宁夏石嘴山市第三中学2020届高三上学期期末考试数学（文）试题

宁夏石嘴山市第三中学2020届高三上学期期末考试数学（文）试题

石嘴山三中2019-2020学年第一学期高三年级期末考试 数学（文科）试卷 一、选择题 ‎1.设集合，则下列关系式正确的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，可先化简集合，再研究四个选项，由元素与集合的关系的判断出正确选项．‎ ‎【详解】解：由 解得 所以，‎ 考察四个选项，中是正确的，错误，中符号是集合之间关系符号，格式不对，选项 显然不成立 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查元素与集合关系的判断，解题的关键是化简集合及理解元素与集合关系的判断方法，要注意元素与集合关系的表示符号，．‎ ‎2.已知a为实数，若复数为纯虚数，则复数虚部为（ ）‎ A. 3 B. 6 C. D. 6‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数为纯虚数，列方程求出的值，进而可得复数的虚部.‎ ‎【详解】解：由已知，解得，故，其虚部为，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查复数的概念，注意纯虚数为实部为0，虚部不为0，是基础题.‎ ‎3.已知平面与两条不重合的直线，则“，且”是“”的( )‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 若，则必有，但时，直线与平面可以平行，可以相交，可以在平面内，不一定垂直，因此“”是“”的充分不必要条件，故选A．‎ ‎4.数列是等差数列，，，则（ ）‎ A. 16 B. ‎-16 ‎C. 32 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依据条件求出公差，由通项公式即可求出．‎ ‎【详解】因为，所以，‎ 又因为，所以，‎ 可得，故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查等差数列通项公式的应用．‎ ‎5.如图，在边长为的正方形内有不规则图形，由电脑随机从正方形中抽取个点，若落在图形内和图形外的点分别为，则图形面积的估计值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据几何概型的概率公式进行估计即可得到结论．‎ ‎【详解】解：设图形 的面积为S，‎ ‎∵由电脑随机从正方形中抽取个点，落在图形内和图形外的点分别为 ,∴ ‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查几何概型的应用，利用面积比之间的关系是解决本题的关键，比较基础．‎ ‎6.函数的图象可能是（　　）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 判断的奇偶性，以及在上的函数值的符号，结合选项得出答案．‎ ‎【详解】解：∵的定义域为，关于原点对称，‎ 又∵，即函数奇函数，‎ ‎∴的图象关于原点对称，排除A、D，‎ 当时，，，∴，排除B，‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查了函数图象的判断，一般从奇偶性，单调性，特殊点等方面判断，属于中档题．‎ ‎7.已知双曲线（a＞0）的离心率是 则a=‎ A. B. ‎4 ‎C. 2 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题根据根据双曲线的离心率的定义，列关于a的方程求解.‎ ‎【详解】 ∵双曲线的离心率 ， ，‎ ‎∴ ，‎ 解得 ，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的定义，双曲线中a,b,c的关系，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎8.如图，正三棱柱的各棱长包括底面边长都是2，E，F分别是AB，的中点，则EF与侧棱所成的角的余弦值是　　‎ A. B. C. D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点F，取AC的中点G，连接FG，EG，∠EFG为EF与侧棱C‎1C所成的角，在直角三角形EFG中求出此角即可．‎ ‎【详解】解：取AC的中点G，连接FG，EG 根据题意可知FG∥C‎1C，FG＝C‎1C；‎ 而EG∥BC，EGBC；‎ ‎∴∠EFG为EF与侧棱C‎1C所成的角，‎ 在Rt△EFG，cos∠EFG 故选B．‎ ‎【点睛】本题主要考查了异面直线及其所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．‎ ‎9.