宁夏回族自治区银川市第二中学2020届高三上学期统练四数学（理科）试题

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银川二中2019-2020学年第一学期高三年级统练四数学（理科）试卷 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出集合B再求出交集.‎ ‎【详解】，‎ ‎∴，则，‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题考查了集合交集的求法，是基础题.‎ ‎2.设复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称，，则（ ）‎ A. - 5 B. ‎5 ‎C. - 4+ i D. - 4 - i ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由题意，得，则，故选A．‎ 考点：1、复数的运算；2、复数的几何意义．‎ ‎3.下列函数中，值域为的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依次判断各个函数的值域，从而得到结果.‎ ‎【详解】选项：值域为，错误 选项：值域为，正确 选项：值域为，错误 选项：值域为，错误 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查初等函数的值域问题，属于基础题.‎ ‎4.设平面与平面相交于直线，直线在平面内，直线在平面内，且则“”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 即不充分不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：α⊥β， b⊥m又直线a在平面α内，所以a⊥b，但直线不一定相交，所以“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件，故选A.‎ 考点：充分条件、必要条件.‎ ‎5.已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则（ ）‎ A. 16 B. ‎8 ‎C. 4 D. 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用方程思想列出关于的方程组，求出，再利用通项公式即可求得的值．‎ ‎【详解】设正数的等比数列{an}的公比为，则，‎ 解得，，故选C．‎ ‎【点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键．‎ ‎6.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )‎ A. 1010.1 B. ‎10.1 ‎C. lg10.1 D. 10–10.1‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意得到关于的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值.‎ ‎【详解】两颗星的星等与亮度满足,令,‎ ‎.‎ 故选A ‎【点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及指数对数运算.‎ ‎7.已知曲线在点处的切线方程为，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得，将点的坐标代入直线方程，求得．‎ ‎【详解】详解：‎ ‎，‎ 将代入得，故选D．‎ ‎【点睛】本题关键得到含有a，b的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系．‎ ‎8.函数(（是常数）,的部分图像如图所示，则f(0)=（ ）‎ A. B. C. 0 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 欲求f（0），须先求f（x）的解析式．易求A，，从而可求ω＝，由φ＝π可求φ的值，从而使问题解决．‎ ‎【详解】由f（x）＝Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）的部分图象可得：‎ A，，‎ ‎∴T＝，又T，‎ ‎∴ω＝，‎ 又φ＝π，‎ ‎∴φ，‎ ‎∴f（x）sin（x）‎ ‎∴f（0）sin．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，结合图象求A，ω，φ的值是关键，属于中档题．‎ ‎9.已知满足约束条件，当目标函数在约束条件下取到最小值时，的最小值为（ ）‎ A. 5 B. 4‎ C. D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ 由得，∵，∴直线的斜率，作出不等式对应的平面区域如图，由图可知当直线经过点时，直线的截距最小，此时最小．