2019-2020学年广东省珠海市高一上学期期末数学试题（解析版）

2019-2020学年广东省珠海市高一上学期期末数学试题（解析版）

‎2019-2020学年广东省珠海市高一上学期期末数学试题 一、单选题 ‎1．已知集合,,则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】用列举法表示集合，结合并集的定义求解即可.‎ ‎【详解】‎ 因为，，所以.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查了用列举法表示集合，考查了集合的并集运算，属于基础题.‎ ‎2．已知扇形的圆心角为1,弧长为2,则扇形面积为( )‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】B ‎【解析】直接根据扇形面积公式求解即可.‎ ‎【详解】‎ 因为扇形的圆心角为1,弧长为2,所以扇形面积为：.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查了扇形的面积公式和弧长公式，考查了数学运算能力.‎ ‎3．下列函数是偶函数的是( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据偶函数的定义逐一判断即可.‎ ‎【详解】‎ A：该定义域为实数集. 因为 ‎，所以该函数是偶函数，本选项符合题意；‎ B：该函数的定义域为：且，所以该函数不是偶函数，本选项不符合题意；‎ C：该函数的定义域为非零的实数集，因为，所以该函数不是偶函数，本选项不符合题意；‎ D：该函数的定义域为：.‎ 因为，所以该函数不是偶函数，本选项不符合题意.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查了偶函数的判定，考查了求函数的定义域，考查了代数式的恒等变形的能力.‎ ‎4．在平面直角坐标系中,若角终边过点,则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用余弦函数的定义直接求解即可.‎ ‎【详解】‎ 因为角终边过点,所以有.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查了余弦函数的定义，属于基础题.‎ ‎5．函数,,,其中,,存在某个实数,使得以上三个函数图像在同一平面直角坐标系中,则其图像只可能是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】在同一选项中的三个函数的图象，假设其中的一个正确去判断另外两个是否正确，这样就可以选出正确答案.‎ ‎【详解】‎ A：假设指数函数的图象是正确的，所以有，这时对数函数是单调递增的，但是选项中的图象是单调递减的，所以假设不成立，故本选项不正确；‎ B：假设指数函数的图象是正确的，所以有，这时对数函数是单调递减的，但是选项中的图象是单调递增的，所以假设不成立，故本选项不正确；‎ C：假设指数函数的图象是正确的，所以有，这时对数函数是单调递减的，选项中的图象是单调递减的，假设不成立，这时幂函数图象有可能正确，也有可能错误，故存在某个实数,使得这三个图象是正确的，故本选项正确；‎ D假设指数函数的图象是正确的，所以有，这时对数函数是单调递增的，选项中的图象是单调递增的，所以假设成立，这时幂函数的图象是不正确的，因为这时的幂函数的定义域是全体实数集，故本选项不正确.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查了同一直角坐标系对数函数、指数函数、幂函数的图象，考查了数形结合思想.其时本题也可以这样思考，因为指数函数和对数函数具有相同的单调性，这样直接可以排除A，B，再根据幂函数的图象性质，结合指数函数或对数函数的单调性可以排除D.‎ ‎6．要得到函数的图像,只需将函数的图像( )‎ A．横坐标缩小到原来的,纵坐标不变 B．横坐标扩大到原来的2倍,纵坐标不变 C．纵坐标缩小到原来的,横坐标不变 D．纵坐标扩大到原来的2倍,横坐标不变 ‎【答案】A ‎【解析】根据函数解析式的变化直接求解即可.‎ ‎【详解】‎ 函数的图像，横坐标缩小到原来的,纵坐标不变，就得到函数 的图像.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查了已知函数解析式的变化求函数图像变换的过程，属于基础题.‎ ‎7．已知,,,,则,,,的大小顺序是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用对数函数的单调性结合指数函数的单调性直接求解即可.‎ ‎【详解】‎ 因为，‎ 所以.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查了利用指数函数和对数函数的单调性进行指数式、对数式的大小比较，属于基础题.‎ ‎8．已知,则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】结合已知利用诱导公式直接求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎,.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查了正弦函数的诱导公式，属于基础题.‎ ‎9．已知函数满足的定义域是,则的定义域是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由的定义域求出的定义域，最后结合指数函数的单调性，求出的定义域.‎ ‎【详解】‎ 的定义域是,即,‎ ‎,的定义域为,的定义域为：,.