四川省蓉城名校联盟2019-2020学年高二上学期期中联考数学（文）试题

四川省蓉城名校联盟2019-2020学年高二上学期期中联考数学（文）试题

蓉城名校联盟2019~2020学年度上期高中2018级期中联考文科数学 一、选择题:‎ ‎1.在空间直角坐标系中，已知点，，则，两点间的距离是（ ）‎ A. 5 B. 6 C. 7 D. 8‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据空间两点之间的距离公式: ,将，两点代入,即可求得,两点间的距离.‎ 详解】 ，‎ ‎== ‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查的是两点之间的距离,掌握两点之间的距离公式是解本题的关键.‎ ‎2.命题“，”的否定是（ ）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.‎ ‎【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“”的否定是“，”.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了含有一个量词的否定，其中解答中熟记全称命题与存在性命题的关系，准确改写是解答的关键，着重考查了推理与辨析能力，属于基础题.‎ ‎3.若命题是真命题，是真命题，则下列命题中，真命题是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，命题是真命题，则是假命题，根据真值表，即可判定，得到答案.‎ ‎【详解】由题意，命题是真命题，则是假命题，‎ 由真值表可得，命题和和都为假命题，只有命题为真命题.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了复合命题的真假判定，其中解答中熟记复合命题的真假判定的真值表，准确判定是解答的关键，着重考查了推理与辨析能力，属于基础题.‎ ‎4.双曲线的渐近线方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由双曲线的方程，求得，进而得到双曲线的渐近线的方程，得到答案.‎ ‎【详解】由双曲线，可得，即，‎ 所以双曲线的渐近线的方程为.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其双曲线的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎5.若圆：与圆：外切，则正数的值是（ ）‎ A. 2 B. 3 C. 4 D. 6‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由圆和圆相外切，可得，列出方程，即可求解.‎ 详解】由题意，圆：与圆：，‎ 可得圆心坐标分别为，半径分别为，‎ 又由圆和圆相外切，可得，即，‎ 解得.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了两圆的位置关系的应用，其中解答中熟记两圆的位置关系的判定方法，列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎6.“”是“直线与圆”相切的（ ）‎ A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据直线与圆相切，求得或，结合充分条件和必要条件的判定，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，圆的圆心坐标为，半径为，‎ 当直线与圆相切，可得，‎ 即，整理得，解得或，‎ 所以“”是“直线与圆”相切的充分不必要条件.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，以及充分条件、必要条件的判定，其中解答中熟练应用直线与圆的位置关系，列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.‎ ‎7.已知双曲线：（，）的左右顶点分别为，，点，若三角形为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. 2 D. 3‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由双曲线的几何性质，根据为等腰直角三角形，求得，得到，即可求解双曲线的离心率，得到答案.‎ ‎【详解】由题意，三角形为等腰直角三角形，可得，即，‎ 又由，所以，即，所以，‎ 即，又因为，所以双曲线的离心率.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质，其中解答中熟记双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎8.已知过点(1，-2)的直线与圆交于，两点，则弦长的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 当弦长取得最小值时,点为弦的中点,再由勾股定理可求得的最小值.‎ 当弦同时过点(1,-2)和圆心时的取值最大值.