由，解得，即，此时目标函数的最小值为，即，所以点在直线上，则原点到直线的距离，即的最小值.故选B．‎ 考点：1、简单线性规划；2、点到直线的距离．‎ ‎【思路点睛】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义确定取得最小值的条件，点在直线，而的几何意义为点到直线的距离的平方，将问题转化为求到直线的距离即可得到结论．本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合求出目标函数取得最小值的条件是解决本题的关键．属于基础题．‎ ‎10.求值：4cos 50°－tan 40°＝(　　)‎ A. B. C. D. 2－1‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 原式第一项利用诱导公式化简，第二项利用同角三角函数间的基本关系切化弦，通分后利用同分母分式的减法法则计算，再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，约分即可得到结果．‎ ‎【详解】4cos50°﹣tan40°=4sin40°﹣tan40°=‎ ‎==‎ ‎===．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式是解本题的关键．‎ ‎11.已知正三棱锥P﹣ABC，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用正三棱锥的特点，将球的内接三棱锥问题转化为球的内接正方体问题，从而将所求距离转化为正方体中，中心到截面的距离问题，利用等体积法可实现此计算 ‎【详解】∵正三棱锥P﹣ABC，PA，PB，PC两两垂直，‎ ‎∴此正三棱锥的外接球即以PA，PB，PC为三边的正方体的外接圆O，‎ ‎∵圆O的半径为，‎ ‎∴正方体的边长为2，即PA＝PB＝PC＝2‎ 球心到截面ABC的距离即正方体中心到截面ABC的距离 设P到截面ABC的距离为h，则正三棱锥P﹣ABC的体积VS△ABC×hS△PAB×PC2×2×2‎ ‎△ABC为边长为2的正三角形，S△ABC（2）2‎ ‎∴h ‎∴球心（即正方体中心）O到截面ABC的距离为 故选：A．‎ ‎【点睛】本题主要考球的内接三棱锥和内接正方体间的关系及其相互转化，棱柱的几何特征，球的几何特征，点到面的距离问题的解决技巧，有一定难度，属中档题 ‎12.已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先判断时，在上恒成立；若在上恒成立，转化为在上恒成立．‎ ‎【详解】∵，即，‎ ‎（1）当时，，‎ 当时，，‎ 故当时，在上恒成立；‎ 若在上恒成立，即在上恒成立，‎ 令，则，‎ 当函数单增，当函数单减，‎ 故，所以．当时，在上恒成立；‎ 综上可知，的取值范围是，‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查分段函数的最值问题，关键利用求导的方法研究函数的单调性，进行综合分析．‎ 二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，一共20分）‎ ‎13.观察下列不等式 ‎，‎ ‎……‎ 照此规律，第五个不等式为 ‎ ‎【答案】：‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：照此规律，第个式子为，第五个为．‎ 考点：归纳推理．‎ ‎【名师点睛】‎ 归纳推理的定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理．是由部分到整体、由个别到一般的推理．‎ ‎14. 在四边形中，， ， ， ，点在线段的延长线上，且，则__________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 建立坐标系利用向量的坐标运算分别写出向量而求解．‎ ‎【详解】建立如图所示的直角坐标系，则，．‎ 因为∥，，所以，‎ 因为，所以，‎ 所以直线的斜率为，其方程为，‎ 直线的斜率为，其方程为．‎ 由得，，‎ 所以．‎ 所以．‎ ‎【点睛】平面向量问题有两大类解法：基向量法和坐标法，在便于建立坐标系的问题中使用坐标方法更为方便．‎ ‎15.已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣4x，那么，不等式f（x+2）＜5的解集是　 　．‎ ‎【答案】（﹣7，3）‎ ‎【解析】‎ 设x<0，则－x>0.‎ ‎∵当x≥0时，‎ f(x)＝x2－4x，‎ ‎∴f(－x)＝(－x)2－4(－x)．‎ ‎∵f(x)是定义在R上的偶函数，‎ ‎∴f(－x)＝f(x)，‎ ‎∴f(x)＝x2＋4x(x<0)，‎ ‎∴f(x)＝‎ 由f(x)＝5得 或 ‎∴x＝5或x＝－5.‎ 观察图像可知由f(x)<5，得－51，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列{bn}满足b1=1，数列{（bn+1−bn）an}的前n项和为2n2+n．