2019-2020学年江西省新余一中高一3月零班网上摸底考试数学试题

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2019-2020学年江西省新余一中高一3月零班网上摸底考试数学试题

江西省新余一中2019-2020学年高一3月零班网上摸底考试 数学试卷 考试时间:100分钟;命题人:‎ 注意事项:‎ ‎1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 ‎2.请将答案正确填写在答题卡上 第I卷(选择题)‎ 请点击修改第I卷的文字说明 一、单选题 ‎1.已知,则的大小关系为 A. B. C. D.‎ ‎2.已知函数满足,求的值为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎3.若函数的定义域为,值域为,则的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎4.函数的图象如图所示,为了得到的图象,可将的图象( )‎ A.向右平移个单位 B.向右平移个单位 C.向左平移个单位 D.向左平移个单位 ‎5.设函数 ,若函数恰有三个零点,, ,则的值是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎6.对于函数,在使成立的所有常数中,我们把的最小值称为函数的“下确界”.若函数,的“下确界”为,则的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎7.的值是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎8.给出下列命题:‎ ‎(1)存在实数使 .‎ ‎(2)直线是函数图象的一条对称轴.‎ ‎(3)的值域是.‎ ‎(4)若都是第一象限角,且,则.‎ 其中正确命题的题号为( )‎ A.(1)(2) B.(2)(3) C.(3)(4) D.(1)(4)‎ ‎9.函数在区间(,)内的图象是(   )‎ A. B.‎ ‎ C. D.‎ ‎10.关于函数,下列说法正确的是( )‎ A.是奇函数 B.在区间上单调递增 C.为其图象的一个对称中心 D.最小正周期为 ‎11.已知等差数列的前项和有最小值,且,则使得成立的的最小值是( )‎ A.11 B.‎12 ‎C.21 D.22‎ ‎12.已知是等比数列的前项和,若存在,满足,,则数列的公比为( )‎ A. B. C.2 D.3‎ 第II卷(非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 二、填空题 ‎13.若直线与曲线有公共点,则的取值范围是______.‎ ‎14.已知定点,是圆上的动点,则当取到最大值时,点的坐标为______.‎ ‎15.已知数列为正项的递增等比数列,,,记数列的前n项和为,则使不等式成立的最大正整数n的值是_______.‎ ‎16.对于数列,定义为数列的“好数”,已知某数列的“好数”,记数列的前项和为,若对任意的恒成立,则实数的取值范围是______.‎ 三、解答题 ‎17.已知数列是等比数列,,是和的等差中项.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)设,求数列的前项和.‎ ‎18.如图,在三棱柱中,侧面是正方形,分别是,的中点,平面.‎ ‎(1)求证:平面平面;‎ ‎(2)求证:平面;‎ ‎(3)若三棱柱的体积为10,求三棱锥的体积.‎ ‎19.正项数列的前n项和Sn满足:‎ ‎ (1)求数列的通项公式; ‎ ‎(2)令,数列{bn}的前n项和为Tn,证明:对于任意的n∈N*,都有Tn< .‎ ‎20.已知点,,直线:,设圆的半径为,圆心在直线上.‎ ‎(1)若圆心也在直线上,过点作圆的切线,求切线的方程;‎ ‎(2)若圆上存在点,使,为坐标原点,求圆心的横坐标的取值范围.‎ ‎21.已知函数,的部分图象如图所示.‎ ‎(1)求的解析式,并说明的图象怎样经过2次变换得到的图象;‎ ‎(2)若对于任意的,不等式恒成立,求实数的取值范围.‎ ‎22.设函数,,数列满足条件:对于,,且,并有关系式:,又设数列满足(且,).‎ ‎(1)求证数列为等比数列,并求数列的通项公式;‎ ‎(2)试问数列是否为等差数列,如果是,请写出公差,如果不是,说明理由;‎ ‎(3)若,记,,设数列的前项和为,数列的前项和为,若对任意的,不等式恒成立,试求实数的取值范围.‎ 参考答案 ‎1.D2.B3.C4.A5.B6.A7.B8.C9.D10.C11.D12.D ‎13.若直线与曲线有公共点,则的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎14.已知定点,是圆上的动点,则当取到最大值时,点的坐标为______.‎ ‎【答案】‎ ‎15.