北师大版高三数学复习专题-三角函数、三角恒等变形、解三角形基础达标-第4章第2节

北师大版高三数学复习专题-三角函数、三角恒等变形、解三角形基础达标-第4章第2节

第四章 第二节 一、选择题 1．sin600°＋tan240°的值是( ) A．－ 3 2 B． 3 2 C．－1 2 ＋ 3 D．1 2 ＋ 3 [答案] B [解析] sin600°＋tan240°＝sin240°＋tan240° ＝sin(180°＋60°)＋tan(180°＋60°) ＝－sin60°＋tan60°＝－ 3 2 ＋ 3＝ 3 2 . 2．(文)若 tanα＝2，则2sinα－cosα sinα＋2cosα 的值为( ) A．0 B．3 4 C．1 D．5 4 [答案] B [解析] 2sinα－cosα sinα＋2cosα ＝2tanα－1 tanα＋2 ＝2×2－1 2＋2 ＝3 4. (理)已知 tanθ＝2，则 sin π 2 ＋θ －cosπ＋θ sin π 2 －θ －sinπ－θ ＝( ) A．2 B．－2 C．0 D．2 3 [答案] B [解析] sin π 2 ＋θ －cosπ＋θ sin π 2 －θ －sinπ－θ ＝cosθ＋cosθ cosθ－sinθ ＝ 2 1－tanθ ＝ 2 1－2 ＝－2. 3．已知 sinα＝2 3 ，α∈(π 2 ，3π 2 )，则 cos(π－α)＝( ) A．－ 5 3 B．－1 9 C．1 9 D． 5 3 [答案] D [解析] 由诱导公式，得 cos(π－α)＝－cosα. ∵cos2α＝1－sin2α＝1－4 9 ＝5 9 ， 又 sinα>0 且α∈(π 2 ，3π 2 )， ∴cosα＝－ 5 3 ，∴cos(π－α)＝ 5 3 . 4．(文)“x＝2kπ＋π 4(k∈Z)”是“tanx＝1”成立的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 [答案] A [解析] tan(2kπ＋π 4)＝tanπ 4 ＝1(k∈Z)；反之 tanx＝1，则 x＝kπ＋π 4(k∈Z)．所以“x＝2kπ ＋π 4(k∈Z)”是“tanx＝1”的充分不必要条件． (理)“θ＝2π 3 ”是“tanθ＝2cos(π 2 ＋θ)”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 [答案] A [解析] ∵tanθ＝2cos(π 2 ＋θ)＝－2sinθ，即sinθ cosθ ＝－2sinθ. ∴sinθ＝0 或 cosθ＝－1 2.显然θ＝2π 3 时，cosθ＝－1 2 ，但 sinθ＝0 时，θ≠2 3π. 故“θ＝2π 3 ”是“tanθ＝2cos(π 2 ＋θ)”的充分不必要条件． 5．(文)(2015·深圳调研)若角α的终边落在直线 x＋y＝0 上，则 sinα 1－sin2α ＋ 1－cos2α cosα 的 值等于( ) A．－2 B．2 C．－2 或 2 D．0 [答案] D [解析] 原式＝ sinα |cosα| ＋|sinα| cosα ，由题意知角α的终边在第二、四象限，sinα与 cosα的符号 相反，所以原式＝0. (理)(2015·桂林调研)若 tanθ＋ 1 tanθ ＝4，则 sin2θ的值为( ) A．1 5 B．1 4 C．1 3 D．1 2 [答案] D [解析] ∵tanθ＋ 1 tanθ ＝1＋tan2θ tanθ ＝4， ∴4tanθ＝1＋tan2θ， ∴sin2θ＝2sinθcosθ＝ 2sinθcosθ sin2θ＋cos2θ ＝ 2tanθ 1＋tan2θ ＝2tanθ 4tanθ ＝1 2. 6．若α为三角形的一个内角，且 sinα＋cosα＝2 3 ，则这个三角形是( ) A．正三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 [答案] D [解析] ∵(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝4 9 ， ∴sinαcosα＝－ 5 18<0，∴α为钝角，故选 D． 二、填空题 7．