【数学】2018届一轮复习人教A版考点48正态分布学案

【数学】2018届一轮复习人教A版考点48正态分布学案

典型高考数学试题解读与变式2018版 考点48 正态分布 ‎【考纲要求】‎ 利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．‎ ‎【命题规律】‎ 在选择题、填空题考查较多，属容易题，分值5分，在解答题中结合其他知识考查属中等题.‎ ‎【典型高考试题变式】‎ 正态分布 例1.【2017课标1】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取 ‎16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布．‎ ‎（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数，‎ 求及的数学期望；‎ ‎（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．‎ ‎（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；‎ ‎（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：‎ ‎9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04‎ ‎10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95‎ 经计算得，，其中为抽取的第个零件的尺寸，．用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估 计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计和（精确到0.01）．‎ 附：若随机变量服从正态分布，则，‎ ‎，．‎ ‎【分析】（1）根据题设条件知一个零件的尺寸在之内的概率为0.9974，则零件的尺寸 在之外的概率为0.0026，而，进而可以求出的数学期望.（2）（i）判断监控生产过程的方法的合理性，重点是考虑一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在之外的零件的概率是大还是小，若小即合理；（ii）根据题设条件算出的估计值和的估计值，剔除之外的数据9.22，算出剩下数据的平均数，即为的估计值，剔除之外的数据9.22，剩下数据的样本方差，即为的估计值.‎ ‎【解析】（1）抽取的一个零件的尺寸在之内的概率为0.9974，从而零件的尺寸在之外的概率为0.0026，故.‎ 因此.‎ 的数学期望为.‎ ‎（2）（i）如果生产状态正常，一个零件尺寸在之外的概率只有0.0026，一天内抽取 的16个零件中，出现尺寸在之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小.因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的.‎ ‎【名师点睛】数学期望是离散型随机变量中重要的数学概念，反映随机变量取值的平均水平.求解离散 型随机变量的分布列、数学期望时，首先要分清事件的构成与性质，确定离散型随机变量的所有取值，然后根据概率类型选择公式，计算每个变量取每个值的概率，列出对应的分布列，最后求出数学期望.正态分布是一种重要的分布，之前考过一次，尤其是正态分布的原则.‎ ‎【变式1】某种品牌摄像头的使用寿命ξ(单位：年)服从正态分布，且使用寿命不少于2年的概率为0.8，使用寿命不少于6年的概率为0.2.某校在大门口同时安装了两个该种品牌的摄像头，则在4年内这两个摄像头都能正常工作的概率为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【变式2】【广西南宁2017届普通高中毕业班第二次模拟】某食品店为了了解气温对销售量的影响，随机记录了该店1月份中5天的日销售量（单位：千克）与该地当日最低气温（单位： ）的数据，如下表：‎ x ‎2‎ ‎5‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎11‎ y ‎12‎ ‎10‎ ‎8‎ ‎8‎ ‎7‎ ‎（1）求出与的回归方程；‎ ‎（2）判断与之间是正相关还是负相关；若该地1月份某天的最低气温为，请用所求回归方程预测该店当日的销售量；学 ！ ‎ ‎（3）设该地1月份的日最低气温～，其中近似为样本平均数， 近似为样本方差，求.‎ 附：①回归方程中， ， .‎ ‎②， ，若～，则， .‎ ‎【解析】（1）因为令,， ,[ :学 ]‎ 所以， ‎ 所以 ‎ 所以（或者： ） ‎ 所以所求的回归方程是 ‎ ‎ ‎ ‎【数学思想】‎ ①数形结合思想．‎ ②转化与化归思想.‎ ‎【温馨提示】‎ ①曲线与x轴之间面积为1.正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相同．‎ ‎②P(X≤a)＝1－P(X≥a)，P(X≤μ－a)＝P(X≥μ＋a)．‎ ‎【典例试题演练】‎ ‎1.【2017云南大理统测】2016年1月某校高三年级1600名学生参加了教育局组织的期末统考，已知数学考试成绩（试卷满分为150分）．统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为（ ）‎ A．80 B．100 C．120 D．200‎ ‎【答案】D ‎【解析】正态曲线图象的对称轴为，根据其对称性可知， 成绩不低于分的学生人数约为人，故选D.‎ ‎2.【2017年第三次全国大联考】已知某次数学考试的成绩服从正态分布，则114分以上的成绩所占的百分比为（附：,‎ ‎)‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎ ‎【解析】由已知得，故 ‎，故选D．‎ ‎3.【2017山西晋城市模拟考试】已知展开式中的常数项为,且,则（ ）‎ ‎(附：若随机变量,‎ 则,‎ ‎)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎4.