重庆市育才中学2020届高三上学期第一次月考数学试题

重庆市育才中学2020届高三上学期第一次月考数学试题

重庆育才中学校高2020级2019-2020学年上学期第一次 月考理科数学试题 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ‎1.已知是纯虚数，若，则实数的值为（ ）‎ A. 1 B. 3 C. -1 D. -3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】设 ,则 ,选B.‎ ‎2.已知集合，则集合的非空子集个数为（　 　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据一元二次不等式求解出集合中的元素，根据集合中的元素个数即可求解出集合的非空子集个数.‎ ‎【详解】因为，所以，所以或，‎ 所以，所以集合的非空子集个数为：.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查求集合的非空子集个数，难度较易.已知集合中含有个元素，则的子集个数为：，真子集个数为：，非空真子集个数为：.‎ ‎3.命题“，使”的否定是（　 　）‎ A ，使 B. ，使 C. ，使 D. ，使 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 含一个量词的命题的否定方法：修改量词，否定结论，据此得到命题的否定.‎ ‎【详解】因为改为，变为，‎ 所以得到命题的否定为：，使.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查含一个量词的命题的否定，难度较易.注意在修改量词的同时否定结论.‎ ‎4.在数列中，，，则的值为（　 　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由递推公式说明是等差数列，利用等差数列定义求解出通项公式即可求解出的值.‎ ‎【详解】因为，所以，所以是首项为，公差为的等差数列，‎ 所以，所以.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的判断以及计算，难度较易.已知数列满足或，则是等差数列.‎ ‎5.若函数f(x)=ax4+bx2+c满足f'(1)=2,则f'(-1)= ( )‎ A. -1 B. -2‎ C. 2 D. 0‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎∵，∴，令函数，可得，即函数为奇函数，∴，故选B.‎ ‎6.设实数，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】 ,而,所以 , ,所以 ,选C.‎ ‎7.在中，是延长线上一点，若，点为线段的中点，，则（　 　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取平面内一组基底，将用表示出来，即可求解出的值，从而可知的值.‎ ‎【详解】如图所示：‎ 因为，，‎ 所以，‎ 所以，所以，所以.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查向量的线性运算以及数乘在几何中的应用，难度较易.若要将一个向量写成几个向量和或差的形式，可借助基底去表示对应向量.‎ ‎8.在等比数列中，若，是方程两根，则的值是（　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ a3，a7是方程x2+4x+2=0的两根，可得a3•a7=2，a3+a7=﹣4，可得a3＜0，a7＜0，根据等比数列的性质可得：奇数项的符号相同，可得a5＜0．利用性质可得：a5=﹣．‎ ‎【详解】a3，a7是方程x2+4x+2=0的两根，‎ ‎∴a3•a7=2，a3+a7=﹣4，∴a3＜0，a7＜0，‎ 根据等比数列的性质可得：奇数项的符号相同，‎ ‎∴a5＜0．∴a5=﹣=﹣．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查了等比数列的通项公式及其性质、一元二次方程的根与系数的关系，其中判断a5＜0，是解题的关键，属于基础题．‎ ‎9.将函数的横坐标伸长为原来的倍，再将函数图象左移，得到图象对应解析式是（　 　）‎ A. B. ‎ C D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 横坐标伸长为原来的倍，则变为原来的，再根据左加右减的原则，在这个整体上进行平移，即可得到对应图象的解析式.‎ ‎【详解】因为的横坐标伸长为原米的倍，所以可得到，‎ 将向左移动，可得到.