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的的值是（ ）‎ A. B. C. 1 D. 3‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三视图还原出原几何体是四棱锥，由棱锥体积公式计算．‎ ‎【详解】由三视图知原四棱锥，底面是直角梯形，一条侧棱PC与底面垂直，尺寸见三视图，‎ ‎，解得．‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查三视图，考查棱锥的体积，解题关键是由三视图还原出原几何体．‎ ‎10.已知，，，则（ ）‎ A B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题采用中间值比较法，对三个数进行比较大小，利用指数函数和对数函数的单调性，指数式和1进行比较，对数式和零进行比较，最后得出答案.‎ ‎【详解】，，，所以本题选B.‎ ‎【点睛】本题综合考查了对数式、指数式的比较大小.解决本题的关键是掌握指数函数、对数函数的单调性以及一些特殊点的特征.本题采用了中间值的比较方法.‎ ‎11.已知椭圆的右焦点为．短轴的一个端点为，直线交椭圆于两点．若，点到直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：设是椭圆左焦点，由于直线过原点，因此 两点关于原点对称，从而是平行四边形，所以，即，，设，则，所以，，即，又，所以，．故选A．‎ 考点：椭圆的几何性质．‎ ‎【名师点睛】本题考查椭圆离心率的范围，因此要求得关系或范围，解题的关键是利用对称性得出就是，从而得，于是只有由点到直线的距离得出的范围，就得出的取值范围，从而得出结论．在涉及到椭圆上的点到焦点的距离时，需要联想到椭圆的定义．‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎12.圆心在曲线上，与直线x+y+1=0相切，且面积最小的圆的方程为（　　）‎ A. x2+（y-1）2=2 B. x2+（y+1）2=‎2 ‎C. （x-1）2+y2=2 D. （x+1）2+y2=2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设与直线x+y+1＝0平行与曲线相切的直线方程为x+y+m＝0，切点为P（x0，y0），x0＞﹣1，解得x0,可得切点P即圆心，利用点到直线的距离公式可得半径r,求解即可．‎ ‎【详解】设与直线x+y+1＝0平行与曲线相切的直线方程为x+y+m＝0，‎ 切点为P（x0，y0）．x0＞0．‎ y′＝﹣，∴﹣＝﹣1，x0＞﹣1，解得x0＝0．可得切点P（0，1）,‎ 两条平行线之间的距离为面积最小的圆的半径；∴半径r＝＝ ．‎ ‎∴圆心在曲线上，且与直线x+y+1＝0相切的面积最小的圆的方程为：x2+（y﹣1）2＝2．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题考查导数的几何意义、切线方程的求法，考查圆的方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ 二、填空题 ‎13.已知向量，，则___________________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由向量数量积的坐标运算计算．‎ ‎【详解】由题意．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查向量夹角的坐标运算，由坐标运算的公式计算即可．‎ ‎14.已知，满足约束条件，则的最小值是_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出不等式组对应的平面区域，利用的几何意义，即可得到结论．‎ ‎【详解】解：作出，满足约束条件的对应的平面区域如图：‎ 由得，‎ 平移直线，‎ 由图象可知当直线经过点时，直线的纵截距最小，‎ 此时最小，由解得，‎ 此时，‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合，结合目标函数的几何意义是解决此类问题的基本方法．‎ ‎15. 商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，及根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b（b＞a）以及常数x（0＜x＜1）确定实际销售价格c=a+x（b﹣a），这里，x被称为乐观系数．‎ 经验表明，最佳乐观系数x恰好使得（c﹣a）是（b﹣c）和（b﹣a）的等比中项，据此可得，最佳乐观系数x的值等于 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：根据题设条件，由（c﹣a）是（b﹣c）和（b﹣a）的等比中项，知[x（b﹣a）]2=（b﹣a）2﹣x（b﹣a）2，由此能求出最佳乐观系数x的值．