2019版一轮复习理数通用版第十四单元 椭圆双曲线抛物线
第十四单元 椭圆、双曲线、抛物线
教材复习课 “椭圆、双曲线、抛物线”相关基础知识一课过
椭圆
[过双基]
1．椭圆的定义
平面内与两个定点 F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两
个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
集合 P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中 a>0，c>0，且 a，c为常数：
(1)当 2a＞|F1F2|时，P点的轨迹是椭圆；
(2)当 2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是线段；
(3)当 2a＜|F1F2|时，P点不存在．
2．椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
x2
a2
＋
y2
b2
＝1(a＞b＞0) x2
b2
＋
y2
a2
＝1(a＞b＞0)
图形
性质
范围 －b≤y≤b－a≤y≤a －a≤x≤a，－b≤x≤b，
对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：(0,0)
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)，
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b,0)，B2(b,0)
轴 长轴 A1A2的长为2a，短轴 B1B2的长为2b
焦距 |F1F2|＝2c
离心率 e＝
c
a，e∈(0,1)
a，b，c
的关系
c2＝a2－b2
1．(2017·浙江高考)椭圆
x2
9
＋
y2
4
＝1的离心率是( )
A. 13
3
B. 5
3
C.2
3
D.5
9
解析：选 B 根据题意知，a＝3，b＝2，则 c＝ a2－b2＝ 5，∴椭圆的离心率 e＝c
a
＝
5
3
.
2．在平面直角坐标系 xOy中，△ABC上的点 A，C的坐标分别为(－4,0)，(4,0)，若点 B
在椭圆
x2
25
＋
y2
9
＝1上，则
sin A＋sin C
sinA＋C
＝( )
A.4
3
B.5
3
C.4
5
D.5
4
解析：选 D 由椭圆
x2
25
＋
y2
9
＝1，得椭圆的半焦距为 4，
则 A(－4,0)和 C(4,0)为椭圆
x2
25
＋
y2
9
＝1的两个焦点．
∵点 B在椭圆
x2
25
＋
y2
9
＝1上， 作出示意图如图所示，
∴
sin A＋sin C
sinA＋C
＝
sin A＋sin C
sin B
＝
2a
2c
＝
5
4
.
3．已知椭圆
x2
25
＋
y2
m2＝1(m＞0)的焦距为 8，则 m的值为( )
A．3或 41 B．3
C. 41 D．±3或± 41
解析：选 A 当 m＜5时，焦点在 x轴上，焦距 2c＝8，则 c＝4，
由 25－m2＝16，得 m＝3；
当 m＞5时，焦点在 y轴上，焦距 2c＝8，则 c＝4，
由 m2－25＝16，得 m＝ 41，
故 m的值为 3或 41.
4．若焦点在 x轴上的椭圆
x2
2
＋
y2
m
＝1的离心率为
1
2
，则 m＝________.
解析：因为焦点在 x轴上，所以 0＜m＜2，
所以 a2＝2，b2＝m，c2＝a2－b2＝2－m.
因为椭圆的离心率为 e＝1
2
，
所以 e2＝1
4
＝
c2
a2
＝
2－m
2
，解得 m＝
3
2
.
答案：
3
2
[清易错]
1．求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程为
x2
a2
＋
y2
b2
＝1(a＞b＞0)．
2．注意椭圆的范围，在设椭圆
x2
a2
＋
y2
b2
＝1(a＞b＞0)上点的坐标为 P(x，y)时，|x|≤a，|y|≤b，
这往往在求与点 P有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．
1．已知椭圆
x2
9
＋
y2
4－k
＝1的离心率为
4
5
，则 k的值为( )
A．－21 B．21
C．－
19
25
或 21 D.19
25
或－21
解析：选 D 当 9＞4－k＞0，即－5
0，c>0.
(1)当 2a<|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线；
(2)当 2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；
(3)当 2a>|F1F2|时，P点不存在．
2．标准方程
(1)中心在坐标原点，焦点在 x轴上的双曲线的标准方程为
x2
a2
－
y2
b2
＝1(a>0，b>0)；
(2)中心在坐标原点，焦点在 y轴上的双曲线的标准方程为
y2
a2
－
x2
b2
＝1(a>0，b>0)．
3．双曲线的性质
标准方程
x2
a2
－
y2
b2
＝1(a>0，b>0) y2
a2
－
x2
b2
＝1(a>0，b>0)
图形
性质
范围 x≥a或 x≤－a，y∈R y≤－a或 y≥a，x∈R
对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：原点
顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线 y＝±b
a
x y＝±a
b
x
离心率 e＝c
a
，e∈(1，＋∞)
a，b，c的
关系
c2＝a2＋b2
实虚轴
线段 A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；
线段 B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；
a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
1．(2017·天津高考)已知双曲线
x2
a2
－
y2
b2
＝1(a>0，b>0)的左焦点为 F，离心率为 2.若经过
F和 P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为( )
A.x
2
4
－
y2
4
＝1 B.x
2
8
－
y2
8
＝1
C.x
2
4
－
y2
8
＝1 D.x
2
8
－
y2
4
＝1
解析：选 B 由离心率 e＝ 2知，双曲线为等轴双曲线，
则其渐近线方程为 y＝±x，
故由 P(0,4)，知左焦点 F的坐标为(－4,0)，
所以 c＝4，则 a2＝b2＝c2
2
＝8，
故双曲线的方程为
x2
8
－
y2
8
＝1.
2．已知双曲线过点(2,3)，其中一条渐近线方程为 y＝ 3x，则双曲线的标准方程是( )
A.7x
2
16
－
y2
12
＝1 B.y
2
3
－
x2
2
＝1
C．x2－y2
3
＝1 D.3y
2
23
－
x2
23
＝1
解析：选 C 由双曲线的一条渐近线方程为 y＝ 3x，
可设其方程为
y2
3
－x2＝λ(λ≠0)．
又双曲线过点(2,3), 则32
3
－22＝λ， 解得λ＝－1，
所以双曲线的方程为
y2
3
－x2＝－1，即 x2－y2
3
＝1.
3．(2018·张掖一诊)如图，F1，F2分别是双曲线
x2
a2
－
y2
b2
＝1(a＞0，b＞0)
的左、右焦点，过 F1的直线 l 与双曲线的左、右两支分别交于点 B，A.若△
ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为( )
A. 7 B．4
C.2 3
3
D. 3
解析：选 A 依题意得|AB|＝|AF2|＝|BF2|，结合双曲线的定义可得|BF1|＝2a，|BF2|＝4a，
|F1F2|＝2c，因为△ABF2为等边三角形，所以∠F1BF2＝120°，由余弦定理，可得 4a2＋16a2
＋2×2a×4a×1
2
＝4c2，整理得
c
a
＝ 7，故选 A.
4．已知 F为双曲线 C：x2
9
－
y2
16
＝1的左焦点，P，Q为 C上的点．若 PQ的长等于虚轴
长的 2倍，点 A(5,0)在线段 PQ上，则△PQF的周长为________．
解析：由题意得，|FP|－|PA|＝6，|FQ|－|QA|＝6，两式相加，利用双曲线的定义得|FP|
＋|FQ|＝28，所以△PQF的周长为|FP|＋|FQ|＋|PQ|＝44.
答案：44
[清易错]
1．注意区分双曲线中的 a，b，c 大小关系与椭圆中的 a，b，c 关系，在椭圆中 a2＝b2
＋c2，而在双曲线中 c2＝a2＋b2.
2．易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系．当焦点在 x轴上，渐近线斜率为±b
a
，
当焦点在 y轴上，渐近线斜率为±a
b
.
1．双曲线
x2
36－m2
－
y2
m2＝1(0＜m＜3)的焦距为( )
A．6 B．12
C．36 D．2 36－2m2
解析：选 B ∵c2＝36－m2＋m2＝36，∴c＝6，
∴双曲线的焦距为 12.
2．已知直线 l：4x＋3y－20＝0经过双曲线 C：x2
a2
－
y2
b2
＝1的一个焦点，且与双曲线 C的
一条渐近线平行，则双曲线 C的实轴长为( )
A．3 B．4
C．6 D．8
解析：选 C ∵双曲线 C：x2
a2
－
y2
b2
＝1 的焦点在 x 轴上，直线 l：4x＋3y－20＝0 与 x 轴
的交点为(5,0)．
∴a2＋b2＝c2＝25.①
∵直线 l：4x＋3y－20＝0与双曲线 C：x2
a2
－
y2
b2
＝1的一条渐近线平行，∴
b
a
＝
4
3
.②
由①②解得 a＝3，
∴双曲线 C的实轴长为 2a＝6.
抛物线
[过双基]
1．抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线 l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点
F叫做抛物线的焦点，直线 l叫做抛物线的准线．
2．抛物线的标准方程与几何性质
标准方程
y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
p的几何意义：焦点 F到准线 l的距离
图形
顶点 O(0,0)
对称轴 y＝0 x＝0
焦点
F
p
2
，0
F
－
p
2
，0
F
0，p
2 F
0，－
p
2
离心率 e＝1
准线方程 x＝－
p
2
x＝p
2
y＝－
p
2
y＝p
2
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
开口方向 向右 向左 向上 向下
焦半径(其中
P(x0，y0))
|PF|＝x0＋
p
2
|PF|＝－x0＋
p
2
|PF|＝y0＋
p
2
|PF|＝－y0＋
p
2
1．已知抛物线顶点在原点，焦点为双曲线
x2
13
－
y2
12
＝1 的右焦点，则此抛物线的方程为
( )
A．y2＝2x B．y2＝4x
C．y2＝10x D．y2＝20x
解析：选 D 双曲线
x2
13
－
y2
12
＝1的右焦点为(5,0) ，
由题意，设抛物线方程为 y2＝2px(p＞0) ，
∵抛物线的焦点为双曲线
x2
13
－
y2
12
＝1的右焦点，
∴
p
2
＝5，p＝10，
∴抛物线方程为 y2＝20x.
2．若抛物线 y＝4x2上的一点M到焦点的距离为 1，则点M的纵坐标是( )
A.17
16
B.15
16
C.7
8
D．0
解析：选 B 点 M 到准线的距离等于点 M 到焦点的距离，又准线方程为 y＝－
1
16
，设
M(x，y)，则 y＋ 1
16
＝1，
故 y＝15
16
.
3．若点 P为抛物线 y＝2x2上的动点，F为抛物线的焦点，则|PF|的最小值为( )
A．2 B.1
2
C.1
4
D.1
8
解析：选 D 设点 P到准线的距离为 d，则有|PF|＝d，
又抛物线的方程为 y＝2x2，即 x2＝1
2
y,
则其准线方程为 y＝－
1
8
，
所以当点 P在抛物线的顶点时，d有最小值
1
8
，
即|PF|的最小值为
1
8
.
4．已知抛物线 y2＝6x上的一点到焦点的距离是到 y 轴距离的 2倍，则该点的横坐标为
__________．
解析：可知抛物线 y2＝6x的焦点 F
3
2
，0
，设 P(x，y)，x＞0.
由抛物线的定义，得点 P到焦点的距离 d1＝x＋p
2
＝x＋3
2
，
点 P到 y轴的距离 d2＝x.
由 x＋3
2
＝2x，解得 x＝3
2
，∴该点的横坐标为
3
2
.
答案：
3
2
[清易错]
1．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动
点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．
2．抛物线标准方程中的参数 p，易忽视只有 p＞0才能证明其几何意义是焦点 F到准线
l的距离，否则无几何意义．
1．动圆过点(1,0)，且与直线 x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为______________．
解析：设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1,0)的距离与到直线 x＝－1 的距离相等，
根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为 y2＝4x.
答案：y2＝4x
2．抛物线 8x2＋y＝0的焦点坐标为________．
解析：由 8x2＋y＝0，得 x2＝－
1
8
y.
∴2p＝1
8
，p＝ 1
16
，∴焦点为
0，－
1
32 .
答案：
0，－
1
32
直线与圆锥曲线的位置关系
[过双基]
1．直线与圆锥曲线的位置关系
判断直线 l与圆锥曲线 C的位置关系时，通常将直线 l的方程 Ax＋By＋C＝0(A，B不同
时为 0)代入圆锥曲线 C的方程 F(x，y)＝0，消去 y(也可以消去 x)得到一个关于变量 x(或变
量 y)的一元方程．
即
Ax＋By＋C＝0，
Fx，y＝0，
消去 y，得 ax2＋bx＋c＝0.
(1)当 a≠0时，设一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线与圆锥曲线
C相交；
Δ＝0⇔直线与圆锥曲线 C相切；
Δ<0⇔直线与圆锥曲线 C相离．
(2)当 a＝0，b≠0 时，即得到一个一次方程，则直线 l与圆锥曲线 C相交，且只有一个
交点，此时，若 C为双曲线，则直线 l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若 C为抛物线，
则直线 l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．
2．圆锥曲线的弦长
设斜率为 k(k≠0)的直线 l与圆锥曲线 C相交于 A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
|AB|＝ 1＋k2|x1－x2|
＝ 1＋k2· x1＋x22－4x1x2
＝ 1＋ 1
k2
·|y1－y2|＝ 1＋ 1
k2
· y1＋y22－4y1y2.
1．直线 y＝kx－k＋1与椭圆
x2
9
＋
y2
4
＝1的位置关系为( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
解析：选 A 因为直线 y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，
故直线与椭圆相交．
2．过抛物线 x2＝8y 的焦点 F作直线 l交抛物线于 A，B两点，若线段 AB中点 M的纵
坐标为 4，则|AB|＝________.
解析：由题意，可得焦点 F(0,2)，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1＋y2＝8，过焦点的弦长
|AB|＝y1＋y2＋p＝8＋4＝12.
答案：12
3．已知双曲线 C：x2
a2
－
y2
b2
＝1(a＞0，b＞0)的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝1 相交，则双曲线
C的离心率的取值范围是________．
解析：双曲线的渐近线为 bx±ay＝0，其与圆相交，则圆心(2,0)到渐近线的距离小于半径，
即
2b
a2＋b2
＜1，
∴3b2＜a2，∴c2＝a2＋b2＜4
3
a2，∴e＝c
a
＜
2 3
3
.
又 e＞1，∴1＜e＜2 3
3
.
答案：
1，2 3
3
[清易错]
1．直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直
线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点．
2．直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与抛物线的对称轴平
行时也相交于一点．
1．直线 y＝b
a
x＋3与双曲线
x2
a2
－
y2
b2
＝1的交点个数是( )
A．1 B．2
C．1或 2 D．0
解析：选 A 因为直线 y＝b
a
x＋3与双曲线的渐近线 y＝b
a
x平行，所以它与双曲线只有 1
个交点．
2．过点(0,1)作直线，使它与抛物线 y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
解析：选 C 结合图形分析可知，满足题意的直线共有 3条：直线 x＝0，过点(0,1)且平
行于 x轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线 x＝0).
一、选择题
1．抛物线顶点在原点，焦点在 y 轴上，若其上一点 P(m,1)到焦点的距离为 5，则抛物线
的标准方程为( )
A．y＝8x2 B．y＝16x2
C．x2＝8y D．x2＝16y
解析：选 D 根据题意知，点 P(m,1)在 x轴上方，则抛物线开口向上，
设其标准方程为 x2＝2py，
其准线方程为 y＝－
p
2
，
由点 P到焦点的距离为 5，得 1－
－
p
2 ＝5,
解得 p＝8，
则抛物线的标准方程为 x2＝16y.
2．椭圆
x2
16
＋
y2
m
＝1的焦距为 2 7，则 m的值为( )
A．9 B．23
C．9或 23 D．16－ 7或 16＋ 7
解析：选 C 由椭圆
x2
16
＋
y2
m
＝1的焦距为 2 7，
可得，2 16－m＝2 7或 2 m－16＝2 7，
解得 m＝9或 23.
3．过抛物线 y2＝4x 的焦点的直线 l 交抛物线于 P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果 x1＋x2
＝6，则|PQ|＝( )
A．9 B．8
C．7 D．6
解析：选 B 抛物线 y2＝4x 的焦点为 F(1,0)，准线方程为 x＝－1.根据题意可得，|PQ|
＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.
4．若双曲线 C：x
2
4
－y2＝1的左、右焦点分别为 F1，F2，P为双曲线 C上一点，满足PF1
―→
·PF2
―→
＝0的点 P依次记为 P1，P2，P3，P4，则四边形 P1P2P3P4的面积为( )
A.8 5
5
B．2 5
C.8 6
5
D．2 6
解析：选 C 设 P(x，y)，由已知得 F1(－ 5，0)，F2( 5，0)，
则(－ 5－x，－y)·( 5－x，－y)＝x2－5＋y2＝0，
即 x2＋y2＝5，与双曲线方程
x2
4
－y2＝1联立，
可得交点分别为
2 30
5
，
5
5 ，
－
2 30
5
，
5
5 ，
－
2 30
5
，－
5
5 ，
2 30
5
，－
5
5 ，
它们构成一个长为
4 30
5
，宽为
2 5
5
的长方形，
所以四边形 P1P2P3P4的面积为
4 30
5
×
2 5
5
＝
8 6
5
.
5．若双曲线
y2
a2
－
x2
b2
＝1(a＞0，b＞0)的离心率为 10，则其渐近线方程为( )
A．y＝±3x B．y＝±1
2
x
C．y＝±2x D．y＝±1
3
x
解析：选 D 因为双曲线
y2
a2
－
x2
b2
＝1(a＞0，b＞0)的离心率为 10，所以 e＝c
a
＝ 10，
即 e2＝c2
a2
＝
a2＋b2
a2
＝1＋b2
a2
＝10，所以
b
a
＝3.
因为双曲线
y2
a2
－
x2
b2
＝1的焦点在 y 轴上，其渐近线方程为 y＝±a
b
x，所以该双曲线的渐近
线方程为 y＝±1
3
x.
6．已知椭圆 C：x2
a2
＋
y2
b2
＝1(a>b>0)的左、右焦点为 F1，F2，离心率为
3
3
，过 F2的直线 l
交 C于 A，B两点，若△AF1B的周长为 4 3，则椭圆 C的方程为( )
A.x
2
3
＋
y2
2
＝1 B.x
2
3
＋y2＝1
C.x
2
12
＋
y2
8
＝1 D.x
2
12
＋
y2
4
＝1
解析：选 A 由椭圆的性质知|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，又∵|AF1|＋|AF2|＋
|BF1|＋|BF2|＝4 3，∴a＝ 3.又 e＝ 3
3
，∴c＝1，∴b2＝a2－c2＝2，∴椭圆的方程为
x2
3
＋
y2
2
＝
1.
7．已知双曲线
x2
12
－
y2
4
＝1的右焦点为 F，若过点 F的直线与双曲线的右支有且只有一个
交点，则此直线斜率的取值范围是( )
A.
－
3
3
，
3
3 B.(－ 3， 3)
C.
－
3
3
，
3
3 D.[－ 3， 3]
解析：选C 由题意知F(4,0)，双曲线的两条渐近线方程为 y＝± 3
3
x.
当过点 F的直线与渐近线平行时，满足与右支只有一个交点，画出图象，
数形结合可知应选 C.
8．已知 F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝
π
4
，
则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为( )
A.1
2
B. 2
2
C．1 D. 2
解析：选 B 如图，设椭圆的长半轴长为 a1，双曲线的实半轴长为
a2，则根据椭圆及双曲线的定义可得，
|PF1|＋|PF2|＝2a1，
|PF1|－|PF2|＝2a2，
∴|PF1|＝a1＋a2，|PF2|＝a1－a2.
设|F1F2|＝2c，又∠F1PF2＝
π
4
，
在△PF1F2中，由余弦定理得，
4c2＝(a1＋a2)2＋(a1－a2)2－2(a1＋a2)(a1－a2)cos π
4
，
化简得：(2－ 2)a21＋(2＋ 2)a22＝4c2，
即
2－ 2
e21
＋
2＋ 2
e22
＝4.
又∵
2－ 2
e21
＋
2＋ 2
e22
≥
2 22－2
e1·e2
＝
2 2
e1·e2
，
∴
2 2
e1·e2
≤4，即 e1·e2≥ 2
2
，
∴椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为
2
2
.
二、填空题
9．(2017·北京高考)若双曲线 x2－y2
m
＝1的离心率为 3，则实数 m＝________.
解析：由双曲线的标准方程可知 a2＝1，b2＝m，所以 a＝1，c＝ 1＋m，所以 e＝ 1＋m
1
＝ 3，解得 m＝2.
答案：2
10．(2017·全国卷Ⅲ)双曲线
x2
a2
－
y2
9
＝1(a＞0)的一条渐近线方程为 y＝3
5
x，则 a＝________.
解析：∵双曲线的标准方程为
x2
a2
－
y2
9
＝1(a＞0)，
∴双曲线的渐近线方程为 y＝±3
a
x.
又双曲线的一条渐近线方程为 y＝3
5
x，∴a＝5.
答案：5
11．与椭圆
x2
9
＋
y2
4
＝1有相同的焦点，且离心率为
5
5
的椭圆的标准方程为__________．
解析：由椭圆
x2
9
＋
y2
4
＝1，得 a2＝9，b2＝4，
∴c2＝a2－b2＝5，
∴该椭圆的焦点坐标为(± 5，0).
设所求椭圆方程为
x2
a2
＋
y2
b2
＝1，a＞b＞0，
则 c＝ 5，又
c
a
＝
5
5
，得 a＝5，∴b2＝25－5＝20.
∴所求椭圆方程为
x2
25
＋
y2
20
＝1.
答案：
x2
25
＋
y2
20
＝1
12．(2018·西安中学模拟)如图，过抛物线 y＝1
4
x2的焦点 F的直线 l与抛物线和圆 x2＋(y
－1)2＝1交于 A，B，C，D四点，则 AB
―→
· DC
―→
＝________.
解析：不妨设直线 AB的方程为 y＝1，联立
y＝1，
y＝1
4
x2， 解得 x＝±2，则 A(－2,1)，D(2,1)，
因为 B(－1,1)，C(1,1)，所以 AB
―→
＝(1,0)， DC
―→
＝(－1,0)，所以 AB
―→
· DC
―→
＝－1.
答案：－1
三、解答题
13．已知椭圆 C：x2
a2
＋
y2
b2
＝1(a＞b＞0)的短轴长为 2，且函数 y＝x2－65
16
的图象与椭圆 C
仅有两个公共点，过原点的直线 l与椭圆 C交于M，N两点．
(1)求椭圆 C的标准方程；
(2)若点 P为线段MN的中垂线与椭圆 C的一个公共点，求△PMN面积的最小值，并求
此时直线 l的方程．
解：(1)由题意可得，2b＝2，所以 b＝1.
联立
x2
a2
＋y2＝1(a＞1)与 y＝x2－65
16
，消去 y，
整理得 x4＋
1
a2
－
65
8 x2＋81×49
162
＝0，
根据椭圆 C与抛物线 y＝x2－65
16
的对称性，可得Δ＝
1
a2
－
65
8 2－4×81×49
162
＝0，a＞1，解
得 a＝2.
∴椭圆 C的标准方程为
x2
4
＋y2＝1.
(2)①当直线 l的斜率不存在时，S△PMN＝
1
2
×2b×a＝2；
当直线 l的斜率为 0时，S△PMN＝
1
2
×2a×b＝2；
②当直线 l的斜率存在且不为 0时．
设直线 l的方程为 y＝kx，由
y＝kx，
x2
4
＋y2＝1，
解得 x2＝ 4
1＋4k2
，y2＝ 4k2
1＋4k2
.
∴|MN|＝2 x2＋y2＝4 1＋k2
1＋4k2
.
由题意可得，线段MN的中垂线方程为 y＝－
1
k
x，
联立
y＝－
1
k
x，
x2
4
＋y2＝1，
可得 x2＝ 4k2
k2＋4
，y2＝ 4
k2＋4
.
∴|OP|＝ x2＋y2＝2 1＋k2
k2＋4
.
∴S△PMN＝
1
2
·|MN|·|OP|＝
41＋k2
1＋4k2k2＋4
≥
41＋k2
1＋4k2＋k2＋4
2
＝
8
5
，当且仅当 k＝±1时取
等号，此时△PMN的面积的最小值为
8
5
.
∵2>8
5
，∴△PMN的面积的最小值为
8
5
，直线 l的方程为 y＝±x.
14.已知点 F为抛物线 E：y2＝2px(p>0)的焦点，点 A(2，m)在抛物线
E上，且|AF|＝3.
(1)求抛物线 E的方程；
(2)已知点 G(－1,0)，延长 AF 交抛物线 E 于点 B，证明：以点 F 为
圆心且与直线 GA相切的圆必与直线 GB相切．
解：(1)由抛物线的定义得
|AF|＝2＋p
2
.
因为|AF|＝3，即 2＋p
2
＝3，解得 p＝2，
所以抛物线 E的方程为 y2＝4x.
(2)因为点 A(2，m)在抛物线 E：y2＝4x上，
所以 m＝±2 2.
由抛物线的对称性，不妨设 A(2,2 2)．
由 A(2,2 2)，F(1,0)可得直线 AF的方程为 y＝2 2(x－1)．
由
y＝2 2x－1，
y2＝4x，
得 2x2－5x＋2＝0，
解得 x＝2或 x＝1
2
，从而 B
1
2
，－ 2
.
又 G(－1,0)，
所以 kGA＝
2 2－0
2－－1
＝
2 2
3
，
kGB＝
－ 2－0
1
2
－－1
＝－
2 2
3
，
所以 kGA＋kGB＝0，从而∠AGF＝∠BGF，这表明点 F到直线 GA，GB的距离相等，故
以 F为圆心且与直线 GA相切的圆必与直线 GB相切．
高考研究课(一)
椭圆命题 3角度——求方程、研性质、用关系
[全国卷 5年命题分析]
考点 考查频度 考查角度
椭圆的标准方程 5年 2考 求椭圆的标准方程
椭圆的几何性质 5年 3考 求离心率，求参数
直线与椭圆的位置关系 5年 6考 弦长问题、面积最值、斜率范围
椭圆的定义及标准方程
[典例] (1)若椭圆 C：x2
9
＋
y2
2
＝1 的焦点为 F1，F2，点 P 在椭圆 C 上，且|PF1|＝4，则
∠F1PF2＝( )
A.π
6
B.π
3
C.2π
3
D.5π
6
(2)(2018·大庆模拟)如图，已知椭圆 C：x2
a2
＋
y2
b2
＝1(a>b>0)，其
中左焦点为 F(－2 5，0)，P为 C上一点，满足|OP|＝|OF|，且|PF|
＝4，则椭圆 C的方程为( )
A.x
2
25
＋
y2
5
＝1 B.x
2
36
＋
y2
16
＝1
C.x
2
30
＋
y2
10
＝1 D.x
2
45
＋
y2
25
＝1
[解析] (1)由题意得 a＝3，c＝ 7，则|PF2|＝2.
在△F2PF1中，由余弦定理可得
cos∠F2PF1＝
|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2
2|PF1||PF2|
＝
42＋22－2 72
2×4×2
＝－
1
2
.
又∵∠F2PF1∈(0，π)，∴∠F2PF1＝
2π
3
.
(2)设椭圆的焦距为 2c，右焦点为 F1，连接 PF1，如图所示．
由 F(－2 5，0)，得 c＝2 5.
由|OP|＝|OF|＝|OF1|，
知 PF1⊥PF.
在 Rt△PF1F中，由勾股定理，
得|PF1|＝ |F1F|2－|PF|2＝ (4 5)2－42＝8.
由椭圆定义，得|PF1|＋|PF|＝2a＝4＋8＝12，
从而 a＝6，得 a2＝36，
于是 b2＝a2－c2＝36－(2 5)2＝16，
所以椭圆 C的方程为
x2
36
＋
y2
16
＝1.
[答案] (1)C (2)B
[方法技巧]
(1)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定
焦点所在位置，然后再根据条件建立关于 a，b 的方程组．如果焦点位置不确定，可把椭圆
方程设为 mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式．
(2)椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用
椭圆的定义和正弦定理、余弦定理．
[即时演练]
1．在平面直角坐标系 xOy中，P是椭圆
y2
4
＋
x2
3
＝1上的一个动点，点 A(1,1)，B(0，－1)，
则|PA|＋|PB|的最大值为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选 D ∵椭圆方程为
y2
4
＋
x2
3
＝1，
∴焦点坐标为 B(0，－1)和 B′(0,1)，
连接 PB′，AB′，根据椭圆的定义，
得|PB|＋|PB′|＝2a＝4，
可得|PB|＝4－|PB′|，
因此|PA|＋|PB|＝|PA|＋(4－|PB′|)
＝4＋(|PA|－|PB′|)．
∵|PA|－|PB′|≤|AB′|，
∴|PA|＋|PB|≤4＋|AB′|＝4＋1＝5.
当且仅当点 P在 AB′延长线上时，等号成立．
综上所述，可得|PA|＋|PB|的最大值为 5.
2．已知 F1，F2是椭圆 C：x2
a2
＋
y2
b2
＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆 C上的一点，且PF1
―→
⊥PF2
―→
.若△PF1F2的面积为 9，则 b＝________.
解析：设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则
r1＋r2＝2a，
r21＋r22＝4c2，
∴2r1r2＝(r1＋r2)2－(r21＋r22)＝4a2－4c2＝4b2，
又∵S△PF1F2＝
1
2
r1r2＝b2＝9，∴b＝3.
答案：3
椭圆的几何性质
[典例] (1)(2016·江苏高考)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，F
是椭圆
x2
a2
＋
y2
b2
＝1(a＞b＞0)的右焦点，直线 y＝b
2
与椭圆交于 B，C两点，
且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________．
(2)如图，椭圆
x2
a2
＋
y2
b2
＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F2的直线交椭圆于 P，
Q两点，且 PQ⊥PF1.
①若|PF1|＝2＋ 2，|PF2|＝2－ 2，求椭圆的标准方程；
②若|PQ|＝λ|PF1|，且
3
4
≤λ＜4
3
，求椭圆离心率 e的取值范围．
[解析] (1)将 y＝b
2
代入椭圆的标准方程，
得
x2
a2
＋
b2
4
b2
＝1，
所以 x＝± 3
2
a，故 B
－
3
2
a，b
2 ，C
3
2
a，b
2 .