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数图象的伸缩和平移变换，难度一般.对于的图象，若横坐标伸长到原来的倍，则变为；若纵坐标伸长到原来的倍，则变为；平移时注意的值对平移的影响.‎ ‎10.已知是定义在上的偶函数且，若当时，，则（　 　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据周期性可得，再根据奇偶性即可求解出的值，即可求得即的值.‎ ‎【详解】因为，所以，‎ 所以是周期为的函数，所以，‎ 又因为是偶函数，所以，‎ 又因为，所以，所以.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查根据函数的奇偶性和周期性求函数值，难度一般.已知 ‎，则是周期为的函数.‎ ‎11.已知，，分别为三角形ABC中角，，的对边，已知，，，则的面积等于（　　 ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由得到的关系，根据以及求解出的值，再根据三角形面积公式即可求解出的面积.‎ ‎【详解】因为，所以，所以，‎ 又因为，所以，所以，‎ 因为，所以，‎ 所以.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查三角形面积的求解，难度一般.求解三角形面积时，注意公式的选择，选择两边及其夹角已知的一组公式.‎ ‎12.已知，函数若的值域为，则的最大值与最小值之积为（ ）‎ A B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎，分别作出和的图像， 在 是减函数且 ，因的值域是，故只能在上取最小值，所以. 又，否则时，，时，，时，在上无意义. 故的最小值为，最大值为，它们的乘积为，选 B.‎ 点睛：这是一个动态变化的问题，注意到函数在区间有最大值，但无最小值，故函数的最小值只能在取得，但是，因此且 ，再根据的最大值为3，得到，所以的最小值为，最大值为，它们的乘积为6.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分；把答案填写在答题卡相应位置上 ‎13.弧长为，圆心角为弧度的扇形，则扇形面积为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据弧长和圆心角计算出扇形的半径，然后根据扇形面积公式即可求解出扇形的面积.‎ ‎【详解】因为扇形的弧长为，圆心角，‎ 所以扇形的半径为，‎ 所以扇形的面积为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查扇形的面积计算，难度较易.已知扇形的半径为，圆心角的弧度数为，则扇形的弧长为，扇形的面积为.‎ ‎14.已知非零向量，的夹角为60°，且，，则＝_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件计算出的值，然后将平方并利用数量积公式进行化简计算，即可得到的值.‎ ‎【详解】∵非零向量，的夹角为60°，且，，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴，‎ ‎，.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查向量的模长计算，难度一般.已知，求解向量的模长或者向量的夹角时，可通过将平方并利用向量数量积公式完成相关问题的求解.‎ ‎15.已知，,若，，则______.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知条件推导出x，y∈（0，+∞），，，由此能求出．‎ ‎【详解】∵x，y∈（0，+∞），‎ ‎，，∴8y3+lny+ln2+2＝0，‎ ‎∴（2y）3+ln（2y）+2＝0，构造函数f（x）=,则f（x）在上是单调递增的，‎ ‎∴x＝2y，∴．‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】本题考查了构造函数并利用函数单调性解决问题的方法，注意对数的运算性质的合理运用，属于难题．‎ ‎16.在中，，，，线段在斜边上运动，且，设，则的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎∵中，，,，‎ ‎∴,‎ ‎∴．‎ 如图，建立平面直角坐标系，设,则， ‎ ‎∴点的坐标分别为，‎ ‎∴,‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，即的范围为．‎ 答案：‎ 点睛：本题运用了解析法解题，通过代数运算求得所要的结果．解题时建立恰当的直角坐标系是解题的基础，在此基础上得到相关点的坐标，将转化为两角差的正切值是解题的关键，然后根据所得的结果，借助函数的知识求得的取值范围，本题的解法体现了转化思想在解题中的应用．