‎ 解：∵c﹣a=x（b﹣a），b﹣c=（b﹣a）﹣x（b﹣a），‎ ‎（c﹣a）是（b﹣c）和（b﹣a）的等比中项，‎ ‎∴[x（b﹣a）]2=（b﹣a）2﹣x（b﹣a）2，‎ ‎∴x2+x﹣1=0，‎ 解得，‎ ‎∵0＜x＜1，‎ ‎∴．‎ 故答案为．‎ 点评：本题考查等比数列的性质和应用，解题时要注意等比中项的计算．‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎16.已知函数，给出下列四个结论：①函数的最小正周期是；②函数在区间上是减函数；③函数的图像关于点对称；④函数的图像可由函数的图像向左平移个单位得到；其中正确结论是_________________.‎ ‎【答案】①③‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把函数化为一个角的一个三角函数形式，然后结合正弦函数性质判断．‎ ‎【详解】由题意．‎ ‎，①正确；‎ 当时，，在此区间上不单调，②错误；‎ ‎，是对称中心，③正确；‎ 函数的图像向左平移个单位得到图象解析式是，④错，‎ 所以正确的有①③．‎ 故答案为：①③．‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，解题时一般是把函数化为一个角的一个三角函数形式，即形式，然后结合正弦函数性质求解．‎ 三、解答题 ‎17.如图，在直三棱柱ABC－A1B‎1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC．‎ 求证：（1）A1B1∥平面DEC1；‎ ‎（2）BE⊥C1E．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由题意结合几何体的空间结构特征和线面平行的判定定理即可证得题中的结论；‎ ‎(2)由题意首先证得线面垂直，然后结合线面垂直证明线线垂直即可.‎ ‎【详解】（1）因为D，E分别为BC，AC的中点，‎ 所以ED∥AB.‎ 在直三棱柱ABC-A1B‎1C1中，AB∥A1B1，‎ 所以A1B1∥ED.‎ 又因为ED⊂平面DEC1，A1B1平面DEC1，‎ 所以A1B1∥平面DEC1.‎ ‎（2）因为AB=BC，E为AC的中点，所以BE⊥AC.‎ 因为三棱柱ABC-A1B‎1C1是直棱柱，所以CC1⊥平面ABC.‎ 又因为BE⊂平面ABC，所以CC1⊥BE.‎ 因为C‎1C⊂平面A1ACC1，AC⊂平面A1ACC1，C‎1C∩AC=C，‎ 所以BE⊥平面A1ACC1.‎ 因为C1E⊂平面A1ACC1，所以BE⊥C1E.‎ ‎【点睛】本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.‎ ‎18.本市摄影协会准备在2019年10月举办主题为“庆祖国70华诞——我们都是追梦人”摄影图片展.通过平常人的镜头记录国强民富的幸福生活，向祖国母亲的生日献礼.摄影协会收到了来自社会各界的大量作品，打算从众多照片中选取100张照片展出，其参赛者年龄集中在之间，根据统计结果，做出频率分布直方图如图：‎ ‎（1）根据频率分布直方图，求这100位摄影者年龄的样本平均数和中位数（同一组数据用该区间的中点值作代表）；‎ ‎（2）为了展示不同年龄作者眼中的祖国形象，摄影协会按照分层抽样的方法，计划从这100件照片中评出20个最佳作品，并邀请作者参加“讲述照片背后的故事”座谈会.‎ ‎①在答题卡上的统计表中填出每组应抽取的人数；‎ 年龄 人数 ‎②若从较年轻的前三组作者中选出2人把这些图片和故事整理成册，求这2人至少有一人的年龄在的概率.‎ ‎【答案】（1）平均数60，中位数（2）①详见解析；②.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用每组中点值作为代表，分别乘以频率然后相加，求得样本的平均数.根据面积之和为列方程，解方程求得的值.（2）根据比例求得分层抽样每组应抽取的人数.利用列举法和古典概型概率计算公式，计算出所求的概率.‎ ‎【详解】解：（1）在频率分布直方图中，这100位参赛者年龄的样本平均数 ‎.‎ 设中位数为，由，解得（或答55.57）.‎ ‎（2）每组应各抽取人数如下表：‎ 年龄 抽取人数 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎7‎ ‎4‎ ‎3‎ 根据分层抽样的原理，年龄在前三组内分别有1人、2人、3人，设在第一组的是，在第二组的是，，在第三组的是，，，列举选出2人的所有可能如下：‎ ‎，，，，，，，，，，，，，，.共15种情况.‎ 设“这2人至少有一人的年龄在区间”为事件，所有可能如下：‎ ‎，， ，，，，，，共9种情况.‎ 则.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查频率分布直方图估计平均数和中位数，考查分层抽样，考查列举法求古典概型，属于基础题.‎ ‎19.在四边形中，，，，.‎ ‎(1) 求及的长；‎ ‎(2) 求的长.