2020年浙江新高考数学二轮复习教师用书：专题一 3 第3讲 基本初等函数、函数与方程及函数的综合问题
第3讲 基本初等函数、函数与方程及函数的综合问题
指数、对数的运算
[核心提炼]
指数与对数式的七个运算公式
(1)am·an＝am＋n；
(2)(am)n＝amn；
(3)loga(MN)＝logaM＋logaN；
(4)loga＝logaM－logaN；
(5)logaMn＝nlogaM；
(6)alogaN＝N；
(7)logaN＝.
注：a>0且a≠1，b>0且b≠1，M>0，N>0.
[典型例题]
(1)(2019·浙江省名校新高考研究联盟联考)若log83＝p，log35＝q，则lg 5(用p、q表示)等于( )
A. B.
C. D．p2＋q2
(2)设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则( )
A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y
C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z
(3)已知a>b>1.若logab＋logba＝，ab＝ba，则a＝________，b＝________．
【解析】 (1)因为log83＝p，
所以lg 3＝3plg 2，又因为log35＝q，
所以lg 5＝qlg 3，
所以lg 5＝3pqlg 2＝3pq(1－lg 5)，
所以lg 5＝，故选C.
(2)设2x＝3y＝5z＝k>1，
所以x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k.
因为2x－3y＝2log2k－3log3k＝－＝＝＝
>0，
所以2x>3y；
因为3y－5z＝3log3k－5log5k＝－＝＝＝<0，
所以3y<5z；
因为2x－5z＝2log2k－5log5k＝－＝＝＝<0，
所以5z>2x.
所以5z>2x>3y，故选D.
(3)由于a>b>1，则logab∈(0，1)，因为logab＋logba＝，即logab＋＝，所以logab＝或logab＝2(舍去)，所以a＝b，即a＝b2，所以ab＝(b2)b＝b2b＝ba，所以a＝2b，b2＝2b，所以b＝2(b＝0舍去)，a＝4.
【答案】 (1)C (2)D (3)4 2
(1)指数幂的运算性质都要遵守零指数幂、负整数指数幂的底数不能等于0的规定．
(2)求解对数式运算的关键是：熟记对数恒等式、换底公式的运算法则，并结合代数式的各种变换技巧，如配方、因式分解、分母或分子有理化、拆项、添项、换底公式的运用等，简化对数运算过程．
(3)容易出现的问题是误用指数幂的运算法则、对数的运算性质，或在运算中变换的方法不当，不注意运算的先后顺序等．
[对点训练]
1．若a＝log43，则2a＋2－a＝________．
解析：因为a＝log43＝log223＝log23＝log2，
所以2a＋2－a＝2log2＋2－log2＝＋2log2＝＋＝.
答案：
2．(2019·瑞安市高三四校联考)若正数a，b满足log2a＝log5b＝lg(a＋b)，则＋的值为________．
解析：设log2a＝log5b＝lg(a＋b)＝k，
所以a＝2k，b＝5k，a＋b＝10k，所以ab＝10k，
所以a＋b＝ab，则＋＝1.
答案：1
基本初等函数的图象及性质
[核心提炼]
指数函数与对数函数的图象和性质
指数函数y＝ax(a>0，a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，a≠1)的图象和性质，分0
1两种情况，当a>1时，两函数在定义域内都为增函数，当00，且a≠1)的图象可能是( )
(2)P为曲线C1：y＝ex上一点，Q为曲线C2：y＝ln x上一点，则|PQ|的最小值为________．
【解析】 (1)通解：若01，则y＝是减函数，而y＝loga是增函数且其图象过点，结合选项可知，没有符合的图象．故选D.
优解：分别取a＝和a＝2，在同一坐标系内画出相应函数的图象(图略)，通过对比可知选D.
(2)因为曲线y＝ex与曲线y＝ln x互为反函数，其图象关于y＝x对称，
故可先求点P到直线y＝x的最近距离d，
设曲线y＝ex上斜率为1的切线为y＝x＋b，
因为y′＝ex，由ex＝1，得x＝0，
故切点坐标为(0，1)，即b＝1，
所以d＝＝，
所以|PQ|的最小值为2d＝2×＝.
【答案】 (1)D (2)
研究指数、对数函数图象应注意的问题
(1)指数函数、对数函数的图象和性质受底数a的影响，解决与指数、对数函数特别是与单调性有关的问题时，首先要看底数a的范围．
(2)研究对数函数的性质，应注意真数与底数的限制条件．如求f(x)＝ln(x2－3x＋2)的单调区间，只考虑t＝x2－3x＋2与函数y＝ln t的单调性，忽视t>0的限制条件．
[对点训练]
1．当x∈R时，函数f(x)＝a|x|始终满足0＜|f(x)|≤1，则函数y＝loga的图象大致为( )
解析：选B.因为当x∈R时，函数f(x)＝a|x|始终满足0＜|f(x)|≤1.因此，必有0＜a＜1.
