【数学】2020届一轮复习（文）人教通用版4-6正弦定理和余弦定理学案
§4.6 正弦定理和余弦定理
最新考纲
考情考向分析
掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.
以利用正弦、余弦定理解三角形为主，常与三角函数的图象和性质、三角恒等变换、三角形中的几何计算交汇考查，加强数形结合思想的应用意识．题型多样，中档难度.
1．正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理
正弦定理
余弦定理
内容
(1)＝＝＝2R
(2)a2＝b2＋c2－2bccos A；
b2＝c2＋a2－2cacos B；
c2＝a2＋b2－2abcos C
变形
(3)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；
(4)sin A＝，sin B＝，sin C＝；
(5)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
(6)asin B＝bsin A，
bsin C＝csin B，
asin C＝csin A
(7)cos A＝；cos B＝；cos C＝
2．在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
a＝bsin A
bsin A
b
解的个数
一解
两解
一解
一解
3.三角形常用面积公式
(1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)；
(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A；
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)．
概念方法微思考
1．在△ABC中，∠A>∠B是否可推出sin A>sin B?
提示 在△ABC中，由∠A>∠B可推出sin A>sin B.
2．如图，在△ABC中，有如下结论：bcos C＋ccos B＝a.试类比写出另外两个式子．
提示 acos B＋bcos A＝c；acos C＋ccos A＝b.
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．( × )
(2)当b2＋c2－a2>0时，三角形ABC为锐角三角形．( × )
(3)在△ABC中，＝.( √ )
(4)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积．( √ )
题组二 教材改编
2．在△ABC中，acos A＝bcos B，则这个三角形的形状为 ．
答案 等腰三角形或直角三角形
解析 由正弦定理，得sin Acos A＝sin Bcos B，
即sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝，
所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形．
3．在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积为 ．
答案 2
解析 ∵＝，∴sin B＝1，∴B＝90°，
∴AB＝2，∴S△ABC＝×2×2＝2.
题组三 易错自纠
4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c0，∴cos B<0，∴B为钝角，
故△ABC为钝角三角形．
5．(2018·大连质检)在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是( )
A．有一解 B．有两解
C．无解 D．有解但解的个数不确定
答案 C
解析 由正弦定理得＝，∴sin B＝＝＝>1.
∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在．
6．(2018·包头模拟)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sin A＝5sin B，则C＝ .
答案
解析 由3sin A＝5sin B及正弦定理，得3a＝5b.又因为b＋c＝2a，所以a＝b，c＝b，
所以cos C＝＝＝－.
因为C∈(0，π)，所以C＝.
题型一 利用正弦、余弦定理解三角形
例1 (2018·天津)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsin A＝acos.
(1)求角B的大小；
(2)设a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值．
解 (1)在△ABC中，由正弦定理＝，
可得bsin A＝asin B.
又由bsin A＝acos，得asin B＝acos，
即sin B＝cos，所以tan B＝.
又因为B∈(0，π)，所以B＝.
(2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝，
得b2＝a2＋c2－2accos B＝7，故b＝.
由bsin A＝acos，可得sin A＝.
因为a0，∴sin A＝1，
即A＝，∴△ABC为直角三角形．
引申探究
1．本例(2)中，若将条件变为2sin Acos B＝sin C，判断△ABC的形状．
解 ∵2sin Acos B＝sin C＝sin(A＋B)，
∴2sin Acos B＝sin Acos B＋cos Asin B，
∴sin(A－B)＝0.
又A，B为△ABC的内角．
∴A＝B，∴△ABC为等腰三角形．
2．本例(2)中，若将条件变为a2＋b2－c2＝ab，且2cos Asin B＝sin C，判断△ABC的形状．
解 ∵a2＋b2－c2＝ab，∴cos C＝＝，
又0c，可得30°0，
∴1＝，即sin B＝cos A.
(2)解 由sin C－sin Acos B＝知，
sin(A＋B)－sin Acos B＝，∴cos Asin B＝.
由(1)知，sin B＝cos A，
∴cos2A＝，由于B是钝角，
故A∈，∴cos A＝，A＝.
sin B＝，B＝，∴C＝π－(A＋B)＝.
12．(2018·北京)在△ABC中，a＝7，b＝8，cos B＝－.
(1)求∠A；
(2)求AC边上的高．
解 (1)在△ABC中，因为cos B＝－，
所以sin B＝＝.
由正弦定理得sin A＝＝.
由题设知<∠B<π，所以0<∠A<，
所以∠A＝.
(2)在△ABC中，
因为sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝，
所以AC边上的高为asin C＝7×＝.
13．在△ABC中，a2＋b2＋c2＝2absin C，则△ABC的形状是( )
A．不等腰的直角三角形
B．等腰直角三角形
C．钝角三角形
D．正三角形
答案 D
解析 易知a2＋b2＋c2＝a2＋b2＋a2＋b2－2abcos C＝2absin C，即a2＋b2＝2absin，由于a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时取等号，所以2absin≥2ab，sin≥1，故只能a＝b且C＋＝，所以△ABC为正三角形．
14．(2018·包头模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足asin B＝bcos A．若a＝4，则△ABC周长的最大值为________．
答案 12
解析 由正弦定理＝，
可将asin B＝bcos A转化为sin Asin B＝sin Bcos A.
又在△ABC中，sin B>0，∴sin A＝cos A，
即tan A＝.
∵0
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