‎ 三、解答题：本大题共5小题，共70分；解答应写文学说明、证明过程或演算步骤 ‎17.月日位于重庆朝天门的来福士广场开业，成了网红城市的又一打卡胜地重庆育才谢家湾校区与来福士之间的驾车往返所需时间为，只与道路畅通状况有关，对其容量为的样本进行统计，结果如下：‎ ‎（小时）‎ ‎ ‎ 频数（次）‎ 以这次驾车往返所需时间的频率代替某人次驾车往返所需时间的概率．‎ ‎（1）记的期望为，求；‎ ‎（2）某天有位教师独自驾车从谢家校区返于来福士，记表示这位教师中驾车所用时间少于的人数，求X的分布列与．‎ ‎【答案】（1）；（2）分布列见解析，．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先根据图表，计算出取不同值对应的概率，然后计算出的值，然后将与作比较，计算出的概率即可；‎ ‎(2)首先判断出服从二项分布，然后根据二项分布对应的概率计算方法求解出的分布列，并求解出的值.‎ ‎【详解】（1）P（T＝0.8）0.2，‎ P（T＝0.9）0.3，‎ P（T＝1）0.4，‎ P（T＝1.1）0.1，‎ ‎∴T的分布列为：‎ ‎ T ‎ 0.8‎ ‎ 0.9‎ ‎ 1‎ ‎ 1.1‎ ‎ P ‎ 0.2‎ ‎ 0.3‎ ‎ 0.4‎ ‎ 0.1‎ E（T）＝0.8×0.2+0.9×0.3+1×0.4+1.1×0.1＝0.94，‎ ‎∴P（T＜E（T））＝P（T＝0.8）+P（T＝0.9）＝0.2+0.3＝0.5．‎ ‎（2）某天有3位教师独自驾车从谢家校区返于来福士，记X表示这3位教师中驾车所用时间少于E（T）的人数，‎ ‎∴X～B（3，），‎ ‎∴P（X＝0），‎ P（X＝1），‎ P（X＝2），‎ P（X＝3），‎ ‎∴X的分布列为：‎ ‎ X ‎ 0‎ ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ P ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ E（X）＝3．‎ ‎【点睛】本题考查离散型随机变量得概率和期望的求解，难度一般.当随机变量满足，‎ 则.‎ ‎18.已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是边长为2的菱形，且∠BAD，AA1⊥平面ABCD，AA1＝1，设E为CD的中点．‎ ‎（1）求证：D1E⊥平面BEC1；‎ ‎（2）点F在线段A1B1上，且AF∥平面BEC1，求平面ADF和平面BEC1所成锐角的正切值．‎ ‎【答案】（1）证明见解析 （2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)通过线面垂直的证明得到BE⊥D1E，再根据长度关系得到D1E⊥C1E，根据线面垂直的判定定理即可完成证明；‎ ‎(2)建立空间直角坐标系求出的坐标，再根据平面ADF和平面BEC1‎ 的法向量求解出所成锐二面角的余弦值，即可求解出对应的正切值.‎ ‎【详解】（1）证明：由已知该四棱柱为直四棱柱，且△BCD为等边三角形，BE⊥CD，‎ ‎∴BE⊥平面CDD1C1，‎ 又D1E⊂平面CDD1C1，‎ ‎∴BE⊥D1E，‎ ‎∵△C1D1E的三边长分别为，‎ ‎∴△C1D1E为等腰直角三角形，‎ ‎∴D1E⊥C1E，结合BE⊥D1E可知，D1E⊥平面BEC1；‎ ‎（2）取AB中点G，则由△ABD为等边三角形知，DG⊥AB，从而DG⊥DC，‎ 以DC，DG，DD1为坐标轴，建立如图所示的坐标系，‎ 此时，，‎ 设，易知平面BEC1的法向量为，‎ 由于AF平面BEC1，故AF∥平面BEC1，‎ ‎∴，则λ+1﹣1＝0，解得λ＝0，‎ ‎∴，‎ 设平面ADF的法向量为，‎ 由知，，取，则，‎ 设平面ADF和平面BEC1所成锐角为，则，‎ ‎，‎ 即平面ADF和平面BEC1所成锐角的正切值．‎ ‎【点睛】本题考查立体几何中的证明以及用向量方法求解二面角的正切值，难度一般.(1)线面垂直的证明，可通过平面外一条直线垂直于平面内的两条相交直线来完成证明；(2)用向量方法求解二面角的余弦值，可先通过平面的法向量求解出法向量夹角的余弦值，再根据图形判断出平面所成角的大小是锐角还是钝角，由此得到二面角的余弦值.‎ ‎19.已知函数f(x)sinωx﹣2sin2(ω＞0)的最小正周期为3π．‎ ‎（1）求函数f(x)的表达式并求单调递增区间；‎ ‎（2）已知a，b，c分别为锐角三角形ABC中角A，B，C的对边，且满足b＝3，f(A)1，a＝2bsinA．求△ABC的面积．‎ ‎【答案】（1）f(x)＝2sin(x)-1，；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先利用二倍角公式将化简，然后利用辅助角公式将合并，则由周期公式即可计算出的值，并根据的单调增区间的公式求解出的单调增区间；‎ ‎(2)利用正弦定理求解出的值，然后根据三角形的面积公式代入相关数值即可求解出△ABC的面积.