四川省阆中中学2021届高三数学（理）上学期开学试题（Word版附答案）

四川省阆中中学2021届高三数学（理）上学期开学试题（Word版附答案）

四川省阆中中学高2018级2020年秋入学考试 理科数学 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.‎ 1． 设集合，，则 A． B． C． D．‎ ‎2． 若（其中是虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3. 为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田.这n块地的亩产量(单位：kg)‎ 分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程 度的是 A.x1，x2，…，xn的平均数 B.x1，x2，…，xn的标准差 C.x1，x2，…，xn的最大值 D.x1，x2，…，xn的中位数 ‎4. 某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e ‎＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在‎0 ℃‎的保鲜时间是192‎ 小时，在‎22 ℃‎的保鲜时间是48小时，则该食品在‎33 ℃‎的保鲜时间是 A．16小时 B．20小时 C．24小时 D．28小时 ‎5. 椭圆C的长轴长是短轴长的3倍，则C的离心率为 A. B. C. D. ‎6. 已知向量a＝(x，)，b＝(x，－)，若(‎2a＋b)⊥b，则|a|＝‎ A．1 B. C. D．2‎ ‎7. 在△ABC中，cos＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝‎ A．4 B. C. D．2 8. ‎ 将正方体(如图(1)所示)截去两个三棱锥，得到如图(2)所示的几何体，则该几何体 的侧视图为 8. ‎ 已知cos＝，则cos x＋cos＝(　　 )‎ A. B. C. D. ‎10. 已知圆x2＋y2＋2x－6y＋1＝0关于直线ax－by＋3＝0(a＞0，b＞0)对称，则＋ 的最小值是 A．2 B. C．4 D. ‎11. 焦点在x轴上的椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，短轴的一个端点和两个焦点相连 构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，则椭圆的离心率为 A. B. C. D. ‎12. 已知，则 ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13. 已知点Q(2,0)，点P(x，y)的坐标满足条件则|PQ|的最小值是________‎ ‎14. 若(2x－a)5的二项展开式中x3的系数为720，则a＝________.‎ ‎15. 已知圆锥的高为3，底面半径为，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面 上，则这个球的体积等于__________________‎ ‎16．对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程=0有实数解，则称点(，)为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数，‎ 则=__________________‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考 题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎17. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－1.‎ ‎(1)证明：数列{an}是等比数列；‎ ‎(2)设bn＝(2n－1)an，求数列{bn}的前n项和Tn.‎ ‎18. 某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸(单位：mm)的值落在 ‎[29.94,30.06)的零件为优质品.从两个分厂生产的零件中各抽出了500件，量其内 径尺寸，得结果如下表：‎ 甲厂：‎ 分组 ‎[29.86,29.90)‎ ‎[29.90,29.94)‎ ‎[29.94,29.98)‎ ‎[29.98,30.02)‎ 频数 ‎12‎ ‎63‎ ‎86‎ ‎182‎ 分组 ‎[30.02,30.06)‎ ‎[30.06,30.10)‎ ‎[30.10,30.14]‎ 频数 ‎92‎ ‎61‎ ‎4‎ 乙厂：‎ 分组 ‎[29.86,29.90)‎ ‎[29.90,29.94)‎ ‎[29.94,29.98)‎ ‎[29.98,30.02)‎ 频数 ‎29‎ ‎71‎ ‎85‎ ‎159‎ 分组 ‎[30.02,30.06)‎ ‎[30.06,30.10)‎ ‎[30.10,30.14]‎ 频数 ‎76‎ ‎62‎ ‎18‎ ‎（1）试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率；‎ ‎（2）由以上统计数据完成下面2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为“两个 ‎ 分厂生产的零件的质量有差异”。 ‎ 甲厂 乙厂 总计 优质品 非优质品 总计 P(K2≥k0)‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎19. 如图所示，在长方体ABCDA1B‎1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2. ‎ ‎（1）求证：当点E在棱AB上移动时，D1E⊥A1D；‎ ‎（2）在棱AB上是否存在点E，使二面角D1ECD的平面角为30°？若存在，求出 ‎ AE的长；若不存在，请说明理由．‎ 20. 已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且经过点P，左、右焦点分 别为F1，F2.‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若△AF2B的内切圆半径为，求 ‎ 以F2为圆心且与直线l相切的圆的方程．‎ ‎21. 设f(x)＝.‎ ‎（1）若函数f(x)在(a，a＋1)上有极值，求实数a的取值范围；‎ ‎（2）若关于x的方程f(x)＝x2－2x＋k有实数解，求实数k的取值范围．‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做 的第一题计分.