四川省雅安市雨城区雅安中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

四川省雅安市雨城区雅安中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

雅安中学高2018级高二上期半期数学试卷 一．选择题 ‎1.准线方程为抛物线的标准方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，由抛物线的准线方程可得其焦点在轴负半轴上，且，由抛物线的标准方程可得答案．‎ ‎【详解】解：根据题意，抛物线的准线方程为， 即其焦点在轴负半轴上，且，得， 故其标准方程为：． 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的几何性质，关键是掌握抛物线的标准方程的四种形式．‎ ‎2.程序框图符号“”可用于（　　）‎ A. 赋值 B. 输出 C. 输入 D. 判断 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用菱形框的功能可得出正确选项.‎ ‎【详解】在程序框图中，菱形框的功能是判断条件是否成立，因此，“”可用于判断.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查程序框图中一些常见图形的功能，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.‎ ‎3.椭圆的左右焦点分别为，，一条直线经过与椭圆交于，两点，则 的周长为（ ）‎ A. B. 6 C. D. 12‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据椭圆定义，得到，进而可求出结果.‎ ‎【详解】由题意，根据椭圆定义，得到，‎ 所以的周长为：.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查椭圆中三角形的周长，熟记椭圆的定义即可，属于基础题型.‎ ‎4.如果方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（ ）.‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据焦点在轴上推出，且，解不等式求得的范围．‎ ‎【详解】由题意方程表示焦点在轴上的椭圆，‎ 可得：，并且，‎ 解得：．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，解题时注意看焦点在轴还是在轴．‎ ‎5.若直线经过第一、二、四象限，则系数、、‎ 满足条件为（　　）‎ A. 、、同号 B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出直线的图象，结合图象得出该直线斜率、在轴上截距和轴上截距的符号，可得出系数、、所满足的条件.‎ ‎【详解】如下图所示：‎ 由于直线经过第一、二、四象限，则斜率，可得，‎ 在轴上的截距，可得，在轴上的截距，可得.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查利用直线的图象得出方程中系数的符号，一般从斜率、在坐标轴上截距的符号来进行分析，考查数形结合思想的应用，属于中等题.‎ ‎6.已知直线在两坐标轴上的截距相等，则实数　　‎ A. 1 B. C. 或1 D. 2或1‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意讨论直线它在两坐标轴上的截距为0和在两坐标轴上的截距不为0时，求出对应的值，即可得到答案．‎ ‎【详解】由题意，当，即时，直线化，‎ 此时直线在两坐标轴上的截距都为0，满足题意；‎ 当，即时，直线化为，‎ 由直线在两坐标轴上的截距相等，可得，解得；‎ 综上所述，实数或．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题主要考查了直线方程的应用，以及直线在坐标轴上的截距的应用，其中解答中熟记直线在坐标轴上的截距定义，合理分类讨论求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.‎ ‎7.已知椭圆的离心率为，则的值为（　　）‎ A. 或 B. C. 或 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对椭圆的焦点位置进行分类讨论，利用离心率公式可求出实数的值.‎ ‎【详解】当椭圆的焦点在轴上时，则，则，，则，‎ 此时，椭圆的离心率为，解得；‎ 当椭圆的焦点在轴上时，则，则，，则，‎ 此时，椭圆的离心率为，解得.‎ 因此，或.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查利用椭圆的离心率求参数，解题时要对椭圆的焦点位置进行分类讨论，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎8.已知中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的一条渐近线方程为 ‎，则该双曲线的离心率是（）‎ A. B. C. 或 D. 或 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分为焦点在轴上和焦点在轴上两种情形，由渐近线的方程得的值，结合可得离心率的值.‎ ‎【详解】依题意，双曲线的焦点在轴上时，设它的方程为；‎ 由渐近线方程为，得，故，即，‎ 焦点在轴上时，设它的方程为，‎ 由渐近线方程为，得，故，即，故选D．‎ ‎【点睛】本题主要考查了双曲线的渐近线以及离心率的概念，掌握是解题的关键，属于中档题.‎ ‎9.已知椭圆()与双曲线()的焦点重合，若双曲线的顶点是椭圆长轴的两个三等分点，曲线，的离心率分别为，，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得，解方程可得，再由离心率公式，化简计算可得所求值．‎ ‎【详解】解：椭圆()与双曲线()的焦点重合， 可得，即，① 若双曲线的顶点是椭圆长轴的两个三等分点，可得，② 由①②可得， 则． 