2020届二轮复习　三角函数的最值与综合应用

2020届二轮复习　三角函数的最值与综合应用

考点一　三角函数的最值 　　1.当 x =2 k π-   ( k ∈Z)时, y =sin x 取最小值-1;当 x =2 k π+   ( k ∈Z)时, y = sin x 取最大值① 　1     ;正弦函数 y =sin x ( x ∈R)的值域为[-1,1]. 2.当 x =2 k π+π( k ∈Z)时, y =cos x 取最小值-1;当 x =2 k π( k ∈Z)时, y =cos x 取最 大值② 　1     ;余弦函数 y =cos x ( x ∈R)的值域为[-1,1]. 3. y =tan x   的值域为R. 知识清单 考点二    三角函数的图象和性质的综合应用 　　1.三角函数 y = A sin( ωx + φ )、 y = A cos( ωx + φ )的定义域为R, y = A tan( ωx + φ )的定义域为   x   x ≠   -   +   , k ∈Z   . 2.函数 y = A sin( ωx + φ )、 y = A cos( ωx + φ )的最大值为③ 　| A |     ,最小值为-| A |; 函数 y = A tan( ωx + φ )的值域为④     R     . 3.函数 y = A sin( ωx + φ )的图象的对称轴为 x =   -   +   ,对称中心为   ;函数 y = A cos( ωx + φ )的图象的对称轴为 x =   -   ,对称中心为   ;函数 y = A tan( ωx + φ )的图象的对称中心为   .上 述 k ∈Z. 1.利用三角函数的有界性求三角函数的最值 (1) y = a sin x + b cos x =   sin( x + φ ),其中cos φ =   ,sin φ =   , 再利用有界性处理. (2) y = a sin 2 x + b sin x cos x +cos 2 x + c 型   y = A sin 2 x + B cos 2 x + C =   sin(2 x + φ )+ C .其中tan φ =   ,再利用有界性处理. (3) y =   或 y =   可转化为只有分母含有sin x 或cos x 的函数 式,或sin x = f ( y ),cos x = f ( y )的形式,由正、余弦函数的有界性求解. 2.用代数方法求三角函数最值常见的函数形式 (1) y = a sin 2 x + b sin x + c 或 y = a cos 2 x + b cos x + c (其中 a ≠ 0),可令 t =sin x 或 t = 求三角函数最值的方法 方法 1 方法技巧 cos x ,转化为关于 t 的二次函数在区间[-1,1]上的最值. (2) y = a sin x +   (其中 a , b , c 为常数,且 abc ≠ 0),令 t =sin x ,则转化为 y = at +   ( t ∈[-1,0) ∪ (0,1])的最值,一般利用函数的单调性或函数图象求之. (3) y = a (sin x ± cos x )+ b sin x ·cos x ,可令 t =sin x ± cos x ,则sin x ·cos x = ±   ,把 三角问题化归为代数问题解决. 3.用解析法求三角函数最值常见的函数形式 y =     ,其中 ab ≠ 0,先化为 y =   ×     ,然后转化为求圆上的动点与定点连线斜率的最值问 题. 例1　(1)(2017湖北三市联考,4)函数 f ( x )=cos 2 x -2cos 2   的最小值为(  D    　) A.1　    B.-1　    C.   　    D.-   (2)(2017黑龙江大庆十中第一次质检,8)已知 θ ∈   ,则 y =   +   的最小值为   (　 D 　) A.6　    B.10　    C.12　    D.16 解题导引 解析　(1)函数 f ( x )=cos 2 x -2cos 2   =cos 2 x -cos x -1 =   -   , 当cos x =   ,即 x =2 k π ±   , k ∈Z时, f ( x )取得最小值-   .故选D. (2)∵ θ ∈   ,∴sin 2 θ ,cos 2 θ ∈(0,1), ∴ y =   +   =   (cos 2 θ +sin 2 θ ) =1+9+   +   ≥ 10+2   =16. 当且仅当   =   时,取等号, ∴ y =   +   的最小值为16.故选D. 三角函数图象与性质的综合题一般是综合考查三角函数的图象与性质 , 难度不大 , 需要掌握如下内容 : (1) 求形如 y = A sin( ωx + φ ) 或 y = A cos( ωx + φ )( A ≠ 0, ω >0) 的函数的单调区间 , 可以通过解不等式的方法解答 , 列不等式的原则 :① 把“ ωx + φ ( ω >0)” 视 为一个“整体” ;② 当 A >0 时 , 所列不等式的方向与 y =sin x ( x ∈R) 或 y = cos x ( x ∈R) 的单调区间对应的不等式方向相同 . (2) 对于形如 y = a sin ωx + b cos ωx ( a ≠ 0, b ≠ 0) 型的三角函数问题 , 要通过引 入辅助角化为 y =   sin( ωx + φ )   的形 式来求解 . 三角函数的图象和性质的综合应用 方法 2 例2    (2017河南洛阳三模,17)已知函数 f ( x )=cos x (   ·sin x -cos x )+ m ( m ∈ R ),将 y = f ( x )的图象向左平移   个单位后得到 g ( x )的图象,且 y = g ( x )在区间   内的最小值为   . (1)求 m 的值; (2)在锐角△ ABC 中,若 g   =-   +   ,求sin A +cos B 的取值范围. 解题导引 解析　 (1) f ( x )=   sin x cos x -cos 2 x + m =   sin 2 x -   cos 2 x + m -   =sin   + m -   , ∴ g ( x )=sin   + m -   . ∵ x ∈   ,∴2 x +   ∈   , ∴ 当 2 x +   =   时 , g ( x ) 取得最小值   + m -   = m , ∴ m =   . (2)∵ g   =sin   +   -   =-   +   , ∴sin   =   . ∵ C ∈   ,∴ C +   ∈   , ∴ C +   =   ,即 C =   . ∴sin A +cos B =sin A +cos   =sin A -   cos A +   sin A =   sin A -   cos A =   sin   . ∵△ ABC 是锐角三角形,∴   解得   < A <   , ∴ A -   ∈   ,∴  

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