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查了复合函数的定义域，考查了指数函数的定义域，考查了数学运算能力.‎ ‎10．如图,平行四边形中,,分别是,中点,与交于点．若,,则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用平行四边形的性质，结合平面向量的加法的几何意义、平面向量共线定理、平面向量基本定理，直接求解即可.‎ ‎【详解】‎ 平行四边形中,,分别是,中点,与交于点 ‎,,,‎ ‎.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查了平面向量基本定理，考查了平面向量共线定理，考查了平面向量的加法的几何意义，属于基础题.‎ ‎11．锐角中,下列不等关系总成立的是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据锐角三角形的性质，结合正弦函数和余弦函数的单调性求解即可.‎ ‎【详解】‎ A：锐角中,‎ ‎，故本选项不正确；‎ B：锐角中,‎ ‎，故本选项不正确，D选项正确；‎ C：当时，显然，故本选项不正确.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查了余弦函数和正弦函数的单调性的应用，考查了锐角三角形的性质.‎ ‎12．若偶函数的图像关于对称,当时,,则函数在上的零点个数是( )‎ A．18 B．26 C．28 D．30‎ ‎【答案】B ‎【解析】令，判断该函数的奇偶性，进而判断的奇偶性，问题是判断的零点个数，即也说是判断两个函数的图象的交点个数.利用已知可以判断出的周期性，这样在同一直角坐标系内，画出,的图象，利用数形结合可以判断出交点的个数，再利用奇偶函数的性质，问题解决即可.‎ ‎【详解】‎ 令，定义域为非零的实数集，，所以该函数为偶函数，又是偶函数是偶函数，且，‎ 由得 当时有 偶函数的图象关于对称，‎ 且，‎ ‎，‎ 是的周期函数，‎ ‎,为的对称轴 当时,‎ 当,,在同一坐标系中的图象如下 可知与在上有13个交点即在上有13个零点 是偶函数在上共有26个零点．‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查了求函数零点的个数，考查了函数性质的综合应用，考查了数形结合思想.‎ 二、填空题 ‎13．计算：______．‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】结合指数幂的运算公式、对数的运算公式，对数式与指数式的恒等式直接求解即可.‎ ‎【详解】‎ 原式 ‎.‎ 故答案为：0‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了对数的运算公式，考查了指数幂的运算公式，考查了对数式与指数式的恒等式，考查了数学运算能力.‎ ‎14． ．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】试题分析：．‎ ‎【考点】任意角的三角函数值．‎ ‎15．已知函数为奇函数,时,,则时,______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用奇函数的性质直接求解即可.‎ ‎【详解】‎ 函数为奇函数,时,‎ 当,则,则 时,.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用奇函数的性质求解析式，属于基础题.‎ ‎16．函数（,,）在一个周期上的图像如图所示,则这个函数解析式是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】通过图象的最高点或最低点可以直接求出，结合函数相邻零点求出（为函数的最小正周期），最后利用正弦型函数最小正周期公式求出，最后把其中一个点的坐标代入函数解析式中求出的值，最后写出正弦型函数的解析式.‎ ‎【详解】‎ 由图像知,.设函数的最小正周期为，,，‎ ‎，把点代入解析式中有：‎ 由，所以函数的解析式为：.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了通过函数图象求函数的解析式，考查了数形结合思想，考查了数学运算能力.‎ ‎17．幂函数,为常数,满足,则______．‎ ‎【答案】16‎ ‎【解析】利用，结合指数幂的运算公式求出，最后求值即可.‎ ‎【详解】‎ ‎.‎ 故答案为：16‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求幂函数解析式并求函数值问题，考查了数学运算能力.‎ ‎18．已知函数,则下列结论正确的是______（请把正确的序号填到横线处）‎ ‎①的一个周期是 ‎②的一个对称中心是 ‎③的一条对称轴方程是 ‎④在上是减函数 ‎【答案】①②③‎ ‎【解析】利用余弦函数的性质逐一判断即可.‎ ‎【详解】‎ ‎①: 是的最小正周期是，所以也是它的一个周期，故本结论正确；‎ ‎②：当时，，所以函数关于对称，故本结论正确；‎ ‎③：当时，，所以函数是函数的一条对称轴，故本结论正确； ‎ ‎④：的单调减区间为：，当时，，故本结论不正确.‎ 故答案为：①②③‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了余弦型函数的对称性、周期性、对称性，属于基础题.‎ ‎19．函数为上的奇函数,在上是增函数,,则的解集是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用奇函数的单调性的性质，结合已知，画出图象的大致形状，最后数形结合求解即可.‎ ‎【详解】‎ 解析：为上的奇函数,,在上是增函数,‎ 在上是增函数,‎ 即函数的图象大致如下图所示：‎ 等价于与同号 解集是.