又因为 F(c,0)，所以 BF
―→
＝
c＋ 3
2
a，－
b
2 ，
CF
―→
＝
c－ 3
2
a，－
b
2 .
因为∠BFC＝90°，所以 BF
―→
· CF
―→
＝0，
所以
c＋ 3
2
a c－ 3
2
a
＋
－
b
2 2＝0，
即 c2－3
4
a2＋1
4
b2＝0，将 b2＝a2－c2代入并化简，
得 a2＝3
2
c2，所以 e2＝c2
a2
＝
2
3
，所以 e＝ 6
3
(负值舍去)．
[答案] 6
3
(2)①由椭圆的定义，得 2a＝|PF1|＋|PF2|＝(2＋ 2)＋(2－ 2)＝4，故 a＝2.
设椭圆的半焦距为 c，由已知 PF1⊥PF2，
因此 2c＝|F1F2|＝ |PF1|2＋|PF2|2
＝ 2＋ 22＋2－ 22＝2 3，
即 c＝ 3，从而 b＝ a2－c2＝1.
故所求椭圆的标准方程为
x2
4
＋y2＝1.
②如图，连接 F1Q，由 PF1⊥PQ，|PQ|＝λ|PF1|，
得|QF1|＝ |PF1|2＋|PQ|2＝ 1＋λ2|PF1|.
由椭圆的定义，|PF1|＋|PF2|＝2a，|QF1|＋|QF2|＝2a，进而|PF1|＋|PQ|＋|QF1|＝4a.
于是(1＋λ＋ 1＋λ2)|PF1|＝4a，
解得|PF1|＝
4a
1＋λ＋ 1＋λ2
，
故|PF2|＝2a－|PF1|＝
2aλ＋ 1＋λ2－1
1＋λ＋ 1＋λ2
.
由勾股定理得|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2＝4c2，
从而
4a
1＋λ＋ 1＋λ2 2＋
2aλ＋ 1＋λ2－1
1＋λ＋ 1＋λ2 2＝4c2，
两边除以 4a2，得
4
1＋λ＋ 1＋λ22
＋
λ＋ 1＋λ2－12
1＋λ＋ 1＋λ22
＝e2.
若记 t＝1＋λ＋ 1＋λ2，
则上式变成 e2＝4＋t－22
t2
＝8
1
t
－
1
4 2＋
1
2
.
由
3
4
≤λ＜4
3
，并注意到 t＝1＋λ＋ 1＋λ2关于λ单调递增，得 3≤t＜4，即
1
4
＜
1
t
≤
1
3
.
进而
1
2
＜e2≤5
9
，即
2
2
＜e≤ 5
3
.
所以椭圆离心率 e的取值范围为
2
2
，
5
3 .
[方法技巧]
椭圆几何性质的应用技巧
(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想
到一个图形．
(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，－a≤x≤a，－b≤y≤b,0＜e＜1，
在求椭圆相关量的范围时，要注意应用这些不等关系．
[即时演练]
1．已知椭圆 E的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1且斜率为 2的直线交椭圆 E于 P，Q
两点，若△F1PF2为直角三角形，则椭圆 E的离心率为__________．
解析：作出示意图如图，由题可知，
|PF2|
|PF1|
＝2，
即|PF2|＝2|PF1|，
又|PF2|＋|PF1|＝2a，
∴|PF1|＝ 2
3
a，|PF2|＝4
3
a，
∴(2c)2＝
2
3
a 2＋
4
3
a 2，
即 c2＝5
9
a2，∴e＝ 5
3
.
答案：
5
3
2．已知椭圆 C：x2
a2
＋
y2
b2
＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P 为椭圆 C 与 y 轴
的交点，若以 F1，F2，P三点为顶点的等腰三角形一定不可能为钝角三角形，则椭圆 C的离
心率的取值范围是________．
解析：∵点 P为椭圆 C与 y轴的交点，以 F1，F2，P三点为顶点的等腰三角形一定不可
能为钝角三角形，即∠F1PF2≤90°，∴tan∠OPF2≤1，∴c
b
≤1，c≤b，c2≤a2－c2，∴0＜e≤ 2
2
.
答案：
0， 2
2
直线与椭圆的位置关系
[典例] (2017·天津高考)设椭圆
x2
a2
＋
y2
b2
＝1(a>b>0)的左焦点为 F，右顶点为 A，离心率为
1
2
.已知 A是抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点，F到抛物线的准线 l的距离为
1
2
.
(1)求椭圆的方程和抛物线的方程；
(2)设 l上两点 P，Q 关于 x 轴对称，直线 AP 与椭圆相交于点 B(B 异于点 A)，直线 BQ
与 x轴相交于点 D.若△APD的面积为
6
2
，求直线 AP的方程．
[思路点拨] (1)由 A为抛物线的焦点，F到抛物线的准线 l的距离为
1
2
，得 a－c＝1
2
，又
椭圆的离心率为
1
2
，求出 c，a，b，p，得出椭圆的标准方程和抛物线方程；
(2)由(1)知，A(1,0)，设直线 AP的方程为 x＝my＋1(m≠0)，解出 P，Q两点的坐标，把
直线 AP方程和椭圆方程联立解出 B点坐标，写出 BQ所在直线方程，求出点 D的坐标，最
后根据△APD的面积为
6
2
解方程，求出 m，得出直线 AP的方程．
[解] (1)设 F的坐标为(－c,0)．
依题意
c
a
＝
1
2
，
p
2
＝a，
a－c＝1
2
，
解得
a＝1，
c＝1
2
，
p＝2，
于是 b2＝a2－c2＝3
4
.
所以椭圆的方程为 x2＋4y2
3
＝1，抛物线的方程为 y2＝4x.
(2)设直线 AP 的方程为 x＝my＋1(m≠0)，与直线 l 的方程 x＝－1 联立，可得点
P
－1，－
2
m ，故点 Q
－1，2
m .
联立
x＝my＋1，
x2＋4y2
3
＝1 消去 x，
整理得(3m2＋4)y2＋6my＝0，
解得 y＝0或 y＝ －6m
3m2＋4
.
由点 B异于点 A，可得点 B
－3m2＋4
3m2＋4
，
－6m
3m2＋4 .
由 Q
－1，2
m ，可得直线 BQ的方程为
－6m
3m2＋4
－
2
m (x＋1)－
－3m2＋4
3m2＋4
＋1 y－2
m ＝0，
令 y＝0，解得 x＝2－3m2
3m2＋2
，故点 D
2－3m2
3m2＋2
，0
.
所以|AD|＝1－2－3m2
3m2＋2
＝
6m2
3m2＋2
.
又因为△APD的面积为
6
2
，
故
1
2
×
6m2
3m2＋2
×
2
|m|
＝
6
2
，
整理得 3m2－2 6|m|＋2＝0，解得|m|＝ 6
3
，
所以 m＝± 6
3
.
所以直线 AP的方程为 3x＋ 6y－3＝0或 3x－ 6y－3＝0.
[方法技巧]
(1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联
立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常
常用“点差法”解决往往会更简单．
(2)设直线与椭圆的交点坐标为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝ 1＋k2[x1＋x22－4x1x2]
＝
1＋ 1
k2 [y1＋y22－4y1y2](k为直线斜率)．
[提醒] 利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略
判别式．
[即时演练]
1．设椭圆
x2
a2
＋
y2
b2
＝1(a>b>0)的两焦点为 F1，F2，斜率为 k 的直线过右焦点 F2，与椭圆
交于 A，B，与 y 轴交于 C，B 为 CF2的中点，若|k|≤2 5
5
，则椭圆离心率 e 的取值范围为
__________．
解析：椭圆
x2
a2
＋
y2
b2
＝1(a>b>0)的焦点在 x轴上，设椭圆的右焦点为 F2 (c,0)，则直线的方
程可设为 y＝k(x－c)，
令 x＝0，得 y＝－kc，即 C(0，－kc)．
由于 B为 CF2的中点，
∴B
c
2
，－
kc
2 ，又 B为椭圆上的点，
∴
c2
4a2
＋
k2c2
4b2
＝1，
由 b2＝a2－c2，e＝c
a
，
可得
e2
4
＋
k2e2
41－e2
＝1，
∴k2＝e4－5e2＋4
e2
.
∵|k|≤2 5
5
，∴k2≤4
5
，
即 0≤e4－5e2＋4
e2
≤
4
5
.
又 0＜e＜1, 解得
2 5
5
≤e＜1.
答案：
2 5
5
，1
2．(2017·江苏高考)如图，在平面直角坐标系 xOy中，椭圆 E：
x2
a2
＋
y2
b2
＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为
1
2
，两准
线之间的距离为 8.点 P 在椭圆 E 上，且位于第一象限，过点 F1
作直线 PF1的垂线 l1，过点 F2作直线 PF2的垂线 l2.
(1)求椭圆 E的标准方程；
(2)若直线 l1，l2的交点 Q在椭圆 E上，求点 P的坐标．
解：(1)设椭圆的半焦距为 c.
因为椭圆 E的离心率为
1
2
，两准线之间的距离为 8，
所以
c
a
＝
1
2
，
2a2
c
＝8，
解得 a＝2，c＝1，于是 b＝ a2－c2＝ 3，
因此椭圆 E的标准方程是
x2
4
＋
y2
3
＝1.
(2)由(1)知，F1(－1,0)，F2(1,0)．
设 P(x0，y0)，因为 P为第一象限的点，
故 x0>0，y0>0.
当 x0＝1时，l2与 l1相交于 F1，与题设不符．
当 x0≠1时，直线 PF1的斜率为
y0
x0＋1
，
直线 PF2的斜率为
y0
x0－1
.
因为 l1⊥PF1，l2⊥PF2，所以直线 l1的斜率为－
x0＋1
y0
，
直线 l2的斜率为－
x0－1
y0
，
从而直线 l1的方程为 y＝－
x0＋1
y0
(x＋1)，①
直线 l2的方程为 y＝－
x0－1
y0
(x－1)．②
由①②解得 x＝－x0，y＝x20－1
y0
，
所以 Q
－x0，
x20－1
y0 .
因为点 Q在椭圆上，由对称性，得
x20－1
y0
＝±y0，
即 x20－y20＝1或 x20＋y20＝1.
又点 P在椭圆 E上，故
x20
4
＋
y20
3
＝1.
联立
x20－y20＝1，
x20
4
＋
y20
3
＝1， 解得 x0＝
4 7
7
，y0＝
3 7
7
；
联立
x20＋y20＝1，
x20
4
＋
y20
3
＝1， 无解．
因此点 P的坐标为
4 7
7
，
3 7
7 .
1．(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆 C：x2
a2
＋
y2
b2
＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为 A1，A2，且以线
段 A1A2为直径的圆与直线 bx－ay＋2ab＝0相切，则 C的离心率为( )
A. 6
3
B. 3
3
C. 2
3
D.1
3
解析：选 A 以线段 A1A2为直径的圆的方程为 x2＋y2＝a2，由原点到直线 bx－ay＋2ab
＝0的距离 d＝
2ab
b2＋a2
＝a，得 a2＝3b2，所以 C的离心率 e＝ 1－b2
a2
＝
6
3
.
2．(2017·全国卷Ⅰ)设 A，B是椭圆 C：x2
3
＋
y2
m
＝1长轴的两个端点．若 C上存在点M满
足∠AMB＝120°，则 m的取值范围是( )
A．(0,1]∪[9，＋∞) B．(0， 3 ]∪[9，＋∞)
C．(0,1]∪[4，＋∞) D．(0， 3 ]∪[4，＋∞)
解析：选 A 当 0＜m＜3时，焦点在 x轴上，
要使 C上存在点M满足∠AMB＝120°，
则
a
b
≥tan 60°＝ 3，即
3
m
≥ 3，
解得 0＜m≤1.
当 m＞3时，焦点在 y轴上，
要使 C上存在点M满足∠AMB＝120°，
则
a
b
≥tan 60°＝ 3，即
m
3
≥ 3，解得 m≥9.
故 m的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)．
3．(2016·全国卷Ⅰ)直线 l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 l的距离为其
短轴长的
1
4
，则该椭圆的离心率为( )
A.1
3
B.1
2
C.2
3
D.3
4
解析：选 B 不妨设直线 l经过椭圆的一个顶点 B(0，b)和一个焦点 F(c,0)，则直线 l的
方程为
x
c
＋
y
b
＝1，即 bx＋cy－bc＝0.由题意知
|－bc|
b2＋c2
＝
1
4
×2b，解得
c
a
＝
1
2
，即 e＝1
2
.
4．(2016·全国卷Ⅱ)已知 A 是椭圆 E：x2
4
＋
y2
3
＝1 的左顶点，斜率为 k(k＞0)的直线交 E
于 A，M两点，点 N在 E上，MA⊥NA.
(1)当|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积；
(2)当 2|AM|＝|AN|时，证明： 3＜k＜2.
解：(1)设M(x1，y1)，则由题意知 y1＞0.
由已知及椭圆的对称性知，直线 AM的倾斜角为
π
4
.
又 A(－2,0)，因此直线 AM的方程为 y＝x＋2.
将 x＝y－2代入
x2
4
＋
y2
3
＝1得 7y2－12y＝0.
解得 y＝0或 y＝12
7
，所以 y1＝
12
7
.
因此△AMN的面积 S△AMN＝2×1
2
×
12
7
×
12
7
＝
144
49
.
(2)证明：设直线 AM的方程为 y＝k(x＋2)(k＞0)，
代入
x2
4
＋
y2
3
＝1，得(3＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－12＝0.
由 x1·(－2)＝16k2－12
3＋4k2
，得 x1＝
23－4k2
3＋4k2
，
故|AM|＝|x1＋2| 1＋k2＝12 1＋k2
3＋4k2
.
由题意，设直线 AN的方程为 y＝－
1
k
(x＋2)，
故同理可得|AN|＝12k 1＋k2
3k2＋4
.
由 2|AM|＝|AN|，得
2
3＋4k2
＝
k
3k2＋4
，
即 4k3－6k2＋3k－8＝0.
设 f(t)＝4t3－6t2＋3t－8，则 k 是 f(t)的零点．f′(t)＝12t2－12t＋3＝3(2t－1)2≥0，所以
f(t)在(0，＋∞)上单调递增．又 f( 3)＝15 3－26＜0，f(2)＝6＞0，因此 f(t)在(0，＋∞)上有
唯一的零点，且零点 k在( 3，2)内，所以 3＜k＜2.
5．(2015·全国卷Ⅱ)已知椭圆 C：9x2＋y2＝m2(m>0)，直线 l不过原点 O且不平行于坐标
轴，l与 C有两个交点 A，B，线段 AB的中点为M.
(1)证明：直线 OM的斜率与 l的斜率的乘积为定值；
(2)若 l 过点
m
3
，m
，延长线段 OM 与 C交于点 P，四边形 OAPB 能否为平行四边形？
若能，求此时 l的斜率；若不能，说明理由．
解：(1)证明：设直线 l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，
B(x2，y2)，M(xM，yM)．
将 y＝kx＋b代入 9x2＋y2＝m2，消去 y，
得(k2＋9)x2＋2kbx＋b2－m2＝0，
故 xM＝
x1＋x2
2
＝
－kb
k2＋9
，yM＝kxM＋b＝ 9b
k2＋9
.
于是直线 OM的斜率 kOM＝
yM
xM
＝－
9
k
，
即 kOM·k＝－9.
所以直线 OM的斜率与 l的斜率的乘积为定值．
(2)四边形 OAPB 能为平行四边形．
因为直线 l过点
m
3
，m
，所以 l不过原点且与 C有两个交点的充要条件是 k>0，k≠3.
由(1)得 OM的方程为 y＝－
9
k
x.
设点 P的横坐标为 xP.
由
y＝－
9
k
x，
9x2＋y2＝m2，
得 x2P＝
k2m2
9k2＋81
，即 xP＝
±km
3 k2＋9
.
将点
m
3
，m
的坐标代入直线 l 的方程得 b＝m3－k
3
，
因此 xM＝
kk－3m
3k2＋9
.
四边形 OAPB 为平行四边形，
当且仅当线段 AB与线段 OP互相平分，即 xP＝2xM.
于是
±km
3 k2＋9
＝2×kk－3m
3k2＋9
，
解得 k1＝4－ 7，k2＝4＋ 7.
因为 ki>0，ki≠3，i＝1,2，
所以当直线 l 的斜率为 4－ 7或 4＋ 7时，
四边形 OAPB 为平行四边形．
一、选择题
1．如果 x2＋ky2＝2表示焦点在 y轴上的椭圆，那么实数 k的取值范围是( )
A．(0,1) B．(0,2)
C．(1，＋∞) D．(0，＋∞)
解析：选 A x2＋ky2＝2转化为椭圆的标准方程，得
x2
2
＋
y2
2
k
＝1，∵x2＋ky2＝2表示焦点
在 y轴上的椭圆，
∴
2
k
＞2，解得 0＜k＜1.
∴实数 k的取值范围是(0,1)．
2．已知直线 2kx－y＋1＝0与椭圆
x2
9
＋
y2
m
＝1恒有公共点，则实数 m的取值范围为( )
A．(1,9] B．[1，＋∞)
C．[1,9)∪(9，＋∞) D．(9，＋∞)
解析：选 C ∵直线 2kx－y＋1＝0恒过定点 P(0,1),
直线 2kx－y＋1＝0与椭圆
x2
9
＋
y2
m
＝1恒有公共点，
即点 P(0,1)在椭圆内或椭圆上，
∴
0
9
＋
1
m
≤1，即 m≥1,
又 m≠9，∴1≤m＜9或 m＞9.
3．椭圆
x2
a2
＋
y2
b2
＝1(a>b>0)的中心在原点，F1，F2分别为左、右焦点，A，B分别是椭圆
的上顶点和右顶点，P是椭圆上一点，且 PF1⊥x轴，PF2∥AB，则此椭圆的离心率为( )
A.1
3
B.1
2
C. 2
2
D. 5
5
解析：选 D 如图所示，把 x＝－c代入椭圆方程
x2
a2
＋
y2
b2
＝1(a>b>0)，
可得 P
－c，b2
a ，
又 A(0，b)，B(a,0)，F2(c,0)，
∴kAB＝－
b
a
，kPF2＝－
b2
2ac
，
∵PF2∥AB，∴－
b
a
＝－
b2
2ac
，化简得 b＝2c.
∴4c2＝b2＝a2－c2，即 a2＝5c2，∴e＝ c2
a2
＝
5
5
.
4.如图，椭圆与双曲线有公共焦点 F1，F2，它们在第一象限的交
点为 A，且 AF1⊥AF2 ，∠AF1F2＝30°，则椭圆与双曲线的离心率之
积为( )
A．2 B. 3
C.1
2
D. 3
2
解析：选 A 设椭圆的长轴长为 2a1，双曲线的实轴长为 2a2，焦距为 2c,
由椭圆与双曲线的定义可知，
|AF1|＋|AF2|＝2a1,
|AF1|－|AF2|＝2a2,
在 Rt△AF1F2中，∠AF1F2＝30°，
则|AF2|＝1
2
|F1F2|＝c，|AF1|＝ 3
2
|F1F2|＝ 3c,
所以 2a1＝( 3＋1)c,2a2＝( 3－1)c，
即 e1＝
c
a1
＝
2
3＋1
，e2＝
c
a2
＝
2
3－1
，
所以 e1·e2＝
2
3＋1
×
2
3－1
＝2,
即椭圆与双曲线的离心率之积为 2.
5．已知 P(x0，y0)是椭圆 C：x
2
4
＋y2＝1上的一点，F1，F2是 C的左、右焦点，若PF1
―→
·PF2
―→
<0，则 x0的取值范围为( )
A.
－
2 6
3
，
2 6
3 B.
－
2 3
3
，
2 3
3
C.
－
3
3
，
3
3 D.
－
6
3
，
6
3
解析：选 A ∵F1(－ 3，0)，F2( 3，0)，
∴PF1
―→
·PF2
―→
＝(－ 3－x0，－y0)·( 3－x0，－y0)＝x20＋y20－3.又∵
x20
4
＋y20＝1，
∴PF1
―→
·PF2
―→
＝x20＋1－x20
4
－3<0，
解得－
2 6
3
b>0)的左、右焦点，点 P(－1，e)在椭圆上，e为椭
圆的离心率，且点M为椭圆短半轴的上顶点，△MF1F2为等腰直角三角形．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点 F2作不与坐标轴垂直的直线 l，设 l与圆 x2＋y2＝a2＋b2相交于 A，B两点，与椭
圆相交于 C，D两点，当F1A
―→
·F1B
―→
＝λ且λ∈
2
3
，1
时，求△F1CD的面积 S的取值范围．
解：(1)由△MF1F2是等腰直角三角形，得 b＝c，a2＝2c2＝2b2，从而得到 e＝ 2
2
，故而
椭圆经过点
－1， 2
2 ，
代入椭圆方程得
1
2b2
＋
1
2b2
＝1，解得 b2＝1，a2＝2，
故所求椭圆的方程为
x2
2
＋y2＝1.
(2)由(1)知 F1(－1,0)，F2(1,0)，
由题意，设直线 l的方程为 x＝ty＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由
x＝ty＋1，
x2＋y2＝3
消去 x，得(t2＋1)y2＋2ty－2＝0，
则 y1＋y2＝－
2t
t2＋1
，y1y2＝－
2
t2＋1
，
∴F1A
―→
·F1B
―→
＝(x1＋1，y1)·(x2＋1，y2)
＝(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2
＝(ty1＋2)(ty2＋2)＋y1y2
＝(t2＋1)y1y2＋2t(y1＋y2)＋4
＝－2－ 4t2
t2＋1
＋4＝2－2t2
t2＋1
.
∵F1A
―→
·F1B
―→
∈
2
3
，1
，∴
2
3
≤
2－2t2
t2＋1
≤1，
解得 t2∈
1
3
，
1
2 .
由
x＝ty＋1，
x2
2
＋y2＝1 消去 x，得(t2＋2)y2＋2ty－1＝0.
设 C(x3，y3)，D(x4，y4)，
则 y3＋y4＝－
2t
t2＋2
，y3y4＝－
1
t2＋2
，
∴S△F1CD＝1
2
|F1F2|·|y3－y4|＝ y3＋y42－4y3y4
＝
－
2t
t2＋2 2＋
4
t2＋2
＝
8t2＋1
t2＋22
.
设 t2＋1＝m，则 S＝ 8m
m＋12
＝
8
m＋
1
m
＋2
，
其中 m∈
4
3
，
3
2 ，
∵S关于 m在
4
3
，
3
2 上为减函数，
∴S∈
4 3
5
，
4 6
7 ，
即△F1CD的面积的取值范围为
4 3
5
，
4 6
7 .
11．已知 F1，F2分别是长轴长为 2 2的椭圆 C：x2
a2
＋
y2
b2
＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，A1，
A2是椭圆 C的左、右顶点，P为椭圆上异于 A1，A2的一个动点，O为坐标原点，点M为线
段 PA2的中点，且直线 PA2与 OM的斜率之积恒为－
1
2
.
(1)求椭圆 C的方程；
(2)设过点 F1且不与坐标轴垂直的直线 l交椭圆于 A，B两点，线段 AB的垂直平分线与
x轴交于点 N，点 N的横坐标的取值范围是
－
1
4
，0
，求线段 AB长的取值范围．
解：(1)由题意可知 2a＝2 2，则 a＝ 2，设 P(x0，y0)，
∵直线 PA2与 OM的斜率之积恒为－
1
2
，
∴
y0
2
x0＋ 2
2
· y0
x0－ 2
＝－
1
2
，
∴
x20
2
＋y20＝1，∴b＝1，
故椭圆 C的方程为
x2
2
＋y2＝1.
(2)设直线 l的方程为 y＝k(x＋1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点 Q(x0，y0)．
联立
y＝kx＋1，
x2
2
＋y2＝1 消去 y，
得(2k2＋1)x2＋4k2x＋2k2－2＝0,
则 x1＋x2＝－
4k2
2k2＋1
，x1x2＝
2k2－2
2k2＋1
，
∴x0＝－
2k2
2k2＋1
，y0＝k(x0＋1)＝ k
2k2＋1
，
∴AB的中点 Q
－
2k2
2k2＋1
，
k
2k2＋1 ，
∴QN的直线方程为 y－ k
2k2＋1
＝－
1
k
x＋ 2k2
2k2＋1 .
令 y＝0，得 x＝－
k2
2k2＋1
，
∴N
－
k2
2k2＋1
，0
，由已知得－
1
4
＜－
k2
2k2＋1
＜0，
∴0＜2k2＜1，
∴|AB|＝ 1＋k2· x1＋x22－4x1x2
＝ 1＋k2·
－
4k2
2k2＋1 2－4×2k2－2
2k2＋1
＝ 1＋k2·2 2 1＋k2
2k2＋1
＝ 2
1＋ 1
2k2＋1 .
∵
1
2
＜
1
2k2＋1
＜1，
∴|AB|∈
3 2
2
，2 2
，
故线段 AB长的取值范围为
3 2
2
，2 2
.
12．已知椭圆 C：x2
a2
＋
y2
b2
＝1(a＞b＞0)的离心率为
6
3
，焦距为 2 2，过点 D(1,0)且不过点
E(2,1)的直线 l与椭圆 C交于 A，B两点，直线 AE与直线 x＝3交于点M.
(1)求椭圆 C的方程；
(2)若 AB垂直于 x轴，求直线MB 的斜率；
(3)试判断直线 BM与直线 DE的位置关系，并说明理由．
解：(1)由题意可得 2c＝2 2，即 c＝ 2，
又 e＝c
a
＝
6
3
，解得 a＝ 3， b＝ a2－c2＝1，
所以椭圆的方程为
x2
3
＋y2＝1.
(2)由直线 l过点 D(1,0)且垂直于 x轴，设 A(1，y1)，B(1，－y1)，
则直线 AE的方程为 y－1＝(1－y1)(x－2)．
令 x＝3，可得M(3,2－y1)，
所以直线 BM 的斜率 kBM＝
2－y1－－y1
3－1
＝1.
(3)直线 BM与直线 DE平行．
理由如下：当直线 AB的斜率不存在时，由(2)知 kBM＝1.
又因为直线 DE的斜率 kDE＝
1－0
2－1
＝1，所以 BM∥DE;
当直线 AB的斜率存在时，设其方程为 y＝k(x－1)(k≠1)，
A(x1，y1)，B(x2，y2),
则直线 AE的方程为 y－1＝y1－1
x1－2
(x－2)．
令 x＝3，得M
3，x1＋y1－3
x1－2 ，
所以直线 BM的斜率 kBM＝
x1＋y1－3
x1－2
－y2
3－x2
.
联立
y＝kx－1，
x2＋3y2＝3
消去 y，
得(1＋3k2)x2－6k2x＋3k2－3＝0，
则 x1＋x2＝
6k2
1＋3k2
，x1x2＝
3k2－3
1＋3k2
，
因为 kBM－1
＝
kx1－1＋x1－3－kx2－1x1－2－3－x2x1－2
3－x2x1－2
＝
k－1[－x1x2＋2x1＋x2－3]
3－x2x1－2
＝
k－1
3－3k2
1＋3k2
＋
12k2
1＋3k2
－3
3－x2x1－2
＝0，
所以 kBM＝1＝kDE，即 BM∥DE.
综上所述，直线 BM与直线 DE平行.
已知椭圆M：
x2
a2
＋
y2
b2
＝1(a>b>0)的右焦点 F的坐标为(1,0)，P，
Q 为椭圆上位于 y 轴右侧的两个动点，使 PF⊥QF，C为 PQ 中点，
线段 PQ的垂直平分线交 x轴，y轴于点 A，B(线段 PQ不垂直 x轴)，
当 Q运动到椭圆的右顶点时，|PF|＝ 2
2
.
(1)求椭圆M的方程；
(2)若 S△ABO∶S△BCF＝3∶5，求直线 PQ的方程．
解：(1) 当 Q运动到椭圆的右顶点时，PF⊥x轴，
∴|PF|＝b2
a
＝
2
2
，
又 c＝1，a2＝b2＋c2，∴a＝ 2，b＝1.
∴椭圆M的方程为
x2
2
＋y2＝1.
(2)设直线 PQ的方程为 y＝kx＋b，显然 k≠0，
联立椭圆方程得：(2k2＋1)x2＋4kbx＋2(b2－1)＝0，
设点 P(x1，y1)，Q(x2，y2),
则
x1＋x2＝
－4kb
2k2＋1
>0， ①
x1x2＝
2b2－1
2k2＋1
>0， ②
Δ＝82k2－b2＋1>0， ③
由 PF
―→
· QF
―→
＝0，得(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝0，
即(k2＋1)x1x2＋(kb－1)(x1＋x2)＋b2＋1＝0，
代入化简得 3b2－1＋4kb＝0.④
由 y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2b＝ 2b
2k2＋1
，
得 C
－2kb
2k2＋1
，
b
2k2＋1 ，
∴线段 PQ的中垂线 AB的方程为
y－ b
2k2＋1
＝－
1
k
x＋ 2kb
2k2＋1 .
令 y＝0，x＝0，可得 A
－kb
2k2＋1
，0
，B
0， －b
2k2＋1 ，
则 A为 BC中点，
故
S△BCF
S△ABO
＝
2S△ABF
S△ABO
＝2|AF|
|AO|
＝
21－xA
xA
＝2
1
xA
－1
.
由④式得，k＝1－3b2
4b
，则 xA＝
－kb
2k2＋1
＝
6b4－2b2
9b4＋2b2＋1
，
∴
S△BCF
S△ABO
＝2
1
xA
－1
＝
6b4＋8b2＋2
6b4－2b2
＝
5
3
，解得 b2＝3.
∴b＝ 3，k＝－
2 3
3
或 b＝－ 3，k＝2 3
3
.
经检验，满足条件①②③，
故直线 PQ的方程为 y＝2 3
3
x－ 3或 y＝－
2 3
3
x＋ 3.
