2019届二轮复习　集合、常用逻辑用语、不等式与推理证明学案（全国通用）

2019届二轮复习　集合、常用逻辑用语、不等式与推理证明学案（全国通用）

回扣1　集合、常用逻辑用语、不等式与推理证明 ‎1．集合 ‎(1)集合的运算性质 ‎①A∪B＝A⇔B⊆A；②A∩B＝B⇔B⊆A；③A⊆B⇔∁UA⊇∁UB.‎ ‎(2)子集、真子集个数计算公式 对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n,2n－1,2n－1,2n－2.‎ ‎(3)集合运算中的常用方法 若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解；若已知的集合是点集，用数形结合法求解；若已知的集合是抽象集合，用Venn图求解．‎ ‎2．四种命题及其相互关系 ‎(1)‎ ‎(2)互为逆否命题的两命题同真同假．‎ ‎3．含有逻辑联结词的命题的真假 ‎(1)命题p∨q：若p，q中至少有一个为真，则命题为真命题，简记为：一真则真．‎ ‎(2)命题p∧q：若p，q中至少有一个为假，则命题为假命题，p，q同为真时，命题才为真命题，简记为：一假则假，同真则真．‎ ‎(3)命题綈p：与命题p真假相反．‎ ‎4．全称命题、特称(存在性)命题及其否定 ‎ ‎(1)全称命题p：∀x∈M，p(x)，其否定为特称(存在性)命题綈p：∃x0∈M，綈p(x0)．‎ ‎(2)特称(存在性)命题p：∃x0∈M，p(x0)，其否定为全称命题綈p：∀x∈M，綈p(x)．‎ ‎5．充分条件与必要条件的三种判定方法 ‎(1)定义法：正、反方向推理，若p⇒q，则p是q的充分条件(或q是p的必要条件)；若p⇒q，且q⇏p，则p是q的充分不必要条件(或q是p的必要不充分条件)．‎ ‎(2)集合法：利用集合间的包含关系．例如，若A⊆B，则A是B的充分条件(B是A的必要条件)；若AB，则A是B的充分不必要条件(B是A的必要不充分条件)；若A＝B，则A是B的充要条件．‎ ‎(3)等价法：将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题．‎ ‎6．一元二次不等式的解法 解一元二次不等式的步骤：一化(将二次项系数化为正数)；二判(判断Δ的符号)；三解(解对应的一元二次方程)；四写(大于取两边，小于取中间)．‎ 解含有参数的一元二次不等式一般要分类讨论，往往从以下几个方面来考虑：①二次项系数，它决定二次函数的开口方向；②判别式Δ，它决定根的情形，一般分Δ>0，Δ＝0，Δ<0三种情况；③在有根的条件下，要比较两根的大小．‎ ‎7．一元二次不等式的恒成立问题 ‎(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的条件是 ‎(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的条件是 ‎8．分式不等式 >0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)；‎ ≥0(≤0)⇔ ‎9．基本不等式 ‎(1)≥(a，b∈(0，＋∞))，当且仅当a＝b时取等号．‎ ‎(2)在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，满足基本不等式中“正”、“定”、“等”的条件．‎ ‎10．线性规划 ‎(1)可行域的确定，“线定界，点定域”．‎ ‎(2)线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得．‎ ‎(3)线性目标函数的最值也可在可行域的边界上取得，这时满足条件的最优解有无数多个．‎ ‎11．推理 推理分为合情推理与演绎推理，合情推理包括归纳推理和类比推理；演绎推理的一般模式是三段论．‎ 合情推理的思维过程 ‎(1)归纳推理的思维过程 ―→→ ‎(2)类比推理的思维过程 ―→→ ‎12．证明方法 ‎(1)分析法的特点：从未知看需知，逐步靠拢已知．‎ 推理模式 框图表示 →→→…→ ‎(2)综合法的特点：从已知看可知，逐步推出未知．‎ 推理模式 框图表示：→→→…→ ‎(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示要证明的结论)．‎ ‎(3)反证法 一般地，假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．‎ ‎1．描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素．如{x|y＝lg x}——函数的定义域；{y|y＝lg x}——函数的值域；{(x，y)|y＝lg x}——函数图象上的点集．‎ ‎2．易混淆0，∅，{0}：0是一个实数；∅是一个集合，它含有0个元素；{0}是以0为元素的单元素集合，但是0∉∅，而∅⊆{0}．