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文档介绍
2013-2017高考数学分类汇编-第十章第1节 椭圆及其性质
第十章 圆锥曲线 第一节 椭圆及其性质 题型115 椭圆的定义与标准方程 2013年 1.(2013广东文9)已知中心在原点的椭圆的右焦点为,离心率等于,则的方程是 A. B. C. D. 2014年 1.(2014大纲文9)已知椭圆C:的左、右焦点为,,离心率为,过的直线交C于A,B两点,若的周长为,则C的方程为( ). A. B. C. D. 2.(2014辽宁文15)已知椭圆:,点与的焦点不重合,若关于的焦点的对称点分别为,,线段的中点在上,则 . 3.(2014辽宁文20)如图所示,圆的切线与轴正半轴, 轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为. (1)求点的坐标; (2)焦点在轴上的椭圆过点,且与直线交于,两点,若的面积为,求的标准方程. 4.(2014天津文18)设椭圆的左、右焦点分别为,右顶点为,上顶点为.已知. (1)求椭圆的离心率; (2)设为椭圆上异于其顶点的一点,以线段为直径的圆经过点,经过点的直线与该圆相切于点,.求椭圆的方程. 5. (2014新课标Ⅱ文20) 设分别是椭圆C:的左、右焦点,是上一点且与轴垂直.直线与的另一个交点为. (1)若直线的斜率为,求的离心率; (2)若直线在轴上的截距为,且,求. 2015年 1.(2015广东文8)已知椭圆()的左焦点为,则( ). A. B. C. D. 1.解析 由左焦点为,可得. 由,即,得. 又,所以.故选B. 评注 本题考查椭圆的简单几何性质. 2016年 1.(2016山东文21(1))已知椭圆的长轴长为,焦距为,求椭圆的方程. 1. 解析 设椭圆的半焦距为,由题意知,所以, 所以椭圆的方程为. 2.(2016四川文20(1))已知椭圆:的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点,点在椭圆上,求椭圆的方程. 2. 解析 由已知得, 又椭圆过点,故,解得 所以椭圆的方程是 3.(2016天津文19(1))设椭圆()的右焦点为,右顶点为,已知,其中 为原点,为椭圆的离心率,求椭圆的方程. 3.解析 (1)由,即,可得. 又,所以,因此,所以椭圆的方程为 2017年 1.(2017全国1文12)设,是椭圆长轴的两个端点,若上存在点满足,则的取值范围是( ). A. B. C. D. 1.解析 因为在上存在点,满足,所以.当点位于短轴端点时,取得最大值. ① 当时,如图1所示,有,则,所以 ,解得; 图1 图2 ① 当时,如图2示,有,则,所以 ,解得. 综上可得,的取值范围是.故选A. 评注:先研究“椭圆,是长轴两端点,位于短轴端点时,最大”这一结论. 图3 如图3所示,因为, 所以. 设,因为(中点弦的一个结论),所以(当且仅当,即时等号成立,此时位于短轴端点处). 2.(2017山东卷文21)在平面直角坐标系中,椭圆的离心率为,椭圆截直线所得线段的长度为. (1)求椭圆的方程; (2)动直线交椭圆于,两点,交轴于点.点是点关于的对称点,圆的半径为. 设为的中点,,与圆分别相切于点,,求的最小值. 2.解析 (1) 由椭圆的离心率为 ,得, 又当时,,得,所以,. 因此椭圆方程为. (2) 设,,联立方程 , 得,由,得 . 且,因此,所以, 又,所以, 因为,所以. 令,故.所以. 令 ,所以. 当 时,,从而在上单调递增. 因此,等号当且仅当时成立,此时,所以 ,. 设,则 ,所以的最小值为. 从而的最小值为,此时直线的斜率为. 综上所述,当,时,取得最小值为. 题型116 椭圆离心率的值及取值范围 2013年 1. (2013四川文9)从椭圆上一点向轴做垂线,垂足恰为左焦 点,是椭圆与轴正半轴的交点,是椭圆与轴正半轴的交点,且(是坐标原点),则该椭圆的离心率是( ). A. B. C. D. 2.