高考研究课(二)
双曲线命题 3角度——用定义、求方程、研性质
[全国卷 5年命题分析]
考点 考查频度 考查角度
双曲线的定义及标准方程 5年 1考 求双曲线的标准方程
双曲线的几何性质 5年 7考
由离心率求渐近线、求离心率、求
实轴长范围问题
直线与双曲线的位置关系 未独立考查
双曲线的定义及标准方程
[典例] (1)设 F1，F2是双曲线 x2－ y2
24
＝1 的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且|PF1|
＝
4
3
|PF2|，则△PF1F2的面积等于( )
A．4 2 B．8 3
C．24 D．48
(2)已知双曲线 C：x2
a2
－
y2
b2
＝1(a＞0，b＞0)的离心率为 2，且右焦点到一条渐近线的距离
为 3，则双曲线的方程为( )
A.x
2
4
－
y2
3
＝1 B．x2－y2
3
＝1
C．y2－x2
3
＝1 D．x2－y2
4
＝1
[解析] (1)由双曲线定义知，||PF1|－|PF2||＝2，
又|PF1|＝4
3
|PF2|，
∴|PF1|＝8，|PF2|＝6，
又|F1F2|＝2c＝10，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，
△PF1F2为直角三角形．
∴△PF1F2的面积 S＝1
2
×6×8＝24.
(2)由双曲线 C：x2
a2
－
y2
b2
＝1(a＞0，b＞0)的离心率为 2，
得 e＝c
a
＝2，即 c＝2a.
又由右焦点到一条渐近线的距离为 3，得 b＝ 3，
因为 c2＝a2＋b2，即 4a2＝a2＋3, 所以 a2＝1，
故双曲线的方程为 x2－y2
3
＝1.
[答案] (1)C (2)B
[方法技巧]
解双曲线定义及标准方程有关问题的 2个注意点
(1)应用双曲线的定义需注意的问题：
在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距
离之差的绝对值为一非零常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”
去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时注意定义的转化应用．
(2)求双曲线方程时一是标准形式判断；二是注意 a，b，c的关系易错易混．
[即时演练]
1．若双曲线
x2
4
－
y2
12
＝1的左焦点为 F，点 P是双曲线右支上的动点，A(1,4)，则|PF|＋|PA|
的最小值是( )
A．8 B．9
C．10 D．12
解析：选 B 由题意知，双曲线
x2
4
－
y2
12
＝1的左焦点 F的坐标为(－4,0)，设双曲线的右
焦点为 B，则 B(4,0)，由双曲线的定义知， |PF|＋ |PA|＝4＋ |PB|＋ |PA|≥4＋ |AB|＝4＋
4－12＋0－42＝4＋5＝9，当且仅当 A，P，B三点共线且 P在 A，B之间时取等号．
2．已知双曲线
x2
a2
－
y2
20
＝1(a＞0)的一条渐近线方程为 y＝2x，则该双曲线的焦距为
__________．
解析：由双曲线
x2
a2
－
y2
20
＝1(a＞0)的一条渐近线方程为 y＝2x，可得
20
a2
＝4，解得 a＝ 5，
则 b＝2 5，c＝5.
故双曲线的焦距为 10.
答案：10
双曲线的几何性质(渐近线与
离心率问题)
双曲线的渐近线与离心率问题是高考命题的热点．
常见的命题角度有：
(1)已知离心率求渐近线方程；
(2)由离心率或渐近线求双曲线方程；
(3)利用渐近线与已知直线位置关系求离心率．
角度一：已知离心率求渐近线方程
1．已知双曲线 C：x2
a2
－
y2
b2
＝1(a＞0，b＞0)的离心率为
5
2
，则 C的渐近线方程为( )
A．y＝±1
4
x B．y＝±1
3
x
C．y＝±1
2
x D．y＝±x
解析：选 C 因为双曲线
x2
a2
－
y2
b2
＝1的焦点在 x轴上，所以双曲线的渐近线方程为 y＝±b
a
x.
又离心率为 e＝c
a
＝
a2＋b2
a
＝ 1＋
b
a 2＝
5
2
，所以
b
a
＝
1
2
，所以双曲线的渐近线方程为 y＝
±1
2
x.
角度二：由离心率或渐近线求双曲线方程
2．(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线 C：x2
a2
－
y2
b2
＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为 y＝ 5
2
x，
且与椭圆
x2
12
＋
y2
3
＝1有公共焦点，则 C的方程为( )
A.x
2
8
－
y2
10
＝1 B.x
2
4
－
y2
5
＝1
C.x
2
5
－
y2
4
＝1 D.x
2
4
－
y2
3
＝1
解析：选 B 根据双曲线 C的渐近线方程为 y＝ 5
2
x，
可知
b
a
＝
5
2
.①
又椭圆
x2
12
＋
y2
3
＝1的焦点坐标为(3,0)和(－3,0)，
所以 a2＋b2＝9.②
根据①②可知 a2＝4，b2＝5，
所以 C的方程为
x2
4
－
y2
5
＝1.
角度三：利用渐近线与已知直线位置关系求离心率
3．双曲线M：
x2
a2
－
y2
b2
＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为 F1，F2，直线 x＝a与双曲线
M的渐近线交于点 P，若 sin∠PF1F2＝
1
3
，则该双曲线的离心率为__________．
解析：如图，设双曲线右顶点为 A，点 P在第一象限内， 双曲
线M的渐近线方程为 y＝b
a
x，
∴P(a，b)，又 F1(－c,0)，A(a,0)，
∴|PA|＝b，|F1A|＝a＋c.
∵sin∠PF1F2＝
1
3
，∴tan∠PF1F2＝
1
2 2
＝
2
4
，
∴
b
a＋c
＝
2
4
，b＝ 2
4
(a＋c)，
又 b2＝c2－a2，∴
1
8
(a＋c)2＝c2－a2，
即 7c2－2ac－9a2＝0，∴7e2－2e－9＝0，
解得 e＝9
7
(舍去)或 e＝－1.
答案：
9
7
[方法技巧]
解决有关渐近线与离心率关系问题的 2个注意点
(1)已知渐近线方程 y＝mx，若焦点位置不明确要分|m|＝b
a
或|m|＝a
b
讨论．
(2)注意数形结合思想在求渐近线夹角、离心率范围中的应用．
直线与双曲线的位置关系
[典例] 已知双曲线 C：x2
a2
－
y2
b2
＝1(a>0，b>0)的焦距为 4，离心率为
2 3
3
.
(1)求双曲线 C的方程；
(2)直线 l：y＝kx＋m(k≠0，m≠0)与双曲线 C 交于不同的两点 C，D，如果 C，D都在
以点 A(0，－1)为圆心的同一个圆上，求实数 m的取值范围．
[思路点拨] (1)设双曲线 C的焦距为 2c，运用离心率公式和 a，b，c 的关系，解方程
可得 a，b，进而得到双曲线的方程；
(2)将直线 l的方程代入双曲线的方程，可得 x的二次方程，运用根与系数的关系和判别
式大于 0，由中点坐标公式可得 CD的中点M的坐标，由题意可知直线 l与直线 AM垂直，
运用两直线垂直的条件：斜率之积为－1，可得 k，m 的关系式，代入判别式大于 0的式子，
解不等式即可得到 m的取值范围．
[解] (1)设双曲线 C的焦距为 2c,
由题意得 2c＝4，c
a
＝
2 3
3
，
所以 c＝2，a＝ 3，b＝ c2－a2＝1，
所以双曲线 C的方程为
x2
3
－y2＝1.
(2)联立
y＝kx＋m，
x2
3
－y2＝1 消去 y，
得(3k2－1)x2＋6kmx＋3(m2＋1)＝0,
则
3k2－1≠0，
Δ＝6km2－123k2－1m2＋1>0，
即
3k2－1≠0，
m2－3k2＋1>0.
(※)
设 C(x1，y1)，D(x2，y2)，线段 CD的中点为M(x0，y0),
因为 x1＋x2＝
－6km
3k2－1
，
所以 x0＝
－3km
3k2－1
，y0＝kx0＋m＝
－m
3k2－1
，
所以点M
－3km
3k2－1
，
－m
3k2－1 ，
可得直线 AM 的斜率为 kAM＝
－m
3k2－1
＋1
－3km
3k2－1
＝
3k2－m－1
－3km
，
由题意知，直线 l与直线 AM垂直，所以 kAM·k＝－1，
即
3k2－m－1
－3km
·k＝－1,
化简得 3k2＝4m＋1，因为 3k2＞0，
所以 4m＋1＞0，解得 m>－1
4
.
将 3k2＝4m＋1代入(※)式得
4m≠0，
m2－4m＋1＋1>0，
解得－
1
4
0，b>0)的右焦点为 F(c,0)．
(1)若双曲线的一条渐近线方程为 y＝x且 c＝2，求双曲线的方程；
(2)经过原点且倾斜角为 30°的直线 l与双曲线右支交于点 A，且△OAF是以 AF为底边
的等腰三角形，求双曲线的离心率 e的值．
解：(1)由题可知 a＝b，所以 c＝ 2a＝ 2b＝2，
故 a＝b＝ 2，
所以双曲线的方程为
x2
2
－
y2
2
＝1.
(2)由题意知|OA|＝c，又 OA的倾斜角为 30°，
所以 A
3
2
c，1
2
c
，
代入双曲线方程得，
3c2
4a2
－
c2
4b2
＝1，
结合 c2＝a2＋b2，可得 3c4－8a2c2＋4a4＝0，
解得 e2＝2或 e2＝2
3
(舍去)，
又 e>1，所以 e＝ 2.
1．(2017·全国卷Ⅰ)已知 F是双曲线 C：x2－y2
3
＝1的右焦点，P是 C上一点，且 PF与
x轴垂直，点 A的坐标是(1,3)，则△APF的面积为( )
A.1
3
B.1
2
C.2
3
D.3
2
解析：选 D 法一：由题可知，双曲线的右焦点为 F(2,0)，当 x＝2 时，代入双曲线 C
的方程，得 4－y2
3
＝1，解得 y＝±3，不妨取点 P(2,3)，因为点 A(1,3)，所以 AP∥x轴，又 PF
⊥x轴，所以 AP⊥PF，所以 S△APF＝
1
2
|PF|·|AP|＝1
2
×3×1＝3
2
.
法二：由题可知，双曲线的右焦点为 F(2,0)，当 x＝2 时，代入双曲线 C 的方程，得 4
－
y2
3
＝1，解得 y＝±3，不妨取点 P(2,3)，因为点 A(1,3)，所以 AP
―→
＝(1,0)， PF
―→
＝(0，－3)，
所以 AP
―→
· PF
―→
＝0，所以 AP⊥PF，所以 S△APF＝
1
2
|PF|·|AP|＝1
2
×3×1＝3
2
.
2．(2017·全国卷Ⅱ)若双曲线 C：x2
a2
－
y2
b2
＝1(a>0，b>0)的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝4
所截得的弦长为 2，则 C的离心率为( )
A．2 B. 3
C. 2 D.2 3
3
解析：选 A 依题意，双曲线 C：x2
a2
－
y2
b2
＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为 bx－ay＝0.
因为直线 bx－ay＝0被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为 2，所以
|2b|
b2＋a2
＝ 4－1，所以 3a2
＋3b2＝4b2，所以 3a2＝b2，所以 e＝ 1＋b2
a2
＝ 1＋3＝2.
3．(2017·全国卷Ⅱ)若 a＞1，则双曲线
x2
a2
－y2＝1的离心率的取值范围是( )
A．( 2，＋∞) B．( 2，2)
C．(1， 2) D．(1,2)
解析：选 C 由题意得双曲线的离心率 e＝ a2＋1
a
.
即 e2＝a2＋1
a2
＝1＋ 1
a2
.
∵a＞1，∴0＜ 1
a2
＜1，
∴1＜1＋ 1
a2
＜2，∴1＜e＜ 2.
4．(2016·全国卷Ⅰ)已知方程
x2
m2＋n
－
y2
3m2－n
＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距
离为 4，则 n的取值范围是( )
A．(－1,3) B．(－1， 3)
C．(0,3) D．(0， 3)
解析：选 A 由题意得(m2＋n)(3m2－n)>0，解得－m20，b>0)，
则|BM|＝|AB|＝2a，∠MBx＝180°－120°＝60°，
∴M点的坐标为(2a， 3a).
∵M点在双曲线上，∴
4a2
a2
－
3a2
b2
＝1，a＝b，
∴c＝ 2a，e＝c
a
＝ 2.
6．(2015·全国卷Ⅰ)已知 M(x0，y0)是双曲线 C：x2
2
－y2＝1 上的一点，F1，F2是 C的两
个焦点．若MF1
―→
·MF2
―→
<0，则 y0的取值范围是( )
A.
－
3
3
，
3
3 B.
－
3
6
，
3
6
C.
－
2 2
3
，
2 2
3 D.
－
2 3
3
，
2 3
3
解析：选 A 由题意知 a＝ 2，b＝1，c＝ 3，
∴F1(－ 3，0)，F2( 3，0)，
∴MF1
―→
＝(－ 3－x0，－y0)，MF2
―→
＝( 3－x0，－y0)．
∵MF1
―→
·MF2
―→
<0，∴(－ 3－x0)( 3－x0)＋y20<0，
即 x20－3＋y20<0.
∵点M(x0，y0)在双曲线上，
∴
x20
2
－y20＝1，即 x20＝2＋2y20，
∴2＋2y20－3＋y20<0，∴－
3
3
0，b>0)的右顶点为 A，以 A为圆心，b
为半径作圆 A，圆 A与双曲线 C的一条渐近线交于M，N两点．若∠MAN＝60°，则 C的离
心率为________．
解析：双曲线的右顶点为 A(a,0)，一条渐近线的方程为 y＝b
a
x，即 bx－ay＝0，则圆心 A
到此渐近线的距离 d＝
|ba－a×0|
b2＋a2
＝
ab
c
.又因为∠MAN＝60°，圆的半径为 b，所以 b·sin 60°＝
ab
c
，即
3b
2
＝
ab
c
，所以 e＝ 2
3
＝
2 3
3
.
答案：
2 3
3
8．(2015·全国卷Ⅰ)已知 F 是双曲线 C：x2－y2
8
＝1 的右焦点，P 是 C 的左支上一点，
A(0,6 6)．当△APF周长最小时，该三角形的面积为________．
解析：设双曲线的左焦点为 F1，由双曲线方程 x2－y2
8
＝1可知，a＝1，c＝3，故 F(3,0)，
F1(－3，0)．
当点 P在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知|PF|－|PF1|＝2，所以|PF|＝|PF1|＋2，
从而△APF的周长为|AP|＋|PF|＋|AF|＝|AP|＋|PF1|＋2＋|AF|.
因为|AF|＝ 32＋6 62＝15为定值，所以当(|AP|＋|PF1|)最小时，△APF的周长最小，
由图象可知，此时点 P在线段 AF1与双曲线的交点处(如图所示)．
由题意可知直线 AF1的方程为 y＝2 6x＋6 6，
由
y＝2 6x＋6 6，
x2－y2
8
＝1，
得 y2＋6 6y－96＝0，
解得 y＝2 6或 y＝－8 6(舍去)，
所以 S△APF＝S△AF1F－S△PF1F
＝
1
2
×6×6 6－1
2
×6×2 6＝12 6.
答案：12 6
9．(2015·全国卷Ⅱ)已知双曲线过点(4， 3)，且渐近线方程为 y＝±1
2
x，则该双曲线的标
准方程为________．
解析：法一：∵双曲线的渐近线方程为 y＝±1
2
x，
∴可设双曲线的方程为 x2－4y2＝λ(λ≠0)．
∵双曲线过点(4， 3)，
∴λ＝16－4×( 3)2＝4，
∴双曲线的标准方程为
x2
4
－y2＝1.
法二：∵渐近线 y＝1
2
x过点(4,2)，而 3<2，
∴点(4， 3)在渐近线 y＝1
2
x的下方，在 y＝－
1
2
x的上方(如图所示)．
∴双曲线的焦点在 x轴上，
故可设双曲线方程为
x2
a2
－
y2
b2
＝1(a>0，b>0)．
由已知条件可得
b
a
＝
1
2
，
16
a2
－
3
b2
＝1，
解得
a2＝4，
b2＝1，
∴双曲线的标准方程为
x2
4
－y2＝1.
答案：
x2
4
－y2＝1
一、选择题
1．若双曲线 C1：
x2
2
－
y2
8
＝1 与 C2：
x2
a2
－
y2
b2
＝1(a＞0，b＞0)的渐近线相同，且双曲线 C2
的焦距为 4 5，则 b＝( )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：选 B 由题意得，
b
a
＝2⇒b＝2a，C2的焦距 2c＝4 5⇒c＝ a2＋b2＝2 5⇒b＝4.
2．椭圆
x2
m2
＋
y2
n2
＝1(m>n>0)与双曲线
x2
a2
－
y2
b2
＝1(a>0，b>0)的公共焦点为 F1，F2，若 P是
两曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值是( )
A．m－a B．m2－a2
C.m－a
2
D. m－ a
解析：选 B 由题意，不妨设 P在双曲线的右支上，
则|PF1|＋|PF2|＝2m，|PF1|－|PF2|＝2a，
∴|PF1|＝m＋a，|PF2|＝m－a，
∴|PF1|·|PF2|＝m2－a2.
3．在平面直角坐标系 xOy中，已知双曲线 C1：2x2－y2＝1，过 C1的左顶点引 C1的一条
渐近线的平行线，则该直线与另一条渐近线及 x轴围成的三角形的面积为( )
A. 2
4
B. 2
2
C. 2
8
D. 2
16
解析：选 C 双曲线 C1：2x2－y2＝1，即
x2
1
2
－y2＝1，
所以左顶点 A
－
2
2
，0
，
渐近线方程 y＝± 2x，
过点 A与渐近线 y＝ 2x平行的直线方程为
y＝ 2
x＋ 2
2 ，即 y＝ 2x＋1.
解方程组
y＝－ 2x，
y＝ 2x＋1，
得
x＝－
2
4
，
y＝1
2
，
所以该直线与另一条渐近线及 x轴围成的三角形的面积 S＝1
2
|OA|·|y|＝1
2
×
2
2
×
1
2
＝
2
8
.
4．已知双曲线 E：x2
a2
－
y2
b2
＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为 F1，F2，|F1F2|＝6，P是
E右支上一点，PF1与 y轴交于点 A，△PAF2的内切圆在边 AF2上的切点为 Q，若|AQ|＝ 3，
则 E的离心率为( )
A．2 3 B. 5
C. 3 D. 2
解析：选 C 如图，设△PAF2的内切圆在边 PF2上的切点为 M，
在 AP上的切点为 N，
则|PM|＝|PN|，|AQ|＝|AN|＝ 3，|QF2|＝|MF2|，
由双曲线的对称性可得，
|AF1|＝|AF2|＝|AQ|＋|QF2|＝ 3＋|QF2|，
由双曲线的定义可得，
|PF1|－|PF2|＝|PA|＋|AF1|－|PM|－|MF2|
＝ 3＋|QF2|＋|AN|＋|NP|－|PM|－|MF2|
＝2 3＝2a，
解得 a＝ 3，又|F1F2|＝6，则 c＝3，
故离心率 e＝c
a
＝ 3.
5．已知双曲线 C：x2
a2
－
y2
b2
＝1(a>0，b>0)的右焦点为 F，以 F为圆心和双曲线的渐近线
相切的圆与双曲线的一个交点为 M，且 MF 与双曲线的实轴垂直，则双曲线 C 的离心率为
( )
A. 5
2
B. 5
C. 2 D．2
解析：选 C 将 x＝c代入双曲线方程可得|y|＝b2
a
，因为以 F为圆心和双曲线的渐近线相
切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，所以圆的半径为
b2
a
，又双曲
线的渐近线方程为 bx±ay＝0，所以
bc
b2＋a2
＝
b2
a
，化简可得 a＝b，则双曲线的离心离为 2.
6．(2018·东北四校联考)已知点 F1，F2为双曲线 C：x2
a2
－
y2
b2
＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦
点，点 P在双曲线 C的右支上，且满足|PF2|＝|F1F2|，∠F1F2P＝120°，则双曲线的离心率为
( )
A. 3＋1
2
B. 5＋1
2
C. 3 D. 5
解析：选 A 如图，在△PF1F2中，|PF2|＝|F1F2|＝2c，又∠F1F2P
＝120°，由余弦定理可得|PF1|2＝|F1F2|2＋|PF2|2－2|F1F2|·|PF2|·cos 120°
＝12c2，所以|PF1|＝2 3c.由双曲线的定义可得 2a＝|PF1|－|PF2|＝2 3c－2c＝2( 3－1)c.故双
曲线的离心率 e＝2c
2a
＝
2c
2 3－1c
＝
3＋1
2
.
7．已知双曲线
x2
a2
－
y2
b2
＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为 F1，F2，O为坐标原点，A为
右顶点，P 为双曲线左支上一点，若
|PF2|2
|PF1|－|OA|
存在最小值为 12a，则双曲线在一、三象限
的渐近线倾斜角的余弦值的最小值为( )
A.1
5
B.1
2
C.2 6
5
D. 3
5
解析：选 A 设|PF1|－|OA|＝m，则
|PF2|2
|PF1|－|OA|
＝
3a＋m2
m
＝m＋
9a2
m
＋6a≥12a，
当且仅当 m＝3a时取等号，∴|PF1|＝4a，
∴4a≥c－a，∴5a≥c，
∴25a2≥a2＋b2，∴
b
a
≤2 6，
设双曲线在一、三象限的渐近线倾斜角为α，
则 0＜tan α≤2 6，∴cos α≥1
5
，
∴双曲线在一、三象限的渐近线倾斜角的余弦值的最小值为
1
5
.
8．已知双曲线 C：x2
a2
－
y2
b2
＝1的右顶点为 A，O为坐标原点，以 A为圆心的圆与双曲线
C 的某一条渐近线交于两点 P，Q，若∠PAQ＝60°且 OQ
―→
＝5 OP
―→
，则双曲线 C 的离心率为
( )
A．2 B. 21
3
C. 7
2
D．3
解析：选 B 如图，因为∠PAQ＝60°，
|AP|＝|AQ|，
所以△QAP为等边三角形．
设|AQ|＝2R，因为 OQ
―→
＝5 OP
―→
，
所以|PQ|＝2R，|OP|＝1
2
R.
又渐近线方程为 y＝b
a
x，A(a,0),
取 PQ的中点M，则|AM|＝
|ab|
a2＋b2
，
由勾股定理可得(2R)2－R2＝
|ab|
a2＋b2 2，
所以(ab)2＝3R2(a2＋b2)．①
在△OQA中，
5
2
R 2＋2R2－a2
2·5
2
R·2R
＝
1
2
，
所以
21
4
R2＝a2.②
联立①②并结合 c2＝a2＋b2，
可得 c2＝7
4
b2＝7
4
(c2－a2)，
即 3c2＝7a2，
所以 e＝c
a
＝
7
3
＝
21
3
.
二、填空题
9．(2017·江苏高考)在平面直角坐标系 xOy中，双曲线
x2
3
－y2＝1的右准线与它的两条渐
近线分别交于点 P，Q，其焦点是 F1，F2，则四边形 F1PF2Q的面积是________．
解析：由题意得，双曲线的右准线 x＝3
2
与两条渐近线 y＝± 3
3
x的交点坐标为
3
2
，± 3
2 .
不妨设双曲线的左、右焦点分别为 F1，F2，
则 F1(－2,0)，F2(2,0)，
故四边形 F1PF2Q的面积是
1
2
|F1F2|·|PQ|＝
1
2
×4× 3＝2 3.
答案：2 3
10．(2017·山东高考)在平面直角坐标系 xOy中，双曲线
x2
a2
－
y2
b2
＝1(a>0，b>0)的右支与焦
点为 F的抛物线 x2＝2py(p>0)交于 A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线
方程为________．
解析：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义可知
|AF|＝y1＋
p
2
，|BF|＝y2＋
p
2
，|OF|＝p
2
，
由|AF|＋|BF|＝y1＋p
2
＋y2＋p
2
＝y1＋y2＋p
＝4|OF|＝2p，得 y1＋y2＝p.
联立
x2
a2
－
y2
b2
＝1，
x2＝2py
消去 x，得 a2y2－2pb2y＋a2b2＝0，
所以 y1＋y2＝2pb2
a2
，所以
2pb2
a2
＝p，
即
b2
a2
＝
1
2
，故
b
a
＝
2
2
，
所以双曲线的渐近线方程为 y＝± 2
2
x.
答案：y＝± 2
2
x
11．已知 F1，F2为双曲线
x2
a2
－
y2
b2
＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过 F2作双曲线渐近线
的垂线，垂足为 P，若|PF1|2－|PF2|2＝c2，则双曲线的离心率 e＝__________.
解析：设双曲线
x2
a2
－
y2
b2
＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为 y＝b
a
x，F2(c,0)到渐近线的距
离为 d＝|PF2|＝
bc
a2＋b2
＝b，cos∠POF2＝
c2－b2
c
＝
a
c
，
在△POF1中，|PF1|2＝|PO|2＋|OF1|2－2|PO|·|OF1|·cos∠POF1＝a2＋c2－2ac·
－
a
c ＝3a2
＋c2，
则|PF1|2－|PF2|2＝3a2＋c2－b2＝4a2＝c2，
∴e＝c
a
＝2.
答案：2
12．过双曲线
x2
a2
－
y2
b2
＝1(a＞0，b＞0)的右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A，B
两点，与双曲线的渐近线交于 C，D两点，若|AB|≥3
5
|CD|，则双曲线的离心率 e的取值范围
为__________．
解析：设双曲线
x2
a2
－
y2
b2
＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为(c,0)，
将 x＝c代入双曲线
x2
a2
－
y2
b2
＝1，得 y＝±b
2
a
，
令 A
c，b2
a ，B
c，－
b2
a ，
∴|AB|＝2b2
a
.将 x＝c代入 y＝±b
a
x，得 y＝±bc
a
，
令 C
c，bc
a ，D
c，－
bc
a ，
∴|CD|＝2bc
a
.
∵|AB|≥3
5
|CD|，∴
2b2
a
≥
3
5
·2bc
a
，即 b≥3
5
c，
则 b2＝c2－a2≥ 9
25
c2，
即
16
25
c2≥a2，∴e2＝c2
a2
≥
25
16
，即 e≥5
4
.
答案：
5
4
，＋∞
三、解答题
13．已知双曲线 C：x
2
a2
－
y2
b2
＝1(a>0，b>0)的离心率为 3，点( 3，0)是双曲线的一个顶点．
(1)求双曲线的方程；
(2)经过双曲线右焦点 F2作倾斜角为 30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点 A，B，
求|AB|.
解：(1)∵双曲线 C：x2
a2
－
y2
b2
＝1(a>0，b>0)的离心率为 3，点( 3，0)是双曲线的一个顶
点，
∴
c
a
＝ 3，
a＝ 3，
解得 c＝3，b＝ 6，
∴双曲线的方程为
x2
3
－
y2
6
＝1.
(2)双曲线
x2
3
－
y2
6
＝1的右焦点为 F2(3,0)，
∴经过双曲线右焦点 F2且倾斜角为 30°的直线的方程为
y＝ 3
3
(x－3)．
联立
x2
3
－
y2
6
＝1，
y＝ 3
3
x－3，
得 5x2＋6x－27＝0.
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则 x1＋x2＝－
6
5
，x1x2＝－
27
5
.
所以|AB|＝ 1＋1
3
×
－
6
5 2－4×
－
27
5 ＝
16 3
5
.
14．已知椭圆 C1的方程为
x2
4
＋y2＝1，双曲线 C2的左、右焦点分别是 C1的左、右顶点，
而 C2的左、右顶点分别是 C1的左、右焦点，O为坐标原点．
(1)求双曲线 C2的方程；
(2)若直线 l：y＝kx＋ 2与双曲线 C2恒有两个不同的交点 A和 B，且 OA
―→
· OB
―→
＞2，求 k
的取值范围．
解：(1)设双曲线 C2的方程为
x2
a2
－
y2
b2
＝1(a＞0，b＞0)，
则 a2＝4－1＝3，c2＝4，再由 a2＋b2＝c2，得 b2＝1，
故双曲线 C2的方程为
x2
3
－y2＝1.
(2)将 y＝kx＋ 2代入
x2
3
－y2＝1，
得(1－3k2)x2－6 2kx－9＝0.
由直线 l与双曲线 C2交于不同的两点，
得
1－3k2≠0，
Δ＝－6 2k2＋361－3k2＝361－k2＞0，
∴k2＜1且 k2≠1
3
.①
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则 x1＋x2＝
6 2k
1－3k2
，x1x2＝
－9
1－3k2
.
∴x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋ 2)(kx2＋ 2)
＝(k2＋1)x1x2＋ 2k(x1＋x2)＋2
＝
3k2＋7
3k2－1
.
又∵ OA
―→
· OB
―→
＞2，即 x1x2＋y1y2＞2，
∴
3k2＋7
3k2－1
＞2，即
－3k2＋9
3k2－1
＞0，解得
1
3
＜k2＜3.②
由①②得
1
3
＜k2＜1，
故 k的取值范围为
－1，－
3
3 ∪
3
3
，1
.
1．(2018·江西吉安一中测试)在等腰梯形 ABCD中，AB∥CD，且|AB|＝2，|AD|＝1，|CD|
＝2x，其中 x∈(0,1)，以 A，B为焦点且过点 D的双曲线的离心率为 e1，以 C，D为焦点且
过点 A 的椭圆的离心率为 e2，若对任意 x∈(0,1)，不等式 t
2
1＋4－1
＋
1＋4－1
2
＝ 5.因为对任意 x∈(0,1)，不等式 t2，则双曲线 C的离心率 e的取值范围为( )
A.
0， 6
2 B.
1， 6
2
C.
6
2
，＋∞
D.
1，3
2
解析：选 B 设M(x0，y0)，A1(0，a)，A2(0，－a)，
则 kMA1＝
y0－a
x0
，kMA2＝
y0＋a
x0
，
∴kMA1·kMA2＝
y20－a2
x20
>2.(*)
又点M(x0，y0)在双曲线
y2
a2
－
x2
b2
＝1上，
∴y20＝a2
x20
b2
＋1
，代入(*)式化简得，
a2
b2
＞2，
∴
b2
a2
＜
1
2
，
∴
c2－a2
a2
＝e2－1＜1
2
，
解得 1＜e＜ 6
2
.