‎ ‎[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 21. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，‎ 直线C2的方程为y＝x.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（1）求曲线C1和直线C2的极坐标方程；‎ ‎（2）若直线C2与曲线C1交于A，B两点，求＋.‎ ‎[选修4—5：不等式选讲]（10分）‎ ‎23. 设函数f(x)＝5－|x＋a|－|x－2|.‎ ‎（1）当a＝1时，求不等式f(x)≥0的解集；‎ ‎（2）若f(x)≤1，求a的取值范围.‎ 四川省阆中中学高2018级2020年秋入学考试试题 理科数学答案 一.选择题（每题5分，共60分）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ B A B C D D A B D D C D 二.填空题（每题5分，共20分）‎ ‎13. 14. 15. 16.0‎ ‎17. 解：‎ ‎(1)证明：当n＝1时，a1＝S1＝‎2a1－1，所以a1＝1，‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2an－1)－(2an－1－1)，‎ 所以an＝2an－1，‎ 所以数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列．‎ ‎(2)由(1)知，an＝2n－1，所以bn＝(2n－1)×2n－1，‎ 所以Tn＝1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－3)×2n－2＋(2n－1)×2n－1，①‎ ‎2Tn＝1×2＋3×22＋…＋(2n－3)×2n－1＋(2n－1)×2n，②‎ ‎①－②，得－Tn＝1＋2×(21＋22＋…＋2n－1)－(2n－1)×2n ‎＝1＋2×－(2n－1)×2n＝(3－2n)×2n－3，‎ 所以Tn＝(2n－3)×2n＋3.‎ 18. ‎[解]　(1)甲厂抽查的500件产品中有360件优质品，从而估计甲厂生产的零件的优质品率为×100%＝72%；‎ 乙厂抽查的500件产品中有320件优质品，从而估计乙厂生产的零件的优质品率为×100%＝64%.‎ ‎(2)完成的2×2列联表如下：‎ 甲厂 乙厂 总计 优质品 ‎360‎ ‎320‎ ‎680‎ 非优质品 ‎140‎ ‎180‎ ‎320‎ 总计 ‎500‎ ‎500‎ ‎1 000‎ 由表中数据计算得，‎ K2＝≈7.353＞6.635，‎ 所以有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”.‎ ‎19. 解：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，C(0,2,0)，A1(1，0,1)，D1(0,0,1)．‎ 设E(1，y0,0)(0≤y0≤2)．‎ ‎(1)证明：因为＝(1，y0，－1)，＝(－1,0，－1)，‎ 则·＝(1，y0，－1)·(－1,0，－1)＝0，‎ 所以⊥，即D1E⊥A1D.‎ ‎(2)假设在棱AB上存在点E，使二面角D1ECD的平面角为30°.‎ 因为＝(－1,2－y0,0)，＝(0,2，－1)，‎ 设平面D1EC的一个法向量为n1＝(x，y，z)，‎ 则即 取y＝1，则n1＝(2－y0,1,2)是平面D1EC的一个法向量．‎ 易知平面ECD的一个法向量为n2＝＝(0,0,1)，要使二面角D1ECD的平面角为30°，‎ 则cos 30°＝|cosn1，n2|＝ ‎＝＝，解得y0＝2－或y0＝2＋(不合题意，舍去)．‎ 所以当AE＝2－时，二面角D1ECD的平面角为30°.‎ ‎20. 解：(1)由＝，得a＝‎2c，所以a2＝‎4c2，b2＝‎3c2，‎ 将点P的坐标代入椭圆方程得c2＝1，故所求椭圆方程为＋＝1.‎ ‎(2)由(1)可知F1(－1,0)，设直线l的方程为x＝ty－1，‎ 代入椭圆方程，整理得(4＋3t2)y2－6ty－9＝0，显然判别式大于0恒成立，‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，△AF2B的内切圆半径为r0，‎ 则有y1＋y2＝，y1y2＝，r0＝，‎ ‎＝r0(|AF1|＋|BF1|＋|BF2|＋|AF2|)＝r0·‎4a＝×8×＝，‎ 所以＝，解得t2＝1，‎ 因为所求圆与直线l相切，所以半径r＝＝，所以所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝2.‎ ‎21. (1)因为f′(x)＝－，当0＜x＜1时，f′(x)＞0；当x＞1时，f′(x)＜0，所以函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，故函数f(x)的极大值点为x＝1，所以即0＜a＜1，故所求实数a的取值范围是(0,1)．‎ ‎(2)方程f(x)＝x2－2x＋k有实数解，即f(x)－x2＋2x＝k有实数解．‎ 设g(x)＝f(x)－x2＋2x，则g′(x)＝2(1－x)－.‎ 接下来，需求函数g(x)的单调区间，所以需解不等式g′(x)≥0及g′(x)≤0，因而需解方程g′(x)＝0.但此方程不易求解，所以我们可以先猜后解．‎ 因为g′(1)＝0，且当0＜x＜1时，g′(x)＞0，当x＞1时，g′ (x)＜0，所以函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．‎ 所以g(x)max＝g(1)＝2.当x→0时，g(x)→－∞；当x→＋∞时，g(x)→－∞，所以函数g(x)的值域是(－∞，2]，所以所求实数k的取值范围是(－∞，2]．‎ ‎22. 解：(1)由曲线C1的参数方程为(α为参数)，得曲线C1的普通方程为(x－2)2＋(y－2)2＝1，‎ 则C1的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋7＝0.‎ 由于直线C2过原点，且倾斜角为，故其极坐标方程为θ＝(ρ∈R).‎ ‎(2)由得ρ2－(2＋2)ρ＋7＝0，‎ 设A，B对应的极径分别为ρ1，ρ2，则ρ1＋ρ2＝2＋2，ρ1ρ2＝7，‎ ‎∴＋＝＝＝.‎ ‎23. 解：(1)当a＝1时，f(x)＝ 当x＜－1时，由2x＋4≥0，解得－2≤x＜－1；‎ 当－1≤x≤2时，显然满足题意；‎ 当x＞2时，由－2x＋6≥0，解得2＜x≤3，‎ 故f(x)≥0的解集为{x|－2≤x≤3}.‎ ‎(2)f(x)≤1等价于|x＋a|＋|x－2|≥4.而|x＋a|＋|x－2|≥|a＋2|，且当x＝2时等号成立.‎ 故f(x)≤1等价于|a＋2|≥4. 由|a＋2|≥4可得a≤－6或a≥2.‎ 所以a的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞).‎