山西省实验中学2020届高三上学期月考数学（理）试题

山西省实验中学2020届高三上学期月考数学（理）试题

山西省实验中学2019-2020学年第二次月考高三理科 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.已知，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出，再求的值得解.‎ ‎【详解】由题得，‎ 所以，‎ 所以.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查同角的三角函数关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎2.函数在上的最大值和最小值分别是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求导分析出函数的单调性，进而求出函数的极值和两端点的函数值，可得函数在区间 ‎，上的最大值和最小值．‎ ‎【详解】函数，‎ ‎，‎ 当，或，时，，函数为增函数；‎ 当时，，函数为减函数；‎ 由，，，（2），‎ 故函数在区间，上的最大值和最小值分别为50，，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题主要考查的知识点是利用导数求闭区间上的函数的最值，是基础题.‎ ‎3.在中，为边上的中线，点满足，则 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用平面向量的加法和减法法则求解.‎ ‎【详解】由题得 ‎=.‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查平面向量的加法和减法法则，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎4.曲线在处的切线与两坐标轴成的三角形的面积为4，则a的值为( )‎ A. B. 2 C. 4 D. 8‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出曲线在处的切线方程，然后得到切线与两坐标轴的交点坐标，最后可求得围成的三角形的面积．‎ ‎【详解】由，得，‎ ‎∴，‎ 又，‎ ‎∴曲线在处的切线方程为，‎ 令得；令得．‎ ‎∴切线与坐标轴围成三角形面积为，‎ 解得．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查导数的几何意义及直线与坐标轴的交点坐标，考查计算能力，属于基础题．‎ ‎5.记，那么（ ）‎ A. B. ‎ C. D. -‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：，所以 ‎，故选A.‎ 考点：弦切互化.‎ ‎6.由曲线与直线所围成的封闭图形的面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出图形，得到被积函数与被积区间，然后利用定积分计算出封闭图形的面积.‎ ‎【详解】略在直角坐标系内，画出曲线和直线围成的封闭图形，如图所示，‎ 由解得两个交点坐标为和，‎ 利用微积分的几何含义可得封闭图形的面积为：，故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查利用定积分计算出函数图象所围成的封闭区域的面积，解题的关键就是要弄清楚被积函数与被积区间，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎7.若函数的导函数的图像关于原点对称，则函数的解析式可能是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析】‎ 求出导函数，导函数为奇函数的符合题意．‎ ‎【详解】A中为奇函数，B中 非奇非偶函数，C中 为偶函数，D中+1非奇非偶函数．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题考查导数的运算，考查函数的奇偶性．解题关键是掌握奇函数的图象关于原点对称这个性质．‎ ‎8.若，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出的值，再求的值得解.‎ ‎【详解】由题得，‎ 所以，‎ 所以.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查二倍角的余弦公式和诱导公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎9.已知函数最小正周期为，则函数的图象（ ）‎ A. 关于直线对称 B. 关于直线对称 C. 关于点对称 D. 关于点对称 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析：先化简函数f(x)=,再根据周期求出w，再讨论每一个选项的真假.‎ 详解：由题得f(x)=，因为 对于选项A,把代入函数得，所以选项A是错误的；‎ 对于选项B, 把代入函数得，所以选项B是错误的；‎ 对于选项C,令无论k取何整数，x都取不到,所以选项C是错误的.‎ 对于选项D, 令当k=1时，，所以函数的图像关于点对称.‎ 故答案为：D.‎ 点睛：（1）本题主要考查三角恒等变换和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)对于三角函数图像和性质的判断，要灵活，不要死记硬背.‎ ‎10.已知曲线在处的切线方程是，则与分别为　　‎ A. 5， B. ，5 C. ，0 D. 0，‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导数的几何意义得到f'（5）等于直线的斜率﹣1，由切点横坐标为5，‎ 得到纵坐标即f（5）．‎ ‎【详解】由题意得f（5）=﹣5+5=0，f′（5）=﹣1．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基础题．‎ ‎11.函数在上单调递增，则的范围是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简函数的解析式，再利用正弦函数的图像和性质分析得到的不等式组，解之即得解.‎ ‎【详解】由题得，‎ 所以函数的最小正周期为,‎ 因为函数在上单调递增，‎ 所以，又w＞0，‎ 所以 故选：B ‎【点睛】本题主要考查三角恒等变换和正弦函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎12.若是函数图象上的动点，点，则直线斜率的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ 由题意可得： ，结合函数的定义域可知，函数在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，且 ，‎ 绘制函数图象如图所示，当直线与函数图象相切时直线的斜率取得最小值，‎ 设切点坐标为 ，该点的斜率为 ，‎ 切线方程为：，‎ 切线过点 ，则： ，‎ 解得： ，切线的斜率 ，‎ 综上可得：则直线斜率的取值范围为 .‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分 ‎13.函数的振幅是________。‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简函数，再求函数的振幅得解.‎ ‎【详解】由题得 ‎=‎ 所以函数的振幅是2.