3．已知双曲线
x2
9
－
y2
27
＝1与点M(5,3)，F为右焦点，若双曲线上有一点 P，则|PM|＋1
2
|PF|
的最小值为__________．
解析：双曲线
x2
9
－
y2
27
＝1，焦点在 x轴上，a＝3，b＝3 3，c＝ a2＋b2＝6.
∴双曲线的离心率 e＝c
a
＝2，右准线 l：x＝a2
c
＝
3
2
，
过 P作 PN⊥l于点 N，
由双曲线的第二定义可知：
|PF|
|PN|
＝e，
∴|PF|＝e|PN|＝2|PN|,
∴|PN|＝1
2
|PF|，
因此|PM|＋1
2
|PF|＝|PM|＋|PN|，
当且仅当M，N，P三点共线时，|PM|＋1
2
|PF|＝|MN|时取得最小值，
∴|PM|＋1
2
|PF|的最小值为 5－3
2
＝
7
2
.
答案：
7
2
高考研究课(三)
抛物线命题 3角度——求方程、研性质、用关系
[全国卷 5年命题分析]
考点 考查频度 考查角度
抛物线的标准方程 未独立考查
抛物线的几何性质 5年 6考 焦半径、弦长、面积等问题
直线与抛物线的位置关系 5年 2考 抛物线的切线、存在性问题
抛物线的标准方程及几何性质
[典例] (1)(2018·宜宾诊断)顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点 P(－4，－2)的抛物
线的标准方程是( )
A．y2＝－x B．x2＝－8y
C．y2＝－8x或 x2＝－y D．y2＝－x或 x2＝－8y
(2)(2018·兰州双基过关考试)抛物线 y2＝2px(p＞0)上横坐标为 6 的点到此抛物线焦点的
距离为 10，则该抛物线的焦点到准线的距离为( )
A．4 B．8 C．16 D．32
[解析] (1)若焦点在 x轴上，设抛物线方程为 y2＝ax，将点 P(－4，－2)的坐标代入，
得 a＝－1，所以抛物线的标准方程为 y2＝－x；若焦点在 y轴上，设方程为 x2＝by，将点 P(－
4，－2)的坐标代入，得 b＝－8，所以抛物线的标准方程为 x2＝－8y.故所求抛物线的标准方
程是 y2＝－x或 x2＝－8y.
(2)设抛物线的准线方程为 x＝－
p
2
(p＞0)，则根据抛物线的性质有
p
2
＋6＝10，解得 p＝8，
所以抛物线的焦点到准线的距离为 8.
[答案] (1)D (2)B
[方法技巧]
1．求抛物线方程的 3个注意点
(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种．
(2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系．
(3)要注意参数 p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题．
2．记住与焦点弦有关的 5个常用结论
如图所示，AB是抛物线 y2＝2px(p>0)过焦点 F的一条弦，设 A(x1，
y1)，B(x2，y2)，F
p
2
，0
，有以下结论：
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝p2
4
.
(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝ 2p
sin2θ
(θ为直线 AB的倾斜角)．
(3) 1
|AF|
＋
1
|BF|
为定值
2
p
.
(4)以 AB为直径的圆与准线相切．
(5)以 AF或 BF为直径的圆与 y轴相切．
[即时演练]
1．(2018·辽宁五校联考)已知 AB是抛物线 y2＝2x的一条焦点弦，|AB|＝4，则 AB中点
C的横坐标是( )
A．2 B.1
2
C.3
2
D.5
2
解析：选 C 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p＝4，又 p＝1，所以 x1＋x2＝3，
所以点 C的横坐标是
x1＋x2
2
＝
3
2
.
2．过抛物线 y2＝4x的焦点 F的直线交抛物线于 A，B两点，且|AF|＝2|BF|，则直线 AB
的斜率为( )
A．2 2 B．2 3
C．±2 2 D．±2 3
解析：选 C 如图，当点 A在第一象限．
过 A，B分别作准线的垂线，垂足分别为 D，E，
过 A作 EB的垂线，垂足为 C，
则四边形 ADEC 为矩形．
由抛物线定义可知|AD|＝|AF|，
|BE|＝|BF|，
又∵|AF|＝2|BF|，
∴|AD|＝|CE|＝2|BE|，即 B为 CE的中点，
∴|AB|＝3|BC|.
在 Rt△ABC中，|AC|＝2 2|BC|，
∴直线 l的斜率为 2 2.
当点 B在第一象限时，同理可知直线 l的斜率为－2 2，
∴直线 l的斜率为±2 2.
抛物线的定义及应用
与抛物线定义相关的最值问题常涉及距离最短、距离和最小等.,常见的命题角度有：
1到焦点与定点距离之和最小问题；
2到焦点与动点距离之和最小问题；
3焦点弦中距离之和最小问题.
角度一：到焦点与定点距离之和最小问题
1．(2018·赣州模拟)若点 A的坐标为(3,2)，F是抛物线 y2＝2x的焦点，点M在抛物线上
移动时，使|MF|＋|MA|取得最小值的M的坐标为( )
A．(0,0) B.
1
2
，1
C．(1， 2) D．(2,2)
解析：选 D 过M点作左准线的垂线，垂足是 N，则|MF|＋|MA|＝|MN|＋|MA|，当 A，
M，N三点共线时，|MF|＋|MA|取得最小值，此时M(2,2)．
角度二：到焦点与动点距离之和最小问题
2．(2018·邢台摸底)已知 M是抛物线 x2＝4y上一点，F为其焦点，点 A在圆 C：(x＋1)2
＋(y－5)2＝1上，则|MA|＋|MF|的最小值是________．
解析：依题意，由点M向抛物线 x2＝4y 的准线 l：y＝－1引垂线，垂足为M1，则有|MA|
＋|MF|＝|MA|＋|MM1|，结合图形可知|MA|＋|MM1|的最小值等于圆心 C(－1,5)到 y＝－1的距
离再减去圆 C的半径，即等于 6－1＝5，因此|MA|＋|MF|的最小值是 5.
答案：5
角度三：焦点弦中距离之和最小问题
3．已知抛物线 y2＝4x，过焦点 F 的直线与抛物线交于 A，B 两点，过 A，B 分别作 y
轴的垂线，垂足分别为 C，D，则|AC|＋|BD|的最小值为________．
解析：由题意知 F(1,0)，|AC|＋|BD|＝|AF|＋|FB|－2＝|AB|－2，即|AC|＋|BD|取得最小值
时当且仅当|AB|取得最小值．依抛物线定义知当|AB|为通径，即|AB|＝2p＝4时为最小值，所
以|AC|＋|BD|的最小值为 2.
答案：2
[方法技巧]
与抛物线有关的最值问题的 2个转化策略
转化策略一：将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之
间线段最短”，使问题得解．
转化策略二：将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有
点的连线中垂线段最短”原理解决．
直线与抛物线的位置关系
[典例] (2017·浙江高考)如图，已知抛物线 x2＝y，点 A
－
1
2
，
1
4 ，
B
3
2
，
9
4 ，抛物线上的点 P(x，y)
－
1
2
0)，圆的方程为 x2＋y2＝r2.
∵|AB|＝4 2，|DE|＝2 5，
抛物线的准线方程为 x＝－
p
2
，
∴不妨设 A
4
p
，2 2
，D
－
p
2
， 5
.
∵点 A
4
p
，2 2
，D
－
p
2
， 5
在圆 x2＋y2＝r2上，
∴
16
p2
＋8＝r2，
p2
4
＋5＝r2，
∴
16
p2
＋8＝p2
4
＋5，∴p＝4(负值舍去)．
∴C的焦点到准线的距离为 4.
5．(2015·全国卷Ⅰ)已知椭圆 E的中心在坐标原点，离心率为
1
2
，E的右焦点与抛物线 C：
y2＝8x的焦点重合，A，B是 C的准线与 E的两个交点，则|AB|＝( )
A．3 B．6
C．9 D．12
解析：选 B 抛物线 y2＝8x的焦点为(2,0)，
∴椭圆中 c＝2，
又
c
a
＝
1
2
，∴a＝4，b2＝a2－c2＝12，
从而椭圆的方程为
x2
16
＋
y2
12
＝1.
∵抛物线 y2＝8x的准线为 x＝－2，∴xA＝xB＝－2，
将 xA＝－2代入椭圆方程可得|yA|＝3，
由图象可知|AB|＝2|yA|＝6.
6．(2014·全国卷Ⅰ)已知抛物线 C：y2＝8x 的焦点为 F，准线为 l，P 是 l上一点，Q是
直线 PF与 C的一个交点，若 FP
―→
＝4 FQ
―→
，则|QF|＝( )
A.7
2
B.5
2
C．3 D．2
解析：选 C 过点 Q作 QQ′⊥l交 l于点 Q′，因为 FP
―→
＝4 FQ
―→
，所以|PQ|∶|PF|＝3∶
4，又焦点 F到准线 l的距离为 4，所以|QF|＝|QQ′|＝3.
7．(2017·全国卷Ⅱ)已知 F是抛物线 C：y2＝8x的焦点，M是 C上一点，FM 的延长线
交 y轴于点 N.若M为 FN的中点，则|FN|＝________.
解析：法一：依题意，抛物线 C：y2＝8x的焦点 F(2,0)，因为M是 C上一点，FM 的延
长线交 y轴于点 N，M为 FN的中点，设M(a，b)(b>0)，所以 a＝1，b＝2 2，所以 N(0,4 2)，
|FN|＝ 4＋32＝6.
法二：
如图，不妨设点M位于第一象限内，抛物线 C的准线交 x轴于点 A，过点M作准线的
垂线，垂足为点 B，交 y轴于点 P，∴PM∥OF.由题意知，F(2,0)，|FO|＝|AO|＝2.
∵点M为 FN的中点，PM∥OF，
∴|MP|＝1
2
|FO|＝1.
又|BP|＝|AO|＝2，
∴|MB|＝|MP|＋|BP|＝3.
由抛物线的定义知|MF|＝|MB|＝3，
故|FN|＝2|MF|＝6.
答案：6
8．(2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系 xOy中，直线 l：y＝t(t≠0)交 y轴于点 M，交抛物线 C：
y2＝2px(p＞0)于点 P，M关于点 P的对称点为 N，连接 ON并延长交 C于点 H.
(1)求|OH|
|ON|
；
(2)除 H以外，直线MH 与 C是否有其他公共点？说明理由．
解：(1)如图，由已知得M(0，t)，P
t2
2p
，t
.
又 N为M关于点 P的对称点，
故 N
t2
p
，t
，
故直线 ON的方程为 y＝p
t
x，
将其代入 y2＝2px，整理得 px2－2t2x＝0，
解得 x1＝0，x2＝
2t2
p
.因此 H
2t2
p
，2t
.
所以 N为 OH 的中点，即
|OH|
|ON|
＝2.
(2)直线MH与 C除 H以外没有其他公共点．
理由如下：
直线MH的方程为 y－t＝p
2t
x，即 x＝2t
p
(y－t)．
代入 y2＝2px得 y2－4ty＋4t2＝0，
解得 y1＝y2＝2t，
即直线MH 与 C只有一个公共点，
所以除 H以外，直线 MH与 C没有其他公共点．
一、选择题
1．若点 P到直线 x＝－3的距离比它到点(2,0)的距离大 1，则点 P的轨迹为( )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
解析：选 D 依题意，点 P到直线 x＝－2 的距离等于它到点(2,0)的距离，故点 P的轨
迹是抛物线．
2．过抛物线 y2＝2px(p＞0)焦点的直线 l与抛物线交于 A，B两点，以 AB为直径的圆的
方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16，则 p＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选 B 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由题意可得 x1＋x2＝6，x1＋x2＋p＝8，所以 p＝2.
3．设 F为抛物线 y2＝2x的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若 F为△ABC 的重心，
则| FA
―→
|＋| FB
―→
|＋| FC
―→
|的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选 C 依题意，设点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，又焦点 F
1
2
，0
，x1＋x2
＋x3＝3×1
2
＝
3
2
，则| FA
―→
|＋| FB
―→
|＋| FC
―→
|＝
x1＋1
2 ＋
x2＋1
2 ＋x3＋
1
2
＝(x1＋x2＋x3)＋
3
2
＝
3
2
＋
3
2
＝3.
4．已知 F是抛物线 x2＝8y的焦点，若抛物线上的点 A到 x轴的距离为 5，则|AF|＝( )
A．4 B．5
C．6 D．7
解析：选 D ∵F是抛物线 x2＝8y的焦点，∴F(0,2),
∵抛物线上的点 A到 x轴的距离为 5，
∴|AF|＝5＋p
2
＝7.
5.已知抛物线 C 的方程为 y2＝2px(p＞0)，一条长度为 4p 的线段 AB
的两个端点 A，B 在抛物线 C 上运动，则线段 AB 的中点 M到 y 轴距离
的最小值为( )
A．2p B.5
2
p
C.3
2
p D．3p
解析：选 C 由题意可得抛物线的准线 l：x＝－
p
2
，分别过 A，B，
M作 AC⊥l，BD⊥l，MH⊥l，垂足分别为 C，D，H.
在直角梯形 ABDC中，
|MH|＝|AC|＋|BD|
2
.
由抛物线的定义可知|AC|＝|AF|，|BD|＝|BF|(F为抛物线的焦点)，
∴|MH|＝|AF|＋|BF|
2
≥
|AB|
2
＝2p，
即 AB的中点M到抛物线的准线的最小距离为 2p，
∴线段 AB的中点M到 y轴的最短距离为 2p－p
2
＝
3p
2
.
6．已知 O为坐标原点，F为抛物线 y2＝4x的焦点，直线 l：y＝m(x－1)与抛物线交于 A，
B两点，点 A在第一象限，若|FA|＝3|FB|，则 m的值为( )
A．3 B. 3
C. 3
3
D.1
3
解析：选 B 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立
y＝mx－1，
y2＝4x
消去 x，得 my2－4y－4m＝0，
则 y1＋y2＝4
m
，y1y2＝－4.
由|AF|＝3|BF|，可得 y1＝－3y2，
所以－2y2＝4
m
，－3y22＝－4，
解得 m＝ 3(m＝－ 3舍去)．
二、填空题
7．(2017·天津高考)设抛物线 y2＝4x 的焦点为 F，准线为 l.已知点 C在 l上，以 C 为圆
心的圆与 y轴的正半轴相切于点 A.若∠FAC＝120°，则圆的方程为______________．
解析：由题意知该圆的半径为 1，
设圆心坐标为 C(－1，a)(a＞0)，则 A(0，a)．
又 F(1,0)，所以 AC
―→
＝(－1,0)， AF
―→
＝(1，－a)，
由题意得 AC
―→
与 AF
―→
的夹角为 120°，
故 cos 120°＝
－1
1× 1＋－a2
＝－
1
2
，解得 a＝ 3，
所以圆的方程为(x＋1)2＋(y－ 3)2＝1.
答案：(x＋1)2＋(y－ 3)2＝1
8．已知抛物线 C：x2＝2py(p＞0)，P，Q是 C上任意两点，点M(0，－1)满足MP
―→
·MQ
―→
≥0，
则 p的取值范围是________．
解析：过M点作抛物线的两条切线，
设切线方程为 y＝kx－1，
切点坐标为 A(x0，y0)，B(－x0，y0)，
由 y＝x2
2p
，得 y′＝
1
p
x，
则
x20＝2py0，
y0＝kx0－1，
x0
p
＝k，
解得 k＝± 2
p
.
∵MP
―→
·MQ
―→
≥0恒成立，∴∠AMB≤90°，即∠AMO≤45°，
∴|k|≥tan 45°＝1，即
2
p
≥1，解得 p≤2，
由 p＞0，则 0＜p≤2，
∴p的取值范围为(0,2]．
答案：(0,2]
9．已知点 P在抛物线 y＝x2上，点 Q在圆 C：(x－4)2＋
y＋1
2 2＝1上，则|PQ|的最小值
为__________．
解析：∵点 P在抛物线 y＝x2上，∴设 P(t，t2)，
∵圆(x－4)2＋
y＋1
2 2＝1的圆心 C
4，－
1
2 ，半径 r＝1，
∴|PC|2＝(4－t)2＋
－
1
2
－t2 2＝t4＋2t2－8t＋65
4
，
令 y＝|PC|2＝t4＋2t2－8t＋65
4
，则 y′＝4t3＋4t－8，
由 y′＝0，可得 t3＋t－2＝0，解得 t＝1.
当 t＜1时，y′＜0，当 t＞1，y′＞0，可知函数在 t＝1时取得最小值，|PC|2min＝45
4
，
∴|PQ|的最小值为
3 5
2
－1.
答案：
3 5
2
－1
三、解答题
10.如图，抛物线的顶点在原点，圆(x－2)2＋y2＝4的圆心恰是抛物
线的焦点．
(1)求抛物线的方程；
(2)一直线的斜率等于 2，且过抛物线焦点，它依次截抛物线和圆于
A，B，C，D四点，求|AB|＋|CD|的值．
解：(1)设抛物线方程为
y2＝2px(p＞0)，
∵圆(x－2)2＋y2＝4的圆心恰是抛物线的焦点，∴p＝4.
∴抛物线的方程为 y2＝8x.
(2)依题意，直线 AB的方程为 y＝2x－4.
设 A(x1，y1)，D(x2，y2)，联立
y＝2x－4，
y2＝8x，
得 x2－6x＋4＝0，
∴x1＋x2＝6，∴|AD|＝x1＋x2＋p＝6＋4＝10.
∴|AB|＋|CD|＝|AD|－|BC|＝10－4＝6.
11．已知动点 P到点
1
2
，0
的距离比它到直线 x＝－
5
2
的距离小 2.
(1)求动点 P的轨迹方程；
(2)记 P点的轨迹为 E，过点 S(2,0)，斜率为 k1的直线交 E于 A，B两点，Q(1,0)，延长
AQ，BQ与 E交于 C，D两点，设 CD的斜率为 k2，证明：
k2
k1
为定值．
解：(1)∵动点 P到点
1
2
，0
的距离比它到直线 x＝－
5
2
的距离小 2，
∴动点 P到点
1
2
，0
的距离与它到直线 x＝－
1
2
的距离相等，
∴动点 P的轨迹是以点
1
2
，0
为焦点的抛物线，
∴动点 P的轨迹方程为 y2＝2x.
(2)证明：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4),
则直线 AB的方程为 y＝k1(x－2)，代入抛物线方程消去 x，得 y2－ 2
k1
y－4＝0,
∴y1＋y2＝
2
k1
，y1y2＝－4.
直线 AC，BD过点 Q(1,0)，同理可得 y1y3＝y2y4＝－2,
∴y3＝－
2
y1
，y4＝－
2
y2
，
∴k2＝
y4－y3
x4－x3
＝
2
y4＋y3
＝－
y1y2
y1＋y2
＝2k1，
∴
k2
k1
＝2.
12．已知 F1，F2分别是双曲线 C：x2
a2
－
y2
9
＝1(a>0)的左、右焦点，点 P是双曲线上任一
点，且||PF1|－|PF2||＝2，顶点在原点且以双曲线的右顶点为焦点的抛物线为 E.
(1)求双曲线 C的渐近线方程和抛物线 E的方程；
(2)过抛物线 E 的准线与 x 轴的交点作直线，交抛物线于M，N两点，当直线的斜率等
于多少时，以线段MN为直径的圆经过抛物线 E的焦点？
解：(1)由双曲线的定义可知，2a＝2，即 a＝1.
∴双曲线的方程为 x2－y2
9
＝1，
∴双曲线的渐近线方程为 y＝±3x.
又双曲线的右顶点坐标为(1,0)，即抛物线 E的焦点坐标为(1,0)，
∴抛物线 E的方程为 y2＝4x.
(2)抛物线 y2＝4x的准线与 x轴的交点为(－1,0)．
设直线MN的斜率为 k，则其方程为 y＝k(x＋1)．
由
y＝kx＋1，
y2＝4x，
得 k2x2＋2(k2－2)x＋k2＝0.
∵直线MN与抛物线交于M，N两点，
∴k≠0，且Δ＝4(k2－2)2－4k4＞0，
解得－1＜k＜1，且 k≠0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，抛物线焦点为 F(1,0),
∵以线段MN为直径的圆经过抛物线焦点，∴MF⊥NF.
∴
y1
x1－1
· y2
x2－1
＝－1，即 y1y2＋x1x2－(x1＋x2)＋1＝0.
又 x1＋x2＝－
2k2－2
k2
，x1x2＝1，y21y22＝4x1·4x2＝16且 y1，y2同号，∴y1y2＝4，
∴
2k2－2
k2
＝－6，解得 k＝± 2
2
.
即直线的斜率等于± 2
2
时，以线段 MN为直径的圆经过抛物线的焦点．
1．过抛物线 C：y2＝2px(p＞0)的焦点 F 作斜率为
4
3
的直线 l，与抛物线 C及其准线分别
相交于 A，B，D三点，则
|AD|
|BD|
的值为( )
A．2或1
2
B．3或1
3
C．1 D．4或1
4
解析：选 D 抛物线 C：y2＝2px(p＞0)的焦点 F
p
2
，0
，过 A和 B分别做准线的垂线，
垂足分别为 A′，B′，
则直线 AB的方程为 y＝4
3
x－p
2 .
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立
y＝4
3
x－p
2 ，
y2＝2px
消去 x，整理得 y2－3
2
py－p2＝0，
则 y1＋y2＝3
2
p，y1y2＝－p2，
设 AF
―→
＝λ FB
―→
，则
p
2
－x1，－y1
＝λ
x2－p
2
，y2
，
即－y1＝λy2，由
y1＋y22
y1y2
＝
y1
y2
＋
y2
y1
＋2＝－
9
4
，
∴－λ－1
λ
＋2＝－
9
4
，整理得 4λ2－17λ＋4＝0，
解得λ＝4或λ＝1
4
.
当λ＝4时，如图所示，|AF|＝4|BF|，则|AB|＝5|BF|.
由抛物线的定义可知：|BF|＝|BB′|，
由直线 AB的斜率为
4
3
，
得 sin∠BDB′＝
3
5
，
即 sin∠BDB′＝
|BB′|
|BD|
＝
3
5
，
∴|BD|＝5
3
|BB′|＝5
3
|BF|，|AD|＝|AB|＋|BD|＝20
3
|BF|，∴
|AD|
|BD|
＝4.
当λ＝1
4
时，如图所示，4|AF|＝|BF|，则|AB|＝5|AF|，
由抛物线的定义可知：|AF|＝|AA′|，
由直线 AB的斜率为
4
3
，
得 sin∠ADA′＝
3
5
，即 sin∠ADA′＝
|AA′|
|AD|
＝
3
5
，
∴|AD|＝5
3
|AA′|＝5
3
|AF|，
|BD|＝|AB|＋|AD|＝20
3
|AF|，∴
|AD|
|BD|
＝
1
4
.
2．已知抛物线 C：y2＝2px(p＞0)的焦点为 F，点 D(1，y0)是抛物线上的点，且|DF|＝2.
(1)求抛物线 C的方程；
(2)过定点 M(m,0)(m＞0)的直线与抛物线 C交于 A，B两点，与 y轴交于点 N，且满足：
NA
―→
＝λAM
―→
， NB
―→
＝μBM
―→
.
①当 m＝
p
2
时，求证：λ＋μ为定值；
②若点 R是直线 l：x＝－m 上任意一点，三条直线 AR，BR，MR 的斜率分别为 kAR，
kBR，kMR，是否存在常数 s，使得 kAR＋kBR＝s·kMR恒成立？若存在求出 s的值；若不存在，
请说明理由．
解：(1)∵点 D(1，y0)是抛物线上的点，且|DF|＝2，
∴1＋p
2
＝2，解得 p＝2.
∴抛物线 C的方程为 y2＝4x.
(2)①证明：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
当 m＝
p
2
＝1时，M(1,0)，直线 AB的斜率存在且不为 0，
可设直线 AB的方程为 x＝ty＋1(t≠0)，
可得 N
0，－
1
t .
联立
x＝ty＋1，
y2＝4x
消去 x，可得 y2－4ty－4＝0，
则 y1＋y2＝4t，y1y2＝－4.
∵ NA
―→
＝λAM
―→
， NB
―→
＝μBM
―→
，
∴y1＋
1
t
＝λ(－y1)，y2＋
1
t
＝μ(－y2)，
∴λ＋μ＝－1－ 1
ty1
－1－ 1
ty2
＝－2－y1＋y2
ty1y2
＝－2－ 4t
－4t
＝－1.即λ＋μ为定值．
②设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，R(－m，y3)，
直线 AB的斜率不等于 0，可设直线 AB的方程为
x＝ty＋m.
联立
x＝ty＋m，
y2＝4x
消去 x，可得 y2－4ty－4m＝0，
∴y1＋y2＝4t，y1y2＝－4m.
则 kAR＝
y1－y3
x1＋m
，kMR＝
y3
－2m
，kBR＝
y2－y3
x2＋m
，
则 kAR＋kBR＝
y1－y3
x1＋m
＋
y2－y3
x2＋m
＝
y1x2＋y1m－y3x2－y3m＋y2x1＋y2m－y3x1－y3m
x1x2＋mx1＋x2＋m2
，
又 y21＝4x1，y22＝4x2，代入可得
kAR＋kBR＝
y1y2
4
y1＋y2＋my1＋y2－y3
4
y21＋y22－2my3
y1y22
16
＋m·y
21＋y22
4
＋m2
，
把 y1＋y2＝4t，
y1y2＝－4m，
代入化简可得 kAR＋kBR＝－
y3
m
＝2·kMR.
综上可得，存在常数 s＝2，使三条直线 AR，BR，MR 的斜率满足 kAR＋kBR＝2·kMR.
高考研究课(四)
轨迹方程求解 3方法——直接法、定义法、代入法
[全国卷 5年命题分析]
考点 考查频度 考查角度
定义法求轨迹方程 5年 1考 由圆与圆位置关系求动点轨迹、求弦长
直接法求轨迹方程 5年 2考 求中点的轨迹方程
代入法求轨迹方程 5年 1考 求点的轨迹方程
直接法
如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系，或这些几何条件简单明了且
易于表达，只需把这种关系“翻译”成含 x，y 的等式，就得到曲线的轨迹方程.由于这种求
轨迹方程的过程直接以曲线方程的定义为依据求解，所以称之为直接法.
[典例] (1)(2018·津南模拟)平面直角坐标系中，已知两点 A(3,1)，B(－1,3)，若点 C满
足 OC
―→
＝λ1 OA
―→
＋λ2 OB
―→
(O为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点 C的轨迹是( )
A．直线 B．椭圆
C．圆 D．双曲线
(2)在平面直角坐标系 xOy 中，点 B 与点 A(－1,1)关于原点 O对称，P是动点，且直线
AP与 BP的斜率之积等于－
1
3
，则动点 P的轨迹方程为________________．
[解析] (1)设 C(x，y)，因为 OC
―→
＝λ1 OA
―→
＋λ2 OB
―→
，
所以(x，y)＝λ1(3,1)＋λ2(－1,3)，
即
x＝3λ1－λ2，
y＝λ1＋3λ2，
解得
λ1＝
y＋3x
10
，
λ2＝
3y－x
10
，
又λ1＋λ2＝1，
所以
y＋3x
10
＋
3y－x
10
＝1，
即 x＋2y－5＝0，所以点 C的轨迹为直线．
(2)因为点 B与点 A(－1,1)关于原点 O对称，
所以点 B的坐标为(1，－1)．
设点 P的坐标为(x，y)，由题意得
y－1
x＋1
·
y＋1
x－1
＝－
1
3
，
化简得 x2＋3y2＝4(x≠±1)．
故动点 P的轨迹方程为 x2＋3y2＝4(x≠±1)．
[答案] (1)A (2)x2＋3y2＝4(x≠±1)
[方法技巧]
利用直接法求轨迹方程的思路及注意点
(1)利用直接法求解轨迹方程的关键是根据条件准确列出方程，然后进行化简．
(2)运用直接法应注意的问题
①在用直接法求轨迹方程时，在化简的过程中，有时破坏了方程的同解性，此时就要补
上遗漏的点或删除多余的点，这是不能忽视的．
②若方程的化简过程是恒等变形，则最后的验证可以省略．
[即时演练]
已知点 A(－2,0)，B(3,0)，若动点 P满足 PA
―→
· PB
―→
＝2，则动点 P的轨迹方程为________．
解析：设点 P的坐标为(x，y)，则 PA
―→
＝(－2－x，－y，)
PB
―→
＝(3－x，－y)．由 PA
―→
· PB
―→
＝2，得(－2－x)(3－x)＋y2＝2，整理得动点 P的轨迹方
程为 x2＋y2－x－8＝0.
答案：x2＋y2－x－8＝0
定义法
若动点的轨迹符合某一基本轨迹的定义，则可根据定义法直接设出所求方程，再确
定系数求出动点的轨迹方程．
[典例] (1)已知圆 C1：(x＋3)2＋y2＝1 和圆 C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆 M 同时与圆 C1
及圆 C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程．
(2)如图，已知△ABC 的两顶点坐标 A(－1,0)，B(1,0)，圆 E 是△ABC 的内切圆，在边
AC，BC，AB上的切点分别为 P，Q，R，且|CP|＝1，动点 C的轨迹为曲线M，求曲线M的
方程．
[解] (1)如图所示，设动圆M与圆 C1及圆 C2分别外切于点 A和点 B，则有|MC1|－|AC1|
＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|.
又|MA|＝|MB|，所以|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝3－1＝2，即动点M到两定点 C2，C1
的距离的差是常数 2，且 2＜|C1C2|＝6，|MC2|＞|MC1|，故动圆圆心M 的轨迹为以定点 C2，
C1为焦点的双曲线的左支，则 2a＝2，所以 a＝1.
又 c＝3，则 b2＝c2－a2＝8.