‎ ‎（Ⅰ）求q的值；‎ ‎（Ⅱ）求数列{bn}的通项公式． ‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分析:（Ⅰ）根据条件、等差数列的性质及等比数列的通项公式即可求解公比；（Ⅱ）先根据数列前n项和求通项，解得，再通过叠加法以及错位相减法求.‎ ‎【详解】详解：（Ⅰ）由是的等差中项得，‎ 所以，‎ 解得.‎ 由得，‎ 因为，所以.‎ ‎（Ⅱ）设，数列前n项和为.‎ 由解得.‎ 由（Ⅰ）可知，‎ 所以，‎ 故，‎ ‎ .‎ 设，‎ 所以，‎ 因此，‎ 又，所以.‎ 点睛：用错位相减法求和应注意的问题：(1)‎ 要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.‎ ‎19.函数f（x）＝6cos2sinωx﹣3（ω＞0）在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B，C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形 ‎（1）求ω的值及函数f（x）的表达式；‎ ‎（2）若f（x0），且x0∈（），求f（x0+1）的值 ‎【答案】（1）ω，f（x）＝2（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式化简，根据题意求得BC的长，进而求得三角函数的最小正周期，则ω可得．求得f（x）的表达式，根据三角函数的性质求得函数f（x）的值域．‎ ‎（2）由，知 x0∈（，），由f（），可求得即sin（），利用两角和的正弦公式即可求得f（+1）．‎ ‎【详解】（1）函数f（x）＝6cos2sinωx﹣3＝3cosωxsinωx＝2sin（ωx），由于△ABC为正三角形，所以三角形的高为，所以BC＝4．‎ 所以函数f（x）的最小正周期为T＝4×2＝8，所以ω，‎ 故得到f（x）＝2．‎ ‎（2）由于若f（x0），所以，整理得，由于x0∈（）所以，所以，‎ 所以f（x0+1）＝2‎ ‎【点睛】本题考查由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，着重考查三角函数的化简求值与正弦函数的性质，考查分析转化与运算能力，属于中档题．‎ ‎20.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．‎ ‎(1)证明：BE⊥DC；‎ ‎(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；‎ ‎(3)若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F－AB－P的余弦值．‎ ‎【答案】(1)见解析(2) (3) ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（I）以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出BE，DC的方向向量，根据 ‎，可得BE⊥DC；（II）求出平面PBD的一个法向量，代入向量夹角公式，可得直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（Ⅲ）根据BF⊥AC，求出向量的坐标，进而求出平面FAB和平面ABP的法向量，代入向量夹角公式，可得二面角F-AB-P的余弦值 试题解析：方法一：依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系（如图所示），可得B（1，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2）．C由E为棱PC的中点，得E（1，1，1）．‎ ‎（1）证明：向量＝（0，1，1），＝（2，0，0），‎ 故＝0，‎ 所以BE⊥DC. ‎ ‎（2）向量＝（－1，2，0），＝（1，0，－2）．‎ 设n＝（x，y，z）为平面PBD的法向量，‎ 则 不妨令y＝1，可得n＝（2，1，1）为平面PBD的一个法向量．于是有 ‎＝＝＝，‎ 所以直线BE与平面PBD所成角的正弦值为.‎ ‎（3） 向量＝（1，2，0），＝（－2，－2，2），＝（2，2，0），＝（1，0，0）．‎ 由点F在棱PC上，设＝λ，0≤λ≤1.‎ 故＝＋＝＋λ＝（1－2λ，2－2λ，2λ）．由BF⊥AC，得＝0，因此2（1－2λ）＋2（2－2λ）＝0，解得λ＝，即＝.设n1＝（x，y，z）为平面FAB的法向量，即不妨令z＝1，可得n1＝（0，－3，1）为平面FAB的一个法向量．取平面ABP的法向量n2＝（0，1，0），则 cos〈n1，n2〉＝＝＝－.‎ 易知二面角F AB P是锐角，所以其余弦值为.‎ 方法二：（1）证明：如图所示，取PD中点M，连接EM，AM.由于E，M分别为PC，PD的中点，故EM∥DC，且EM＝DC.又由已知，可得EM∥AB且EM＝AB，故四边形ABEM为平行四边形，所以BE∥AM.‎ 因PA⊥底面ABCD，故PA⊥CD，而CD⊥DA，从而CD⊥平面PAD.因为AM⊂平面PAD，所以CD⊥AM.