高中数学选修2-2教案第三章 1_1
1．1 导数与函数的单调性
明目标、知重点
1．结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系．
2．能利用导数判断函数的单调性．
3．会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．
导数与函数单调性的关系
(1)一般地，在区间(a，b)内
导数
函数的单调性
f′(x)>0
单调递增
f′(x)<0
单调递减
f′(x)＝0
常数函数
(2)若函数f(x)在(a，b)内存在导函数且单调递增(递减)，则对一切x∈(a，b)都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且在(a，b)任一子区间内f′(x)不恒为零．
(3)利用导数讨论函数的单调性或求单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程只能在定义域内进行，即单调区间一定是定义域的子区间．当函数y＝f(x)有多个单调区间时，不能用“∪”或“或”把单调区间连起来，而应用“，”或“和”连起来．
探究点一 函数的单调性与导函数正负的关系
思考1 观察高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10的图像，及运动员的速度v随时间t变化的函数v(t)＝h′(t)＝－9.8t＋6.5的图像，思考运动员从起跳到最高点，从最高点到入水的运动状态有什么区别．
答 (1)从起跳到最高点，h随t的增加而增加，即h(t)是增函数，h′(t)>0；
(2)从最高点到入水，h随t的增加而减小，即h(t)是减函数，h′(t)<0.
思考2 观察下面四个函数的图像，回答函数的单调性与其导函数的正负有何关系？若函数f(x)在区间(a，b)内单调递增，那么f′(x)一定大于零吗？
答 (1)在区间(－∞，＋∞)内，y′＝1>0，y是增函数；
(2)在区间(－∞，0)内，y′＝2x<0，y是减函数；
在区间(0，＋∞)内，y′＝2x>0，y是增函数；
(3)在区间(－∞，＋∞)内，y′＝3x2≥0，y是增函数；
(4)在区间(－∞，0)，(0，＋∞)内，y′＝－<0，y是减函数．
若函数f(x)在区间(a，b)内单调递增，则f′(x)不一定大于零．由图(3)知f′(x)≥0恒成立．
小结 一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：
在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．
思考3 (1)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么如何表示这些区间？试写出思考2中(4)的单调区间．
(2)函数的单调区间与其定义域满足什么关系？
答 (1)不能用“∪”连接，只能用“，”或“和”字隔开．思考2中(4)的单调递减区间为(－∞，0)，(0，＋∞)．
(2)函数的单调性是对函数定义域内的某个子区间而言的，故单调区间是定义域的子集．
例1 已知导函数f′(x)的下列信息：
当1
0；
当x>4，或x<1时，f′(x)<0；
当x＝4，或x＝1时，f′(x)＝0.
试画出函数f(x)图像的大致形状．
解 当10，可知f(x)在此区间内单调递增；
当x>4，或x<1时，f′(x)<0，可知f(x)在这两个区间内单调递减；
当x＝4，或x＝1时，f′(x)＝0，这两点比较特殊，我们称它们为“临界点”．
综上，函数f(x)图像的大致形状如图所示．
反思与感悟 本题具有一定的开放性，图像不唯一，只要能抓住问题的本质，即在相应区间上的单调性符合题意就可以了．
跟踪训练1 函数y＝f(x)的图像如图所示，试画出导函数f′(x)图像的大致形状．
解 f′(x)图像的大致形状如图：
注：图像形状不唯一．
探究点二 求函数的单调区间
例2 求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝2x3＋3x2－36x＋1；
(2)f(x)＝sin x－x(00得x<－3，或x>2，
由f′(x)<0解得－30，即2·>0，
解得－.
又∵x>0，∴x>.
令f′(x)<0，即2·<0，
解得x<－或00，∴00时，函数的单调递增区间是[－，]．
令f′(x)≤0时，得3t－3x2≤0，即t≤x2，
当t≤0时，f′(x)≤0恒成立，
函数的单调递减区间是(－∞，＋∞)；
当t>0时，函数的单调递减区间是(－∞，－]，[，＋∞)．
综上所述，当t≤0时，函数的单调减区间是(－∞，＋∞)，无单调增区间；
当t>0时，函数的单调增区间是[－，]，单调减区间是(－∞，－]，[，＋∞)．
反思与感悟 求函数的单调区间的具体步骤
(1)先确定f(x)的定义域；(2)再求导数f′(x)；(3)后解定义域内满足f′(x)>0的区间为增区间，定义域内满足f′(x)<0的区间为减区间．
跟踪训练2 求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝x2－ln x；(2)f(x)＝x3－x2－x.
解 (1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝2x－＝.
