【数学】2018届一轮复习人教A版简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词学案

【数学】2018届一轮复习人教A版简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词学案

‎　‎ ‎1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义．‎ ‎2．理解全称量词和存在量词的意义．‎ ‎3．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．‎ 知识点一 简单的逻辑联结词 ‎ ‎1．命题中的____、____、____叫做逻辑联结词．‎ ‎2．命题p且q、p或q、非p的真假判断 p q p且q p或q 非p 真 真 ‎____‎ ‎____‎ 假 真 假 ‎____‎ 真 ‎____‎ 假 真 假 ‎____‎ ‎____‎ 假 假 假 ‎____‎ 真 答案 ‎1．且　或　非　2.真　真　假　假　真　真　假 ‎1．判断正误 ‎(1)命题p和綈p不可能都是真命题．(　　)‎ ‎(2)若p∧q为真，则p为真或q为真．(　　)‎ ‎(3)p∧q为假的充要条件是p，q至少有一个为假．(　　)‎ 答案：(1)√　(2)×　(3)√‎ ‎2．(2017·汾阳模拟)已知命题p：∀x∈R，x2－5x＋6>0，命题q：∃α，β∈R，使sin(α＋β)＝sinα＋sinβ，则下列命题为真命题的是(　　)‎ A．p∧q B．p∨(綈q)‎ C．(綈p)∨q D．p∧(綈q)‎ 解析：当2≤x≤3时，x2－5x＋6≤0，所以命题p假．当α＝0，β∈R时，sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立，所以命题q真，即綈p为真，綈q为假．‎ 答案：C 知识点二　全称量词与存在量词 ‎ ‎1．全称量词有：所有的，任意一个，任给，用符号“____”表示；存在量词有：存在一个，至少有一个，有些，用符号“____”表示．‎ ‎2．含有全称量词的命题，叫做全称命题．“对M中任意一个x，有p(x)成立”用符号简记为：____________.‎ ‎3．含有存在量词的命题，叫做特称命题．“存在M中元素x0，使p(x0)成立”用符号简记为：____________.‎ ‎4．含有一个量词的命题的否定 命题 命题的否定 ‎∀x∈M，p(x)‎ ‎________________‎ ‎∃x0∈M，p(x0)‎ ‎________________‎ 答案 ‎1．∀　∃　2.∀x∈M，p(x)‎ ‎3．∃x0∈M，p(x0)‎ ‎4．∃x0∈M，綈p(x0)　∀x∈M，綈p(x)‎ ‎3．命题“∃x0∈(0，＋∞)，lnx0＝x0－‎1”‎的否定是(　　)‎ A．∀x∈(0，＋∞)，lnx≠x－1‎ B．∀x∉(0，＋∞)，lnx＝x－1‎ C．∃x0∈(0，＋∞)，lnx0≠x0－1‎ D．∃x0∉(0，＋∞)，lnx0＝x0－1‎ 解析：特称命题的否定为全称命题，所以∃x0∈(0，＋∞)，lnx0＝x0－1的否定是∀x∈(0，＋∞)，lnx≠x－1，故选A.‎ 答案：A ‎4．(选修1－1P27习题‎1.4A组第3(2)题改编)命题“所有可以被5整除的整数，末位数字都是‎5”‎的否定为________________________‎ ‎___________________________________________________________.‎ 解析：全称命题的否定为特称命题，其否定为“有些可以被5整除的整数，末位数字不是‎5”‎．‎ 答案：有些可以被5整除的整数，末位数字不是5‎ ‎5．命题“任意末位数字是5的整数都能被5整除”，该命题的否定是________________________，该命题的否命题是______‎ ‎______________.‎ 解析：命题的否定是否定命题的结论，即“存在末位数字是5的整数不能被5整除”．原命题可以改写为“若整数的末位数字为5，则该整数能被5整除”，其否命题是“若整数的末位数字不是5，则该整数不能被5整除”，简化为“末位数字不是5的整数不能被5整除”．‎ 答案：存在末位数字是5的整数不能被5整除　末位数字不是5的整数不能被5整除 热点一　含逻辑联结词的命题的真假判断 ‎ ‎【例1】　(1)已知命题p：m，n为直线，α为平面，若m∥n，n⊂α，则m∥α，命题q：若a>b，则ac>bc，则下列命题为真命题的是(　　)‎ A．