交直线才能找到异面直线与所成角，由此连接OP再利用中位线的性质得到异面直线与所成角为 ,并求出其正切值。‎ ‎【详解】连接，则，‎ 即为异面直线与所成的角，‎ 又，，，‎ 平面，‎ ‎，‎ 即，‎ 为直角三角形，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查了异面直线所成角的计算，关键是利用三角形中位线的性质使异面直线平移为相交直线。‎ ‎16.周长为的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知中周长为的矩形,绕一条边旋转成一个圆柱,我们设出圆柱的长和宽,然后可以写出圆柱体积的表达式,利用导数法,分析出体积取最大值时,自变量的值,代入即可求出圆柱体积的最大值.‎ ‎【详解】解:矩形的周长为 设矩形的长为,则宽为 设绕其宽旋转成一个圆柱,则圆柱的底面半径为,高为 则圆柱的体积 则 当,则 当，则 ‎ 即在上单调递增，在上单调递减 故当圆柱体积取最大值 此时 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查的知识点是圆柱的体积,其中根据已知条件,设出圆柱的长和宽,然后可以写出圆柱体积的表达式,是解答本题的关键.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分）‎ ‎17.已知曲线 y = x3 + x－2 在点 P0 处的切线平行于直线 ‎4x－y－1=0，且点 P0 在第三象限,‎ ‎⑴求P0的坐标;‎ ‎⑵若直线, 且 l 也过切点P0 ,求直线l的方程.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ 本试题主要是考查了导数的几何意义，两条直线的位置关系，平行和垂直的运用。以及直线方程的求解的综合运用。‎ 首先根据已知条件，利用导数定义，得到点P0的坐标，然后利用，设出方程为x+4y+c=0,根据直线过点P0得到结论。‎ 解：（1）由y=x3+x-2，得y′=3x2+1，‎ 由已知得3x2+1=4，解之得x=±1．‎ 当x=1时，y=0；‎ 当x=-1时，y=-4．‎ 又∵点P0在第三象限，‎ ‎∴切点P0的坐标为（-1，-4）；‎ ‎（2）∵直线 l⊥l1，l1的斜率为4，‎ ‎∴直线l的斜率为-1/ 4 ，‎ ‎∵l过切点P0，点P0的坐标为（-1，-4）‎ ‎∴直线l的方程为y+4="-1" /4 （x+1）即x+4y+17=0．‎ ‎18.在直角坐标系中，以坐标原点为圆心的圆与直线相切。‎ 求圆的方程；‎ 若圆上有两点关于直线对称，且，求直线的方程；‎ ‎【答案】（1）（2）或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接利用点到直线 的距离公式求出半径，即可得出答案。‎ ‎（2）设出直线，求出圆心到直线的距离，利用半弦长直角三角形解出即可。‎ ‎【详解】解（1） ，所以圆的方程为 ‎（2）由题意，可设直线的方程为 则圆心到直线的距离则，即 所以直线的方程为或 ‎【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，属于基础题。‎ ‎19.为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样的方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：‎ 性别 是否需要志愿者 男 女 需要 ‎40‎ ‎30‎ 不需要 ‎160‎ ‎270‎ 附：的观测值 ‎0.05‎ ‎0.01‎ ‎0.001‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；‎ ‎（2）在犯错误的概率不超过0.01‎ 的前提下是否可认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？‎ ‎【答案】（1）；（2）在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 第一问中，利用表格中需要志愿者服务的老年人为70人，总数为500，则比例为0.14‎ 第二问中，利用公式 ，结合表格中的概率值可以知道，在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关.‎ ‎【详解】（1）调查500位老人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估算值为.‎ ‎（2）随机变量的观测值.由于，因此，在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关.‎ ‎【点睛】本题主要考查了独立性检验的实际应用，属于中档题.‎ ‎20.如图，在棱长为1的正方体中，点在上移动，点在上移动，，连接.‎ ‎（1）证明：对任意，总有平面；‎ ‎（2）当为中点时，求三棱锥的体积 ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）作∥，交于点，作∥，交于点，连接，利用三角形全等证明四边形为平行四边形，结合线面平行的判定定理得到平面；‎ ‎（2）根据体积关系，即可求出三棱锥的体积.‎ ‎【详解】（1）如图，作∥，交于点，作∥，交于点，连接 在与中 ‎ ‎ ‎，即四边形为平行四边形.‎ ‎∴∥.‎ 又∵平面 平面，‎ ‎∴∥平面.‎ ‎（2）由（1）知当为的中点时，为的中点,‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】线面平行的判定是高考的常考内容，多出现在解答题中，证明线面平行的关键是找线线平行，注意利用所给几何体中隐含的线线位置关系，当题目中有中点时，一般考虑利用中位线定理找平行关系.‎ ‎21.已知过抛物线 的焦点，斜率为的直线交抛物线于 两点，且 .‎ ‎（1）求抛物线的方程;‎ ‎（2）O为坐位原点，C为抛物线上一点，若 ，求的值.‎ ‎【答案】（1）y2＝8x.（2）λ＝0，或λ＝2.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：第一问求抛物线的焦点弦长问题可直接利用焦半径公式，先写出直线的方程，再与抛物线的方程联立方程组，设而不求，利用根与系数关系得出，然后利用焦半径公式得出焦点弦长公式，求出弦长，第二问根据联立方程组解出的A、B两点坐标，和向量的坐标关系表示出点C的坐标，由于点C在抛物线上满足抛物线方程，求出参数值.‎ 试题解析：‎ ‎ (1)直线AB的方程是y＝2（x-2），与y2＝8x联立，消去y得x2－5x＋4＝0，‎ 由根与系数的关系得x1＋x2＝5.由抛物线定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝9， ‎ ‎(2)由x2－5x＋4＝0，得x1＝1，x2＝4，从而A(1，－2)，B(4，4)．‎ 设＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4，4)＝(4λ＋1，4λ－2)， ‎ 又y＝8x3，即[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，‎ 解得λ＝0或λ＝2.‎ ‎【点睛】求弦长问题，一般采用设而不求联立方程组，借助根与系数关系，利用弦长公式去求；但是遇到抛物线的焦点弦长问题时，可直接利用焦半径公式，使用焦点弦长公式，求出弦长.遇到与向量有关的问题，一般采用坐标法去解决，根据联立方程组解出的A、B两点坐标，和向量的坐标关系表示出点C的坐标，由于点C在抛物线上满足抛物线方程，求出参数值.‎ ‎22.设函数.‎ ‎（1）求的单调区间；‎ ‎（2）当时，求所有使对恒成立的的取值范围.‎ ‎【答案】（1）的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用导数研究函数的单调性即可;‎ ‎（2）根据题意可求得，且在区间内单调递增，要使在区间内成立，只要使的最小值大于等于，使得最大值小于等于，最后求解不等式组即可。‎ ‎【详解】（1）因为，其中，‎ 所以.‎ 当 当 所以的单调递增区间为，单调递减区间为；‎ ‎（2）因.由（1）知在内单调递增，要使对恒成立.‎ 只要解得.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的单调性、导数的运算法则以及导数在研究函数性质中的应用。‎ ‎ ‎