由f′(x)>0得－，
又∵x>0，∴x>，
∴函数f(x)的单调递增区间为；
由f′(x)<0得x<－或00，∴00得x<－或x>1；
由f′(x)<0得－0，∴函数在(0,6)上单调递增．
2．f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，若y＝f′(x)的图像如图所示，则函数y＝f(x)的图像可能是( )
答案 D
解析 由导函数的图像可知，当x<0时，f′(x)>0，即函数f(x)为增函数；当02时，f′(x)>0，即函数f(x)为增函数．观察选项易知D正确．
3．函数f(x)＝ln(x2－x－2)的单调递减区间为________．
答案 (－∞，－1)
解析 f′(x)＝，令f′(x)<0得x<－1或0，得x>2；
令y′<0，得x<2，
所以y＝x2－4x＋a的单调递增区间为(2，＋∞)，
单调递减区间为(－∞，2)．
(2)y′＝3x2－1，令y′>0，得x>或x<－；
令y′<0，得－0和f′(x)<0；
(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间．
一、基础过关
1．命题甲：对任意x∈(a，b)，有f′(x)>0；命题乙：f(x)在(a，b)内是单调递增的．则甲是乙的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 f(x)＝x3在(－1,1)内是单调递增的，但f′(x)＝3x2≥0(－10，∴00)．
故函数在(1，＋∞)上为单调减函数，
在(0,1)上为单调增函数．故选B.
5．函数y＝f(x)在其定义域内可导，其图像如图所示，记y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式f′(x)≤0的解集为__________________．
答案 ∪[2,3)
6．若三次函数f(x)＝ax3＋x在区间(－∞，＋∞)内是增函数，则a的取值范围是________．
答案 (0，＋∞)
解析 f′(x)＝3ax2＋1，∵f(x)在R上为增函数，
∴3ax2＋1≥0在R上恒成立．又a≠0，∴a>0.
7.已知函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图像如图所示，试画出函数y＝f(x)的大致图像．
解 由y＝f′(x)的图像可以得到以下信息：x<－2或x>2时，
f′(x)<0，－20，f′(－2)＝0，f′(2)＝0.
故原函数y＝f(x)的图像大致如图：
二、能力提升
8．已知函数y＝xf′(x)的图像如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图像中y＝f(x)的图像大致是( )
答案 C
解析 当x<－1时，xf′(x)<0，∴f′(x)>0，
∴当x<－1时，函数y＝f(x)单调递增；
当－10，∴f′(x)<0，
∴当－11时，xf′(x)>0，∴f′(x)>0，
∴当x>1时，函数y＝f(x)单调递增．
9．设f(x)，g(x)在[a，b]上可导，且f′(x)>g′(x)，则当ag(x)
B．f(x)g(x)＋f(a)
D．f(x)＋g(b)>g(x)＋f(b)
答案 C
解析 ∵f′(x)－g′(x)>0，∴(f(x)－g(x))′>0，
∴f(x)－g(x)在[a，b]上是单调增函数，
∴当af(a)－g(a)，
∴f(x)＋g(a)>g(x)＋f(a)．
10．若函数f(x)＝x2＋ax＋在(，＋∞)是增函数，则a的取值范围是 ( )
A．[－1,0] B．[－1，＋∞)
C．[0,3] D．[3，＋∞)
答案 D
解析 由题意知f′(x)≥0对任意的x∈恒成立，
又f′(x)＝2x＋a－，
所以2x＋a－≥0对任意的x∈恒成立，
分离参数得a≥－2x，
若满足题意，需a≥max.
令h(x)＝－2x，x∈.
因为h′(x)＝－－2，
所以当x∈时，h′(x)＜0，
即h(x)在上单调递减，
所以h(x)＜h＝3，故a≥3.
11．求下列函数的单调区间：
(1)y＝x－ln x； (2)y＝ln(2x＋3)＋x2.
解 (1)函数的定义域为(0，＋∞)，y′＝1－，
由y′>0，得x>1；由y′<0，得00，即－－时，
函数y＝ln(2x＋3)＋x2单调递增；
当y′<0，即－10，得x<1－或x>1＋；
令f′(x)<0，得1－0时，ln(x＋1)>x－x2.
证明 设f(x)＝ln(x＋1)－(x－x2)＝ln(x＋1)－x＋x2，函数的定义域是(－1，＋∞)．
则f′(x)＝－1＋x＝.
当x∈(－1，＋∞)时，f′(x)>0，
∴f(x)在(－1，＋∞)上是增函数．
∴当x>0时，f(x)>f(0)＝0，
即当x>0时，ln(x＋1)>x－x2.