(2013江苏12)在平面直角坐标系中,椭圆的标准方程为, 右焦点为,右准线为,短轴的一个端点为,设原点到直线的距离为,到的 距离为,若,则椭圆的离心率为 . 2. (2013福建文15)椭圆的左、右焦点分别为 若直线 与椭圆的一个交点满足则该椭圆的离心率等于 . 3.(2014北京文19)已知椭圆C:. (1)求椭圆C的离心率; (2)设O为原点,若点A在直线上,点B在椭圆C上,且,求线段AB长度的最小值. F1 F2 O x y B C A 4.(2014江苏17)如图所示,在平面直角坐标系中,,,分别是椭圆的左、右焦点,顶点的坐标为,连接并延长交椭圆于点,过点作轴的垂线交椭圆于另一点,连接. (1)若点的坐标为,且,求椭圆的方程; (2)若,求椭圆离心率的值. 2014年 1.(2014江西文14)设椭圆的左、右焦点为,过作轴的垂线与相交于两点,与轴相交于点,若,则椭圆的离心率等于 . 2. (2014安徽文21)设,分别是椭圆:的左、右焦点,过点的直线交椭圆于两点,. (1)若的周长为16,求; (2)若,求椭圆的离心率. 2015年 1.(2015福建文11)已知椭圆:的右焦点为.短轴的一个端 点为,直线交椭圆于两点.若,点到直线的 距离不小于,则椭圆的离心率的取值范围是( ). A. B. C. D. 1. 解析 设左焦点为,连接,,则四边形是平行四边形,故, 所以,所以.设,则,故. 所以,,,所以椭圆的离心率的取值范围为. 故选A. 评注 1. 椭圆的定义和简单几何性质;2. 点到直线距离公式. 2.(2015浙江文15)椭圆()的右焦点关于直线的 对称点在椭圆上,则椭圆的离心率是 . 2. 解析 解法一:设,则,所以,又, 所以 ,所以,所以, 不妨取,所以中点,代入, 得,化简得或,所以. 解法二:取左焦点,则:,所以原点到的距离. 又到的距离,由题意知,,所以,所以. 3.(2015重庆文21)如图所示,椭圆的左、右焦点分别为,, 过的直线交椭圆于,两点,且. (1)若,,求椭圆的标准方程. (2)若,且, 试确定椭圆离心率的取值范围. 3. 解析 (1)由椭圆的定义,,故. 设椭圆的半焦距为,由已知, 因此, 即,从而. 故所求椭圆的标准方程为. (2)由,,得. 由椭圆的定义,,, 进而.于是, 解得,故. 由勾股定理得, 从而, 两边除以,得. 若记,则上式变为. 由,并注意到关于的单调性,得, 即.进而,即. 2016年 1.(2016全国乙文5)直线经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为( ). A. B. C. D. 1. B 解析 由等面积法可得,故,从而.故选B. 2.(2016江苏10)如图所示,在平面直角坐标系中,是椭圆的右焦点,直线与椭圆交于两点,且,则该椭圆的离心率是 . 2. 解析 由题意得,直线与椭圆方程联立,可得, . 由,可得,,, 则,由,可得,则. 2017年 1.(2017全国3文11)已知椭圆的左、右顶点分别为,,且以线段为直径的圆与直线相切,则的离心率为( ). A. B. C. D. 1.解析 因为直线与圆相切,即,整理得.令,则有,,,.故选A. 评注 本题考查直线与圆的位置关系,点到直线的距离公式,以及圆锥曲线的离心率公式和圆的方程,考查的知识点比较多,但总的难度不大,属于跨板块的综合类问题,基础中偏上的学生一般都能搞定. 2.(2017浙江卷2)椭圆的离心率是( ). A. B. C. D. 2.解析 由椭圆方程可得,,所以,所以,, .故选B. 题型117 椭圆的焦点三角形 2014年 1.(2014重庆文21)如图所示,设椭圆的左、右焦点分别为,点在椭圆上,, ,的面积为. (1) 求该椭圆的标准方程; (2) 是否存在圆心在轴上的圆,使圆在轴的上方与椭圆有两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点?若存在,求出圆的方程,若不存在,请说明理由.查看更多