‎ ‎【详解】 ‎ 即 ‎ 圆心为,半径 ‎ 由直线恒过定点，圆心 ‎ 时弦长最短 在中 由勾股定理得: ‎ 解得 再由弦经过圆心时弦长最长为 则.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用,解答中掌握圆的基本性质,数形结合是解答的关键.‎ ‎9.经过点作直线交椭圆于，两点，且为的中点，则直线的斜率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，，利用直线与圆锥曲线的“点差法”，即可求得直线的斜率.‎ ‎【详解】设，，则，‎ 两式相减，可得，整理得，‎ 所以，‎ 又由为的中点，可得，则，‎ 即直线的斜率为.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系的应用，其中解答中熟练应用“点差法”求解直线的斜率是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎10.已知圆：（为圆心），点，点是圆上的动点，线段的垂直平分线交线段于点，则动点的轨迹是（ ）‎ A. 两条直线 B. 椭圆 C. 圆 D. 双曲线 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由线段的垂直平分线交线段于点，，得到，结合椭圆的定义，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】由题意，线段的垂直平分线交线段于点，，‎ 又由，即，‎ 根据椭圆的定义，可得点的轨迹是以，为焦点的椭圆.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了椭圆的定义及其应用，其中解答中熟练应用垂直平分线的性质，以及椭圆的定义进行判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎11.已知椭圆：的左右焦点分别为，，且，过左焦点的直线与椭圆交于，两点，连接，，若三角形的周长为，‎ ‎，则三角形的面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由和椭圆的定义，可得，求得，进而求得直角的面积，得到答案.‎ ‎【详解】由题意，过左焦点的直线与椭圆交于，两点，三角形的周长为，‎ 根据椭圆的定义，可得，解得，‎ 又由，即，解得， ‎ 又由和椭圆的定义，可得，‎ 由，可得，‎ 所以直角的面积为.‎ 故选:A ‎【点睛】本题主要考查了椭圆的定义的应用，以及三角形面积的计算，其中解答中熟练应有椭圆的定理和直角三角形的勾股定理，求得的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎12.已知圆，圆，，分别是圆，上的动点.若动点在直线上，则的最小值为（ ）‎ A. 3 B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题中给的条件,作出两个圆和直线的图象,将就转化为 的最小值,运用几何知识,作出关于直线对称点,并求出坐标,由平面几何的知识可知,当与 、共线时,取得最小值,最后利用两点问题距离公式: 即可求得答案.‎ ‎【详解】先作图:‎ 根据: ‎ 得:的圆心,‎ 得:的圆心,‎ 对于直线上的任一点,由图象可知,要使的得最小值,‎ 可转化为求的最小值 即可看作直线上一点到两定点距离之和的最小值减去,‎ 又关于直线对称的点为 ‎ 当与 、共线时,取得最小值 即直线上一点到两定点距离之和取得最小值为 ‎ 的最小值为 ‎ 的最小值为 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查了求定直线上的动点分别到两个圆上的动点的距离之和最小值问题,考查了数形结合思想,利用圆的几何性质转化是解题的关键.‎ 二、填空题: ‎ ‎13.双曲线的其中一个焦点坐标为，则实数________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由双曲线方程，得到，根据，即可求解.‎ ‎【详解】由双曲线，可得，‎ 又由，即，解得.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其应用，其中解答中熟记双曲线的标准方程，以及合理利用，列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.‎ ‎14.两圆，相交于，两点，则公共弦所在的直线的方程是______.（结果用一般式表示）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据两圆方程相减，即可求解两圆的公共弦所在直线的方程，得到答案.‎ ‎【详解】由题意，圆，，‎ 两圆方程相减，可得直线方程为，‎ 即两圆的公共弦所在直线的方程为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查了圆与圆位置关系的应用，其中解答中熟记两圆的公共弦所在直线方程的求法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎15.