设动圆圆心M的坐标为(x，y)，
则动圆圆心M的轨迹方程为 x2－y2
8
＝1(x≤－1)．
(2)由题知|CA|＋|CB|＝|CP|＋|CQ|＋|AP|＋|BQ|＝2|CP|＋|AB|＝4＞|AB|，
所以曲线M是以 A，B为焦点，长轴长为 4的椭圆(挖去与 x轴的交点)．
设曲线M：
x2
a2
＋
y2
b2
＝1(a＞b＞0，y≠0)，
则 a2＝4，b2＝a2－12＝3，
所以曲线M的方程为
x2
4
＋
y2
3
＝1(y≠0)．
[方法技巧]
定义法求轨迹方程的思路、关键及注意点
(1)思路：求轨迹方程时，若动点与定点、定线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛
物线的定义，则可直接根据定义先确定轨迹类型，再写出其方程．
(2)关键：理解解析几何中有关曲线的定义是解题关键．
(3)注意点：利用定义法求轨迹方程时，还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、
抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量 x或 y进行限制．
[即时演练]
已知圆 C与两圆 C1：x2＋(y＋4)2＝1，C2：x2＋(y－2)2＝1外切，圆 C的圆心轨迹方程为
L，设 L上的点与点M(x，y)的距离的最小值为 m，点 F(0,1)与点M(x，y)的距离为 n.
(1)求圆 C的圆心轨迹 L的方程；
(2)求满足条件 m＝n的点M的轨迹 Q的方程．
解：(1)两圆半径都为 1，两圆圆心分别为 C1(0，－4)，C2(0,2)，由题意得|CC1|＝|CC2|，
可知圆心 C的轨迹是线段 C1C2的垂直平分线，C1C2的中点为(0，－1)，直线 C1C2的斜率不
存在，所以圆 C的圆心轨迹 L的方程为 y＝－1.
(2)因为 m＝n，所以M(x，y)到直线 y＝－1的距离与到点 F(0,1)的距离相等，故点 M的
轨迹 Q是以 y＝－1为准线，点 F(0,1)为焦点，顶点在原点的抛物线，从而
p
2
＝1，即 p＝2，
所以轨迹 Q的方程是 x2＝4y.
相关点法(代入法)求轨迹方程
有些问题中，若动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点称之为相关点
的运动而运动的.如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时可以用动点坐标
表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫
作相关点法或坐标代入法.
[典例] 在圆 O：x2＋y2＝4 上任取一点 P，过点 P作 x轴的垂线段 PD，D为垂足．设
M为线段 PD的中点．
(1)当点 P在圆 O上运动时，求点M的轨迹 E的方程；
(2)若圆 O在点 P处的切线与 x轴交于点 N，试判断直线MN与轨迹 E的位置关系．
[解] (1)设M(x，y)，则 P(x,2y)．
∵点 P在圆 x2＋y2＝4上，∴x2＋(2y)2＝4，
即点M的轨迹 E的方程为
x2
4
＋y2＝1.
(2)当直线 PN的斜率不存在时，直线MN的方程为 x＝2或 x＝－2，显然与轨迹 E相切．
当直线 PN的斜率存在时，设 PN的方程为
y＝kx＋t(k≠0)．
∵直线 PN与圆 O相切，
∴
|t|
k2＋1
＝2，即 t2－4k2－4＝0.
又∵直线MN的斜率为
k
2
，点 N的坐标为
－
t
k
，0
，
∴直线MN的方程为 y＝k
2
x＋ t
k ，即 y＝1
2
(kx＋t)．
由
y＝1
2
kx＋t，
x2
4
＋y2＝1，
得(1＋k2)x2＋2ktx＋t2－4＝0.
∵Δ＝(2kt)2－4(1＋k2)(t2－4)＝－4(t2－4k2－4)＝0，
∴直线MN与轨迹 E相切．
综上可知，直线MN与轨迹 E相切．
[方法技巧]
代入法求轨迹方程的 4个步骤
(1)设出所求动点坐标 P(x，y)．
(2)寻求与所求动点 P(x，y)与已知动点 Q(x′，y′)的关系．
(3)建立 P，Q两坐标的关系表示出 x′，y′.
(4)将 x′，y′代入已知曲线方程中化简求解．
[即时演练]
已知 F1，F2分别为椭圆 C：x
2
4
＋
y2
3
＝1的左，右焦点，点 P为椭圆 C上的动点，则△PF1F2
的重心 G的轨迹方程为( )
A.x
2
36
＋
y2
27
＝1(y≠0) B.4x
2
9
＋y2＝1(y≠0)
C.9x
2
4
＋3y2＝1(y≠0) D．x2＋4y2
3
＝1(y≠0)
解析：选 C 依题意知 F1(－1,0)，F2(1,0)，设 P(x0，y0)，G(x，y)，则由三角形重心坐
标关系可得
x＝x0－1＋1
3
，
y＝y0
3
，
即
x0＝3x，
y0＝3y.
代入
x20
4
＋
y20
3
＝1得重心 G的轨迹方程为
9x2
4
＋3y2＝1(y≠0)．
1．(2017·全国卷Ⅱ)设 O为坐标原点，动点 M在椭圆 C：x2
2
＋y2＝1上，过 M作 x轴的
垂线，垂足为 N，点 P满足 NP
―→
＝ 2NM
―→
.
(1)求点 P的轨迹方程；
(2)设点 Q在直线 x＝－3 上，且 OP
―→
· PQ
―→
＝1.证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C
的左焦点 F.
解：(1)设 P(x，y)，M(x0，y0)，
则 N(x0,0)， NP
―→
＝(x－x0，y)，NM
―→
＝(0，y0)．
由 NP
―→
＝ 2 NM
―→
，得 x0＝x，y0＝
2
2
y.
因为M(x0，y0)在椭圆 C上，所以
x2
2
＋
y2
2
＝1.
因此点 P的轨迹方程为 x2＋y2＝2.
(2)证明：由题意知 F(－1,0)．设 Q(－3，t)，P(m，n)，
则 OQ
―→
＝(－3，t)， PF
―→
＝(－1－m，－n)，
OQ
―→
· PF
―→
＝3＋3m－tn，
OP
―→
＝(m，n)， PQ
―→
＝(－3－m，t－n)．
由 OP
―→
· PQ
―→
＝1，得－3m－m2＋tn－n2＝1，
又由(1)知 m2＋n2＝2，故 3＋3m－tn＝0.
所以 OQ
―→
· PF
―→
＝0，即 OQ
―→
⊥ PF
―→
.
又过点 P存在唯一直线垂直于 OQ，
所以过点 P且垂直于 OQ的直线 l过 C的左焦点 F.
2．(2016·全国卷Ⅲ)已知抛物线 C：y2＝2x的焦点为 F，平行于 x轴的两条直线 l1，l2分
别交 C于 A，B两点，交 C的准线于 P，Q两点．
(1)若 F在线段 AB上，R是 PQ的中点，证明 AR∥FQ；
(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求 AB中点的轨迹方程．
解：由题意知 F
1
2
，0
，
设直线 l1的方程为 y＝a，直线 l2的方程为 y＝b，
则 ab≠0，且 A
a2
2
，a
，B
b2
2
，b
，P
－
1
2
，a
，
Q
－
1
2
，b
，R
－
1
2
，
a＋b
2 .
记过 A，B两点的直线为 l，
则 l的方程为 2x－(a＋b)y＋ab＝0.
(1)证明：由于 F在线段 AB上，故 1＋ab＝0.
记 AR的斜率为 k1，FQ的斜率为 k2，则
k1＝
a－b
1＋a2
＝
a－b
a2－ab
＝
1
a
＝
－ab
a
＝－b＝
b－0
－
1
2
－
1
2
＝k2.
所以 AR∥FQ.
(2)设 l与 x轴的交点为 D(x1,0)，
则 S△ABF＝
1
2
|b－a||FD|＝1
2
|b－a||x1－
1
2|，
S△PQF＝
|a－b|
2
.
由题意可得|b－a||x1－
1
2|＝|a－b|
2
，
所以 x1＝1或 x1＝0(舍去)．
设满足条件的 AB的中点为 E(x，y)，
当 AB与 x轴不垂直时，
由 kAB＝kDE可得
2
a＋b
＝
y
x－1
(x≠1)．
而
a＋b
2
＝y，所以 y2＝x－1(x≠1)．
当 AB与 x轴垂直时，E与 D重合，此时 E点坐标为(1,0)，
满足方程 y2＝x－1.
所以所求的轨迹方程为 y2＝x－1.
一、选择题
1．(2018·深圳调研)已知点 F(0,1)，直线 l：y＝－1，P为平面上的动点，过点 P作直线
l的垂线，垂足为 Q，且 QP
―→
· QF
―→
＝ FP
―→
· FQ
―→
，则动点 P的轨迹方程为( )
A．x2＝4y B．y2＝3x
C．x2＝2y D．y2＝4x
解析：选 A 设点 P(x，y)，则 Q(x，－1)．
∵ QP
―→
· QF
―→
＝ FP
―→
· FQ
―→
，
∴(0，y＋1)·(－x,2)＝(x，y－1)·(x，－2)，
即 2(y＋1)＝x2－2(y－1)，整理得 x2＝4y，
∴动点 P的轨迹方程为 x2＝4y.
2．(2018·呼和浩特调研)已知椭圆
x2
a2
＋
y2
b2
＝1(a＞b＞0)，M为椭圆上一动点，F1为椭圆的
左焦点，则线段MF1的中点 P的轨迹是( )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
解析：选 B 设椭圆的右焦点是 F2，由椭圆定义可得|MF1|＋|MF2|＝2a＞2c，所以|PF1|
＋|PO|＝1
2
(|MF1|＋|MF2|)＝a＞c，所以点 P的轨迹是以 F1和 O为焦点的椭圆．
3．已知正方形的四个顶点分别为 O(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)，点 D，E分别在线段
OC，AB上运动，且|OD|＝|BE|，设 AD与 OE交于点 G，则点 G的轨迹方程是( )
A．y＝x(1－x)(0≤x≤1)
B．x＝y(1－y)(0≤y≤1)
C．y＝x2(0≤x≤1)
D．y＝1－x2(0≤x≤1)
解析：选 A 设 D(0，λ)，E(1,1－λ)，0≤λ≤1，所以线段 AD的方程为 x＋y
λ
＝1(0≤x≤1)，
线段 OE的方程为 y＝(1－λ)x(0≤x≤1)，联立方程组
x＋y
λ
＝1，
y＝1－λx
(λ为参数)，消去参数λ得
点 G的轨迹方程为 y＝x(1－x)(0≤x≤1)．
4.(2018·安徽六安一中月考)如图，已知 F1，F2是椭圆Γ：x2
a2
＋
y2
b2
＝
1(a>b>0)的左、右焦点，P是椭圆Γ上任意一点，过 F2作∠F1PF2的外
角的角平分线的垂线，垂足为 Q，则点 Q的轨迹为( )
A．直线 B．圆
C．椭圆 D．双曲线
解析：选 B 延长 F2Q与 F1P的延长线交于点M，连接 OQ.因为 PQ是∠F1PF2的外角
的角平分线，且 PQ⊥F2M，所以在△PF2M中，|PF2|＝|PM|，且 Q为线段 F2M的中点．又
O为线段 F1F2的中点，由三角形的中位线定理，得|OQ|＝1
2
|F1M|＝1
2
(|PF1|＋|PF2|)．由椭圆的
定义，得|PF1|＋|PF2|＝2a，所以|OQ|＝a，所以点 Q的轨迹为以原点为圆心，半径为 a的圆．
5．已知 A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以 C为一个焦点作过 A，B的椭圆，椭圆的另一
个焦点 F的轨迹方程是( )
A．y2－x2
48
＝1(y≤－1) B．y2－x2
48
＝1
C．y2－x2
48
＝－1 D．x2－y2
48
＝1
解析：选 A 由题意，得|AC|＝13，|BC|＝15，|AB|＝14，又|AF|＋|AC|＝|BF|＋|BC|，∴
|AF|－|BF|＝|BC|－|AC|＝2，故点 F的轨迹是以 A，B为焦点，实轴长为 2的双曲线的下支．∵
c＝7，a＝1，∴b2＝48，∴点 F的轨迹方程为 y2－x2
48
＝1(y≤－1)．
6．(2018·梅州质检)动圆M经过双曲线 x2－y2
3
＝1的左焦点且与直线 x＝2相切，则圆心
M的轨迹方程是( )
A．y2＝8x B．y2＝－8x
C．y2＝4x D．y2＝－4x
解析：选 B 双曲线 x2－y2
3
＝1 的左焦点 F(－2,0)，动圆 M 经过点 F 且与直线 x＝2 相
切，则圆心M到点 F的距离和到直线 x＝2 的距离相等，由抛物线的定义知轨迹是抛物线，
其方程为 y2＝－8x.
二、填空题
7．已知 F 是抛物线 y＝1
4
x2的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段 PF 中点的轨迹方
程是____________．
解析：因为抛物线 x2＝4y的焦点 F(0,1)，设线段 PF的中点坐标是(x，y)，则 P(2x,2y－1)
在抛物线 x2＝4y上，所以(2x)2＝4(2y－1)，化简得 x2＝2y－1.
答案：x2＝2y－1
8．已知圆的方程为 x2＋y2＝4，若抛物线过点 A(－1,0)，B(1,0)且以圆的切线为准线，则
抛物线的焦点的轨迹方程是____________．
解析：设抛物线焦点为 F，过 A，B，O作准线的垂线 AA1，BB1，OO1，则|AA1|＋|BB1|
＝2|OO1|＝4，由抛物线定义得|AA1|＋|BB1|＝|FA|＋|FB|，∴|FA|＋|FB|＝4，故 F点的轨迹是
以 A，B为焦点，长轴长为 4的椭圆(去掉长轴两端点)．所以抛物线的焦点轨迹方程为
x2
4
＋
y2
3
＝1(y≠0)．
答案：
x2
4
＋
y2
3
＝1(y≠0)
9．(2018·河北定州中学测试)已知 A(1,2)，B(－1,2)，动点 P满足 AP
―→
⊥ BP
―→
，若双曲线
x2
a2
－
y2
b2
＝1(a>0，b>0)的渐近线与动点 P 的轨迹没有公共点，则双曲线的离心率的取值范围是
__________．
解析：由 AP
―→
⊥ BP
―→
，可得动点 P的轨迹方程为 x2＋(y－2)2＝1，易知双曲线的一条渐近
线方程为 y＝b
a
x，由题意知圆心(0,2)到渐近线的距离大于半径 1，所以
2a
b2＋a2
>1，即 3a2>b2，
又 b2＝c2－a2，所以离心率 e＝c
a
<2，又双曲线的离心率 e>1，所以 1b>0)的一个焦点为( 5，0)，离心率为
5
3
.
(1)求椭圆 C的方程；
(2)若动点 P(x0，y0)为椭圆 C外一点，且点 P到椭圆 C的两条切线相互垂直，求点 P的
轨迹方程．
解：(1)依题意得，c＝ 5，e＝c
a
＝
5
3
，
因此 a＝3，b2＝a2－c2＝4，
故椭圆 C的方程是
x2
9
＋
y2
4
＝1.
(2)若两切线的斜率均存在，设过点 P(x0，y0)的切线方程是 y＝k(x－x0)＋y0，
则由
y＝kx－x0＋y0，
x2
9
＋
y2
4
＝1，
得
x2
9
＋
[kx－x0＋y0]2
4
＝1，
即(9k2＋4)x2＋18k(y0－kx0)x＋9[(y0－kx0)2－4]＝0，Δ＝[18k(y0－kx0)]2－36(9k2
＋4)[(y0－kx0)2－4]＝0，整理得(x20－9)k2－2x0y0k＋y20－4＝0.
又所引的两条切线相互垂直，设两切线的斜率分别为 k1，k2，于是有 k1k2＝－1，即
y20－4
x20－9
＝－1，
故 x20＋y20＝13(x0≠±3)．
若两切线中有一条斜率不存在，
则易得
x0＝3，
y0＝2
或
x0＝－3，
y0＝2
或
x0＝3，
y0＝－2
或
x0＝－3，
y0＝－2，
经检验知均满足 x20＋y20＝13.
因此，动点 P(x0，y0)的轨迹方程是 x2＋y2＝13.
11．已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆 N：(x－1)2＋y2＝9，动圆 P与圆M外切并且与圆 N
内切，圆心 P的轨迹为曲线 C.
(1)求 C的方程；
(2)l 是与圆 P，圆 M 都相切的一条直线，l与曲线 C交于 A，B两点，当圆 P的半径最
长时，求|AB|.
解：由已知得圆M的圆心坐标为M(－1,0)，半径 r1＝1；圆 N的圆心为 N(1,0)，半径 r2
＝3.
设圆 P的圆心坐标为 P(x，y)，半径为 R.
(1)因为圆 P与圆M外切并且与圆 N内切，
所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4.
由椭圆的定义可知，曲线 C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为 2，短半轴长为 3的
椭圆(左顶点除外)，其方程为
x2
4
＋
y2
3
＝1(x≠－2)．
(2)对于曲线 C上任意一点 P(x，y)，由于|PM|－|PN|＝2R－2≤2，所以 R≤2，当且仅当
圆 P的圆心为(2,0)时，R＝2.所以当圆 P的半径最长时，其方程为(x－2)2＋y2＝4.
若 l的倾斜角为 90°，则 l与 y轴重合，可得|AB|＝2 3.
若 l的倾斜角不为 90°，由 r1≠R，知 l不平行于 x轴，设 l与 x轴的交点为 Q，则
|QP|
|QM|
＝
R
r1
，可求得 Q(－4,0)，所以可设 l：y＝k(x＋4)，由 l与圆M相切得
|3k|
1＋k2
＝1，解得 k＝± 2
4
.
当 k＝ 2
4
时，y＝ 2
4
x＋ 2代入
x2
4
＋
y2
3
＝1，并整理得 7x2＋8x－8＝0，解得 x1,2＝
－4±6 2
7
.
所以|AB|＝ 1＋k2|x2－x1|＝
18
7
.
当 k＝－
2
4
时，由图形的对称性可知|AB|＝18
7
.
综上，|AB|＝2 3或|AB|＝18
7
.
12．在平面直角坐标系 xOy 中，A，B两点的坐标分别为(0,1)，(0，－1)，动点 P 满足
直线 AP与直线 BP的斜率之积为－
1
4
，直线 AP，BP与直线 y＝－2分别交于点 M，N.
(1)求动点 P的轨迹方程；
(2)求线段MN的最小值；
(3)以线段 MN为直径的圆是否经过某定点？若经过定点，求出定点的坐标；若不经过定
点，请说明理由．
解：(1)已知 A(0,1)，B(0，－1)，设动点 P的坐标为(x，y)，
则直线 AP的斜率 k1＝
y－1
x
，直线 BP的斜率 k2＝
y＋1
x
(x≠0)，
又 k1k2＝－
1
4
，∴
y－1
x
·y＋1
x
＝－
1
4
，
即
x2
4
＋y2＝1(x≠0)．
(2)设直线 AP的方程为 y－1＝k1(x－0)，直线 BP的方程为 y＋1＝k2(x－0)，
由
y－1＝k1x，
y＝－2，
得
x＝－
3
k1
，
y＝－2，
∴M
－
3
k1
，－2
.
由
y＋1＝k2x，
y＝－2，
得
x＝－
1
k2
，
y＝－2，
∴N
－
1
k2
，－2
.
∵k1k2＝－
1
4
，∴|MN|＝| 3k1－
1
k2|＝| 3k1＋4k1|≥2 3
|k1|
·4|k1|＝4 3，
当且仅当
3
|k1|
＝4|k1|，即 k1＝± 3
2
时等号成立，
∴线段MN长的最小值为 4 3.
(3)设点 Q(x，y)是以线段 MN 为直径的圆上的任意一点，则 QM―→·QN―→＝0，即
x＋ 3
k1
x＋ 1
k2 ＋(y＋2)(y＋2)＝0，又 k1k2＝－
1
4
，故以线段 MN 为直径的圆的方程为 x2＋
3
k1
－4k1 x＋(y＋2)2－12＝0，令 x＝0，得(y＋2)2＝12，解得 y＝－2±2 3，
∴以线段MN为直径的圆经过定点(0，－2＋2 3)或(0，－2－2 3)．
在平面直角坐标系中，动圆经过点M(0，t－2)，N(0，t＋2)，P(－2,0)．其中 t∈R.
(1)求动圆圆心 E的轨迹方程；
(2)过点 P作直线 l交轨迹 E于不同的两点 A，B，直线 OA与直线 OB分别交直线 x＝2
于两点 C，D，记△ACD与△BCD的面积分别为 S1，S2.求 S1＋S2的最小值．
解：(1)设动圆的圆心为 E(x，y)，
则|PE|2＝
|MN|
2 2＋x2，
即(x＋2)2＋y2＝4＋x2，∴y2＝－4x.
即动圆圆心 E的轨迹方程为 y2＝－4x.
(2)当直线 AB的斜率不存在时，AB⊥x轴，此时，A(－2，2 2)，B(－2，－2 2)，
∴|AB|＝|CD|＝4 2，
∴S1＝S2＝
1
2
×4 2×4＝8 2，
∴S1＋S2＝16 2.
当直线 AB的斜率存在时，设直线 AB的斜率为 k，
直线 AB的方程是 y＝k(x＋2)，k≠0.
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程
y＝kx＋2，
y2＝－4x
消去 y，
得 k2x2＋4(k2＋1)x＋4k2＝0，
∴Δ＝16(2k2＋1)>0，x1＋x2＝－
4k2＋1
k2
，x1x2＝4.
由 A(x1，y1)，B(x2，y2)知，直线 AC的方程为 y＝y1
x1
x，直线 BD的方程为 y＝y2
x2
x，
∴C
2，2y1
x1 ，D
2，2y2
x2 ，
∴|CD|＝2|
y1
x1
－
y2
x2|＝|k(x2－x1)|.
∵S1＝
1
2
(2－x1)·|CD|，S2＝
1
2
(2－x2)·|CD|，
∴S1＋S2＝
1
2
[4－(x1＋x2)]·|CD|
＝8
2＋ 1
k2 3.
令 t＝ 1
k2
，则 t>0，S1＋S2＝8(2＋t)3
2
，
由于函数 y＝8(2＋t)3
2
在(0，＋∞)上是增函数．
∴y>16 2，
即 S1＋S2>16 2，
综上所述，S1＋S2≥16 2，
∴S1＋S2的最小值为 16 2.
高考研究课(五)
圆锥曲线的综合问题——直线与圆锥曲线的位置关系
[全国卷 5年命题分析]
考点 考查频度 考查角度
弦长问题 5年 5考 求弦长、由弦长求参数
中点弦问题 5年 2考 由弦中点求方程
直线与圆锥曲线的位置关系
[典例] (1)若直线 mx＋ny＝4和圆 O：x2＋y2＝4 没有交点，则过点(m，n)的直线与椭
圆
x2
9
＋
y2
4
＝1的交点个数为( )
A．至多一个 B．2
C．1 D．0
(2)双曲线 C：x2
a2
－
y2
b2
＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为 F，直线 l过焦点 F，且斜率为 k，则直
线 l与双曲线 C的左、右两支都相交的充要条件是( )
A．k＞－
b
a
B．k＜b
a
C．k＞b
a
或 k＜－
b
a
D．－
b
a
＜k＜b
a
[解析] (1)∵直线 mx＋ny＝4和圆 O：x2＋y2＝4没有交点，
∴
4
m2＋n2
＞2，
∴m2＋n2＜4.
∴
m2
9
＋
n2
4
＜
m2
9
＋
4－m2
4
＝1－ 5
36
m2＜1，
∴点(m，n)在椭圆
x2
9
＋
y2
4
＝1的内部，
∴过点(m，n)的直线与椭圆
x2
9
＋
y2
4
＝1的交点有 2个．
(2)由双曲线渐近线的几何意义知－
b
a
＜k＜b
a
.
[答案] (1)B (2)D
[方法技巧]
1．直线与圆锥曲线位置关系的 2种判定方法
(1)代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于 x，y 的方程组，消去 y(或 x)得
一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标．
(2)几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数．
2．直线与圆锥曲线位置关系的 2个关注点
(1)联立直线与圆锥曲线的方程消元后，应注意讨论二次项系数是否为零的情况．
(2)判断直线与圆锥曲线位置关系时，判别式Δ起着关键性的作用，第一：可以限定所给
参数的范围；第二：可以取舍某些解以免产生增根．
[即时演练]
1．(2018·厦门模拟)过双曲线 C：x2
4
－
y2
9
＝1的左焦点作倾斜角为
π
6
的直线 l，则直线 l与
双曲线 C的交点情况是( )
A．没有交点
B．只有一个交点
C．有两个交点且都在左支上
D．有两个交点分别在左、右两支上
解析：选 D 直线 l的方程为 y＝ 3
3
(x＋ 13)，代入 C：x2
4
－
y2
9
＝1，整理得 23x2－8 13x
－160＝0，Δ＝(－8 13)2＋4×23×160＞0，所以直线 l与双曲线 C有两个交点，由一元二次
方程根与系数的关系得两个交点横坐标符号不同，故两个交点分别在左、右两支上．
2．(2018·河南九校联考)已知直线 y＝kx＋t 与圆 x2＋(y＋1)2＝1 相切且与抛物线 C：x2
＝4y交于不同的两点M，N，则实数 t的取值范围为( )
A．(－∞，－3)∪(0，＋∞) B．(－∞，－2)∪(0，＋∞)
C．(－3,0) D．(－2,0)
解析：选 A 因为直线与圆相切，所以
|t＋1|
1＋k2
＝1，即 k2＝t2＋2t.将直线方程代入抛物线方程
并整理得 x2－4kx－4t＝0，于是Δ＝16k2＋16t＝16(t2＋2t)＋16t＞0，解得 t＞0或 t＜－3.
弦长问题
[典例] 已知椭圆 C：x2
a2
＋
y2
b2
＝1(a＞b＞0)的离心率为
2
2
，短轴长为 2.直线 l：y＝kx＋m
与椭圆 C 交于M，N两点，又 l与直线 y＝1
2
x，y＝－
1
2
x 分别交于 A，B两点，其中点 A 在
第一象限，点 B在第二象限，且△OAB的面积为 2(O为坐标原点)．
(1)求椭圆 C的方程；
(2)求OM
―→
· ON
―→
的取值范围．
[解] (1)由题意可得，b＝1，又
c
a
＝
2
2
，a2＝b2＋c2，
联立解得 a2＝2.
∴椭圆 C的方程为
x2
2
＋y2＝1.
(2)联立
y＝kx＋m，
y＝1
2
x， 解得 A
2m
1－2k
，
m
1－2k ；
联立
y＝kx＋m，
y＝－
1
2
x， 解得 B
－2m
1＋2k
，
m
1＋2k .
又点 A在第一象限，点 B在第二象限，
∴
2m
1－2k
>0，
－2m
1＋2k
<0，
可化为 m2(1－4k2)＞0，
而 m2＞0，∴00)的两条切线，切点分别为 A，B，若线段 AB
的中点的纵坐标为 6，则抛物线方程为________________．
解析：设点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，依题意得，y′＝
x
p
，切线 MA 的方程是 y－y1＝
x1
p
(x
－x1)，即 y＝x1
p
x－x21
2p
.又点M(2，－2p)位于直线MA上，于是有－2p＝x1
p
×2－x21
2p
，即 x21－4x1
－4p2＝0；同理有 x22－4x2－4p2＝0，因此 x1，x2是方程 x2－4x－4p2＝0 的两根，则 x1＋x2
＝4，x1x2＝－4p2.由线段 AB的中点的纵坐标是 6得，y1＋y2＝12，即
x21＋x22
2p
＝
x1＋x22－2x1x2
2p
＝12，16＋8p2
2p
＝12，解得 p＝1或 p＝2.
故抛物线的方程为 x2＝2y或 x2＝4y.
答案：x2＝2y或 x2＝4y
角度三：由中点弦解决对称问题
3．已知双曲线 x2－y2
3
＝1 上存在两点M，N关于直线 y＝x＋m 对称，且 MN的中点在
抛物线 y2＝18x上，则实数 m的值为__________．
解析：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点 P(x0，y0)，
则
x21－y21
3
＝1， ①
x22－
y22
3
＝1， ②
x1＋x2＝2x0， ③
y1＋y2＝2y0， ④
由②－①得，
(x2－x1)(x2＋x1)＝
1
3
(y2－y1)(y2＋y1)，显然 x1≠x2.
∴
y2－y1
x2－x1
·y2＋y1
x2＋x1
＝3，即 kMN·y0
x0
＝3，
∵M，N关于直线 y＝x＋m对称，
∴kMN＝－1，∴y0＝－3x0.
又∵y0＝x0＋m，
∴P
－
m
4
，
3m
4 ，
代入抛物线方程，得
9
16
m2＝18·
－
m
4 ，
解得 m＝0或－8，经检验都符合题意．
答案：0或－8
[方法技巧]
处理中点弦问题常用的 2种方法
(1)点差法
设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有 x1＋x2，y1＋y2，
y1－y2
x1－x2
三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率．
(2)根与系数的关系
联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解．
[提醒] 中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端：根与系数的关系在解题过程中易产
生漏解，需关注直线的斜率问题；点差法在确定范围方面略显不足．
1．(2016·全国卷Ⅲ)已知 O为坐标原点，F是椭圆 C：x2
a2
＋
y2
b2
＝1(a＞b＞0)的左焦点，A，
B分别为 C的左、右顶点．P为 C上一点，且 PF⊥x轴．过点 A的直线 l与线段 PF交于点
M，与 y轴交于点 E.若直线 BM经过 OE的中点，则 C的离心率为( )
A.1
3
B.1
2
C.2
3
D.3
4
解析：选 A 如图所示，由题意得 A(－a,0)，B(a,0)，F(－c，0)．
设 E(0，m)，由 PF∥OE，得
|MF|
|OE|
＝
|AF|
|AO|
，
则|MF|＝ma－c
a
.①
又由 OE∥MF，得
1
2
|OE|
|MF|
＝
|BO|
|BF|
，
则|MF|＝ma＋c
2a
.②
由①②得 a－c＝1
2
(a＋c)，即 a＝3c，
∴e＝c
a
＝
1
3
.