‎ ‎3．集合的元素具有确定性、无序性和互异性，在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性．‎ ‎4．空集是任何集合的子集．由条件A⊆B，A∩B＝A，A∪B＝B求解集合A时，务必分析研究A＝∅的情况．‎ ‎5．区分命题的否定与否命题，已知命题为“若p，则q”，则该命题的否定为“若p，则綈q”，其否命题为“若綈p，则綈q”．‎ ‎6．在对全称命题和特称(存在性)命题进行否定时，不要忽视对量词的改变．‎ ‎7．对于充分、必要条件问题，首先要弄清谁是条件，谁是结论．‎ ‎8．判断命题的真假要先明确命题的构成．由命题的真假求某个参数的取值范围，还可以从集合的角度来思考，将问题转化为集合间的运算．‎ ‎9．不等式两端同时乘一个数或同时除以一个数时，如果不讨论这个数的正负，容易出错．‎ ‎10．解形如ax2＋bx＋c>0(a≠0)的一元二次不等式时，易忽视系数a的讨论导致漏解或错解，要注意分a>0，a<0进行讨论．‎ ‎11．求解分式不等式时应正确进行同解变形，不能把≤0直接转化为f(x)·g(x)≤0，而忽视g(x)≠0.‎ ‎12．容易忽视使用基本不等式求最值的条件，即“一正、 二定、三相等”导致错解，如求函数f(x)＝＋的最值，就不能利用基本不等式求最值；求解函数y＝x＋(x<0)时应先转化为正数再求解．‎ ‎13．解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目标函数中y的系数的正负；注意最优整数解．‎ ‎14．求解线性规划问题时，不能准确把握目标函数的几何意义导致错解，如是指已知区域内的点(x，y)与点(－2，2)连线的斜率，而(x－1)2＋(y－1)2是指已知区域内的点(x，y)到点(1,1)的距离的平方等．‎ ‎15．类比推理易盲目机械类比，不要被表面的假象(某一点表面相似)迷惑，应从本质上类比．‎ ‎1．已知集合M＝{x|log2x<3}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N}，则M∩N等于(　　)‎ A．(0,8) B．{3,5,7}‎ C．{0,1,3,5,7} D．{1,3,5,7}‎ 答案　D 解析　∵M＝{x|0p C．p＝rq 答案　C 解析　∵0，‎ 又∵f(x)＝ln x在(0，＋∞)上为增函数，‎ 故f>f()，即q>p.‎ 又r＝[f(a)＋f(b)]＝(ln a＋ln b)＝ln a＋ln b＝ln(ab)＝f()＝p.‎ 故p＝r0的解集是实数集R；命题乙：00的解集是实数集R可知，当a＝0时，原式＝1>0恒成立，‎ 当a≠0时，需满足 解得00，则x>sin x恒成立；‎ ‎②命题“若x－sin x＝0，则x＝0”的逆否命题为“若x≠0，则x－sin x≠0”；‎ ‎③“命题p∧q为真”是“命题p∨q为真”的充分不必要条件；‎ ‎④命题“∀x∈R，x－ln x>0”的否定是“∃x0∈R，x0－ln x0<0”．‎ 其中正确结论的个数是(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ 答案　C 解析　对于①，令y＝x－sin x，则y′＝1－cos x≥0，则函数y＝x－sin x在R上单调递增，则当x>0时，x－sin x>0－0＝0，即当x>0时，x>sin x恒成立，故①正确；‎ 对于②，命题“若x－sin x＝0，则x＝0”的逆否命题为“若x≠0，则x－sin x≠0”，故②正确；‎ 对于③，命题p∨q为真即p，q中至少有一个为真，p∧q为真即p，q都为真，可知“p∧q为真”是“p∨q为真”的充分不必要条件，故③正确；‎ 对于④，命题“∀x∈R，x－ln x>0”的否定是“∃x0∈R，x0－ln x0≤0”，故④错误．‎ 综上，正确结论的个数为3，故选C.‎ ‎12．小明用电脑软件进行数学解题能力测试，每答完一道题，软件都会自动计算并显示出当前的正确率(正确率＝已答对题目数÷已答题目总数)，小明依次共答了10道题，设正确率依次为a1，a2，a3，…，a10.现有三种说法：①若a1a2>a3>…>a10，则必是第一道题答对，其余题均答错；③有可能a5＝2a10，其中正确的个数是(　　)‎ A．0 B．1‎ C．2 D．3‎ 答案　D 解析　①②显然成立，③前5个全答对，后5个全答错，符合题意，故选D.‎ ‎13．已知集合M＝，若3∈M,5∉M，则实数a的取值范围是______________．‎ 答案　∪(9,25]‎ 解析　∵集合M＝，‎ 得(ax－5)(x2－a)<0，‎ 当a＝0时，显然不成立，‎ 当a>0时，原不等式可化为(x－)(x＋)<0，‎ 若<，只需满足解得1≤a<；‎ 若>，只需满足 解得9

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