已知椭圆的左焦点为，动点在椭圆上，则的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设,由两点间距离公式: 可求出结合即可求得:根据椭圆上的可求得:,即可求得的取值范围.‎ ‎【详解】解法一:‎ 椭圆标准: ‎ ‎ 化简为:‎ 可得:, ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 设 故即: ‎ 由点事椭圆上的点得: ,可得:‎ ‎ 由两点间距离公式: ‎ 可得: =‎ ‎ ‎ 即 解法二:‎ 由椭圆结论椭圆上点到左焦点的距离等于(此结论可由椭圆的知识可证明)‎ ‎ 即:‎ 可得:, ,‎ ‎ ‎ 则 ‎ ‎ 即 故答案为: .‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的性质,解题时可以用两点间距离公式,表示出,在结合椭圆上横坐标的取值范围,即可求得答案.也可以使用椭圆的结论即:椭圆上点到左焦点的距离等于,可简化计算.‎ ‎16.给出下列说法:①方程表示的图形是一个点;②命题“若，则或”为真命题;③已知双曲线的左右焦点分别为，，过右焦点被双曲线截得的弦长为4的直线有3条;④已知椭圆上有两点，，若点是椭圆上任意一点，且，直线，的斜率分别为，，则为定值.‎ 其中说法正确的序号是________.‎ ‎【答案】①②④‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据曲线方程的几何意义、命题和逆否命题真假相同，圆锥曲线的基本性质,逐个选项进行判断,即可求得答案.‎ 详解】①由,故表示点,故①正确;‎ ‎②逆否命题为“若且，则”为真，根据原命题和逆否命题真假相同,则原命题为真,故②正确;‎ ‎③根据异支焦点弦实轴最短为4，同支焦点弦通径最短为4，满足条件的直线只有2条,故③错误;‎ ‎④根据两点斜率公式:‎ 可得:, ‎ 由相减可得则,‎ 故④正确;‎ 故答案为: ①②④.‎ ‎【点睛】本题考查原命题和逆否命题真假判断,逆否命题和原命题真假相同,在原命题难以判断时,将其转化为逆否命题进行判断.本题还考查了圆锥曲线的基本知识,在熟记基本知识基础上,要能灵活使用,这是解本题的关键.‎ 三、解答题:‎ ‎17.已知直线，直线经过点，且.‎ ‎(1)求直线的方程;‎ ‎(2)记与轴相交于点，与轴相交于点，与相交于点，求的面积 ‎【答案】(1) (或写成)；(2)5.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)设直线的解析式为,由于,根据两条直线垂直是:,可求得 的,即的解析式为,代入点即可求解出直线的方程.‎ ‎(2)求出的,,坐标,然后根据三角形的面积公式列式进行计算即可得的面积.‎ ‎【详解】(1) ,根据两条直线垂直是:‎ 可求得的,‎ 则的解析式为,将点代入解得:‎ 即(或写成)‎ ‎(2)在中，令，得，即 在中，令，得，即 解方程组，得，，即 如图:‎ 则底边的长为，‎ 边上的高为 故.‎ ‎【点睛】本题主要考查直线的斜率公式,两直线垂直的性质,点到直线的距离公式,数形结合是解题的关键.‎ ‎18.命题方程表示焦点在轴上的双曲线;命题若存在，使得成立.‎ ‎(1)如果命题是真命题，求实数的取值范围;‎ ‎(2)如果“”为假命题，“”为真命题，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)；(2) .‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎(1) 若命题为真命题,即表示焦点在轴上的双曲线,根据焦点在轴上的双曲线的标准方程为:,可得,即可得出答案.‎ ‎(2)由“”为假命题，“”为真命题,可得: 则、两个命题一真一假,可分为二种情况即: 真假, 假真.通过联立不等式组,即可求得答案.‎ ‎【详解】(1) 若命题为真命题,即表示焦点在轴上的双曲线 可化为 ‎ 标准方程为:,可得: ‎ 即:‎ 解得:的取值范围是.‎ ‎(2)若命题为真命题，则有解，得，‎ 又“”为假命题，“”为真命题，则、两个命题一真一假，‎ 当真假，则，解得;‎ 当假真，则，解得;‎ 综上所述:实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题通过判断或命题、且命题的真假,综合考查双曲线的方程以及三角函数的有界性,非命题、且命题、或命题真假有关的题型时,应注意:原命题与其非命题真假相反,或命题一真则真,且命题一假则假.‎ ‎19.已知圆经过，两点，且圆心在直线上.‎ ‎(1)求圆的方程 ‎(2)从原点向圆作切线，求切线方程及切线长.‎ ‎【答案】(1) (或写成:)；(2)，.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1) 解法一: 设圆的方程为,将，两点代入得: ,根据圆的一般方程的圆心为: ,代入,‎ 联立方程即可求出答案. ‎ 解法二:设根据题意,分析可得圆的圆心是线段的垂直平分线与直线的交点,先求出线段的垂直平分线的方程,与直线联立可得圆的圆心的坐标,在由两点间距离公式: ,代入圆的标准方程: 即可得出答案.‎ ‎(2) 解法一:过原点的直线中，当斜率不存在时，不与圆相切，当斜率存在时，可设直线方程为:,直线圆线切,联立方程: 将其化为关于的一元二次方程,由题意可知此方程的,解得 ,即可求出切线方程及切线长.