2．(2013·全国卷Ⅰ)已知椭圆 E：x2
a2
＋
y2
b2
＝1(a>b>0)的右焦点为 F(3,0)，过点 F的直线交
E于 A，B两点．若 AB的中点坐标为(1，－1)，则 E的方程为( )
A.x
2
45
＋
y2
36
＝1 B.x
2
36
＋
y2
27
＝1
C.x
2
27
＋
y2
18
＝1 D.x
2
18
＋
y2
9
＝1
解析：选 D 因为直线 AB过点 F(3,0)和点(1，－1)，
所以直线 AB的方程为 y＝1
2
(x－3)，
代入椭圆方程
x2
a2
＋
y2
b2
＝1，消去 y，
得
a2
4
＋b2
x2－3
2
a2x＋9
4
a2－a2b2＝0，
所以 AB的中点的横坐标为
3
2
a2
2
a2
4
＋b2
＝1，
即 a2＝2b2，
又 a2＝b2＋c2，
所以 b＝c＝3，a＝2 3，
故 E的方程为
x2
18
＋
y2
9
＝1.
3．(2017·全国卷Ⅰ)设 A，B为曲线 C：y＝x2
4
上两点，A与 B的横坐标之和为 4.
(1)求直线 AB的斜率；
(2)设M为曲线 C上一点，C在M处的切线与直线 AB平行，且 AM⊥BM，求直线 AB
的方程．
解：(1)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则 x1≠x2，y1＝
x21
4
，y2＝
x22
4
，x1＋x2＝4，
于是直线 AB的斜率 k＝y1－y2
x1－x2
＝
x1＋x2
4
＝1.
(2)由 y＝x2
4
，得 y′＝
x
2
.
设M(x3，y3)，由题设知
x3
2
＝1，解得 x3＝2，
于是M(2,1)．
设直线 AB的方程为 y＝x＋m，
故线段 AB的中点为 N(2,2＋m)，|MN|＝|m＋1|.
将 y＝x＋m代入 y＝x2
4
，得 x2－4x－4m＝0.
当Δ＝16(m＋1)＞0，即 m＞－1时，x1,2＝2±2 m＋1.
从而|AB|＝ 2|x1－x2|＝4 2m＋1.
由题设知|AB|＝2|MN|，
即 4 2m＋1＝2(m＋1)，
解得 m＝7(m＝－1舍去)．
所以直线 AB的方程为 x－y＋7＝0.
4．(2016·全国卷Ⅱ)已知椭圆 E：x2
t
＋
y2
3
＝1的焦点在 x轴上，A是 E的左顶点，斜率为
k(k>0)的直线交 E于 A，M两点，点 N在 E上，MA⊥NA.
(1)当 t＝4，|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积；
(2)当 2|AM|＝|AN|时，求 k的取值范围．
解：设M(x1，y1)，则由题意知 y1>0.
(1)当 t＝4时，
椭圆 E的方程为
x2
4
＋
y2
3
＝1，A(－2,0)．
由已知及椭圆的对称性知，
直线 AM的倾斜角为
π
4
.
因此直线 AM 的方程为 y＝x＋2.
将 x＝y－2代入
x2
4
＋
y2
3
＝1得 7y2－12y＝0.
解得 y＝0或 y＝12
7
，所以 y1＝12
7
.
因此△AMN的面积 S△AMN＝2×1
2
×
12
7
×
12
7
＝
144
49
.
(2)由题意 t>3，k>0，A(－ t，0)．
将直线 AM 的方程 y＝k(x＋ t)代入
x2
t
＋
y2
3
＝1，
得(3＋tk2)x2＋2 t·tk2x＋t2k2－3t＝0.
由 x1·(－ t)＝t2k2－3t
3＋tk2
，
得 x1＝
t3－tk2
3＋tk2
，
故|AM|＝|x1＋ t| 1＋k2＝6 t1＋k2
3＋tk2
.
由题设知，直线 AN的方程为 y＝－
1
k
(x＋ t)，
故同理可得|AN|＝6k t1＋k2
3k2＋t
.
由 2|AM|＝|AN|，
得
2
3＋tk2
＝
k
3k2＋t
，
即(k3－2)t＝3k(2k－1)．
当 k＝
3
2时上式不成立，
因此 t＝3k2k－1
k3－2
.
t>3等价于
k3－2k2＋k－2
k3－2
＝
k－2k2＋1
k3－2
<0，
即
k－2
k3－2
<0.
因此得
k－2>0，
k3－2<0
或
k－2<0，
k3－2>0，
解得
3
20，b>0)，过点 P(3,6)的直线 l与 C相交于 A，B两点，
且 AB的中点为 N(12,15)，则双曲线 C的离心率为( )
A．2 B.3
2
C.3 5
5
D. 5
2
解析：选 B 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由 AB的中点为 N(12,15)，得 x1＋x2＝24，y1＋y2＝30，
由
x21
a2
－
y21
b2
＝1，
x22
a2
－
y22
b2
＝1，
两式相减得：
x1＋x2x1－x2
a2
＝
y1＋y2y1－y2
b2
，
则
y1－y2
x1－x2
＝
b2x1＋x2
a2y1＋y2
＝
4b2
5a2
.
由直线 AB的斜率 k＝15－6
12－3
＝1，
∴
4b2
5a2
＝1，则
b2
a2
＝
5
4
，
∴双曲线的离心率 e＝c
a
＝ 1＋b2
a2
＝
3
2
.
4．已知抛物线 C：y2＝8x与点M(－2,2)，过 C的焦点且斜率为 k的直线与 C交于 A，
B两点．若MA
―→
·MB
―→
＝0，则 k＝ ( )
A.1
2
B. 2
2
C. 2 D．2
解析：选 D 如图所示，设 F为焦点，取 AB的中点 P，过 A，B分别作准线 l的垂线，
垂足分别为 G，H，连接MF，MP，由MA
―→
·MB
―→
＝0，知MA⊥MB，则|MP|＝1
2
|AB|＝1
2
(|AG|
＋|BH|)，所以 MP为直角梯形 BHGA的中位线，所以 MP∥AG∥BH，所以∠GAM＝∠AMP
＝∠MAP，又|AG|＝|AF|，AM 为公共边，所以△AMG≌△AMF，所以∠AFM＝∠AGM＝
90°，则MF⊥AB，所以 k＝－
1
kMF
＝2.
5．已知 F是双曲线
x2
a2
－
y2
b2
＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，A，B分别为其左、右顶点．O为
坐标原点，D为其上一点，DF⊥x轴．过点 A的直线 l与线段 DF交于点 E，与 y轴交于点
M，直线 BE与 y轴交于点 N，若 3|OM|＝2|ON|，则双曲线的离心率为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选 C 如图，设 A(－a,0)，B(a,0)，M(0，2m)，N(0，－3m)．
则直线AM的方程为 y＝2m
a
x＋2m，直线BN的方程为 y＝3m
a
x－3m.
∵直线 AM，BN的交点 D(c，y0)，
∴
2mc
a
＋2m＝
3mc
a
－3m，则
c
a
＝5，
∴双曲线的离心率为 5.
6．斜率为 1的直线 l与椭圆
x2
4
＋y2＝1相交于 A，B两点，则|AB|的最大值为( )
A．2 B.4 5
5
C.4 10
5
D.8 10
5
解析：选 C 设 A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线 l的方程为 y＝x＋t，
由
x2＋4y2＝4，
y＝x＋t
消去 y，得 5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0.
则 x1＋x2＝－
8
5
t，x1x2＝
4t2－1
5
.
∴|AB|＝ 1＋k2|x1－x2|
＝ 1＋k2· x1＋x22－4x1x2
＝ 2·
－
8
5
t 2－4×4t2－1
5
＝
4 2
5
· 5－t2，
故当 t＝0时，|AB|max＝4 10
5
.
二、填空题
7．焦点是 F(0,5 2)，并截直线 y＝2x－1 所得弦的中点的横坐标是
2
7
的椭圆的标准方程
为__________．
解析：设所求的椭圆方程为
y2
a2
＋
x2
b2
＝1(a>b>0)，直线被椭圆所截弦的端点为 A(x1，y1)，
B(x2，y2)．
由题意，可得弦 AB的中点坐标为
x1＋x2
2
，
y1＋y2
2 ，
且
x1＋x2
2
＝
2
7
，
y1＋y2
2
＝－
3
7
.
将 A，B 两点坐标代入椭圆方程中，得
y21
a2
＋
x21
b2
＝1，
y22
a2
＋
x22
b2
＝1.
两式相减并化简，得
a2
b2
＝－
y1－y2
x1－x2
·y1＋y2
x1＋x2
＝－2×
－
6
7
4
7
＝3，
所以 a2＝3b2.又 c2＝a2－b2＝50，所以 a2＝75，b2＝25.
故所求椭圆的标准方程为
y2
75
＋
x2
25
＝1.
答案：
y2
75
＋
x2
25
＝1
8．经过双曲线
x2
a2
－
y2
b2
＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，倾斜角为 60°的直线与双曲线有且只有
一个交点，则该双曲线的离心率为________．
解析：∵经过双曲线
x2
a2
－
y2
b2
＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，
倾斜角为 60°的直线与双曲线有且只有一个交点，
∴根据双曲线的几何性质知所给直线应与双曲线的一条渐近线 y＝b
a
x平行，
∴
b
a
＝tan 60°＝ 3，即 b＝ 3a，
∴c＝ a2＋b2＝2a，故 e＝c
a
＝2.
答案：2
9．抛物线 x2＝4y与直线 x－2y＋2＝0交于 A，B两点，且 A，B关于直线 y＝－2x＋m
对称，则 m的值为________．
解析：设 A(x1，y1)，B(x2，y2),
联立
x2＝4y，
x－2y＋2＝0
消去 y，得 x2－2x－4＝0.
则 x1＋x2＝2，x1＋x2
2
＝1.
∴y1＋y2＝
1
2
(x1＋x2)＋2＝3，y1＋y2
2
＝
3
2
.
∵A，B关于直线 y＝－2x＋m对称，
∴AB的中点在直线 y＝－2x＋m上，
即
3
2
＝－2×1＋m，解得 m＝
7
2
.
答案：
7
2
三、解答题
10．椭圆 C：x2
a2
＋
y2
b2
＝1(a＞b＞0)的离心率为
3
3
，过右焦点 F2(c,0)垂直于 x 轴的直线与
椭圆交于 P，Q两点且|PQ|＝4 3
3
，又过左焦点 F1(－c,0)作直线 l交椭圆于两点．
(1)求椭圆 C的方程；
(2)若椭圆 C上两点 A，B关于直线 l对称，求△AOB面积的最大值．
解：(1)由题意可知|PQ|＝2b2
a
＝
4 3
3
.①
又椭圆的离心率 e＝c
a
＝ 1－b2
a2
＝
3
3
，则
b2
a2
＝
2
3
，②
由①②解得 a2＝3，b2＝2，
∴椭圆的方程为
x2
3
＋
y2
2
＝1.
(2)由(1)可知左焦点 F1(－1,0),
依题意，直线 l 不垂直 x 轴，当直线 l 的斜率 k≠0 时，可设直线 l 的方程为 y＝k(x＋
1)(k≠0)，则直线 AB的方程可设为 y＝－
1
k
x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立
y＝－
1
k
x＋m，
x2
3
＋
y2
2
＝1，
整理得(2k2＋3)x2－6kmx＋3k2m2－6k2＝0，
Δ＝(－6km)2－4×(2k2＋3)(3k2m2－6k2)＞0，
则 m2k2－2k2－3＜0，③
x1＋x2＝
6km
2k2＋3
，x1x2＝
3k2m2－6k2
2k2＋3
.
设 AB的中点为 C(xC，yC)，
则 xC＝
x1＋x2
2
＝
3km
2k2＋3
，yC＝
2k2m
2k2＋3
.
∵点 C在直线 l上，∴
2k2m
2k2＋3
＝k
3km
2k2＋3
＋1
，
则 m＝－2k－3
k
，④
此时 m2－2－ 3
k2
＝4k2＋ 6
k2
＋10＞0与③矛盾，故 k≠0时不成立.
当直线 l的斜率 k＝0时，A(x0，y0)，B(x0，－y0)(x0＞0，y0＞0)，
∴△AOB的面积 S＝1
2
·2y0·x0＝x0y0.
∵
x20
3
＋
y20
2
＝1≥2 x20
3
·y
20
2
＝
6
3
x0y0，∴x0y0≤ 6
2
.
当且仅当
x20
3
＝
y20
2
＝
1
2
时取等号．
∴△AOB的面积的最大值为
6
2
.
11．已知抛物线 E：y2＝2px(p＞0)的焦点 F，E上一点(3，m)到焦点的距离为 4.
(1)求抛物线 E的方程；
(2)过 F作直线 l，交抛物线 E于 A，B两点，若直线 AB中点的纵坐标为－1，求直线 l
的方程．
解：(1)抛物线 E：y2＝2px(p＞0)的准线方程为 x＝－
p
2
，
由抛物线的定义可知 3－
－
p
2 ＝4，
解得 p＝2，∴抛物线 E的方程为 y2＝4x.
(2)法一：由(1)得抛物线 E的方程为 y2＝4x，焦点 F(1,0)，
设 A，B两点的坐标分别为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
y21＝4x1，
y22＝4x2，
两式相减，整理得
y2－y1
x2－x1
＝
4
y2＋y1
(x1≠x2)．
∵线段 AB中点的纵坐标为－1，
∴直线 l的斜率 kAB＝
4
y2＋y1
＝
4
－1×2
＝－2，
∴直线 l的方程为 y－0＝－2(x－1)，即 2x＋y－2＝0.
法二：由(1)得抛物线 E的方程为 y2＝4x，焦点 F(1,0)，
设直线 l的方程为 x＝my＋1，
由
y2＝4x，
x＝my＋1
消去 x，得 y2－4my－4＝0.
设 A，B两点的坐标分别为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵线段 AB中点的纵坐标为－1，
∴
y1＋y2
2
＝
4m
2
＝－1，
解得 m＝－
1
2
，
∴直线 l的方程为 x＝－
1
2
y＋1，即 2x＋y－2＝0.
12．(2018·海口调研)已知椭圆 C：x2
a2
＋
y2
b2
＝1(a>b>0)的左，右顶点分别为 A，B，其离心
率 e＝1
2
，点M为椭圆上的一个动点，△MAB面积的最大值是 2 3.
(1)求椭圆 C的方程；
(2)若过椭圆 C右顶点 B的直线 l与椭圆的另一个交点为 D，线段 BD的垂直平分线与 y
轴交于点 P，当 PB
―→
· PD
―→
＝0时，求点 P的坐标．
解：(1)由题意可知
e＝c
a
＝
1
2
，
1
2
×2ab＝2 3，
a2＝b2＋c2，
解得 a＝2，b＝ 3，
所以椭圆方程为
x2
4
＋
y2
3
＝1.
(2)由(1)知 B(2,0)，设直线 BD的方程为 y＝k(x－2)，D(x1，y1)，
把 y＝k(x－2)代入椭圆方程
x2
4
＋
y2
3
＝1，
整理得(3＋4k2)x2－16k2x＋16k2－12＝0，
所以 2＋x1＝
16k2
3＋4k2
⇒x1＝
8k2－6
3＋4k2
，则 D
8k2－6
3＋4k2
，
－12k
3＋4k2 ，
所以 BD中点的坐标为
8k2
3＋4k2
，
－6k
3＋4k2 ，
则直线 BD的垂直平分线方程为
y－ －6k
3＋4k2
＝－
1
k
x－ 8k2
3＋4k2 ，得 P
0， 2k
3＋4k2 .
又 PB
―→
· PD
―→
＝0，
即
2，－
2k
3＋4k2 ·
8k2－6
3＋4k2
，
－14k
3＋4k2 ＝0，
化简得
64k4＋28k2－36
3＋4k22
＝0⇒64k4＋28k2－36＝0，
解得 k＝±3
4
.
故 P
0，2
7 或
0，－
2
7 .
1．已知椭圆 C：x2
a2
＋
y2
b2
＝1(a>b>0)的短轴长为 2，离心率为
2
2
，设过右焦点的直线 l与
椭圆 C交于不同的两点 A，B，过 A，B作直线 x＝2的垂线 AP，BQ，垂足分别为 P，Q.记λ
＝
|AP|＋|BQ|
|PQ|
，若直线 l的斜率 k≥ 3，则λ的取值范围为__________．
解析：∵椭圆 C：x2
a2
＋
y2
b2
＝1(a>b>0)的短轴长为 2，离心率为
2
2
，
∴
2b＝2，
c
a
＝
2
2
，
a2＝b2＋c2，
解得 a＝ 2，b＝c＝1，
∴椭圆 C的方程为
x2
2
＋y2＝1.
∵过右焦点的直线 l与椭圆 C交于不同的两点 A，B，
∴设直线 l的方程为 y＝k(x－1)，
联立
x2
2
＋y2＝1，
y＝kx－1
得(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0,
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，y1＞y2，
则 x1＋x2＝
4k2
2k2＋1
，x1x2＝
2k2－2
2k2＋1
，
∴λ＝|AP|＋|BQ|
|PQ|
＝
2－x1＋2－x2
y1－y2
＝
4－x1＋x2
kx1－1－kx2－1
＝
4－x1＋x2
k x1＋x22－4x1x2
＝
4－ 4k2
2k2＋1
k
4k2
2k2＋1 2－4×2k2－2
2k2＋1
＝
2k2＋2
k
＝ 2＋ 2
k2
.
∵k≥ 3，
∴当 k＝ 3时，λmax＝ 2＋2
3
＝
2 6
3
，
当 k→＋∞时，λmin→ 2，
∴λ的取值范围是
2，2 6
3 .
答案：
2，2 6
3
2．已知动点M到定点 F(1,0)的距离比M到定直线 x＝－2的距离小 1.
(1)求点M的轨迹 C的方程；
(2)过点 F任意作互相垂直的两条直线 l1，l2，分别交曲线 C于点 A，B和M，N.设线段
AB，MN的中点分别为 P，Q，求证：直线 PQ恒过一个定点；
(3)在(2)的条件下，求△FPQ面积的最小值．
解：(1)由题意可知，动点M到定点 F(1,0)的距离等于M到定直线 x＝－1的距离，根据
抛物线的定义可知，点M的轨迹 C是抛物线，
所以点M的轨迹 C的方程为 y2＝4x.
(2)证明：设 A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
则点 P的坐标为
x1＋x2
2
，
y1＋y2
2 .
由题意可设直线 l1的方程为 y＝k(x－1)，k≠0，
由
y2＝4x，
y＝kx－1
得 k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
Δ＝(2k2＋4)2－4k4＝16k2＋16>0.
因为直线 l1与曲线 C交于 A，B两点，
所以 x1＋x2＝2＋ 4
k2
，y1＋y2＝k(x1＋x2－2)＝4
k
.
所以点 P的坐标为
1＋ 2
k2
，
2
k .
由题知，直线 l2的斜率为－
1
k
，同理可得点 Q的坐标为(1＋2k2，－2k)．
当 k≠±1时，有 1＋ 2
k2
≠1＋2k2，此时直线 PQ的斜率
kPQ＝
2
k
＋2k
1＋ 2
k2
－1－2k2
＝
k
1－k2
.
所以直线 PQ的方程为 y＋2k＝ k
1－k2
(x－1－2k2)，
整理得 yk2＋(x－3)k－y＝0.
于是直线 PQ恒过定点 E(3,0)；
当 k＝±1时，直线 PQ的方程为 x＝3，也过点 E(3,0)．
综上所述，直线 PQ恒过定点 E(3,0)．
(3)由(2)得|EF|＝2，
所以△FPQ面积 S＝1
2
|EF|
2
|k|
＋2|k|
＝2
1
|k|
＋|k|
≥4，
当且仅当 k＝±1时，“＝”成立，
所以△FPQ面积的最小值为 4.
高考研究课(六)
圆锥曲线的综合问题——最值、范围、证明问题
[全国卷 5年命题分析]
考点 考查频度 考查角度
最值问题 5年 2考 求面积最值
范围问题 5年 2考 求面积的范围、求参数范围
证明问题 5年 3考 证明直线过定点、证明定值、证明等式
最值问题
[典例] (2017·山东高考)在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 E：x2
a2
＋
y2
b2
＝1(a>b>0)的离心
率为
2
2
，焦距为 2.
(1)求椭圆 E的方程；
(2)如图，动直线 l：y＝k1x－ 3
2
交椭圆 E 于 A，B 两点，C 是椭圆 E 上一点，直线 OC
的斜率为 k2，且 k1k2＝
2
4
，M是线段 OC延长线上一点，且|MC|∶|AB|＝2∶3，⊙M的半径
为|MC|，OS，OT是⊙M的两条切线，切点分别为 S，T.求∠SOT 的最大值，并求取得最大
值时直线 l的斜率．
[思路点拨] (1)由 e＝c
a
＝
2
2
，2c＝2确定 a，b即得．
(2)通过联立 y＝k1x－ 3
2
与椭圆 E 的方程化简得到一元二次方程后应用根与系数的关系
及弦长公式确定|AB|及圆M的半径 r表达式．进一步求得直线 OC的方程并与椭圆方程联立，
得到关于
|OC|
r
的表达式，研究其取值范围即可．在这个过程中，可考虑利用换元思想，应用
二次函数的性质及基本不等式．
[解] (1)由题意知 e＝c
a
＝
2
2
，2c＝2，
所以 a＝ 2，b＝1，
因此椭圆 E的方程为
x2
2
＋y2＝1.
(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立方程
x2
2
＋y2＝1，
y＝k1x－ 3
2
消去 y，
得(4k21＋2)x2－4 3k1x－1＝0，
由题意知Δ>0，
且 x1＋x2＝
2 3k1
1＋2k21
，x1x2＝－
1
22k21＋1
，
所以|AB|＝ 1＋k21|x1－x2|＝ 2· 1＋k21· 1＋8k21
1＋2k21
.
由题意可知圆M的半径 r为
r＝2
3
|AB|＝2 2
3
· 1＋k21· 1＋8k21
2k21＋1
.
由题设知 k1k2＝ 2
4
，所以 k2＝ 2
4k1
，
因此直线 OC的方程为 y＝ 2
4k1
x.
联立方程
x2
2
＋y2＝1，
y＝ 2
4k1
x，
得 x2＝ 8k21
1＋4k21
，y2＝ 1
1＋4k21
，
因此|OC|＝ x2＋y2＝ 1＋8k21
1＋4k21
.
由题意可知 sin∠SOT
2
＝
r
r＋|OC|
＝
1
1＋|OC|
r
，
而
|OC|
r
＝
1＋8k21
1＋4k21
2 2
3
· 1＋k21· 1＋8k21
1＋2k21
＝
3 2
4
·
1＋2k21
1＋4k21· 1＋k21
，
令 t＝1＋2k21，则 t>1，1
t
∈(0,1)，
因此
|OC|
r
＝
3
2
·
t
2t2＋t－1
＝
3
2
·
1
2＋1
t
－
1
t2
＝
3
2
·
1
－
1
t
－
1
2 2＋
9
4
≥1，
当且仅当
1
t
＝
1
2
，即 t＝2时等号成立，此时 k1＝± 2
2
，
所以 sin∠SOT
2
≤
1
2
，因此
∠SOT
2
≤
π
6
，
所以∠SOT的最大值为
π
3
.
综上所述，∠SOT 的最大值为
π
3
，取得最大值时直线 l的斜率为 k1＝± 2
2
.
[方法技巧]
最值问题的 3个求解方法
(1)建立函数模型：利用二次函数、三角函数的有界性求最值或利用导数法求最值．
(2)建立不等式模型：利用基本不等式求最值．
(3)数形结合：利用相切、相交的几何性质求最值．
[即时演练]
已知椭圆 C：x2
a2
＋
y2
b2
＝1(a＞b＞0)的一个焦点与 y2＝4 3x的焦点重合，点
3，1
2 在椭圆
C上．
(1)求椭圆 C的方程；
(2)设直线 l：y＝kx＋m(k≠0)与椭圆 C交于 P，Q两点，且以 PQ为对角线的菱形的一
顶点为(－1,0)，求△OPQ面积的最大值(O为坐标原点)．
解：(1)∵抛物线 y2＝4 3x的焦点为( 3，0)，
故 c＝ 3，
∴a2＝b2＋3.①
∵点
3，1
2 在椭圆 C上，
∴
3
a2
＋
1
4b2
＝1.②
联立①②解得 a2＝4，b2＝1，
∴椭圆 C的方程为
x2
4
＋y2＝1.
(2)设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，P，Q的中点为(x0，y0)，
将直线 y＝kx＋m代入
x2
4
＋y2＝1，
得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，
∴Δ＝16(1＋4k2－m2)＞0，( )
x1＋x2＝－
8km
1＋4k2
，x1x2＝
4m2－4
1＋4k2
，
则 x0＝
1
2
(x1＋x2)＝－
4km
1＋4k2
，
y0＝kx0＋m＝
m
1＋4k2
.
∵(－1,0)是以 PQ为对角线的菱形的一顶点，且不在椭圆上，
∴
y0－0
x0＋1
＝－
1
k
，即 3km＝1＋4k2，代入( )得 k2>1
5
.
又 O到直线的距离为 d＝
m
1＋k2
，
则 S△OPQ＝
1
2
d|PQ|
＝
1
2
·
m
1＋k2
· 1＋k2· 161＋4k2－m2
1＋4k2
＝
2
9
20＋ 1
k2
－
1
k4
＝
2
9
－
1
k2
－
1
2 2＋
81
4
，
当
1
k2
＝
1
2
，即 k＝± 2时，(S△OPQ)max＝1，
∴△OPQ面积的最大值 1.
范围问题
[典例] 已知椭圆
x2
a2
＋
y2
b2
＝1(a＞b＞0)离心率为
1
2
，过点 E(－ 7，0)的椭圆的两条切线相
互垂直.
(1)求此椭圆的方程；
(2)若存在过点(t,0)的直线 l交椭圆于 A，B两点，使得 FA⊥FB(F 为右焦点)，求 t的取
值范围.
[思路点拨] (1)由椭圆的离心率公式，求得 a＝2c，b2＝a2－c2＝3c2，由椭圆的对称性
可知：ME的直线方程为 y＝x＋ 7，代入椭圆方程，由Δ＝0，即可求得 c值，求得 a和 b，
得椭圆方程；
(2)设 l的方程为 x＝my＋t，代入椭圆方程，利用根与系数的关系及向量数量积的坐标运
算，即可求得 t的取值范围．
[解] (1)由椭圆的离心率 e＝c
a
＝
1
2
，
得 a＝2c，b2＝a2－c2＝3c2.
不妨设在 x轴上方的切点为M，x轴下方的切点为 N，由椭圆的对称性知 kME＝1，直线
ME的方程为 y＝x＋ 7，
联立
y＝x＋ 7，
x2
4c2
＋
y2
3c2
＝1 消去 y，
整理得 7x2＋8 7x＋28－12c2＝0，
由Δ＝(8 7)2－4×7×(28－12c2)＝0，得 c＝1，
∴a＝2，b＝ 3，
∴椭圆方程为
x2
4
＋
y2
3
＝1.
(2)设 l的方程为 x＝my＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立
my＋t＝x，
x2
4
＋
y2
3
＝1 消去 x，
整理得(3m2＋4)y2＋6mty＋3t2－12＝0，
则 y1＋y2＝
－6mt
3m2＋4
，y1y2＝
3t2－12
3m2＋4
.
又 FA
―→
＝(x1－1，y1)， FB
―→
＝(x2－1，y2)，
∴ FA
―→
· FB
―→
＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2
＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2
＝(m2＋1)y1y2＋(mt－m)(y1＋y2)＋t2－2t＋1＝0，
∴(m2＋1)(3t2－12)＋(mt－m)(－6mt)＋(t2－2t＋1)·(3m2＋4)＝0，
化简得 7t2－8t－8＝9m2.
要满足题意，则 7t2－8t－8＝9m2有解，
∴7t2－8t－8≥0，解得 t≥4＋6 2
7
或 t≤4－6 2
7
.
∴t的取值范围为
－∞，
4－6 2
7 ∪
4＋6 2
7
，＋∞
.
[方法技巧]
求参数范围的 4个常用方法
(1)函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解．
(2)不等式法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求参数范围．
(3)判别式法：建立关于某变量的一元二次方程，利用判别式Δ求参数的范围．
(4)数形结合法：研究该参数所表示的几何意义，利用数形结合思想求解．
[即时演练]
已知椭圆
x2
a2
＋
y2
b2
＝1(a＞b＞0)的右焦点为 F，直线 PQ 过 F 交椭圆于 P，Q 两点，且
|PF|max·|QF|min＝
a2
4
.
(1)求椭圆的长轴与短轴的比值；
(2)如图，线段 PQ 的垂直平分线与 PQ 交于点M，与 x 轴，y 轴分别交于 D，E两点，
求
S△DFM
S△DOE
的取值范围．
解：(1)设 F(c,0)，
则|PF|max＝a＋c，|QF|min＝a－c，
∴a2－c2＝a2
4
.
∵b2＋c2＝a2，∴a2＝4b2，
∴长轴与短轴的比值为 2a∶2b＝2.
(2)由(1)知 a＝2b，可设椭圆方程为
x2
4b2
＋
y2
b2
＝1.
依题意，直线 PQ的斜率存在且不为 0，
设直线 PQ的方程为 y＝k(x－c)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
联立
y＝kx－c，
x2
4b2
＋
y2
b2
＝1 消去 y，
得(4k2＋1)x2－8k2cx＋4k2c2－4b2＝0，
则 x1＋x2＝
8k2c
4k2＋1
，
∴y1＋y2＝k(x1＋x2－2c)＝－
2kc
4k2＋1
，
∴M
4k2c
4k2＋1
，－
kc
4k2＋1 .
∵MD⊥PQ，设 D(x3,0)，
∴
kc
4k2＋1
x3－
4k2c
4k2＋1
·k＝－1，
解得 x3＝
3k2c
4k2＋1
，∴D
3k2c
4k2＋1
，0
.