先画出函数y＝log a|x|的图象，如图．
而函数y＝log a＝－log a|x|，如图．
故选B.
2．(2019·四川胜读九校联考)已知函数f＝若≥ax恒成立，则a的取值范围为________．
解析：由题意可作出函数y＝|f(x)|的图象和函数y＝ax的图象，
由图象可知，函数y＝ax的图象为过原点的直线，直线l为曲线的切线，当直线介于l和x轴之间符合题意，且此时函数y＝|f(x)|在第二象限的部分解析式为y＝x2－2x，求其导数可得y′＝2x－2，因为x＝0，故y′＝－2，故直线l的斜率为－2，故只需直线y＝ax的斜率a介于－2与0之间即可，即a∈.
答案：
函数的零点
[核心提炼]
1．函数的零点的定义
对于函数f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数f(x)的零点．
2．确定函数零点的常用方法
(1)解方程法；
(2)利用零点存在性定理；
(3)数形结合，利用两个函数图象的交点求解．
[典型例题]
(1)(2019·高考浙江卷)设a，b∈R，函数f(x)＝若函数y＝f(x)－ax－b恰有3个零点，则( )
A．a<－1，b<0 B．a<－1，b>0
C．a>－1，b<0 D．a>－1，b>0
(2)(2019·衢州市高三教学质量检测)已知f(x)是R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝，则函数y＝f(x)－的所有零点之和是( )
A．5＋ B．1－
C.－1 D．5－
(3)(2018·高考浙江卷)已知λ∈R，函数f(x)＝当λ＝2时，不等式f(x)<0的解集是________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是________．
【解析】 (1)由题意可得，当x≥0时，f(x)－ax－b＝x3－(a＋1)x2－b，令f(x)－ax－b＝0，
则b＝x3－(a＋1)x2＝x2[2x－3(a＋1)]．因为对任意的x∈R，f(x)－ax－b＝0有3个不同的实数根，所以要使满足条件，则当x≥0时，b＝x2[2x－3(a＋1)]必须有2个零点，所以>0，解得a>－1.所以b<0.故选C.
(2)当x≥0时，f(x)≥0，所以当x＜0时，f(x)＜0；由得x＝－1＋；由得x＝或，所以所有零点之和是5＋，选A.
(3)若λ＝2，则当x≥2时，令x－4<0，得2≤x<4；当x<2时，令x2－4x＋3<0，得14.
【答案】 (1)C (2)A (3)(1，4) (1，3]∪(4，＋∞)
(1)判断函数零点个数的方法
①直接求零点：令f(x)＝0，则方程解的个数即为零点的个数．
②零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在(a，b)上是连续的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点．
(2)利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法
①利用零点存在的判定定理构建不等式求解．
②分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解．
③转化为两熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解．利用此种方法还可判断零点个数，求所有零点的和，研究基本初等函数的性质等．
[对点训练]
1．(2019·“七彩阳光”高三联考)设关于x的方程x2－ax－2＝0和x2－x－1－a＝0的实数根分别为x1，x2和x3，x4，若x10且a≠1.
(1)当a＝2时，若f(x)0，则问题等价于关于n的二次方程n2－n＋t＝0在n∈(0，＋∞)上有两个不相等的实根，即，即，
得00)，若对任意s∈[1，＋∞)，t∈[0，＋∞)，恒有g(s)≥f(t)成立，试求实数a的取值范围．
解：(1)因为||x＋2|－|x－1||≤|(x＋2)－(x－1)|＝3，
所以－3≤|x＋2|－|x－1|≤3，
所以f(x)的值域为[－3，3]．
(2)g(x)＝＝ax＋－3，
当a≥3时，g(x)在[1，＋∞)上是增函数，g(x)min＝a，
当a∈(0，3)时，g(x)min＝2－3，
因此g(s)min＝，f(t)max＝3，
由题意知g(s)min≥f(t)max，
①当01，c＝0.20.3∈(0，1)，所以a0，a≠1)满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是( )
A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
解析：选B.由f(1)＝得a2＝.又a>0，所以a＝，因此f(x)＝.因为g(x)＝|2x－4|在[2，＋∞)上单调递增，所以f(x)的单调递减区间是[2，＋∞)．
8．(2019·金华十校联考)函数f(x)＝，若a，b，c，d各不相同，且f(a)＝f(b)＝f(c)＝f(d)，则abcd的取值范围是( )
A．(24，25) B．[16，25)
C．(1，25) D．(0，25]
解析：选A.函数f(x)的图象如图所示：
若a、b、c、d互不相同，
且f(a)＝f(b)＝f(c)＝f(d)，
不妨令a0，则y＝|x2－a|与y＝ax＋1两个图象有四个不同的交点，
①当y＝ax＋1与y＝－x2＋a相切时，得a＝－2＋2.(负值舍掉)
②当y＝ax＋1过点(－，0)时，得a＝1，
所以2－2
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