陕西省咸阳市兴平市西郊中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

陕西省咸阳市兴平市西郊中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

‎2019-2020学年度第一学期期中测试 高一数学试卷（西郊中学）‎ ‎（本试卷满分150分考试时间120分钟）‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1.已知全集，，，那么集合是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求解,,,,即可得出答案.‎ ‎【详解】 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查了集合的补集,并集和交集运算,掌握集合运算基本知识是解题关键,属于基础题.‎ ‎2.设，且，则 ( )‎ A. B. ‎10 ‎C. 20 D. 100‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将指数式化为对数值，然后利用对数运算公式化简，由此求得的值.‎ ‎【详解】由得，所以，，故选A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查指数式和对数式互化，考查对数运算，属于基础题.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎3.若函数满足,则的解析式是( )‎ A. B. ‎ C. D. 或 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：设 ‎,故选B.‎ 考点：换元法求解析式 ‎4.已知为偶函数，则在区间上为（ ）‎ A. 增函数 B. 增函数 C. 先增后减 D. 先减后增 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：因为为偶函数，所以，即，‎ 根据对应系数相等可得，，．‎ 函数的图像是开口向下对称轴为轴的抛物线，‎ 所以此函数在上单调递增，在上单调递减．故C正确．‎ 考点：1偶函数；2二次函数的单调性．‎ ‎【方法点睛】本题重点考查偶函数和二次函数的单调性，难度一般．本题可以根据偶函数的定义由对应系数相等求得的值，也可以根据偶函数图像关于轴对称求得的值，但此方法前须验证时不满足题意．二次函数的单调性由图像的开口方向和对称轴决定，根据这两点即可求得二次函数的单调性．‎ ‎5.某企业去年销售收入1000万元，年成本为生产成本500万元与年广告成本200万元两部分．若年利润必须按p%纳税，且年广告费超出年销售收入2%的部分也按p%纳税，其他不纳税．已知该企业去年共纳税120万元．则税率p%为（ ）‎ A. 10% B. 12% C. 20% D. 25%‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 欲求税率,只须求出去年的总收入即可,而总收入由两部分构成:去年的利润,广告费超支.根据税率公式计算即得答案.‎ ‎【详解】由题意得,去年的利润为:‎ ‎(万元)‎ 广告费超支:(万元)‎ 税率为: ‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】根据题意列出利润,广告费超支和税率是解题关键,考查运算求解能力,解决实际问题的能力,属于基础题.‎ ‎6.已知，则为（ ）‎ A. 2 B. ‎3 ‎C. 4 D. 5‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据自变量范围代入对应解析式，解得结果.‎ ‎【详解】‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查分段函数求值，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎7.若，则等于（ ）‎ A. 0 B. 2或‎0 ‎C. 2 D. -2或0‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对数的运算性质,可将原方程化为,通过换元法求解的值,即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ ‎，‎ 令，则 解得:或 或 故选:B.‎ ‎【点睛】解对数方程时,要将方程化为同底数对数形式,利用真数相等求解方程,这是解本题的关键.‎ ‎8.函数f(x)＝log3x－8＋2x的零点一定位于区间 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：根据零点存在性定理，因为，所以函数零点在区间（3，4）内，故选择B 考点：零点存在性定理 ‎9.已知，则方程实数根个数是（ ）‎ A. 2 B. ‎3 ‎C. 4 D. 与a无关 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出和的函数图像,根据图像即可得出交点个数.‎ ‎【详解】画出和的函数图像 由图像可知两函数图像有两个交点,故方程有两个根.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】将求解实数根个数转化为求解和的函数交点个数,数形结合是解本题的关键.‎ ‎10.定义在R上的偶函数在[0,7]上是增函数，在[7，＋∞)上是减函数，又f(7)＝6，则f(x)(　　)‎ A. 在[－7,0]上是增函数，且最大值是6‎ B. 在[－7,0]上是减函数，且最大值是6‎ C. 在[－7,0]上是增函数，且最小值是6‎ D. 在[－7,0]上是减函数，且最小值是6‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ ‎∵函数是偶函数，而且在[0，7]上为增函数，‎ ‎∴函数在[-7，0]上是减函数.‎ 又∵函数在x=7和x=-7的左边是增函数，右边是减函数，且f(7)=f(-7)，‎ ‎∴最大值为f(7)=f(-7)=6.‎ 故选B.‎ ‎11.已知y＝f（x）与y＝g（x）的图像如下图：‎ 则F（x）＝f（x）·g（x）的图像可能是下图中的（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：在时，沿 轴正方向f（x）先为负值后为正值，而g（x）恒为正值，所以F（x）＝f（x）·g（x）也必须先为负值，后为正值，可能选项为A，D，同理在时，f（x）先为负值后为正值，而g（x）恒为负值，所以F（x）＝f（x）·g（x）也必须先为正值，后为负值，可能选项为A；综上所述，正确选项应该为A．‎ 考点：函数的图象．‎ ‎【方法点睛】本题主要考查函数的图象，判断函数的大致图像是否正确，主要从以下几点取判断：1、函数的零点（多适用于某函数零点已知）；2、函数正负值所对区间（多适用于两函数相乘）；3、函数的单调性区间（适合于两函数求和或者求差）．本题为f（x）·g（x）所以选用函数正负值所对区间这一方法．‎ ‎12.