∵△DMF∽△DOE，
∴
S△DFM
S△DOE
＝
DM2
OD2
＝
4k2c
4k2＋1
－
3k2c
4k2＋1 2＋
－
kc
4k2＋1 2
3k2c
4k2＋1 2
＝
1
9
1＋ 1
k2 >1
9
，
∴
S△DFM
S△DOE
的取值范围为
1
9
，＋∞
.
证明问题
[典例] (2017·北京高考)已知抛物线 C：y2＝2px过点 P(1,1)．过点
0，1
2 作直线 l与抛
物线 C交于不同的两点M，N，过点M作 x轴的垂线分别与直线 OP，ON交于点 A，B，其
中 O为原点．
(1)求抛物线 C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
(2)求证：A为线段 BM 的中点．
[思路点拨] (1)由点 P(1,1)，求得抛物线的方程，根据方程表示焦点坐标和准线方程；
(2)设直线 l的方程为 y＝kx＋1
2
(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立直线 l与抛物线方程，
得到根与系数的关系，由直线 OP，ON的方程分别求得 A，B的坐标分别为(x1，x1)，
x1，y2x1
x2 ，
证明 y1＋y2x1
x2
－2x1＝0即为证明 A为线段 BM的中点．
[解] 由抛物线 C：y2＝2px过点 P(1,1)，得 p＝1
2
.
所以抛物线 C的方程为 y2＝x.
抛物线 C的焦点坐标为
1
4
，0
，准线方程为 x＝－
1
4
.
(2)证明：由题意，设直线 l的方程为 y＝kx＋1
2
(k≠0)，l与抛物线 C的交点为 M(x1，y1)，
N(x2，y2)．
由
y＝kx＋1
2
，
y2＝x
消去 y，得 4k2x2＋(4k－4)x＋1＝0.
则 x1＋x2＝
1－k
k2
，x1x2＝
1
4k2
.
因为点 P的坐标为(1,1)，
所以直线 OP的方程为 y＝x，点 A的坐标为(x1，x1)．
直线 ON的方程为 y＝y2
x2
x，点 B的坐标为
x1，y2x1
x2 .
因为 y1＋y2x1
x2
－2x1＝
y1x2＋y2x1－2x1x2
x2
＝
kx1＋1
2 x2＋
kx2＋1
2 x1－2x1x2
x2
＝
2k－2x1x2＋1
2
x2＋x1
x2
＝
2k－2× 1
4k2
＋
1－k
2k2
x2
＝0，
所以 y1＋y2x1
x2
＝2x1.
故 A为线段 BM 的中点．
[方法技巧]
圆锥曲线中的证明问题多涉及证明定值、点在定直线上等，有时也涉及一些否定性命题，
证明方法一般是采用直接法或反证法．
[即时演练]
(2018·成都一诊)已知椭圆
x2
5
＋
y2
4
＝1的右焦点为 F，设直线 l：x＝5与 x轴的交点为 E，
过点 F且斜率为 k的直线 l1与椭圆交于 A，B两点，M为线段 EF的中点．
(1)若直线 l1的倾斜角为
π
4
，求|AB|的值；
(2)设直线 AM 交直线 l于点 N，证明：直线 BN⊥l.
解：由题意知，F(1,0)，E(5,0)，M(3,0)．
(1)∵直线 l1的倾斜角为
π
4
，∴斜率 k＝1.
∴直线 l1的方程为 y＝x－1.
代入椭圆方程，可得 9x2－10x－15＝0.
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝10
9
，x1x2＝－
5
3
.
∴|AB|＝ 2· x1＋x22－4x1x2
＝ 2×
10
9 2＋4×5
3
＝
16 5
9
.
(2)证明：设直线 l1的方程为 y＝k(x－1)．
代入椭圆方程，得(4＋5k2)x2－10k2x＋5k2－20＝0.
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则 x1＋x2＝
10k2
4＋5k2
，x1x2＝
5k2－20
4＋5k2
.
设 N(5，y0)，∵A，M，N三点共线，
∴
－y1
3－x1
＝
y0
2
，∴y0＝
2y1
x1－3
.
而 y0－y2＝
2y1
x1－3
－y2＝
2kx1－1
x1－3
－k(x2－1)
＝
3kx1＋x2－kx1x2－5k
x1－3
＝
3k· 10k
2
4＋5k2
－k·5k
2－20
4＋5k2
－5k
x1－3
＝0.
∴直线 BN∥x轴，即 BN⊥l.
1．(2014·全国卷Ⅰ)已知点 A(0，－2)，椭圆 E：x2
a2
＋
y2
b2
＝1(a>b>0)的离心率为
3
2
，F 是
椭圆 E的右焦点，直线 AF的斜率为
2 3
3
，O为坐标原点．
(1)求 E的方程；
(2)设过点 A的动直线 l与 E相交于 P，Q两点．当△OPQ的面积最大时，求 l的方程．
解：(1)设 F(c,0)，由条件知，
2
c
＝
2 3
3
，得 c＝ 3.
又
c
a
＝
3
2
，所以 a＝2，b2＝a2－c2＝1.
故 E的方程为
x2
4
＋y2＝1.
(2)当 l⊥x轴时不合题意，
故设 l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．
将 y＝kx－2代入
x2
4
＋y2＝1，
得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.
当Δ＝16(4k2－3)>0，即 k2>3
4
时，
x1,2＝
8k±2 4k2－3
4k2＋1
.
从而|PQ|＝ k2＋1|x1－x2|＝
4 k2＋1· 4k2－3
4k2＋1
.
又点 O到直线 PQ的距离 d＝
2
k2＋1
.
所以△OPQ的面积 S△OPQ＝
1
2
d·|PQ|＝4 4k2－3
4k2＋1
.
设 4k2－3＝t，则 t>0，
S△OPQ＝
4t
t2＋4
＝
4
t＋4
t
.
因为 t＋4
t
≥4，当且仅当 t＝2，即 k＝± 7
2
时等号成立，且满足Δ>0.
所以，当△OPQ的面积最大时，
l的方程为 y＝ 7
2
x－2或 y＝－
7
2
x－2.
2．(2013·全国卷Ⅱ)平面直角坐标系 xOy中，过椭圆M：
x2
a2
＋
y2
b2
＝1(a>b>0)右焦点的直线
x＋y－ 3＝0交M于 A，B两点，P为 AB的中点，且 OP的斜率为
1
2
.
(1)求M的方程；
(2)C，D为 M 上的两点，若四边形 ACBD 的对角线 CD⊥AB，求四边形 ACBD面积的
最大值．
解：(1)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，
则
x21
a2
＋
y21
b2
＝1，x22
a2
＋
y22
b2
＝1，y2－y1
x2－x1
＝－1，
由此可得
b2x2＋x1
a2y2＋y1
＝－
y2－y1
x2－x1
＝1.
因为 x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，
y0
x0
＝
1
2
，
所以 a2＝2b2.
又由题意知，M的右焦点为( 3，0)，故 a2－b2＝3.
因此 a2＝6，b2＝3.
所以M的方程为
x2
6
＋
y2
3
＝1.
(2)由
x＋y－ 3＝0，
x2
6
＋
y2
3
＝1， 解得
x＝4 3
3
，
y＝－
3
3
或
x＝0，
y＝ 3.
因此|AB|＝4 6
3
.
由题意可设直线 CD的方程为 y＝x＋n
－
5 3
3
＜n＜ 3
，
设 C(x3，y3)，D(x4，y4)．
由
y＝x＋n，
x2
6
＋
y2
3
＝1
得 3x2＋4nx＋2n2－6＝0.
于是 x3,4＝
－2n± 29－n2
3
.
因为直线 CD的斜率为 1，
所以|CD|＝ 2|x4－x3|＝
4
3
9－n2.
则四边形 ACBD的面积
S＝1
2
|CD|·|AB|＝8 6
9
· 9－n2.
当 n＝0时，S取得最大值，最大值为
8 6
3
.
所以四边形 ACBD面积的最大值为
8 6
3
.
3．(2016·全国卷Ⅰ)设圆 x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为 A，直线 l过点 B(1,0)且与 x轴不
重合，l交圆 A于 C，D两点，过 B作 AC的平行线交 AD于点 E.
(1)证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点 E的轨迹方程；
(2)设点 E的轨迹为曲线 C1，直线 l交 C1于M，N两点，过 B且与 l垂直的直线与圆 A
交于 P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．
解：(1)证明：因为|AD|＝|AC|，EB∥AC，
所以∠EBD＝∠ACD＝∠ADC，所以|EB|＝|ED|，
故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|.
又圆 A的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16，从而|AD|＝4，
所以|EA|＋|EB|＝4.
由题设得 A(－1,0)，B(1,0)，|AB|＝2，
由椭圆定义可得点 E的轨迹方程为
x2
4
＋
y2
3
＝1(y≠0)．
(2)当 l与 x轴不垂直时，设 l的方程为 y＝k(x－1)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．
由
y＝kx－1，
x2
4
＋
y2
3
＝1 得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0，
则 x1＋x2＝
8k2
4k2＋3
，x1x2＝
4k2－12
4k2＋3
.
所以|MN|＝ 1＋k2|x1－x2|＝
12k2＋1
4k2＋3
.
过点 B(1,0)且与 l垂直的直线 m：y＝－
1
k
(x－1)，点 A到直线 m的距离为
2
k2＋1
，
所以|PQ|＝2 42－
2
k2＋1 2＝4 4k2＋3
k2＋1
.
故四边形MPNQ的面积
S＝1
2
|MN||PQ|＝12 1＋ 1
4k2＋3
.
可得当 l与 x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为(12,8 3)．
当 l与 x轴垂直时，其方程为 x＝1，|MN|＝3，|PQ|＝8，
故四边形MPNQ的面积为 12.
综上，四边形MPNQ面积的取值范围为[12,8 3)．
1．已知 A，B分别是椭圆 C：x2
a2
＋
y2
b2
＝1(a>b>0)的长轴与短轴的一个端点，F1，F2分别
是椭圆 C的左、右焦点，D是椭圆上的一点，△DF1F2的周长为 6，|AB|＝ 7.
(1)求椭圆 C的方程；
(2)若 P是圆 x2＋y2＝7上任一点，过点 P作椭圆 C的切线，切点分别为M，N，求证：
PM⊥PN.
解：(1)由△DF1F2的周长为 6，得 2a＋2c＝6，
由|AB|＝ 7，得 a2＋b2＝7，
又 b2＋c2＝a2，∴a＝2，b＝ 3，c＝1.
故椭圆 C的方程为
x2
4
＋
y2
3
＝1.
(2)证明：①当切线 PM的斜率不存在或为零时，此时取 P(2， 3)，
显然直线 PN：y＝ 3与直线 PM：x＝2恰是椭圆的两条切线．
由圆及椭圆的对称性，可知 PM⊥PN.
②当切线 PM，PN斜率存在且不为零时，
设切线 PM 的方程为 y＝k1x＋m，
PN的方程为 y＝k2x＋t，P(x0，y0)(x0≠±2)，
由
y＝k1x＋m，
x2
4
＋
y2
3
＝1 消去 y，
得(4k21＋3)x2＋8k1mx＋4(m2－3)＝0，
∵PM与椭圆 C相切，
∴Δ＝64k21m2－16(4k21＋3)(m2－3)＝0，
∴m2＝4k21＋3.
∵y0＝k1x0＋m，∴m＝y0－k1x0，
∴(y0－k1x0)2＝4k21＋3.
即(x20－4)k21－2x0y0k1＋y20－3＝0；
同理(x20－4)k22－2x0y0k2＋y20－3＝0，
∴k1，k2是方程(x20－4)k2－2x0y0k＋y20－3＝0的两个根，
又∵点 P在圆上，
∴x20＋y20＝7，
∴y20＝7－x20，
∴k1k2＝
y20－3
x20－4
＝
7－x20－3
x20－4
＝－1，
∴PM⊥PN.
综上所述，PM⊥PN.
2．已知椭圆 C：y2
a2
＋
x2
b2
＝1(a>b>0)的短轴长为 2，且椭圆 C的顶点在圆 M：x2＋
y－ 2
2 2
＝
1
2
上．
(1)求椭圆 C的方程；
(2)过椭圆的上焦点作相互垂直的弦 AB，CD，求|AB|＋|CD|的最小值．
解：(1)由题意可知 2b＝2，b＝1.
又椭圆 C的顶点在圆M上，则 a＝ 2，
故椭圆 C的方程为
y2
2
＋x2＝1.
(2)当直线 AB的斜率不存在或为零时，
|AB|＋|CD|＝3 2；
当直线 AB的斜率存在，且不为零时，设直线 AB的方程为
y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2),
联立
y＝kx＋1，
y2
2
＋x2＝1 消去 y，整理得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0，
则 x1＋x2＝－
2k
k2＋2
，x1x2＝－
1
k2＋2
，
故|AB|＝ 1＋k2· x1＋x22－4x1x2＝
2 2k2＋1
k2＋2
.
同理可得：|CD|＝2 2k2＋1
2k2＋1
，
∴|AB|＋|CD|＝ 6 2k2＋12
2k2＋1k2＋2
.
令 t＝k2＋1，则 t＞1,0<1
t
<1，
∴|AB|＋|CD|＝ 6 2t2
2t－1t＋1
＝
6 2
2－1
t
1＋1
t
＝
6 2
－
1
t
－
1
2 2＋
9
4
，
当 0<1
t
<1时，2＜－
1
t
－
1
2 2＋
9
4
≤
9
4
，
∴
8 3
3
≤|AB|＋|CD|＜3 2 ，
综上可知，
8 3
3
≤|AB|＋|CD|≤3 2，
∴|AB|＋|CD|的最小值
8 3
3
.
3．已知椭圆 C：y2
a2
＋
x2
b2
＝1(a>b>0)的上、下焦点分别为 F1，F2，离心率为
1
2
，P为 C上
的动点，且满足F2P
―→
＝λ PQ
―→
(λ>0)，| PQ
―→
|＝| PF
―→
1|，△QF1F2面积的最大值为 4.
(1)求点 Q的轨迹 E的方程和椭圆 C的方程；
(2)直线 y＝kx＋m(m＞0)与椭圆 C相切且与曲线 E交于M，N两点，求 S△F1MN 的取
值范围．
解：(1)由椭圆定义得：|F2Q|＝|F2P|＋|PQ|＝|F2P|＋|PF1|＝2a，
所以点 Q的轨迹是以 F2为圆心，2a为半径的圆．
当 QF2⊥F1F2时，△QF1F2面积最大，
所以
1
2
×2c×2a＝4，即 ac＝2.
又
c
a
＝
1
2
，可得 a＝2，c＝1.
所以点 Q的轨迹 E的方程为 x2＋(y＋1)2＝16，椭圆 C的方程
y2
4
＋
x2
3
＝1.
(2)由
y＝kx＋m，
y2
4
＋
x2
3
＝1 消去 y，整理得(3k2＋4)x2＋6kmx＋3m2－12＝0，则Δ＝36k2m2－
4(3k2＋4)(3m2－12)＝0，
化简得 3k2－m2＋4＝0，
即 k2＝m2－4
3
.
由 k2＝m2－4
3
≥0及 m＞0，得 m≥2.
设圆心 F2(0，－1)到直线MN的距离为 d，
则 d＝
|m＋1|
1＋k2
＝
3m＋1
m－1
，
所以弦长|MN|＝2 16－d2＝2 13m－19
m－1
.
设点 F1(0,1)到直线MN的距离为 h，
则 h＝
|m－1|
1＋k2
＝
3m－1
m＋1
，
所以 S△F1MN＝1
2
|MN|·h
＝
313m－19
m＋1
＝ 39－ 96
m＋1
.
由 m≥2，得 39－ 96
m＋1
∈[ 7， 39)，
所以 S△F1MN的取值范围为[ 7， 39)．
4.如图，椭圆 E的左、右顶点分别为 A，B，左、右焦点分别为 F1，
F2，|AB|＝4，|F1F2|＝2 3.
(1)求椭圆 E的方程；
(2)直线 y＝kx＋m(k＞0)交椭圆于 C，D两点，与线段 F1F2及椭圆
短轴分别交于M，N两点(M，N不重合)，且|CN|＝|DM|，求 k的值；
(3)在(2)的条件下，若 m＞0，设直线 AD，BC的斜率分别为 k1，k2，求
k21
k22
的取值范围．
解：(1)设椭圆 E的方程为
x2
a2
＋
y2
b2
＝1(a>b>0)，
由|AB|＝4，|F1F2|＝2 3，可知 a＝2，c＝ 3，
则 b＝1，
所以椭圆 E的方程为
x2
4
＋y2＝1.
(2)设 D(x1，y1)，C(x2，y2)，易知 N(0，m)，M
－
m
k
，0
，
由
y＝kx＋m，
x2＋4y2＝4
消去 y，整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，
由Δ＞0，得 4k2－m2＋1＞0，即 m2＜4k2＋1，
且 x1＋x2＝
－8km
1＋4k2
，x1x2＝
4m2－4
1＋4k2
.
又|CM|＝|DN|，即CM
―→
＝ ND
―→
，可得 x1＋x2＝－
m
k
，
即
－8km
1＋4k2
＝－
m
k
，解得 k＝1
2
.
(3)k
21
k22
＝
y21x2－22
y22x1＋22
＝
4－x21
4
x2－22
4－x22
4
x1＋22
＝
2－x12－x2
2＋x12＋x2
＝
4－2x1＋x2＋x1x2
4＋2x1＋x2＋x1x2
＝
m＋1
m－1 2.
由题知，点M，F1的横坐标 xM≥xF1，有－2m≥－ 3，
则 m∈
0， 3
2 ，满足 m2＜2.
即
k1
k2
＝－
m＋1
m－1
＝－1＋ 2
1－m
，则
k1
k2
∈(1,7＋4 3]，
所以
k21
k22
的取值范围为(1,97＋56 3]．
已知椭圆 C：
x2
a2
＋
y2
b2
＝1(a＞b＞0)的右准线 l的方程为 x＝4 3
3
，短轴长为 2.
(1)求椭圆 C的方程；
(2)过定点 B(1,0)作直线 l 与椭圆 C 相交于 P，Q(异于 A1，A2)两
点，设直线 PA1与直线 QA2相交于点M(2x0，y0)．
①试用 x0，y0表示点 P，Q的坐标；
②求证：点M始终在一条定直线上．
解：(1)由
a2
c
＝
4 3
3
，
b＝1，
a2＝b2＋c2，
解得
a2＝4，
b2＝1.
或
a2＝4
3
，
b2＝1.
故椭圆 C的方程为
x2
4
＋y2＝1或
x2
4
3
＋y2＝1.
(2)①不妨取椭圆 C的方程为
x2
4
＋y2＝1，A1(－2,0)，A2(2，0),
则MA1的方程为：y＝ y0
2x0＋2
(x＋2)，
即 x＝2x0＋2
y0
y－2，代入
x2
4
＋y2＝1,
得
x0＋1
y0
y－1 2＋y2＝1，
即
x0＋12
y20
＋1
y2－2x0＋1
y0
y＝0.
∴yP＝
2x0＋1
y0
x0＋12
y20
＋1
＝
2x0＋1y0
x0＋12＋y20
，
则 xP＝
2x0＋2
y0
· 2x0＋1y0
x0＋12＋y20
－2＝ 4x0＋12
x0＋12＋y20
－2.
即 P
4x0＋12
x0＋12＋y20
－2， 2x0＋1y0
x0＋12＋y20 .
同理：MA2的方程为 y＝ y0
2x0－2
(x－2)，
即 x＝2x0－2
y0
y＋2，代入
x2
4
＋y2＝1,
得
x0－1
y0
y＋1 2＋y2＝1，
即
x0－12
y20
＋1
y2＋2x0－1
y0
y＝0.
∴yQ＝
－
2x0－1
y0
x0－12
y20
＋1
＝
－2x0－1y0
x0－12＋y20
.
则 xQ＝
2x0－2
y0
·－2x0－1y0
x0－12＋y20
＋2＝－4x0－12
x0－12＋y20
＋2.
即 Q
－4x0－12
x0－12＋y20
＋2，－2x0－1y0
x0－12＋y20 .
②证明：设 P(xP，yP)，Q(xQ，yQ)，
∵P，Q，B三点共线，∴kPB＝kQB，即
yP
xP－1
＝
yQ
xQ－1
.
∴
2x0＋1y0
x0＋12＋y20
4x0＋12
x0＋12＋y20
－2－1
＝
－2x0－1y0
x0－12＋y20
－4x0－12
x0－12＋y20
＋2－1
，
即
x0＋1y0
x0＋12－3y20
＝
－x0－1y0
－3x0－12＋y20
.
由题意知，y0≠0，
∴
x0＋1
x0＋12－3y20
＝
x0－1
3x0－12－y20
.
即 3(x0＋1)(x0－1)2－(x0＋1)y20＝(x0－1)(x0＋1)2－3(x0－1)y20.
∴(2x0－4)(x20＋y20－1)＝0.
则 2x0－4＝0或 x20＋y20＝1.
若 x20＋y20＝1，即
2x02
4
＋y20＝1，
则 P，Q，M为同一点，不合题意．
∴2x0－4＝0，即点M始终在定直线 x＝4上．
高考研究课(七)
圆锥曲线的综合问题——定点、定值、探索性问题
[全国卷 5年命题分析]
考点 考查频度 考查角度
定点问题 5年 1考 直线过定点
定值问题 5年 2考 证明斜率积为定值、证定值
探索性问题 5年 2考 探索点的存在性问题
定点问题
[典例] 已知右焦点为 F的椭圆 C：x2
a2
＋
y2
b2
＝1(a＞b＞0)过点M
1，3
2 ，直线 x＝a与抛
物线 C1：x2＝8
3
y交于点 N，且OM
―→
＝ FN
―→
，其中 O为坐标原点．
(1)求椭圆 C的方程；
(2)直线 l与椭圆 C交于 A，B两点．若直线 l与 x轴垂直，过点 P(4,0)的直线 PB 交椭圆
C于另一点 E，证明直线 AE与 x轴相交于定点．
[解] (1)设 N(a，y0)，连接 MN，由OM
―→
＝ FN
―→
，得四边形 OMNF为平行四边形，则
y0＝3
2
，
将 N
a，3
2 代入抛物线方程，得 a2＝4，
解得 a＝2，
再将M
1， 3
2 代入椭圆方程，得
1
4
＋
9
4b2
＝1，
解得 b2＝3，
∴椭圆 C的方程为
x2
4
＋
y2
3
＝1.
(2)证明：由题意，直线 PB 的斜率存在，设直线 PB 的方程为 y＝k(x－4)，B(x1，y1)，
E(x2，y2)，则 A(x1，－y1)．
联立
y＝kx－4，
3x2＋4y2＝12
消去 y，整理得(3＋4k2)x2－32k2x＋64k2－12＝0，
则 x1＋x2＝
32k2
3＋4k2
，x1x2＝
64k2－12
3＋4k2
.①
又直线 AE的方程为 y－y2＝
y2＋y1
x2－x1
(x－x2)，
令 y＝0，得 x＝x2－
y2x2－x1
y1＋y2
，
由 y1＝k(x1－4)，y2＝k(x2－4),
得 x＝2x1x2－4x1＋x2
x1＋x2－8
，
即 x＝
264k2－12
3＋4k2
－4· 32k
2
3＋4k2
32k2
3＋4k2
－8
＝1，∴x＝1，
∴直线 AE与 x轴相交于定点(1,0)．
[方法技巧]
定点问题的常见解法
(1)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数
无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；
(2)从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意．
[即时演练]如图，过顶点在原点、对称轴为 y 轴的抛物线 E 上的定
点 A(2,1)作斜率分别为 k1，k2的直线，分别交抛物线 E于 B，C两点．
(1)求抛物线 E的标准方程和准线方程；
(2)若 k1＋k2＝k1k2，证明：直线 BC恒过定点．
解：(1)设抛物线 E的标准方程为 x2＝ay，a＞0，
将 A(2,1)代入得，a＝4.
所以抛物线 E的标准方程为 x2＝4y，准线方程为 y＝－1.
(2)证明：由题意得，直线 AB的方程为 y＝k1x＋1－2k1，
直线 AC的方程为 y＝k2x＋1－2k2，
联立
x2＝4y，
y＝k1x＋1－2k1，
消去 y，得 x2－4k1x－4(1－2k1)＝0，
解得 x＝2或 x＝4k1－2，
因此点 B(4k1－2，2k1－12)，
同理可得 C(4k2－2，2k2－12).
于是直线 BC的斜率 k＝
2k1－12－2k2－12
4k1－2－4k2－2
＝
4k1－k2k1＋k2－1
4k1－k2
＝k1＋k2－1，
又 k1＋k2＝k1k2，所以直线 BC的方程为 y－(2k2－1)2＝(k1k2－1)·[x－4k2－2]，
即 y＝(k1k2－1)x－2k1k2－1＝(k1k2－1)(x－2)－3.
故直线 BC恒过定点(2，－3).
定值问题
[典例] 已知椭圆 C：x
2
a2
＋
y2
b2
＝1(a>b>0)的离心率为
3
2
，A(a,0)，B(0，b)，O(0,0)，△OAB
的面积为 1.
(1)求椭圆 C的方程；
(2)设 P 是椭圆 C 上一点，直线 PA与 y 轴交于点 M，直线 PB 与 x 轴交于点 N.求证：
|AN|·|BM|为定值．
[解] (1)由题意得
c
a
＝
3
2
，
1
2
ab＝1，
a2＝b2＋c2，
解得
a＝2，
b＝1，
c＝ 3.
所以椭圆 C的方程为
x2
4
＋y2＝1.
(2)证明：由(1)知，A(2,0)，B(0,1)．
设 P(x0，y0)，则 x20＋4y20＝4.
当 x0≠0时，
直线 PA的方程为 y＝ y0
x0－2
(x－2)．
令 x＝0，得 yM＝－
2y0
x0－2
，
从而|BM|＝|1－yM|＝|1＋ 2y0
x0－2|.
直线 PB的方程为 y＝y0－1
x0
x＋1.
令 y＝0，得 xN＝－
x0
y0－1
，
从而|AN|＝|2－xN|＝|2＋ x0
y0－1|.
所以|AN|·|BM|＝|2＋ x0
y0－1|·|1＋
2y0
x0－2|
＝|x20＋4y20＋4x0y0－4x0－8y0＋4
x0y0－x0－2y0＋2 |
＝|4x0y0－4x0－8y0＋8
x0y0－x0－2y0＋2 |＝4.
当 x0＝0时，y0＝－1，|BM|＝2，|AN|＝2，
所以|AN|·|BM|＝4.
综上，|AN|·|BM|为定值．
[方法技巧]
求定值问题常见的方法
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
[即时演练]
设抛物线 C1：y2＝8x的准线与 x轴交于点 F1，焦点为 F2.以 F1，F2为焦点，离心率为
2
2
的椭圆记为 C2.
(1)求椭圆 C2的方程；
(2)设 N(0，－2)，过点 P(1,2)作直线 l，交椭圆 C2于异于 N的 A，B两点．
①若直线 NA，NB的斜率分别为 k1，k2，证明：k1＋k2为定值；
②以 B为圆心，以 BF2为半径作圆 B，是否存在定圆M，使得圆 B与圆 M恒相切？若
存在，求出圆M的方程，若不存在，请说明理由．
解：(1)由已知得 F1(－2,0)，F2(2,0)．
令椭圆 C2的方程为
x2
a2
＋
y2
b2
＝1(a>b>0)，
则
c＝2，
c
a
＝
2
2
，
a2＝b2＋c2，
解得
a＝2 2，
b＝2，
c＝2，
所以椭圆 C2的方程为
x2
8
＋
y2
4
＝1.
(2)①证明：当直线 l的斜率不存在时，l：x＝1,
由
x＝1，
x2
8
＋
y2
4
＝1， 得
x＝1，
y＝－
14
2
或
x＝1，
y＝ 14
2
，
不妨取 A
1， 14
2 ，B
1，－
14
2 ，
此时，k1＝ 14
2
＋2，k2＝－
14
2
＋2，所以 k1＋k2＝4.
当直线 l的斜率存在时，设 l：y－2＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由
y－2＝kx－1，
x2
8
＋
y2
4
＝1 消去 y，整理得(1＋2k2)x2＋(8k－4k2)x＋2k2－8k＝0，
则Δ＝(8k－4k2)2－4(1＋2k2)(2k2－8k)＞0，
得 k＞0或 k<－4
7
.
且 x1＋x2＝
4k2－8k
1＋2k2
，x1x2＝
2k2－8k
1＋2k2
，
所以 k1＋k2＝
y1＋2
x1
＋
y2＋2
x2
＝
x2y1＋2x2＋x1y2＋2x1
x1x2
＝
x2[kx1－1＋2]＋x1[kx2－1＋2]＋2x1＋x2
x1x2
＝2k＋－k＋4x1＋x2
x1x2
＝2k＋
－k＋4·4k
2－8k
1＋2k2
2k2－8k
1＋2k2
＝2k＋－k＋4·4k2－8k
2k2－8k
＝2k－(2k－4)＝4，
综上所述，k1＋k2＝4.
②存在定圆M，使得圆 B与圆M恒相切，圆 M的方程为(x＋2)2＋y2＝32，其圆心为左
焦点 F1.
由椭圆的定义知|BF1|＋|BF2|＝2a＝4 2，
所以|BF1|＝4 2－|BF2|，
所以两圆相(内)切.
探索性问题
圆锥曲线的探索性问题主要体现在以下几个方面：
1探索是否存在常数的问题；
2探索是否存在点或直线的问题；
3探索最值或定值的存在性问题.
角度一：探索是否存在常数的问题
1.如图，椭圆 E：x2
a2
＋
y2
b2
＝1(a>b>0)的离心率是
2
2
，点 P(0,1)在
短轴 CD上，且 PC
―→
· PD
―→
＝－1.
(1)求椭圆 E的方程．
(2)设 O为坐标原点，过点 P的动直线与椭圆交于 A，B两点．是
否存在常数λ，使得 OA
―→
· OB
―→
＋λ PA
―→
· PB
―→
为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理
由．
解：(1)由已知，C(0，－b)，D(0，b)．
又点 P的坐标为(0,1)，且 PC
―→
· PD
―→
＝－1，
于是
1－b2＝－1，
c
a
＝
2
2
，
a2－b2＝c2.