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，考查离心率的计算，以及方程思想和化简运算能力，属于基础题．‎ ‎10.已知为直线上的动点，过点作圆的一条切线，切点为，则面积的最小值是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出图形，根据勾股定理，可知当与直线垂直时，取得最小值，此时取得最小值，则取得最小值，利用点到直线的距离公式计算出的最小值，可得出的最小值，由此可计算出面积的最小值.‎ ‎【详解】如下图所示，过点引圆的切线，切点为点，，且，‎ 由勾股定理得.‎ 点是直线上的动点，当时，此时取得最小值，则取得最小值，则圆心到直线的距离为.‎ 则的最小值为，所以的面积等于，‎ 因此，面积的最小值为．‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查直线与圆相切时三角形面积最值的求解，解题时要充分利用数形结合思想，抓住一些关键位置进行分析，考查数形结合思想的应用，属于中等题.‎ ‎11.已知圆与直线相切，直线始终平分圆的面积，则圆方程为（　　）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算出直线所过定点的坐标，由题意得出定点是圆的圆心，然后利用点到直线的距离公式计算出圆的半径长，即可得出圆的方程.‎ ‎【详解】在直线的方程中，令，则，则直线过定点 ‎.‎ 由于直线始终平分圆的面积，则点是圆的圆心，‎ 又圆与直线相切，则圆的半径.‎ 因此，圆的方程为，即.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查圆的方程的求解，同时也考查了直线过定点问题，求出圆的圆心坐标为解题的关键，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎12.已知椭圆的焦点为，，过的直线与交于，两点.若，，则的方程为（ ）.‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据椭圆的定义以及余弦定理列方程可解得，，即得椭圆的方程．‎ 详解】，，‎ 又，，‎ 又，，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ ‎，在轴上．‎ 在△中，，‎ 在△中，由余弦定理可得．‎ ‎，可得，解得．‎ ‎．‎ 椭圆的方程为：．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆的性质，椭圆对称性的应用，考查转化思想以及计算能力，属中档题．‎ 二．填空题 ‎13.直线与轴交点的横坐标是_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在直线的方程中令，求出的值，可得出该直线与轴的交点的横坐标.‎ ‎【详解】在直线的方程中，令，解得，‎ 因此，直线与轴交点的横坐标是.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查直线交点坐标的计算，一般联立直线方程组，求出公共解即可，考查计算能力，属于基础题. ‎ ‎14.下面程序的运行结果是_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据程序语句列出循环的每一步，可得出输出结果.‎ ‎【详解】根据程序语句，成立，执行第一次循环，，；‎ 成立，执行第二次循环，，；‎ 成立，执行第三次循环，，；‎ 不成立，跳出循环体，输出的值为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用程序语句写出输出结果，一般要结合程序语句列举出循环每一步，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.‎ ‎15.某曲线的方程为，若直线与该曲线有公共点，则实数的取值范围是_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意得知曲线为线段（其中、），注意到直线是过定点且斜率为的直线，利用数形结合思想观察当直线与线段有公共点时，直线的倾斜角的变化，即可求出实数的取值范围.‎ ‎【详解】，可知该曲线上的点到点、‎ 的距离之和为，该曲线即为线段，‎ 又直线是过定点P且斜率为的直线，‎ 如下图所示：‎ 直线的斜率为，直线的斜率为.‎ 故当直线与线段有交点时，实数的取值范围是.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用直线与线段由公共点求斜率的取值范围，同时也考查了轨迹方程的求解，利用数形结合思想得出直线斜率的取值范围是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎16.已知直线经过抛物线的焦点，与抛物线交于、，且，点是弧（为原点）上一动点，以为圆心的圆与直线相切，当圆的面积最大时，圆的标准方程为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出图形，利用两点间的斜率公式得出直线的斜率，可得出直线的方程，再利用当点到直线的距离最大时，圆的面积最大，由此求出点的坐标，并计算出点到直线的距离，作为圆的半径，由此可得出圆的标准方程.‎ ‎【详解】抛物线的标准方程为，抛物线的焦点坐标为，‎ 直线的斜率，‎ 所以，直线的方程为，即.‎ 当点到直线的距离最大时，圆的面积最大，如下图所示：‎ 设点，点在直线的下方，则，‎ 点到直线的距离为，当时，取最大值，‎ 此时，点的坐标为，因此，圆的标准方程为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，同时也考查了抛物线上一点到直线距离的最值问题，解题的关键在于将问题转化为二次函数的最值问题，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ 三．解答题 ‎17.已知的三个顶点是 ‎(1)求边上的高所在直线的方程；‎ ‎（2）求边上的中线所在直线的方程.