p∨q B．綈p∨q C．綈p∧q D．p∧q ‎(2)已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命题是(　　)‎ A．①③ B．①④‎ C．②③ D．②④‎ ‎【解析】　(1)命题q：若a>b，则ac>bc为假命题，命题p：m，n为直线，α为平面，若m∥n，n⊂α，则m∥α也为假命题，因此只有“綈p∨q”为真命题．‎ ‎(2)当x>y时，－x<－y，故命题p为真命题，从而綈p为假命题．当x>y时，x2>y2不一定成立，故命题q为假命题，从而綈q为真命题．‎ 由真值表知：①p∧q为假命题；②p∨q为真命题；③p∧(綈q)为真命题；④(綈p)∨q为假命题．故选C.‎ ‎【答案】　(1)B　(2)C ‎【总结反思】‎ ‎“p∨q”“p∧q”“綈p”等形式命题真假的判断步骤 ‎(1)确定命题的构成形式；‎ ‎(2)判断其中命题p、q的真假；‎ ‎(3)确定“p∧q”“p∨q”“綈p”等形式命题的真假.‎ ‎(1)(2017·广东韶关调研)已知命题p：对任意x∈R，总有2x>0；命题q：“x>‎1”‎是“x>‎2”‎的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是(　　)‎ A．p∧q B．(綈p)∧(綈q)‎ C．(綈p)∧q D．p∧(綈q)‎ ‎(2)(2017·河南开封一模)已知命题p1：∀x∈(0，＋∞)，有3x>2x，p2：∃θ∈R，sinθ＋cosθ＝，则在命题q1：p1∨p2；q2：p1∧p2；q3：(綈p1)∨p2和q4：p1∧(綈p2)中，真命题是(　　)‎ A．q1，q3 B．q2，q3‎ C．q1，q4 D．q2，q4‎ 解析：(1)命题p是真命题，命题q是假命题，所以p∧q是假命题，(綈p)∧(綈q)是假命题，(綈p)∧q是假命题，p∧(綈q)是真命题，故选D.‎ ‎(2)因为y＝x在R上是增函数，即y＝x>1，在(0，＋∞)上恒成立，所以p1是真命题；sinθ＋cosθ＝sin≤，所以命题p2是假命题，綈p2是真命题，所以命题q1：p1∨p2；q4：p1∧(綈p2)是真命题，选C.‎ 答案：(1)D　(2)C 热点二 含有一个量词的命题 ‎ 考向1　全称命题与特称命题真假判断 ‎【例2】　下列命题中，真命题是(　　)‎ A．∃m0∈R，使函数f(x)＝x2＋m0x(x∈R)是偶函数 B．∃m0∈R，使函数f(x)＝x2＋m0x(x∈R)是奇函数 C．∀m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是偶函数 D．∀m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是奇函数 ‎【解析】　由函数奇偶性概念知，当m0＝0时，f(x)＝x2为偶函数，故选A.‎ ‎【答案】　A 考向2　含有一个量词的命题的否定 ‎【例3】　写出下列命题的否定，并判断其真假：‎ ‎(1)p：∀x∈R，x2－x＋≥0；‎ ‎(2)q：所有的正方形都是矩形；‎ ‎(3)r：∃x0∈R，x＋2x0＋2≤0；‎ ‎(4)s：至少有一个实数x0，使x＋1＝0.‎ ‎【解】　(1)綈p：∃x0∈R，x－x0＋<0，假命题．‎ ‎(2)綈q：至少存在一个正方形不是矩形，假命题．‎ ‎(3)綈r：∀x∈R，x2＋2x＋2>0，真命题．‎ ‎(4)綈s：∀x∈R，x3＋1≠0，假命题.‎ ‎【总结反思】‎ ‎(1)判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内至少找到一个x＝x0，使p(x0)成立．‎ ‎(2)对全(特)称命题进行否定的方法 ‎①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词．‎ ‎②对原命题的结论进行否定.‎ ‎(1)下列命题中的真命题是(　　)‎ A．∃x∈R，使得sinx＋cosx＝ B．∀x∈(0，＋∞)，ex>x＋1‎ C．∃x∈(－∞，0)，2x<3x D．∀x∈(0，π)，sinx>cosx ‎(2)设命题p：∃n∈N，n2>2n，则綈p为(　　)‎ A．∀n∈N，n2>2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n 解析：(1)因为sinx＋cosx＝sin(x＋)≤<，故A错误；当x<0时，y＝2x的图象在y＝3x的图象上方，故C错误；因为x∈(0，)时有sinx2n”改为“n2≤2n”．