解得 a＝2，b＝ 2.
所以椭圆 E的方程为
x2
4
＋
y2
2
＝1.
(2)当直线 AB的斜率存在时，设直线 AB的方程为 y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
联立
x2
4
＋
y2
2
＝1，
y＝kx＋1
得(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0.
其判别式Δ＝(4k)2＋8(2k2＋1)>0，
所以 x1＋x2＝－
4k
2k2＋1
，x1x2＝－
2
2k2＋1
.
从而 OA
―→
· OB
―→
＋λ PA
―→
· PB
―→
＝x1x2＋y1y2＋λ[x1x2＋(y1－1)(y2－1)]
＝(1＋λ)(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1
＝
－2λ－4k2＋－2λ－1
2k2＋1
＝－
λ－1
2k2＋1
－λ－2.
所以当λ＝1时，－
λ－1
2k2＋1
－λ－2＝－3.
此时 OA
―→
· OB
―→
＋λ PA
―→
· PB
―→
＝－3为定值．
当直线 AB斜率不存在时，直线 AB即为直线 CD.
此时， OA
―→
· OB
―→
＋λ PA
―→
· PB
―→
＝ OC
―→
· OD
―→
＋ PC
―→
· PD
―→
＝－2－1＝－3.
故存在常数λ＝1，使得 OA
―→
· OB
―→
＋λ PA
―→
· PB
―→
为定值－3.
[方法技巧]
解决是否存在常数的问题时，应首先假设存在，看是否能求出符合条件的参数值，如果
推出矛盾就不存在，否则就存在．
角度二：探索是否存在点或直线的问题
2．已知抛物线 C：y2＝2px(p＞0)的焦点为 F，直线 y＝2与 y 的轴的交点为 P，与 C的
交点为 Q，且|QF|＝2|PQ|.
(1)求 C的方程；
(2)过焦点 F的直线 l的斜率为－1，判断 C上是否存在两点M，N，使得 M，N关于直
线 l对称，若存在，求出|MN|的值，若不存在，说明理由．
解：(1)设 Q(x0,2)，代入 y2＝2px，得 x0＝
2
p
，
所以|PQ|＝2
p
，|QF|＝p
2
＋
2
p
，
所以
p
2
＋
2
p
＝2×2
p
，
解得 p＝2或 p＝－2(舍去)，
所以 C的方程为 y2＝4x.
(2)由已知得，直线 l的方程为 x＋y－1＝0，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 kMN＝
y1－y2
x1－x2
＝
4
y1＋y2
，
∵M，N关于直线 l对称，∴MN⊥l，∴
4
y1＋y2
＝1.①
∵MN 的中点 T 的坐标为
y21＋y22
8
，
y1＋y2
2 ，中点 T在直线 l 上，∴
y1＋y2
2
＝－
y21＋y22
8
＋1.
②
由①②可得 y1＋y2＝4，y1y2＝4，
∴y1，y2是方程 y2－4y＋4＝0的两个根，此方程有两个相等的根，
∴C上不存在M，N，使得M，N关于直线 l对称.
[方法技巧]
探索是否存在直线时要注意判断直线的斜率是否存在．探究是否存在点时要注意利用特
殊情况先判断再证明或直接判断．
角度三：探索最值或定值的存在性问题
3．(2018·湖南六校联考)如图，已知M(x0，y0)是椭圆 C：x2
6
＋
y2
3
＝1上的任一点，从原点
O向圆M：(x－x0)2＋(y－y0)2＝2作两条切线，分别交椭圆于点 P，Q.
(1)若直线 OP，OQ的斜率存在，并分别记为 k1，k2，求证：k1k2为定值；
(2)试问|OP|2＋|OQ|2是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．
解：(1)证明：因为直线 OP：y＝k1x与圆M相切，
所以
|k1x0－y0|
1＋k21
＝ 2，
化简得(x20－2)k21－2x0y0k1＋y20－2＝0，
同理(x20－2)k22－2x0y0k2＋y20－2＝0，
所以 k1，k2是方程(x20－2)k2－2x0y0k＋y20－2＝0的两个不相等的实数根，所以 k1·k2＝
y20－2
x20－2
.
因为点M(x0，y0)在椭圆 C上，所以
x20
6
＋
y20
3
＝1，
即 y20＝3－1
2
x20，所以 k1k2＝
1－1
2
x20
x20－2
＝－
1
2
.
即 k1k2为定值－
1
2
.
(2)|OP|2＋|OQ|2是定值，定值为 9.
理由如下：
法一：(ⅰ)当直线 OP，OQ不落在坐标轴上时，设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
联立
y＝k1x，
x2
6
＋
y2
3
＝1， 解得
x21＝
6
1＋2k21
，
y21＝
6k21
1＋2k21
.
所以 x21＋y21＝
61＋k21
1＋2k21
，同理得 x22＋y22＝
61＋k22
1＋2k22
，
由 k1k2＝－
1
2
，
得 |OP|2＋ |OQ|2＝x 21＋y 21＋x 22＋y 22＝
61＋k21
1＋2k21
＋
61＋k22
1＋2k22
＝
61＋k21
1＋2k21
＋
6 1＋
－
1
2k1 2
1＋2
－
1
2k1 2
＝
9＋18k21
1＋2k21
＝9.
(ⅱ)当直线 OP，OQ落在坐标轴上时，
显然有|OP|2＋|OQ|2＝9.
综上，|OP|2＋|OQ|2＝9.
法二：(ⅰ)当直线 OP，OQ不落在坐标轴上时，
设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
因为 k1k2＝－
1
2
，所以 y21y22＝1
4
x21x22，
因为 P(x1，y1)，Q(x2，y2)在椭圆 C上，
所以
x21
6
＋
y21
3
＝1，
x22
6
＋
y22
3
＝1，
即
y21＝3－1
2
x21，
y22＝3－1
2
x22，
所以
3－1
2
x21 3－1
2
x22
＝
1
4
x21x22，整理得 x21＋x22＝6，
所以 y21＋y22＝
3－1
2
x21
＋
3－1
2
x22
＝3，
所以|OP|2＋|OQ|2＝9.
(ⅱ)当直线 OP，OQ落在坐标轴上时，显然有|OP|2＋|OQ|2＝9.
综上，|OP|2＋|OQ|2＝9.
[方法技巧]
解决探索性问题的注意事项
解决探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正
确则不存在．
(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论．
(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．
1．(2017·全国卷Ⅰ)已知椭圆 C：x
2
a2
＋
y2
b2
＝1(a>b>0)，四点 P1(1,1)，P2(0，1)，P3
－1， 3
2 ，
P4
1， 3
2 中恰有三点在椭圆 C上．
(1)求 C的方程；
(2)设直线 l不经过 P2点且与 C相交于 A，B 两点．若直线 P2A与直线 P2B的斜率的和
为－1，证明：l过定点．
解：(1)由于 P3，P4两点关于 y轴对称，
故由题设知椭圆 C经过 P3，P4两点．
又由
1
a2
＋
1
b2
> 1
a2
＋
3
4b2
知，椭圆 C不经过点 P1，
所以点 P2在椭圆 C上．
因此
1
b2
＝1，
1
a2
＋
3
4b2
＝1，
解得
a2＝4，
b2＝1.
故椭圆 C的方程为
x2
4
＋y2＝1.
(2)证明：设直线 P2A与直线 P2B的斜率分别为 k1，k2.
如果 l与 x轴垂直，设 l：x＝t，由题设知 t≠0，且|t|<2，可得 A，B的坐标分别为
t， 4－t2
2 ，
t，－
4－t2
2 .
则 k1＋k2＝
4－t2－2
2t
－
4－t2＋2
2t
＝－1，得 t＝2，不符合题设．
从而可设 l：y＝kx＋m(m≠1)．
将 y＝kx＋m代入
x2
4
＋y2＝1得
(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.
由题设可知Δ＝16(4k2－m2＋1)>0.
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则 x1＋x2＝－
8km
4k2＋1
，x1x2＝
4m2－4
4k2＋1
.
而 k1＋k2＝
y1－1
x1
＋
y2－1
x2
＝
kx1＋m－1
x1
＋
kx2＋m－1
x2
＝
2kx1x2＋m－1x1＋x2
x1x2
.
由题设 k1＋k2＝－1，
故(2k＋1)x1x2＋(m－1)(x1＋x2)＝0.
即(2k＋1)·4m
2－4
4k2＋1
＋(m－1)·－8km
4k2＋1
＝0.
解得 k＝－
m＋1
2
.
当且仅当 m>－1时，Δ>0，于是 l：y＝－
m＋1
2
x＋m，
即 y＋1＝－
m＋1
2
(x－2)，所以 l过定点(2，－1)．
2．(2015·全国卷Ⅱ)已知椭圆 C：x2
a2
＋
y2
b2
＝1(a>b>0)的离心率为
2
2
，点(2， 2)在 C上．
(1)求 C的方程；
(2)直线 l不过原点 O且不平行于坐标轴，l与 C有两个交点 A，B，线段 AB的中点为M.
证明：直线 OM的斜率与直线 l的斜率的乘积为定值．
解：(1)由题意知
a2－b2
a
＝
2
2
，
4
a2
＋
2
b2
＝1，
解得 a2＝8，b2＝4，所以 C的方程为
x2
8
＋
y2
4
＝1.
(2)证明：设直线 l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)．
将 y＝kx＋b代入
x2
8
＋
y2
4
＝1，
得(2k2＋1)x2＋4kbx＋2b2－8＝0.
故 xM＝
x1＋x2
2
＝
－2kb
2k2＋1
，yM＝k·xM＋b＝ b
2k2＋1
.
于是直线 OM的斜率 kOM＝yM
xM
＝－
1
2k
，
即 kOM·k＝－
1
2
.
所以直线 OM的斜率与直线 l的斜率的乘积为定值．
3．(2015·全国卷Ⅰ)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C：y＝x2
4
与直线 l：y＝kx＋a(a>0)交于
M，N两点．
(1)当 k＝0时，分别求 C在点M和 N处的切线方程；
(2)y轴上是否存在点 P，使得当 k变动时，总有∠OPM＝∠OPN？说明理由．
解：(1)由题设可得M(2 a，a)，N(－2 a，a)，或M(－2 a，a)，N(2 a，a)．
又 y′＝
x
2
，故 y＝x2
4
在 x＝2 a处的导数值为 a，C 在点(2 a，a)处的切线方程为 y－a
＝ a(x－2 a)，
即 ax－y－a＝0.
y＝x2
4
在 x＝－2 a处的导数值为－ a，C在点(－2 a，a)处的切线方程为 y－a＝－ a(x
＋2 a)，
即 ax＋y＋a＝0.
故所求切线方程为 ax－y－a＝0和 ax＋y＋a＝0.
(2)存在符合题意的点．证明如下：
设 P(0，b)为符合题意的点，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线 PM，PN的斜率分别为 k1，k2.
将 y＝kx＋a代入 C的方程，得 x2－4kx－4a＝0.
故 x1＋x2＝4k，x1x2＝－4a.
从而 k1＋k2＝
y1－b
x1
＋
y2－b
x2
＝
2kx1x2＋a－bx1＋x2
x1x2
＝
ka＋b
a
.
当 b＝－a时，有 k1＋k2＝0，
则直线 PM 的倾斜角与直线 PN的倾斜角互补，
故∠OPM＝∠OPN，
所以点 P(0，－a)符合题意．
1.如图，已知椭圆 C：x2
a2
＋
y2
b2
＝1(a＞b＞0)的离心率是
3
2
，其中一个顶点
为 B(0,1)．
(1)求椭圆 C的方程；
(2)设 P，Q是椭圆 C上异于点 B的任意两点，且 BP⊥BQ.试问：直线 PQ是否恒过一定
点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由.
解：(1)设椭圆 C的半焦距为 c.依题意，得 b＝1，
且 e2＝c2
a2
＝
a2－1
a2
＝
3
4
，
解得 a2＝4，
所以椭圆 C的方程为
x2
4
＋y2＝1.
(2)直线 PQ恒过定点．
法一：易知，直线 PQ的斜率存在，设其方程为 y＝kx＋m，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
将直线 PQ的方程代入 x2＋4y2＝4，
消去 y，整理得 (1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.
则 x1＋x2＝－
8km
1＋4k2
，x1x2＝
4m2－4
1＋4k2
.①
因为 BP⊥BQ，且直线 BP，BQ的斜率均存在，
所以
y1－1
x1
·y2－1
x2
＝－1，
整理得 x1x2＋y1y2－(y1＋y2)＋1＝0.②
因为 y1＝kx1＋m，y2＝kx2＋m，
所以 y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m，y1y2＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2.③
将③代入②，整理得(1＋k2)x1x2＋k(m－1)(x1＋x2)＋(m－1)2＝0.④
将①代入④，整理得 5m2－2m－3＝0.
解得 m＝－
3
5
或 m＝1(舍去)．
所以直线 PQ恒过定点
0，－
3
5 .
法二：直线 BP，BQ的斜率均存在，设直线 BP的方程为 y＝kx＋1.
将直线 BP的方程代入 x2＋4y2＝4，消去 y，得 (1＋4k2)x2＋8kx＝0.
解得 x＝0或 x＝ －8k
1＋4k2
.
设 P(x1，y1)，所以 x1＝
－8k
1＋4k2
，y1＝kx1＋1＝1－4k2
1＋4k2
，
所以 P
－8k
1＋4k2
，
1－4k2
1＋4k2 .
以－
1
k
替换点 P坐标中的 k，可得 Q
8k
k2＋4
，
k2－4
k2＋4 .
从而，直线 PQ的方程是
y－1－4k2
1＋4k2
k2－4
k2＋4
－
1－4k2
1＋4k2
＝
x＋ 8k
1＋4k2
8k
k2＋4
＋
8k
1＋4k2
.
依题意，若直线 PQ过定点，则定点必定在 y轴上．
在上述方程中，令 x＝0，解得 y＝－
3
5
.
所以直线 PQ恒过定点
0，－
3
5 .
2．已知椭圆 C：x2
a2
＋
y2
b2
＝1(a＞b＞0)的离心率为
3
2
，短轴端点到焦点的距离为 2.
(1)求椭圆 C的方程；
(2)设 A，B为椭圆 C上任意两点，O为坐标原点，且 OA⊥OB.求证：原点 O到直线 AB
的距离为定值，并求出该定值．
解：(1)由题意知，e＝c
a
＝
3
2
， b2＋c2＝2，又 a2＝b2＋c2，所以 a＝2，c＝ 3，b＝1，
所以椭圆 C的方程为
x2
4
＋y2＝1.
(2)证明：当直线 AB的斜率不存在时，直线 AB的方程为 x＝±2 5
5
，此时，原点 O到直
线 AB的距离为
2 5
5
.
当直线 AB的斜率存在时，设直线 AB的方程为 y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由
x2
4
＋y2＝1，
y＝kx＋m
得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.
则Δ＝ (8km)2－4(1＋4k2)(4m2－4)＝16(1＋4k2－m2)＞0，x1＋x2＝－
8km
1＋4k2
，x1x2＝
4m2－4
1＋4k2
，
则 y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝m2－4k2
1＋4k2
，
由 OA⊥OB得 kOA·kOB＝－1，即
y1
x1
·y2
x2
＝－1，
所以 x1x2＋y1y2＝
5m2－4－4k2
1＋4k2
＝0，即 m2＝
4
5
(1＋k2)，
所以原点 O到直线 AB的距离为
|m|
1＋k2
＝
2 5
5
.
综上，原点 O到直线 AB的距离为定值
2 5
5
.
3．已知椭圆 C：x2
a2
＋
y2
b2
＝1(a＞b＞0)的离心率为
6
3
，以原点 O为圆心，椭圆 C的长半轴
长为半径的圆与直线 2x－ 2y＋6＝0相切．
(1)求椭圆 C的标准方程；
(2)已知点 A，B为动直线 y＝k(x－2)(k≠0)与椭圆 C的两个交点，问：在 x 轴上是否存
在定点 E，使得 EA
―→2＋ EA
―→
· AB
―→
为定值？若存在，试求出点 E的坐标和定值；若不存在，
请说明理由．
解：(1)由 e＝ 6
3
，得
c
a
＝
6
3
，
即 c＝ 6
3
a，①
又以原点 O为圆心，椭圆 C的长半轴长为半径的圆为 x2＋y2＝a2，
且该圆与直线 2x－ 2y＋6＝0相切，
所以 a＝
|6|
22＋－ 22
＝ 6，代入①得 c＝2，
所以 b2＝a2－c2＝2，
所以椭圆 C的标准方程为
x2
6
＋
y2
2
＝1.
(2)由
x2
6
＋
y2
2
＝1，
y＝kx－2，
得(1＋3k2)x2－12k2x＋12k2－6＝0.
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
所以 x1＋x2＝
12k2
1＋3k2
，x1x2＝
12k2－6
1＋3k2
.
根据题意，假设 x轴上存在定点 E(m,0)，
使得 EA
―→2＋ EA
―→
· AB
―→
＝( EA
―→
＋ AB
―→
)· EA
―→
＝ EA
―→
· EB
―→
为定值，
则 EA
―→
· EB
―→
＝(x1－m，y1)·(x2－m，y2)
＝(x1－m)(x2－m)＋y1y2
＝(k2＋1)x1x2－(2k2＋m)(x1＋x2)＋(4k2＋m2)
＝
3m2－12m＋10k2＋m2－6
1＋3k2
，
要使上式为定值，即与 k无关，
只需 3m2－12m＋10＝3(m2－6)，
解得 m＝
7
3
，
此时， EA
―→ 2＋ EA
―→
· AB
―→
＝m2－6＝－
5
9
，
所以在 x轴上存在定点 E
7
3
，0
使得 EA
―→2＋ EA
―→
· AB
―→
为定值，且定值为－
5
9
.
4．已知椭圆 C：x2
a2
＋
y2
b2
＝1(a>b>0)的右焦点为 F(1,0)，且点 P
1，3
2 在椭圆 C上，O为
坐标原点．
(1)求椭圆 C的标准方程；
(2)设过定点 T(0,2)的直线 l与椭圆 C交于不同的两点 A，B，且∠AOB为锐角，求直线
l的斜率 k的取值范围；
(3)过椭圆 C1：
x2
a2
＋
y2
b2－5
3
＝1上异于其顶点的任一点 P，作圆 O：x2＋y2＝4
3
的两条切线，
切点分别为M，N(M，N不在坐标轴上)，若直线MN 在 x轴、y 轴上的截距分别为 m，n，
证明：
1
3m2
＋
1
n2
为定值．
解：(1)由题意得 c＝1，所以 a2＝b2＋1，①
又点 P
1，3
2 在椭圆 C上，所以
1
a2
＋
9
4b2
＝1，②
由①②可解得 a2＝4，b2＝3，
所以椭圆 C的标准方程为
x2
4
＋
y2
3
＝1.
(2)设直线 l的方程为 y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由
y＝kx＋2，
x2
4
＋
y2
3
＝1， 得(4k2＋3)x2＋16kx＋4＝0，
因为Δ＝16(12k2－3)>0，所以 k2>1
4
，
则 x1＋x2＝
－16k
4k2＋3
，x1x2＝
4
4k2＋3
.
因为∠AOB为锐角，
所以 OA
―→
· OB
―→
>0，即 x1x2＋y1y2>0，
所以 x1x2＋(kx1＋2)(kx2＋2)>0，
所以(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4>0，
即(1＋k2)· 4
4k2＋3
＋2k·－16k
4k2＋3
＋4>0，
解得 k2<4
3
.
又 k2>1
4
，所以
1
4
3}，B＝ x|
x-1
x-4
≤0
，则 A∩B＝( )
A．[4，＋∞) B．(4，＋∞)
C．(3,4] D．(3,4)
解析：选 D A＝{x|x>3}，B＝{x|1≤x<4}，则 A∩B＝{x|3－1)，|x0|－1>0”是假命题，则实数 m的取值范围是( )
A．(－1,1) B．(－1,1]
C．[1，＋∞) D．[0,1]
解析：选 B 因为“∃x0∈[－1，m](m>－1)，|x0|－1>0”是假命题，所以“∀x∈[－1，
m](m>－1)，|x|－1≤0”是真命题，所以|m|－1≤0且 m>－1，所以－10，
则函数 y＝f(f(x))－1的零点个数为________．
解析：由题意可知，函数 y＝f(f(x))－1的零点，即为 f(f(x))－1＝0的解，则
2fx＝1，
fx≤0
或
log2fx＝1，
fx>0，
则 f(x)＝0或 f(x)＝2，显然
x>0，
log2x＝0
或
x>0，
log2x＝2，
解得 x＝1或 x＝4，
故所求零点个数为 2.
答案：2
三、解答题(本大题共 6小题，共 70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算
步骤)
17．(本小题满分 10分)已知函数 f(x)＝2sin xcos x＋2 3cos2x－ 3.
(1)求函数 y＝f(x)的最小正周期和单调递减区间；
(2)已知△ABC的三个内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，其中 a＝7，若锐角 A满足
f
A
2
－
π
6 ＝ 3，且 sin B＋sin C＝13 3
14
，求 bc的值．
解：(1)f(x)＝2sin xcos x＋2 3cos2x－ 3
＝sin 2x＋ 3cos 2x
＝2sin
2x＋π
3 ，
因此 f(x)的最小正周期为 T＝2π
2
＝π.
由 2kπ＋π
2
≤2x＋π
3
≤2kπ＋3π
2
(k∈Z)，
得 kπ＋ π
12
≤x≤kπ＋7π
12
(k∈Z)，
所以 f(x)的单调递减区间为
kπ＋ π
12
，kπ＋7π
12 (k∈Z)．
(2)由 f
A
2
－
π
6 ＝2sin 2
A
2
－
π
6 ＋
π
3 ＝2sin A＝ 3，且 A为锐角，所以 A＝π
3
.
由正弦定理可得 2R＝ a
sin A
＝
7
3
2
＝
14
3
，
sin B＋sin C＝b＋c
2R
＝
13 3
14
，
则 b＋c＝13 3
14
×
14
3
＝13，
所以 cos A＝b2＋c2－a2
2bc
＝
b＋c2－2bc－a2
2bc
＝
1
2
，
所以 bc＝40.
18．(本小题满分 12分)已知数列{an}的前 n项和 Sn＝k·3n－m，且 a1＝3，a3＝27.
(1)求证：数列{an}是等比数列；
(2)若 anbn＝log3an＋1，求数列{bn}的前 n项和 Tn.
解：(1)证明：∵Sn＝k·3n－m，
∴S1＝a1＝3k－m＝3，a3＝S3－S2＝18k＝27，
解得 k＝m＝
3
2
，
则当 n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝
3
2
·3n－3
2
·3n－1＝3n.
又 a1＝3，∴∀n∈N*，an＝3n，
则有
an
an－1
＝3为常数，故由等比数列的定义可知，数列{an}是等比数列．
(2)∵anbn＝log3an＋1，∴bn＝
n＋1
3n
，
则 Tn＝
2
3
＋
3
32
＋
4
33
＋…＋
n
3n－1
＋
n＋1
3n
，
∴
1
3
Tn＝
2
32
＋
3
33
＋
4
34
＋…＋
n
3n
＋
n＋1
3n＋1
，
两式相减，得
2
3
Tn＝
2
3
＋
1
32
＋
1
33
＋…＋
1
3n －
n＋1
3n＋1
＝
2
3
＋
1
9
1－ 1
3n－1
1－1
3
－
n＋1
3n＋1
＝
5
6
－
2n＋5
2·3n＋1
，
所以 Tn＝
1
4
5－2n＋5
3n .
19．(本小题满分 12 分)如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PC⊥底面
ABCD，底面 ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2AD＝2CD
＝2，PC＝2，E是 PB上的点．
(1)求证：平面 EAC⊥平面 PBC；
(2)若 E是 PB的中点，求二面角 P-AC-E的余弦值．
解：(1)证明：∵PC⊥底面 ABCD，AC⊂底面 ABCD，
∴AC⊥PC.
∵AB＝2，AD＝CD＝1，∴AC＝BC＝ 2，
∴AC2＋BC2＝AB2，∴AC⊥BC.
又 BC∩PC＝C，∴AC⊥平面 PBC，
∵AC⊂平面 EAC，
∴平面 EAC⊥平面 PBC.
(2)以 C 为原点，以与 AD平行的直线为 x 轴，CD，CP所在直线为 y轴，z轴建立如图
所示的空间直角坐标系，则 C(0,0,0)，A(1,1，0)，B(1，－1,0)，P(0,0,2)，E
1
2
，－
1
2
，1
，
∴ CP
―→
＝(0,0,2)， CA
―→
＝(1,1,0)，
CE
―→
＝
1
2
，－
1
2
，1
.
设平面 PAC的一个法向量为 m＝(x1，y1，z1)，
则
m· CP
―→
＝0，
m· CA
―→
＝0，
即
2z1＝0，
x1＋y1＝0，
令 x1＝1，得 y1＝－1，所以 m＝(1，－1,0)．
设平面 EAC的一个法向量为 n＝(x2，y2，z2)，
则
n· CA
―→
＝0，
n· CE
―→
＝0，
即
x2＋y2＝0，
x2－y2＋2z2＝0，
令 x2＝1，得 y2＝－1，z2＝－1，
∴n＝(1，－1，－1)，
∴cos〈m，n〉＝
2
2· 3
＝
6
3
.
由图知二面角 P-AC-E为锐角，
∴二面角 P-AC-E的余弦值为
6
3
.
20．(本小题满分 12分)已知椭圆 E：x2
a2
＋
y2
b2
＝1(a>b>0)的一个焦点为 F2(1,0)，且该椭圆
过定点M
1， 2
2 .
(1)求椭圆 E的标准方程；
(2)设点 Q(2,0)，过点 F2作直线 l与椭圆 E交于 A，B两点，且F2A
―→
＝λF2B
―→
，λ∈[－2，
－1]，以 QA，QB为邻边作平行四边形 QACB，求对角线 QC长度的最小值．
解：(1)由题意，得
c＝1，
1
a2
＋
1
2b2
＝1，
a2＝b2＋c2，
解得
a＝ 2，
b＝1，
∴椭圆 E的方程为
x2
2
＋y2＝1.
(2)设直线 l：x＝ky＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立
x＝ky＋1，
x2
2
＋y2＝1 消去 x，得(k2＋2)y2＋2ky－1＝0，
则Δ＝4k2＋4(k2＋2)＝8(k2＋1)>0，且 y1＋y2＝
－2k
k2＋2
，y1y2＝
－1
k2＋2
，
∵F2A
―→
＝λF2B
―→
，∴y1＝λy2.
∴
y1＋y22
y1y2
＝
y1
y2
＋
y2
y1
＋2＝－4k2
k2＋2
，
从而λ＋1
λ
＋2＝－4k2
k2＋2
.
由λ∈[－2，－1]，得
λ＋1
λ
＋2
∈
－
1
2
，0
，
从而－
1
2
≤
－4k2
k2＋2
≤0，解得 0≤k2≤2
7
.
∵ QC
―→
＝ QA
―→
＋ QB
―→
＝(x1＋x2－4，y1＋y2)
＝
－4k2＋1
k2＋2
，
－2k
k2＋2
，
∴| QC
―→
|2＝16－ 28
k2＋2
＋
8
k2＋22
.
令 t＝ 1
k2＋2
，
7
16
≤t≤1
2
，
则| QC
―→
|2＝8t2－28t＋16，
∵y＝8t2－28t＋16在
7
16
，
1
2 上是减函数，
∴当 t＝1
2
时，|QC|min＝2.
故对角线 QC长度的最小值为 2.
21．(本小题满分 12分)已知椭圆 C：x2
a2
＋
y2
b2
＝1(a>b>0)的离心率为
2
2
，且以原点为圆心，
椭圆的焦距为直径的圆与直线 xsin θ＋ycos θ－1＝0相切(θ为常数)．
(1)求椭圆 C的标准方程；
(2)如图，若椭圆 C的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F2作直线 l与椭圆
分别交于两点M，N，求F1M
―→
·F1N
―→
的取值范围．
解：(1)由题意知
c
a
＝
2
2
，
1
sin2θ＋cos2θ
＝c，
a2＝b2＋c2，
解得
a＝ 2，
b＝1，
∴椭圆 C的方程为
x2
2
＋y2＝1.
(2)①若直线 l的斜率不存在，即 l⊥x轴，
则M
1， 2
2 ，N
1，－
2
2 ，
∴F1M
―→
＝
2， 2
2 ，F1N
―→
＝
2，－
2
2 ，故F1M
―→
·F1N
―→
＝
7
2
.
②若直线 l的斜率存在，设直线 l的方程为 y＝k(x－1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
联立
y＝kx－1，
x2
2
＋y2＝1 消去 y，整理得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0，
则 x1＋x2＝
4k2
1＋2k2
，x1x2＝
2k2－2
1＋2k2
.
所以F1M
―→
·F1N
―→
＝(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2
＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＋k(x1－1)·k(x2－1)
＝(1＋k2)x1x2＋(1－k2)(x1＋x2)＋1＋k2
＝
2k4－1
2k2＋1
＋
4k2－4k4
2k2＋1
＋1＋k2
＝
7k2－1
2k2＋1
＝
7
2
－
9
2
2k2＋1
.
由 k2≥0，可得F1M
―→
·F1N
―→
∈
－1，7
2 .
综合①②可知，F1M
―→
·F1N
―→
的取值范围为
－1，7
2 .
22．(本小题满分 12分)已知函数 f(x)＝1
2
x2，g(x)＝aln x.
(1)若曲线 y＝f(x)－g(x)在 x＝1处的切线的方程为 6x－2y－5＝0，求实数 a的值；
(2)设 h(x)＝f(x)＋g(x)，若对任意两个不等的正数 x1，x2，都有
hx1－hx2
x1－x2
>2 恒成立，
求实数 a的取值范围；
(3)若在[1，e]上存在一点 x0，使得 f′(x0)＋
1
f′x0
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