‎ 故答案为：2‎ ‎【点睛】本题主要考查和角差角的正余弦，考查三角函数的振幅，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎14.已知非零向量满足，设与的夹角为，则_______。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由得，化简即得解.‎ ‎【详解】由得，‎ 所以，‎ 所以 所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查向量垂直的数量积表示，考查数量积的运算法则，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.‎ ‎15.若存在正数使成立，则的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 若存在正数使成立，则.‎ 令.易知函数单调递增，所以 所以有.‎ ‎16.已知函数，非零实数是函数的两个零点，且，则___________。‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由已知得，再化简代入得解.‎ ‎【详解】由题得.‎ 所以 由题得=0‎ 故答案为：0‎ ‎【点睛】本题主要考查零点的定义和同角的三角函数的关系，考查三角恒等变换，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎17.已知函数，，且.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，，求.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将代入函数的解析式求出的值；‎ ‎（2）先利用已知条件，结合两角和与差的正弦公式求出的某个三角函数值，然后将代入函数的解析式，并结合诱导公式对进行化简，最后利用同角三角函数的基本关系求出的值.‎ ‎【详解】（1），‎ 所以，；‎ ‎（2），‎ ‎，‎ ‎，，，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查诱导公式、同角三角函数的基本关系以及两角和的三角函数，综合考查三角函数的求值问题，属于中等题.‎ ‎18.已知向量，对任意，都有成立。‎ ‎（Ⅰ）求的最小值；‎ ‎（Ⅱ）求正整数，使 ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ） ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）设，，由，可得、都是公差为1的等差数列，求出 ‎，即可求的最小值；（Ⅱ）等价于，可得，即可求出正整数，．‎ ‎【详解】（Ⅰ）设，，由得 ‎、都是公差为1的等差数列，‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 的最小值为.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可设，‎ 由已知得：‎ ‎，‎ 或或或 因为，‎ 所以或.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查数列与向量的综合，考查等差数列的通项，考查向量的数量积公式，属于中档题．‎ ‎19.已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求曲线在点处的切线的纵截距；‎ ‎（Ⅱ）求函数在区间上的值域。‎ ‎【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）先对函数求导，再求切线的斜率，即得切线的纵截距；（Ⅱ）先通过二次求导得到函数在区间的单调性，再求其值域得解.‎ ‎【详解】（Ⅰ）由题得，‎ 所以切线的斜率，，‎ 所以切线的方程为，‎ 令x=0，得 所以切线纵截距.‎ ‎（Ⅱ）令，‎ 所以，‎ 所以函数g(x)在上单调递减，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以函数f(x)在在上单调递减，‎ 所以，‎ 所以函数在区间上的值域为.‎ ‎【点睛】本题主要考查对函数求导和导数的几何意义，考查利用导数求函数的最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎20.已知函数在上单调递减，且满足.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）将的图象向左平移个单位后得到的图象，求的解析式.‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）利用辅助角公式把原函数化为，再利用对称轴为得到或，最后根据在上为减函数舎去.（2）利用左加右减求解的解析式.‎ 解析：（1）.‎ ‎，则图象关于对称，在时，，，而，或，‎ 在时，在上单减，符合题意.‎ 可取.‎ 在时，在上单增，不合题意，舍去.‎ 因此，.‎ ‎（2）由（1）可知，将向左平移个单位得到，.‎ ‎21.设函数，是的导函数.‎ ‎（Ⅰ）当时，解方程；‎ ‎（Ⅱ）求函数的最小值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)先化简得到，再写出方程的解；（Ⅱ）先分析出函数的最小正周期，再求导得，再比较极值点和端点函数值的大小得解.‎ ‎【详解】（Ⅰ）由题得，‎ 所以 所以 所以 所以，‎ 所以 又因为，‎ 所以.‎ ‎（Ⅱ）由题得，‎ 所以函数的最小正周期为所以只需考虑的情况.‎ 由题得 令.‎ 因为,‎ 所以 ‎【点睛】本题主要考查三角恒等变换和导数求函数的最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎22.在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数）.‎ ‎（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程以及直线的普通方程；‎ ‎（Ⅱ）若为曲线上的动点，求点到直线的距离的最大值.‎ ‎【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）先利用极坐标公式求出曲线C的直角坐标方程，再把直线l的参数方程化成普通方程；（Ⅱ）设点P,再求出距离的表达式求出其最大值.‎ ‎【详解】（Ⅰ）由题得，‎ 所以曲线C的直角坐标方程为 消去直线的参数方程中的t得，‎ 所以直线l的普通方程为.‎ ‎（Ⅱ）设点P,‎ 所以点P到直线l的距离为，‎ 所以 所以 所以时，.‎ 所以点到直线的距离的最大值为.‎ ‎【点睛】本题主要考查极坐标方程、参数方程和直角坐标方程的互化，考查圆锥曲线参数方程的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.‎ ‎23.已知、、均为正实数.‎ ‎（Ⅰ）若，求证：‎ ‎（Ⅱ）若，求证：‎ ‎【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)证明见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）先证明，再证明，从而可得结果；（Ⅱ）由，，∴， ∴‎ ‎.‎ 试题解析：（Ⅰ）∵，三式相加可得 ‎ ‎∴,‎ ‎.‎ 又均为正整数，∴成立． ‎ ‎（Ⅱ）：，，∴， ‎ ‎∴‎ 当且仅当，即时，“=”成立.‎ ‎ ‎ ‎ ‎