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】（1）作直线，垂足为点 由直线的点斜式方程可知直线的方程为：‎ 化简得：‎ ‎（2）如图，取中点，连接 由中点坐标公式得，即点 由直线的两点式方程可知直线的方程为：‎ 化简得：‎ ‎18.已知双曲线的离心率等于，且与椭圆：有公共焦点，‎ ‎（1）求双曲线的方程；‎ ‎（2）若抛物线的焦点到准线的距离等于椭圆的焦距，求该抛物线方程.‎ ‎【答案】（1）（2）或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由椭圆的方程可得的值及焦点的位置，结合离心率的值可得的值，最后得 ‎，进而可得双曲线的方程；（2）由椭圆的焦距可得的值，进而可得抛物线的方程.‎ ‎【详解】解：（1）由椭圆：得，焦点在轴上，‎ ‎，∴，所以双曲线方程为.‎ ‎（2）∵椭圆：的焦距为，∴，‎ 抛物线方程为，‎ ‎【点睛】本题主要考查了由求双曲线的方程以及抛物线方程的求法，属于基础题.‎ ‎19.已知圆经过点.‎ ‎（1）若直线与圆相切，求的值；‎ ‎（2）若圆与圆无公共点，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1) 或. (2) ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ 由题意可得圆的方程为。（1）由圆心到直线的距离等于半径可得，解得或，即为所求。（2）由圆与圆无公共点可得两圆内含或外离，根据圆心距和两半径的关系得到不等式即可得到所求范围。‎ 试题解析：‎ 将点的坐标代入，‎ 可得，‎ 所以圆的方程为，即，‎ 故圆心为，半径.‎ ‎（1）因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于圆的半径，‎ 即，‎ 整理得，‎ 解得或.‎ ‎（2）圆的圆心为，则,‎ 由题意可得圆与圆内含或外离，‎ 所以或，‎ 解得或.‎ 所以的取值范围为.‎ ‎20.已知椭圆的长轴长为，且短轴长是长轴长的一半．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）经过点作直线，交椭圆于、两点．如果恰好是线段的中点，求直线的方程．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意求出、，即可得出椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设点、，由点为线段的中点，可得出，然后利用点差法可求出直线的斜率，利用点斜式方程可得出直线的方程.‎ ‎【详解】（1）根据题意，椭圆的长轴长为，且短轴长是长轴长的一半．‎ 即，则，，则，因此，椭圆的方程为；‎ ‎（2）由（1）得椭圆的方程为，设点、，‎ 由于点为线段的中点，则，得.‎ 由于点、在椭圆上，则，两个等式相减得，‎ 即，即，‎ 所以，直线的斜率为.‎ 因此，直线的方程为，即.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了利用点差法处理中点弦问题，在涉及中点弦的问题时，也可以利用韦达定理来求解，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎21.设抛物线的焦点为，直线与抛物线交于不同的两点、，线段中点的横坐标为，且．‎ ‎（Ⅰ）求抛物线的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线（斜率存在）经过焦点，求直线的方程．‎ ‎【答案】（I）；（II）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）设点、，由题意得出，再利用抛物线的定义可求出的值，由此可得出抛物线的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线的方程为，将该直线的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理求出的值，即可得出直线的方程.‎ ‎【详解】（I）设点、，则线段中点横坐标为，‎ ‎，又，解得.‎ 因此，抛物线的标准方程为；‎ ‎（II）由（I）知，抛物线的焦点为，‎ 故可设直线的方程为，，联立方程组，消去，‎ 得，，解得，‎ 因此，直线的方程为．‎ ‎【点睛】本题考查利用抛物线的定义求抛物线方程，同时也考查了直线与抛物线综合问题的求解，一般将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理设而不求法进行求解，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎22.椭圆C:(a>b>0)的左、右焦点分别为，离心率为，过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）已知点M（0，-1），直线l经过点N（2，1）且与椭圆C相交于A,B两点（异于点M），记直线MA的斜率为，直线MB的斜率为，证明 为定值，并求出该定值.‎ ‎【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)见证明 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)根据已知得到关于a,b,c的方程组，解方程组即得椭圆的标准方程；(Ⅱ)先考虑直线l的斜率不存在的情况，再考虑斜率存在的情况，直线l的方程与椭圆的标准方程联立得到韦达定理，再求出，化简即得其为定值.‎ ‎【详解】（Ⅰ）将代入中，由可得，‎ 所以弦长为， ‎ 故有，解得，‎ 所以椭圆的方程为：． ‎ ‎（Ⅱ）若直线l的斜率不存在，即直线的方程为x=2，与椭圆只有一个交点，不符合题意。‎ 设直线l的斜率为k，若k=0，直线l与椭圆只有一个交点，不符合题意，故k≠0.‎ 所以直线l的方程为，即， 直线l的方程与椭圆的标准方程联立得：‎ 消去y得:,‎ 设，则，‎ ‎,‎ 把代入上式，得 ‎，命题得证.‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆中的定值问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎ ‎