已知数列为正项的递增等比数列,,,记数列的前n项和为,则使不等式成立的最大正整数n的值是_______.‎ ‎【答案】6‎ ‎16.对于数列,定义为数列的“好数”,已知某数列的“好数”,记数列的前项和为,若对任意的恒成立,则实数的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ 三、解答题 ‎17.已知数列是等比数列,,是和的等差中项.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)设,求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1)();(2).‎ 解:(1)设数列的公比为,‎ 因为,所以,.‎ 因为是和的等差中项,所以.‎ 即,化简得.‎ 因为公比,所以.‎ 所以().‎ ‎(2)因为,所以.‎ ‎.‎ 则,①‎ ‎.②‎ ‎①-②得,‎ ‎,‎ 所以.‎ ‎18.如图,在三棱柱中,侧面是正方形,分别是,的中点,平面.‎ ‎(1)求证:平面平面;‎ ‎(2)求证:平面;‎ ‎(3)若三棱柱的体积为10,求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)‎ ‎【详解】‎ ‎(1)∵平面,平面,∴,‎ 在正方形中,,‎ ‎∵,∴平面.‎ ‎∵平面,‎ ‎∴平面平面.‎ ‎(2)设中点为,连接,‎ ‎∵分别是的中点,‎ ‎∴,且.‎ 又点是的中点,∴.‎ ‎∵,且,‎ ‎∴,且,‎ ‎∴四边形是平行四边形,∴.‎ ‎∵平面,平面, ‎ ‎∴平面.‎ ‎(3)连接,则,‎ ‎∵为的中点,‎ ‎∴三棱锥的体积.‎ ‎19.正项数列的前n项和Sn满足:‎ ‎ (1)求数列的通项公式; ‎ ‎(2)令,数列{bn}的前n项和为Tn,证明:对于任意的n∈N*,都有Tn< .‎ ‎【答案】(1)(2)见解析 ‎【详解】‎ ‎(1)因为数列的前项和满足:,‎ 所以当时,,‎ 即 解得或,‎ 因为数列都是正项,‎ 所以,‎ 因为,‎ 所以,‎ 解得或,‎ 因为数列都是正项,‎ 所以,‎ 当时,有,‎ 所以,‎ 解得,‎ 当时,,符合 所以数列的通项公式,;‎ ‎(2)因为,‎ 所以 ‎,‎ 所以数列的前项和为:‎ ‎,‎ 当时,‎ 有,‎ 所以,‎ 所以对于任意,数列的前项和.‎ ‎20.已知点,,直线:,设圆的半径为,圆心在直线上.‎ ‎(1)若圆心也在直线上,过点作圆的切线,求切线的方程;‎ ‎(2)若圆上存在点,使,为坐标原点,求圆心的横坐标的取值范围.‎ ‎【答案】(1)或.(2)或.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由得:,所以圆C:.. ‎ 当切线的斜率存在时,设切线方程为,由,解得:‎ 当切线的斜率不存在时,即也满足 所以切线方程为:或. ‎ ‎(2)由圆心在直线l:上,设 设点,由得:‎ 化简得:,所以点M在以为圆心,2为半径的圆上. ‎ 又点M在圆C上,所以圆C与圆D有交点,则 即,解得:或.‎ ‎21.已知函数,的部分图象如图所示.‎ ‎(1)求的解析式,并说明的图象怎样经过2次变换得到的图象;‎ ‎(2)若对于任意的,不等式恒成立,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1),变换见解析;(2).‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由图得,‎ 因为为函数递增区间上的零点,‎ 所以,即.‎ 因为,所以,‎ 即,‎ 将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍(纵坐标不变),再将所得图象向左平移个单位长度可得;‎ ‎ (2)因为,所以,‎ 所以当时,取最小值,‎ 当时,取最大值1,‎ 因为恒成立,即恒成立,‎ 所以,‎ 即.‎ ‎22.设函数,,数列满足条件:对于,,且,并有关系式:,又设数列满足(且,).‎ ‎(1)求证数列为等比数列,并求数列的通项公式;‎ ‎(2)试问数列是否为等差数列,如果是,请写出公差,如果不是,说明理由;‎ ‎(3)若,记,,设数列的前项和为,数列的前项和为,若对任意的,不等式恒成立,试求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)证明见解析,;(2)证明见解析,公差为;(3).‎ ‎【详解】‎ ‎(1)证明:∵,,,‎ ‎∴,即,,‎ 又,所以,∴是等比数列.‎ ‎,∴.‎ ‎(2)证明:∵,∴,‎ ‎∴‎ ‎∴数列是等差数列,公差为,首项为.‎ ‎(3)由及(1)(2)得,,,‎ ‎,‎ ‎∴,‎ 两式相减得:,‎ ‎∴,‎ ‎∴不等式为:‎ ‎,整理得对恒成立,‎ 令,‎ 由,因此递增,且大于0,‎ 所以递增,当时,,且,故,‎ 所以的范围是.‎
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