2020届高考理科数学全优二轮复习训练:小题专项训练6

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2020届高考理科数学全优二轮复习训练:小题专项训练6

小题专项训练 6 解三角形 一、选择题 1.在锐角△ABC 中,角 A,B 所对的边长分别为 a,b,2asin B=b,则 A 等于(  ) A.π 3  B.π 4   C.π 6  D. π 12 【答案】C 【解析】由 2asin B=b 及正弦定理,得 2sin Asin B=sin B,故 sin A= 1 2.又△ABC 为锐角 三角形,则 A=π 6. 2.(2019 年四川模拟)△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若(a2+c2-b2)tan B=ac,则角 B 的值为(  ) A.π 6  B.π 3   C.π 6或5π 6   D.π 3或2π 3 【答案】C 【解析】由余弦定理 cos B=a2+c2-b2 2ac 结合已知可得 cos B= 1 2tan B,则 cos B= cos B 2sin B.由 tan B 有意义,可知 B≠π 2,则 cos B≠0,所以 sin B=1 2,则 B=π 6或5π 6 .故选 C. 3.如图,设 A,B 两点在河的两岸,一测量者在 A 的同侧,在所在的河岸边选定一点 C, 测出 AC 的距离为 50 m,∠ACB=45°,∠CAB=105°后,就可以计算出 A,B 两点的距离为(  ) A.50 2 m  B.50 3 m C.25 2 m  D.25 2 2 m 【答案】A 【解析】由正弦定理得 AB sin∠ACB= AC sin B,所以 AB= AC·sin∠ACB sin B =50 sin 45° sin 30° =50 2 (m). 4.(2019 年吉林四平模拟)在△ABC 中,D 为 AC 边上一点,若 BD=3,CD=4,AD=5, AB=7,则 BC=(  ) A.2 2  B.2 3   C. 37  D. 13 【答案】D 【解析】如图,∠ADB+∠CDB=180°,则 cos ∠ADB=-cos ∠CDB,即 32+52-72 2 × 3 × 5 =-32+42-BC2 2 × 3 × 4,解得 BC= 13.故选 D. 5.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 c=2a,bsin B-asin A=1 2asin C,则 sin B 为(  ) A. 7 4   B.3 4   C. 7 3      D.1 3 【答案】A 【解析】由 bsin B-asin A=1 2asin C,可得 b2-a2=1 2ac,又 c=2a,得 b= 2a.∵cos B= a2+c2-b2 2ac =a2+4a2-2a2 4a2 =3 4,∴sin B= 1-(3 4 )2= 7 4 . 6.(2018 年江西南昌模拟)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 cos 2A =sin A,bc=2,则△ABC 的面积为(  ) A.1 4  B.1 2   C.1  D.2 【答案】B 【解析】由 cos 2A=sin A,得 1-2sin2A=sin A,解得 sin A=1 2(负值舍去).又 bc=2,得 S△ABC=1 2bcsin A=1 2. 7.若△ABC 的三个内角满足sin B-sin A sin B-sin C= c a+b,则 A=(  ) A.π 6  B.π 3   C.2π 3   D.π 3或2π 3 【答案】B 【解析】由sin B-sin A sin B-sin C= c a+b及结合正弦定理,得b-a b-c= c a+b,整理得 b2+c2-a2=bc, 所以 cos A=b2+c2-a2 2bc =1 2.由 A 为三角形的内角,知 A=π 3. 8.(2018 年河南开封一模)已知锐角三角形 ABC,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 b2 =a(a+c),则 sin2A sin(B-A)的取值范围是(  ) A.(0,1)  B.(0, 2 2 ) C.(1 2, 2 2 )  D.(1 2,1 ) 【答案】C 【解析】由 b2=a(a+c)及余弦定理,得 c-a=2acos B.由正弦定理,得 sin C-sin A=2sin Acos B.∵A+B+C=π,∴sin(A+B)-sin A=2sin Acos B,∴sin(B-A)=sin A.∵△ABC 是 锐角三角形,∴B-A=A,即 B=2A.∴π 6<A<π 4,则 sin2A sin(B-A)=sin A∈(1 2, 2 2 ). 9.△ABC 中,三边长 a,b,c 满足 a3+b3=c3,那么△ABC 的形状为(  ) A.锐角三角形  B.直角三角形 C.钝角三角形      D.以上均有可能 【答案】A 【解析】由题意可知 c 边最大,即 c>a,c>b,则 a2c+b2c>a3+b3=c3,则 a2+b2-c2>0. 由余弦定理得 cos C>0,∴0a2+b2; ③cos Bcos C>sin Bsin C; ④△ABC 是钝角三角形. 其中正确结论的序号是________. 【答案】①②④ 【解析】∵2Ssin A<(BA → ·BC → )sin B,∴2×1 2bc·sin Asin A0,∴cos B>sin A>0,∴A,B 均是锐角.而 cos B=sin(90°-B),∴sin(90°-B)>sin A,即 90°-B>A,则 A+B<90°.∴C>90°.△ ABC 是钝角三角形.由余弦定理得 cos C=a2+b2-c2 2ab <0,cos A=b2+c2-a2 2bc >0,即有 c2>a2+ b2,a2
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