若 sin(π＋α)＝－1 2 ，α∈(π 2 ，π)，则 cosα＝________. [答案] － 3 2 [解析] ∵sin(π＋α)＝－sinα，∴sinα＝1 2 ， 又α∈(π 2 ，π)， ∴cosα＝－ 1－sin2α＝－ 3 2 . 8．如果 sinα＝1 5 ，且α为第二象限角，则 sin(3π 2 ＋α)＝________. [答案] 2 6 5 [解析] ∵sinα＝1 5 ，且α为第二象限角， ∴cosα＝－ 1－sin2α＝－ 1－ 1 25 ＝－2 6 5 ， ∴sin(3π 2 ＋α)＝－cosα＝2 6 5 . 9．(2014·杭州调研)设 f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中 a，b，α，β∈R，且 ab≠0， α≠kπ(k∈Z)．若 f(2 014)＝－5，则 f(2 015)＝________. [答案] 5 [解析] ∵f(2 014)＝asin(2 014π＋α)＋bcos(2 014π＋β)＝asinα＋bcosβ＝－5， ∴f(2 015)＝asin(2 015π＋α)＋bcos(2 015π＋β)＝－asinα－bcosα＝5. 三、解答题 10．(文)已知 cos(π＋α)＝－1 2 ，且α在第四象限，计算： (1)sin(2π－α)； (2)sin[α＋2n＋1π]＋sinπ＋α sinπ－α·cosα＋2nπ (n∈Z)． [解析] ∵cos(π＋α)＝－1 2. ∴－cosα＝－1 2 ，cosα＝1 2 ， 又∵α在第四象限， ∴sinα＝－ 1－cos2α＝－ 3 2 . (1)sin(2π－α)＝sin[2π＋(－α)] ＝sin(－α)＝－sinα＝ 3 2 . (2)sin[α＋2n＋1π]＋sinπ＋α sinπ－αcosα＋2nπ ＝sinα＋2nπ＋π－sinα sinαcosα ＝sinπ＋α－sinα sinαcosα ＝ －2sinα sinαcosα ＝－ 2 cosα ＝－4. (理)已知 sin(π－α)－cos(π＋α)＝ 2 3 π 2<α<π ，求下列各式的值： (1)sinα－cosα； (2)sin3 π 2 －α ＋cos3 π 2 ＋α . [分析] (1)化简已知条件 sinα＋cosα＝ 2 3 ，再平方求 sinαcosα则可求(sinα－cosα)2，最 后得 sinα－cosα. (2)化简 cos3α－sin3α，再因式分解并利用(1)求解． [解析] 由 sin(π－α)－cos(π＋α)＝ 2 3 ， 得 sinα＋cosα＝ 2 3 ， 两边平方，得 1＋2sinα·cosα＝2 9 ， 故 2sinα·cosα＝－7 9. 又π 2<α<π，∴sinα>0，cosα<0. (1)(sinα－cosα)2＝1－2sinα·cosα＝1－ －7 9 ＝16 9 ，∴sinα－cosα＝4 3. (2)sin3 π 2 －α ＋cos3 π 2 ＋α ＝cos3α－sin3α＝(cosα－sinα)(cos2α＋cosα·sinα＋sin2α) ＝－4 3 × 1－ 7 18 ＝－22 27. 一、选择题 1．(2014·新课标Ⅰ)设α∈(0，π 2)，β∈(0，π 2)，且 tanα＝1＋sinβ cosβ ，则( ) A．3α－β＝π 2 B．3α＋β＝π 2 C．2α－β＝π 2 D．2α＋β＝π 2 [答案] C [解析] 本题考查了诱导公式以及三角恒等变换．运用验证法． 解法 1：当 2α－β＝π 2 时，β＝2α－π 2 ， 所以 1＋sin2α－π 2  cos2α－π 2  ＝1－cos2α sin2α ＝2·sin2α sin2α ＝tanα. 解法 2：∵tanα＝sinα cosα ＝1＋sinβ cosβ ， ∴sin(α－β)＝cosα＝sin(π 2 －α)， ∵α、β∈(0，π 2)，∴α－β∈(－π 2 ，π 2)，π 2 －α∈(0，π 2)，∴α－β＝π 2 －α，∴2α－β＝π 2. 2．已知 cos π 6 －α ＝ 3 3 ，则 cos 5 6π＋α －sin2 α－π 6 的值是( ) A．2＋ 3 2 B．－2＋ 3 2 C．2－ 3 3 D．