‎ 答案：(1)B　(2)C 热点三 由命题的真假求参数取值范围 ‎ ‎【例4】　已知p：∃x∈R，mx2＋1≤0，q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围为(　　)‎ A．m≥2 B．m≤－2‎ C．m≤－2或m≥2 D．－2≤m≤2‎ ‎【解析】　依题意知p，q均为假命题，当p是假命题时，mx2＋1>0恒成立，则有m≥0；当q是真命题时，则有Δ＝m2－4<0，－20，∴m>2或m<－2.由得0≤m≤2，∴m的取值范围是[0,2]．‎ 答案：[0,2]‎ ‎【总结反思】‎ 根据命题真假求参数的方法步骤 ‎(1)先根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)；‎ ‎(2)然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围；‎ ‎(3)最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围.‎ ‎(1)已知命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥‎0”‎，命题q：“∃x∈R，使x2＋2ax＋2－a＝‎‎0”‎ ‎，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．{a|a≤－2或a＝1}‎ B．{a|a≥1}‎ C．{a|a≤－2或1≤a≤2}‎ D．{a|－2≤a≤1}‎ ‎(2)命题“∃x∈R,2x2－3ax＋9<‎0”‎为假命题，则实数a的取值范围为________．‎ 解析：(1)∵“p且q”为真命题，∴p、q均为真命题，‎ ‎∴p：a≤1，q：a≤－2或a≥1，∴a≤－2或a＝1.‎ ‎(2)因题中的命题为假命题，则它的否定“∀x∈R,2x2－3ax＋9≥‎0”‎为真命题，也就是常见的“恒成立”问题，因此只需Δ＝‎9a2－4×2×9≤0，即－2≤a≤2.‎ 答案：(1)A　(2)[－2，2]‎ ‎1．把握含逻辑联结词的命题的形式，特别是字面上未出现“或”、“且”，要结合语句的含义理解．‎ ‎2．要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是特称命题，对照否定结构去写，并注意与否命题区别；否定的规律是“改量词，否结论”．‎ 利用逻辑推理解决实际问题 ‎【例1】　(1)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A、B、C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市．‎ 由此可判断乙去过的城市为________．‎ ‎(2)对于中国足球参与的某次大型赛事，有三名观众对结果作如下猜测：‎ 甲：中国非第一名，也非第二名；‎ 乙：中国非第一名，而是第三名；‎ 丙：中国非第三名，而是第一名．‎ 竞赛结束后发现，一人全猜对，一人猜对一半，一人全猜错，则中国足球队得了第________名．‎ ‎【解析】　(1)由题意可推断：甲没去过B城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市”，说明甲去过A，C城市，而乙“没去过C城市”，说明乙去过城市A，由此可知，乙去过的城市为A.‎ ‎(2)由上可知：甲、乙、丙均为“p且q”形式，所以猜对一半者也说了错误“命题”，即只有一个为真，所以可知丙是真命题，因此中国足球队得了第一名．‎ ‎【答案】　(1)A　(2)一 ‎(2016·新课标全国卷Ⅱ)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是‎2”‎，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是‎1”‎，丙说：“我的卡片上的数字之和不是‎5”‎，则甲的卡片上的数字是________．‎ 解析：为方便说明，不妨将分别写有1和2,1和3,2和3的卡片记为A，B，C.从丙出发，由于丙的卡片上的数字之和不是5，则丙只可能是卡片A或B，无论是哪一张，均含有数字1，再由乙与丙的卡片上相同的数字不是1可知，乙所拿的卡片必然是C，最后由甲与乙的卡片上相同的数字不是2，知甲所拿的卡片为B，此时丙所拿的卡片为A.‎ 答案：1和3‎