若函数f(x)＝lg(10x＋1)＋ax是偶函数，是奇函数，则a＋b的值是 A. B. ‎1 ‎C. D. －1‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用函数的奇偶性求得a,b的值，然后计算a+b的值即可.‎ ‎【详解】偶函数满足，即：，解得：，‎ 奇函数满足，则，解得：，‎ 则.‎ 本题选择A选项.‎ ‎【点睛】本题主要考查奇函数的性质，偶函数的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ 二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.若函数的定义域为[0，2]，则函数的定义域是_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】由，得0≤x<1，‎ 即定义域是[0，1)，故答案为．‎ ‎14.函数y=lnx的反函数是__________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 由函数解得,把与互换即可得出 ‎【详解】 函数 ‎ ‎ 把与互换可得: ‎ 原函数的反函数为: ‎ 故答案为: ‎ ‎【点睛】在求解反函数时,要先求出原函数的值域,因为原函数的值域是反函数的定义域,这是解本题关键.‎ ‎15.函数的递增区间是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令,当,是增函数;当,是减函数.对于在定义域上是减函数, 根据复合函数单调性同增异减,即可得出函数的递增区间.‎ ‎【详解】令 当 是增函数 当 是减函数 对于在定义域上是减函数 根据复合函数单调性同增异减 ‎ 在上是单调递增.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】对于复合函数单调性的判断要掌握同增异减,对函数的内层和外层分别判断,即可得出单调性.‎ ‎16.函数与函数的图像有四个交点，则的取值范围是____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：函数的图象如下图所示，结合图象可得：当时，函数与的图象有四个交点，所以实数的取值范围是．‎ 考点：方程根的存性及根的个数的判定．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了方程根存在性及根的个数的判定，着重考查了一元二次函数的图象与性质，函数与方程关系等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化思想和数形结合思想的应用，本题解答的关键在于作出函数的图象，借助数形结合法求解．属于中档试题．‎ 三、解答题（共6小题，共70分）‎ ‎17.(1)计算：‎ ‎(2)解方程 ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用指数的运算法则即可得出答案.‎ ‎(2)将化简为,即可得出答案.‎ ‎【详解】(1) ‎ ‎ ‎ ‎(2)由方程 得,‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 经检验,是原方程的解,故原方程的解为 ‎【点睛】本题考查了指数的运算和求解对数方程.解对数方程时,要将方程化为同底数对数形式,利用真数相等求解方程,这是解本题的关键,属于基础题.‎ ‎18.讨论函数(a>0)在的单调性并证明.‎ ‎【答案】答案见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据定义法证明函数单调性,即在函数的定义域内任取,且,可通过作差法比较和大小,即可得到单调性 ‎【详解】在函数的定义域内任取,且 则 ‎ ‎ 故 ‎ ‎ ‎ ‎ 故在上是单调增函数.‎ ‎【点睛】本题考查了用定义法证明函数单调性.在用定义法证明函数单调时要注意在所给定义内要任取两个自变量,化简表达式, 时单调递增, 时单调递减.‎ ‎19.已知奇函数.‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）做的图象（不必写过程）；‎ ‎（3）若函数在区间上单调递增，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）2；（2）图象见解析；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出当x＜0时，函数的解析式，即可求得m的值；‎ ‎（2）分段作出函数的图象，即可得到y=f（x）的图象；‎ ‎（3）根据图象，利用函数f（x）在区间[﹣1，a﹣2]上单调递增，建立不等式，即可求a的取值范围．‎ ‎【详解】（1）设x＜0，则﹣x＞0，∴f（﹣x）=﹣x2﹣2x ‎∵函数是奇函数，∴f（x）=﹣f（﹣x）=x2+2x（x＜0）‎ ‎∴m=2；‎ ‎（2）函数图象如图所示：‎ ‎（3）要使在区间上单调递增，结合图象可知，﹣1＜a﹣2≤1，∴1＜a≤3．所以实数a的取值范围是．‎ ‎【考点】利用奇函数的定义求解析式，从而确定m值；利用函数的单调性确定参数a的取值范围．‎ ‎【点睛】利用数形结合的方法是解决本题的关键．‎ ‎20.已知函数的定义域为集合，函数的值域为集合，且，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：根据函数的定义域和指数函数的性质，得到集合，再利用，即可求解实数的取值范围.‎ 试题解析：由题意得 由，得 即，，，得 考点：函数的定义域与值域；集合的运算.‎ ‎21.已知集合.‎ ‎（1）若是空集,求的取值范围；‎ ‎（2）若中只有一个元素,求的值,并把这个元素写出来.‎ ‎【答案】（1）（2）时,；时，‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：（1）有由是空集,可得方程无解，故，由此解得的取值范围；（2）若中只有一个元素，则或，求出的值，再把的值代入方程，解得的值，即为所求.‎ 试题解析：（1）要使为空集,方程应无实根,应满足解得.‎ ‎（2）当时,方程为一次方程,有一解；‎ 当,方程为一元二次方程,使集合只有一个元素的条件是,解得,.‎ ‎∴时,，元素为： ；‎ 时，.元素为： ‎ ‎22.若f(x)是定义在(0，+∞)上的增函数，且 ‎(1)求f(1)的值；‎ ‎(2)若f(6)=1，解不等式f(x+3)−f()<2.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎(1)令,即可求得.‎ ‎(2)利用和对,结合单调性即可求出答案.‎ ‎【详解】(1) ‎ 令得: 故:‎ ‎(2) ‎ ‎ 化简为: ‎ 即 ‎ 又 可得: ‎ ‎ ‎ 是定义在(0，+∞)上的增函数 则: ‎ 解①得 ‎ 解②得 ‎ 解③:当得: ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 得方程的解为: ‎ 综上所述,原不等式的解集为 .‎ ‎【点睛】利用函数单调性解函数不等式:首先根据函数的性质把不等式转化为的形式,然后根据函数的单调性去掉"",转化为具体的不等式(组),此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内.‎