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了奇函数的单调性的性质，考查了数形结合思想，考查了求解不等式解集问题.‎ ‎20．已知点,是原点为圆心,2为半径的圆上两点,为锐角,,则______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先求出的取值范围，利用同角的三角函数关系式中的平方和关系求出角的正弦值，再利用两角差的余弦公式求出的值，最后利用平面向量夹角公式求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎,,,‎ ‎.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了平面向量夹角公式的应用，考查了同角三角函数的关系式，考查了两角差的余弦公式，考查了数学运算能力.‎ 三、解答题 ‎21．已知,,‎ ‎（1）求与的夹角；‎ ‎（2）求在上的投影．‎ ‎【答案】（1） ；（2）1‎ ‎【解析】（1）对进行平方，然后利用平面向量数量积公式求出求与的夹角；‎ ‎（2）利用平面向量数量积的几何意义进行求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）,,，‎ ‎，‎ 得，‎ 与的夹角，‎ ‎，‎ ‎；‎ ‎（2）,‎ 在上的投影为.‎ ‎（另法：,‎ 在上的投影为）‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了平面向量的夹角公式，考查了平面向量的几何意义.‎ ‎22．已知,‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若,,求．‎ ‎【答案】（1） ；（2） ‎ ‎【解析】（1）根据同角的三角函数关系中的平方和关系求出的值，再利用同角的三角函数关系式中的商关系求出；‎ ‎（2）根据同角的三角函数关系中的平方和关系求出的值，最后利用两角差的正弦公式求出．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）,，‎ ‎（2）,，‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了同角的三角函数关系式，考查了两角的差的正弦公式，考查了数学运算能力.‎ ‎23．已知函数 ‎（1）求的定义域；‎ ‎（2）若是不等式的解,求的最大值．‎ ‎【答案】(1) (2) 最大值为4．‎ ‎【解析】（1）根据对数的真数大于零，列出不等式组，解不等式组求出的定义域；‎ ‎（2）利用指数函数的单调性求解指数不等式，然后根据对数复合函数的单调性求出函数的最大值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）有意义,则有解得 的定义域是；‎ ‎（2）等价于 即得 当时,‎ 的最大值为4．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了对数型函数的定义域，考查了解指数不等式，考查了对数复合函数的最大值，考查了数学运算能力.‎ ‎24．已知,,,若其图像关于点对称 ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）直接写出在上的单调区间；‎ ‎（3）当时,求的值．‎ ‎【答案】（1） ；（2） 增区间是,减区间是；（3）,.‎ ‎【解析】（1）根据平面向量数量积的坐标表示公式，结合二倍角的正弦、二倍角的余弦公式、辅助角公式化简函数的解析式，再根据函数的对称点，求出的值即可；‎ ‎（2）根据正弦型函数的单调性进行求解即可；‎ ‎（3）根据数量积的坐标表示公式，结合两向量垂直它们的数量积为零，再结合特殊角的三角函数值求出的值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）,‎ 的图象关于点对称 ‎,‎ 即,‎ ‎．‎ ‎（2）的单调递增区间为：；‎ 单调递减区间为：‎ ‎；‎ 所以在上的增区间是,减区间是；‎ ‎（3）‎ 即,‎ 解得,‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了平面向量数量积的坐标表示公式，考查了正弦型函数的单调性，考查了利用正弦型函数的对称性求解析式，考查了二倍角的正弦、二倍角的余弦公式、辅助角考查了数学运算能力.‎ ‎25．已知函数是上的奇函数 ‎（1）求；‎ ‎（2）用定义法讨论在上的单调性；‎ ‎（3）若在上恒成立,求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2） 是上的增函数；（3）.‎ ‎【解析】（1）利用奇函数的定义直接求解即可；‎ ‎（2）用函数的单调性的定义，结合指数函数的单调性直接求解即可；‎ ‎（3）利用函数的奇函数的性质、单调性原问题可以转化为在上恒成立，利用换元法，再转化为一元二次不等式恒成立问题，分类讨论，最后求出的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）函数是上的奇函数 即 即 解得；‎ ‎（2）由（1）知 设,则 故,,‎ 故 即 是上的增函数．‎ ‎（3）是上的奇函数,是上的增函数 在上恒成立 等价于 等价于在上恒成立 即在上恒成立“”‎ 令 则“”式等价于对时恒成立“”‎ ‎①当,即时“”为对时恒成立 ‎②当,即时,“”对时恒成立 须或 解得 综上,的取值范围是．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了奇函数的定义，考查了函数单调性的定义，考查了指数函数的单调性的应用，考查了不等式恒成立问题，考查了换元法，考查了数学运算能力.‎