设随机变量δ服从正态分布N（3，7），若p（δ＞a+2）=p（δ＜a－2），则a=（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】C ‎【解析】由已知若p（δ＞a+2）=p（δ＜a－2），则 ‎5.已知随机变量X服从正态分布N（3，1），且P（l≤X≤5）=0．682 6，则（ ）‎ ‎ A．0．158 8 B．0．158 7 C．0．158 6 D．0．158 5‎ ‎【答案】B ‎【解析】依题意，故选B.‎ ‎6.【2017河北五邑四模】某校高考数学成绩近似地服从正态分布，且，则的值为（ ）‎ A. 0.49 B. 0.48 C. 0.47 D. 0. 46‎ ‎【答案】D ‎【解析】依据题设条件及正太分布的对称性可知所以，则，所以，应选D.‎ 7. ‎【2017荆、荆、襄、宜四地七校联考】设随机变量服从正态分布，若，则函数没有极值点的概率是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】由 无相异实根得 ，因此函数没有极值点的概率是，选C.‎ 8. 设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f(x)的图象，且f(x)＝e (x∈R)，则这个正态总体的平均数与标准差分别是(　　)‎ A.10与8 B.10与2 C.8与10 D.2与10‎ ‎【答案】B ‎【解析】f(x)＝e，所以σ＝2，μ＝10，即正态总体的平均数与标准差分别为10与2，故选B.‎ 7. 已知三个正态分布密度函数φi(x)＝e－(x∈R，i＝1，2，3)的图象如图所示，则(　　)‎ A.μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＞σ3 B.μ1＞μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3‎ C.μ1＝μ2＜μ3，σ1＜σ2＝σ3 D.μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3‎ ‎【答案】D ‎【解析】由正态曲线关于直线x＝μ对称，知μ1＜μ2＝μ3；σ的大小决定曲线的形状，σ越大，总体分布越分散，曲线越矮胖；σ越小，总体分布越集中，曲线越瘦高，则σ1＝σ2＜σ3.实际上，由φ1(μ1)＝φ2(μ2)＞φ3(μ3)，则＝＞ ，即σ1＝σ2＜σ3.故选D.‎ 8. ‎(2017·石家庄模拟)设X～N(1，σ2)，其正态分布密度曲线如图所示，且P(X≥3)＝0.022 8，那么向正方形OABC中随机投掷20 000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为(　　)‎ 附：(随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.954 4)．‎ A．12 076 B．13 174 C．14 056 D．7 539‎ ‎【答案】B　‎ ‎11.【2017年原创押题预测卷02（山东卷）】已知，且，则若，则 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为，故由可得，解得，‎ 故.由可得，‎ 由正态曲线的对称性可知，‎ 所以.‎ ‎12.【2017四川资阳模拟】已知随机变量X服从正态分布N(2，σ²)，且P(0≤X≤2)＝0.3，则P(X＞4)＝_____．‎ ‎【答案】0.2；‎ ‎【解析】由题意结合正态分布的性质可知： ，‎ 则.‎ ‎13.【2017湖北省黄石市调研】已知随机变量服从正态分布，且，则___________．‎ ‎【答案】0.3‎ ‎【解析】‎ ‎14.【2017广东省汕头市模拟】为评估设备生产某种零件的性能，从设备生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表： ‎ 直径/‎ ‎58‎ ‎59‎ ‎61‎ ‎62‎ ‎63‎ ‎64‎ ‎65‎ ‎66‎ ‎67‎ ‎68‎ ‎69‎ ‎70‎ ‎71‎ ‎73‎ 合计 件数 ‎1‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎19‎ ‎33‎ ‎18‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎100‎ 经计算，样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值.‎ ‎（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进行评判（表示相应事件的概率）；①；‎ ‎②；③.‎ 评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备的性能等级. ‎ ‎（2）将直径小于等于或直径大于的零件认为是次品.‎ ‎（ⅰ）从设备的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数的数学期望；‎ ‎（ⅱ）从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数的数学期望.‎ ‎（2）由图表知道：直径小于或等于的零件有2件，大于的零件有4件共计6件 ‎（i）从设备的生产流水线上任取一件，取到次品的概率为，‎ 依题意，故.‎ ‎（ii）从100件样品中任意抽取2件，次品数的可能取值为0，1，2‎ 故.‎ ‎15.(2014·新课标全国卷Ⅰ)从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：学 ‎ ‎(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组中的数据用该区间的中点值作代表)；‎ ‎(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ 近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2.‎ ‎①利用该正态分布，求P(187.8

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