－2＋ 3 3 [答案] B [解析] ∵cos 5 6π＋α ＝cos π－ π 6 －α ＝－cos π 6 －α ＝－ 3 3 ， 而 sin2 α－π 6 ＝1－cos2 α－π 6 ＝1－1 3 ＝2 3 ， ∴原式＝－ 3 3 －2 3 ＝－2＋ 3 3 . 二、填空题 3．已知α∈(π，2π)，sin(α－7π 2 )＝－3 5 ，则 sin(3π＋α)的值为________． [答案] 4 5 [解析] sin(α－7π 2 )＝－sin(7π 2 －α)＝－sin(－π 2 －α)＝sin(π 2 ＋α)＝cosα＝－3 5 ， 又α∈(π，2π)，∴sinα＝－4 5. ∴sin(3π＋α)＝sin(π＋α)＝－sinα＝4 5. 4．设函数 f(x)＝sinx＋cosx，f ′(x)是 f(x)的导数，若 f(x)＝2f ′(x)，则sin2x－sin2x cos2x ＝ ________. [答案] －5 9 [解析] ∵f(x)＝sinx＋cosx，∴f ′(x)＝cosx－sinx， ∴sinx＋cosx＝2(cosx－sinx)， 即 3sinx＝cosx，得 tanx＝1 3 ， 于是sin2x－sin2x cos2x ＝sin2x－2sinxcosx cos2x ＝tan2x－2tanx＝1 9 －2 3 ＝－5 9. 三、解答题 5．已知 f(x)＝cos2nπ＋x·sin2nπ－x cos2[2n＋1π－x] (n∈Z)． (1)化简 f(x)的表达式； (2)求 f( π 2014)＋f(503π 1007)的值． [解析] (1)当 n 为偶函数，即 n＝2k(k∈Z)时， f(x)＝cos22kπ＋x·sin22kπ－x cos2[2×2k＋1π－x] ＝cos2x·sin2－x cos2π－x ＝cos2x·－sinx2 －cosx2 ＝sin2x； 当 n 为奇数，即 n＝2k＋1(k∈Z)时， f(x)＝cos2[2k＋1π＋x]·sin2[2k＋1π－x] cos2{[2×2k＋1＋1]π－x} ＝cos2[2kπ＋π＋x]·sin2[2kπ＋π－x] cos2[2×2k＋1π＋π－x] ＝cos2π＋x·sin2π－x cos2π－x ＝－cosx2sin2x －cosx2 ＝sin2x， 综上得 f(x)＝sin2x. (2)由(1)得 f( π 2014)＋f(503π 1007)＝sin2 π 2014 ＋sin21 006π 2014 ＝sin2 π 2014 ＋sin2(π 2 － π 2014) ＝sin2 π 2014 ＋cos2 π 2014 ＝1. 6．(文)已知 sinθ，cosθ是方程 x2－( 3－1)x＋m＝0 的两根． (1)求 m 的值； (2)求 sinθ 1－cosθ sinθ ＋ cosθ 1－tanθ 的值． [解析] (1)由韦达定理可得 sinθ＋cosθ＝ 3－1 ① sinθ·cosθ＝m ② ， 由①得 1＋2sinθ·cosθ＝4－2 3. 将②代入得 m＝3 2 － 3，满足Δ＝( 3－1)2－4m≥0，故所求 m 的值为3 2 － 3. (2)先化简： sinθ 1－cosθ sinθ ＋ cosθ 1－tanθ ＝ sinθ 1－cosθ sinθ ＋ cosθ 1－sinθ cosθ ＝ sin2θ sinθ－cosθ ＋ cos2θ cosθ－sinθ ＝cos2θ－sin2θ cosθ－sinθ ＝cosθ＋sinθ＝ 3－1. (理)已知 A、B、C 是三角形的内角， 3sinA，－cosA 是方程 x2－x＋2a＝0 的两根． (1)求角 A． (2)若1＋2sinBcosB cos2B－sin2B ＝－3，求 tanB． [解析] (1)由已知可得， 3sinA－cosA＝1 ① 又 sin2A＋cos2A＝1， ∴sin2A＋( 3sinA－1)2＝1， 即 4sin2A－2 3sinA＝0，得 sinA＝0(舍去)，sinA＝ 3 2 ， ∴A＝π 3 或2π 3 ， 将 A＝π 3 或2π 3 代入①知 A＝2 3π时不成立， ∴A＝π 3. (2)由1＋2sinBcosB cos2B－sin2B ＝－3， 得 sin2B－sinBcosB－2cos2B＝0， ∵cosB≠0，∴tan2B－tanB－2＝0， ∴tanB＝2 或 tanB＝－1. ∵tanB＝－1 使 cos2B－sin2B＝0，舍去， 故 tanB＝2.