‎ ‎【答案】(1) ，；(2) 3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）用余弦定理求，再求；‎ ‎（2）先求出和，再用正弦定理可求得．‎ ‎【详解】（1）中，由余弦定理可得：，‎ 解得，‎ ‎；‎ ‎（2）设，‎ 由（1）可得：，‎ ‎，‎ 在中，由正弦定理可得：，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查余弦定理，正弦定理，考查两角和与差的正弦公式，诱导公式，二倍角公式等．本题属于中档题．解三角形注意公式运用：‎ ‎①利用正弦定理可解决两类三角形问题：一是已知两角和一角的对边，求其他边或角；二是已知两边和一边的对角，求其他边或角；‎ ‎②利用余弦定理可解决两类三角形问题：一是已知两边和它们的夹角，求其他边或角；二是已知三边求角．由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的．‎ ‎20.已知函数的图像在点处的切线方程为.‎ ‎（1）求的表达式；‎ ‎（2）当时，恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据题干和导数的几何意义得到，解得，，解得，从而得到解析式；（2）原式等价于，令，对函数求导得到函数的单调性，进而得到最值.‎ ‎【详解】（1），，解得，‎ ‎，解得，‎ 所以.‎ ‎（2）当时，，‎ 即.‎ 令，‎ 则 .‎ 令，，‎ 当时，单调递增，，‎ 则当时，即，所以单调递减；‎ 当时，即，所以单调递增，‎ 综上，，所以.‎ ‎【点睛】对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数．‎ ‎21.已知是抛物线上的一点，以点和点为直径两端点的圆交直线于两点，直线与平行，且直线交抛物线于两点.‎ ‎（1）求线段的长；‎ ‎（2）若，且直线与圆相交所得弦长与相等，求直线的方程.‎ ‎【答案】（1）2；（2）直线的方程为或.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）写出圆的方程，代入x=1，建立关于M,N点纵坐标的韦达定理，，可求解．（2）设，由，得 ‎，则，设直线消x，可解．‎ 试题解析：（Ⅰ）设，圆方程为，‎ 令，得，∴，，‎ ‎．‎ ‎（Ⅱ）设直线的方程为，，，则 由消去，得，‎ ‎，，‎ ‎∵，∴，则，‎ ‎∴，解得或，‎ 当或时，当到直线的距离，‎ ‎∵圆心到直线的距离等于直线的距离，∴，‎ 又，消去得，求得，‎ 此时，，直线的方程为，‎ 综上，直线的方程为或．‎ ‎22.在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，‎ ‎（l）设为参数，若，求直线的参数方程；‎ ‎（2）已知直线与曲线交于，设，且，求实数的值.‎ ‎【答案】（1）（为参数）；（2）1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由直线的极坐标方程为，求得，进而由，代入上式得，得到直线的参数方程；‎ ‎（2）根据极坐标与直角坐标的互化，求得，将直线的参数方程与的直角坐标方程联立，利用根据与系数的关系，列出方程，即可求解.‎ ‎【详解】（1）直线的极坐标方程为即，‎ 因为为参数，若，代入上式得，‎ 所以直线的参数方程为（为参数）‎ ‎（2）由，得，‎ 由，代入，得 ‎ 将直线的参数方程与的直角坐标方程联立，‎ 得.（*）‎ 则且，，‎ 设点，分别对应参数，恰为上述方程的根.‎ 则，，，‎ 由题设得.‎ 则有，得或.‎ 因为，所以 ‎【点睛】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程，以及普通方程与参数方程的互化，以及直线参数方程的应用，其中解答中熟记互化公式，合理应用直线的参数方程中参数的几何意义是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.‎ ‎23.（1）解不等式：；‎ ‎（2）若，，，证明：.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1) 利用绝对值的几何意义，分段解不等式，将所得的结果并起来，得到绝对值不等式的解集；‎ ‎(2)利用反证法结合均值不等式即可证明.‎ ‎【详解】（1）不等式：‎ 或或 或或 解集为.‎ ‎（2）假设：则 ‎，‎ ‎，‎ ‎，故假设与已知矛盾！‎ 故假设不成立，原结论成立.‎ 法1‎ 证明：，‎ 又，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎“=”号成立当且仅当“”‎ 法2‎ 证明：‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎，，，‎ ‎“=”号成立当且仅当“”‎ ‎【点睛】本题考查不等式的解法，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