又BE∥AM，所以BE⊥CD.‎ ‎（2）连接BM，由（1）有CD⊥平面PAD，得CD⊥PD.而EM∥CD，故PD⊥EM.又因为AD＝AP，M为PD的中点，所以PD⊥AM，可得PD⊥BE，所以PD⊥平面BEM，故平面BEM⊥平面PBD，所以直线BE在平面PBD内的射影为直线BM.而BE⊥EM，可得∠EBM为锐角，故∠EBM为直线BE与平面PBD所成的角．‎ 依题意，有PD＝2，而M为PD中点，可得AM＝，进而BE＝.故在直角三角形BEM中，tan∠EBM＝＝＝，因此sin∠EBM＝，‎ 所以直线BE与平面PBD所成角的正弦值为.‎ ‎（3）如图所示，在△PAC中，过点F作FH∥PA交AC于点H.因为PA⊥底面ABCD，所以FH⊥底面ABCD，从而FH⊥AC.又BF⊥AC，得AC⊥平面FHB，因此AC⊥BH.在底面ABCD内，可得CH＝‎3HA，从而CF＝3FP.在平面PDC内，作FG∥DC交PD于点G，于是DG＝3GP.由于DC∥AB，故GF∥AB，所以A，B，F，G四点共面．由AB⊥PA，AB⊥AD，得AB⊥平面PAD，故AB⊥AG，所以∠PAG为二面角F AB P的平面角．‎ 在△PAG中，PA＝2，PG＝PD＝，∠APG＝45°.由余弦定理可得AG＝，cos∠PAG＝‎ ‎，所以二面角F AB P的余弦值为.‎ 考点：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面所成的角 ‎21.已知函数，其中，为自然对数的底数.‎ ‎（Ⅰ）设是函数的导函数，求函数在区间上的最小值；‎ ‎（Ⅱ）若，函数在区间内有零点，求的取值范围 ‎【答案】（Ⅰ）当时，；当时，；‎ 当时，.（Ⅱ）的范围为.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）易得，再对分情况确定的单调区间，根据在上的单调性即可得在上的最小值.（Ⅱ）设为在区间内的一个零点，注意到.联系到函数的图象可知，导函数在区间内存在零点，在区间内存在零点，即在区间内至少有两个零点. 由（Ⅰ）可知，当及时，在内都不可能有两个零点.所以.此时，在上单调递减，在上单调递增，因此，且必有.由得：，代入这两个不等式即可得的取值范围.‎ 试题解答：（Ⅰ）‎ ‎①当时，，所以.‎ ‎②当时，由得.‎ 若，则；若，则.‎ 所以当时，在上单调递增，所以.‎ 当时，在上单调递减，在上单调递增，所以.‎ 当时，在上单调递减，所以.‎ ‎（Ⅱ）设为在区间内的一个零点，则由可知，‎ 在区间上不可能单调递增，也不可能单调递减.‎ 则不可能恒为正，也不可能恒为负.‎ 故在区间内存在零点.‎ 同理在区间内存在零点.‎ 所以在区间内至少有两个零点.‎ 由（Ⅰ）知，当时，在上单调递增，故在内至多有一个零点.‎ 当时，在上单调递减，故在内至多有一个零点.‎ 所以.‎ 此时，在上单调递减，在上单调递增，‎ 因此，必有 ‎.‎ 由得：，有 ‎.‎ 解得.‎ 当时，在区间内有最小值.‎ 若，则，‎ 从而在区间上单调递增，这与矛盾，所以.‎ 又，‎ 故此时在和内各只有一个零点和.‎ 由此可知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.‎ 所以，，‎ 故在内有零点.‎ 综上可知，的取值范围是.‎ ‎【考点定位】导数的应用及函数的零点.‎ ‎（二）选考题：共10分，请在第22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎22.‎ 在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数），过点且倾斜角为的直线与交于两点．‎ ‎（1）求的取值范围；‎ ‎（2）求中点的轨迹的参数方程．‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）为参数，‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）由圆与直线相交，圆心到直线距离可得．‎ ‎（2）联立方程，由根与系数的关系求解 详解：（1）的直角坐标方程为．‎ 当时，与交于两点．‎ 当时，记，则的方程为．与交于两点当且仅当 ‎，解得或，即或．‎ 综上，的取值范围是．‎ ‎（2）的参数方程为为参数， ．‎ 设，，对应的参数分别为，，，则，且，满足．‎ 于是，．又点的坐标满足 所以点的轨迹的参数方程是 为参数， ．‎ 点睛：本题主要考查直线与圆的位置关系，圆的参数方程，考查求点的轨迹方程，属于中档题．‎ ‎23.‎ 设函数．‎ ‎（1）画出的图像；‎ ‎（2）当，，求的最小值．‎ ‎【答案】（1）见解析 ‎（2）‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）将函数写成分段函数，再画出在各自定义域的图像即可．‎ ‎（2）结合（1）问可得a，b范围，进而得到a+b的最小值 详解：（1） 的图像如图所示．‎ ‎（2）由（1）知，图像与轴交点的纵坐标为 ‎，且各部分所在直线斜率的最大值为，故当且仅当且时，在成立，因此的最小值为．‎ 点睛：本题主要考查函数图像的画法，考查由不等式求参数的范围，属于中档题．‎