‎ ‎【详解】（1）∵f(x)sinωx﹣22sin(ωx)﹣1，‎ ‎∴3π，‎ ‎∴ω，‎ ‎∴f（x）＝2sin(x)﹣1，‎ 由2kπx2kπ，，解得：3kπ﹣π≤x≤3kπ，，‎ ‎∴函数的单调递增区间为：，‎ ‎（2）由正弦定理：2R，‎ ‎∴a＝2RsinA，b＝2RsinB，‎ ‎∵a＝2bsinA，sinA＝2sinBsinA，‎ ‎∴sinB，‎ ‎∵0＜B，‎ ‎∴B，‎ 由f(A)1，即f(A)＝2sin(A)﹣11，‎ 解得：A，由正弦定理得：a，‎ ‎∴S△ABCabsinC3sin[π﹣()]．‎ ‎【点睛】本题考查三角恒等变换与解三角形的综合应用，难度一般.(1)常见的二倍角公式：，；(2)解三角形问题中，注意隐含条件.‎ ‎20.在平面直角坐标系中，分别为椭圆：的左、右焦点,为短轴的一个端点，是椭圆上的一点，满足，且的周长为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设点是线段上的一点，过点且与轴不垂直的直线交椭圆于两点，若是以为顶点的等腰三角形，求点到直线距离的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由已知，设，则，，，由此能求出椭圆的方程；（2）设点，（），直线的方程为，k≠0，由，得：，由此利用韦达定理、中点坐标公式、点到直线的距离公式，结合已知条件能求出点到直线距离的取值范围.‎ 试题解析：（1）由已知，设，即 ‎∴即 ∴ 得：①‎ 又的周长为∴ ② ‎ 又①②得： ∴ ∴所求椭圆的方程为： ‎ ‎（2）设点,直线的方程为 由 消去，得： ‎ 设，中点为 ‎ 则 ∴‎ ‎∴ 即 ‎ ‎∵是以为顶点的等腰三角形 ∴ 即 ‎ ‎∴ ‎ 设点到直线距离为，‎ 则 ∴‎ 即点到直线距离的取值范围是．‎ ‎21.已知函数，曲线在点处的切线方程为．‎ ‎（1）求、的值；‎ ‎（2）如果当，且时，，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1），（2）（-，0]‎ ‎【解析】‎ ‎（1）‎ 由于直线的斜率为，且过点，故即 解得，．‎ ‎（2）由（1）知，所以 ‎．‎ 考虑函数，则．‎ ‎(i)设，由知，当时，，h(x)递减．而 故当时，，可得；‎ 当x（1，+）时，h（x）<0，可得h（x）>0‎ 从而当x>0,且x1时，f（x）-（+）>0，即f（x）>+.‎ ‎（ii）设00,故(x）>0,而h（1）=0，故当x（1，）时，h（x）>0，可得h（x）<0,与题设矛盾．‎ ‎（iii）设k1.此时，（x）>0,而h（1）=0，故当x（1，+）时，h（x）>0，可得h（x）<0,与题设矛盾．‎ 综合得，k的取值范围为（-，0]‎ 点评：求参数的范围一般用离参法，然后用导数求出最值进行求解．若求导后不易得到极值点，可二次求导，还不行时，就要使用参数讨论法了．即以参数为分类标准，看是否符合题意．求的答案．此题用的便是后者．‎ 请考生在第22、23中任选一题作答，并用2B铅笔把答题卡上所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分：不涂、多涂均按所答第一题评分多答则按所答第一题计分 ‎22.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，.‎ ‎（1）求的直角坐标方程；‎ ‎（2）曲线的参数方程为（t为参数），求与的公共点的极坐标.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】（1）将代入得：.‎ ‎（2）由题设可知，是过坐标原点，倾斜角为的直线，‎ 因此的极坐标方程为或，‎ 将代入，解得：，‎ 将代入得，不合题意，故公共点的极坐标为．‎ ‎23.‎ 已知函数，不等式的解集为.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）记集合的最大元素为，若正数满足，求证：.‎ ‎【答案】（1）；（2）详见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）利用零点分段法去绝对值，将原函数写成分段函数，由此可求解得不等式的解集.（2）由（1）得，即，利用分析法和基本不等式，可将不等式右边，两两组合并缩小为左边的形式，由此证得不等式成立.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由零点分段法化为:或或 或，所以集合.‎ ‎（2）集合中最大元素为，所以，其中，因为，‎ 三式相加得：.‎ ‎ ‎