‎ 解法二: 过原点的直线中，当斜率不存在时，不与圆相切，当斜率存在时，可设直线方程为:.因为直线与圆相切，故圆心到直线的距离等于半径,根据点到直线的距离公式: 可求得圆的圆心到:的距离为1,可解得 ,即可求出切线方程及切线长.‎ ‎【详解】(1)解法一:设圆的方程为 由题意: ①‎ ‎ ②‎ 又圆心在直线上 故 ， ③‎ 由①②③解得:，，，‎ 圆的方程为:(或写成:)，‎ 解法二:由题意，圆心在的中垂线上，‎ 又在已知直线上，‎ 解得圆心坐标为，‎ 于是半径 所求圆的方程为:;‎ ‎(2)解法一:过原点的直线中，当斜率不存在时，不与圆相切 当斜率存在时，设直线方程为 代入得 即 令，‎ 解得，‎ 即切线方程为.‎ 对应切线长为.‎ 解法二:过原点的直线中，当斜率不存在时，不与圆相切；‎ 当斜率存在时，设直线方程为，‎ 因为直线与圆相切，故圆心到直线的距离等于半径，‎ 根据点到直线的距离公式:可得 解得.即切线方程为.‎ 对应切线长为.‎ 综上所述: 切线方程为,切线长为.‎ ‎【点睛】本题主要考查圆的方程,圆的切线方程的求解.在求解圆的方程时,把已知点代入圆的一般方程,联立方程,这种求法的计算量较大,可以结合题意用数形结合,用几何知识来求解,可简化计算.‎ ‎20.已知双曲线：的实轴长为2.‎ ‎（1）若的一条渐近线方程为，求的值；‎ ‎（2）设、是的两个焦点，为上一点，且，的面积为9，求的标准方程.‎ ‎【答案】（1）2；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由双曲线的实轴长为2，求得，再由渐近线方程为，得到，即可求解；‎ ‎（2）由和的面积为9，求得，再结合直角三角形的勾股定理和双曲线的定义，即可求解，得到双曲线的方程.‎ ‎【详解】（1）由题意，双曲线：的实轴长为2，即，则，‎ 又由双曲线一条渐近线方程为，所以，可得.‎ ‎（2）由双曲线定义可得，‎ 又因为，且的面积为9，即，‎ 所以，且 又由，解得，‎ 所以，解得，‎ 故双曲线的标准方程为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查了双曲线的定义，以及双曲线的标准方程及几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的标准方程，以及合理应用双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎21.已知直线，.‎ ‎(1)若直线，分别经过定点，，求定点，的坐标;‎ ‎(2)是否存在一个定点，使得与的交点到定点的距离为定值?如果存在，求出定点的坐标及定值;如果不存在，说明理由.‎ ‎【答案】(1) ；(2) 存在，， .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)求直线经过定点，即当.求直线经过定点,可将化简为即当 ‎ 即可得出答案.‎ ‎(2) 解法一:通过直线可解得将其代入,整理的,进而可以得出定点,和定长.‎ 解法二:当,直线的斜率,直线的斜率,所以，即两条直线始终垂直,根据由圆的知识:圆周角所对的弦是圆的直径, 即可得出和为直径端点的圆周上.即可求出答案.‎ ‎【详解】(1)由，当，则.‎ 由，‎ 当，则.‎ ‎(2)解法一:由可知当时，得:，‎ 代入，，‎ 整理得:，‎ 可得交点一定在圆:上，‎ 故满足条件的定点为，定值.‎ 解法二:由时两直线垂直，‎ 时，，即两条直线始终垂直，‎ 又过定点，过定点， ‎ 则与的交点在以和为直径端点的圆周上，‎ 根据中点坐标公式: 的的圆心为 根两点距离公式: 求得 可得交点一定在圆:上，‎ 故满足条件的定点为，定值.‎ 综上所述: 存在一个定点，使得与的交点到定点的距离为.‎ ‎【点睛】本题考查了求直线过定点问题,和两直线交点轨迹问题.在求解直线过定点时,将所给表达式整理成关于参数的方程:例如:,在根据 此式恒成立可得所过定点.‎ ‎22.已知椭圆长轴的两个端点分别为，， 离心率.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）作一条垂直于轴的直线，使之与椭圆在第一象限相交于点，在第四象限相交于点，若直线与直线相交于点，且直线的斜率大于，求直线的斜率的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用已知条件，求得，再由，求得的值，即可求解；‎ ‎（2）设，其中，，可得，求得直线的方程，联立方程组，求得点的坐标，得出直线斜率，结合椭圆的范围，即可求解斜率的取值范围.‎ ‎【详解】（1）由题意知，椭圆长轴的两个端点分别为，，可得，‎ 又由，即，可得，‎ 又因为， ‎ 所以椭圆的标准方程为.‎ ‎（2）设，其中，，可得，‎ 由斜率公式，可得，，‎ 所以直线的方程为；直线的方程为，‎ 联立方程组，解得，即点，‎ 所以，即，‎ 又由，‎ 令，，则 所以，‎ 因为，所以，则，‎ 所以，即实数直线的斜率的取值范围.‎ ‎【点睛】本题主要考查了椭圆方程及其简单的几何性质，以及直线与椭圆的位置关系的综合应用，其中解答中合理利用直线的斜率公式和椭圆的几何性质，求得斜率的表达式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，以及转化思想的应用，试题有一定的难度，属于中档试题.‎ ‎ ‎