辽宁省沈阳市城郊市重点联合体2020届高三上学期期中考试数学（理）试题

辽宁省沈阳市城郊市重点联合体2020届高三上学期期中考试数学（理）试题

城郊市重点联合体期中考试高三年级数学（理科）试卷 一、选择题 ‎1.已知集合,集合,求（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由集合的交集运算求解即可 ‎【详解】集合中应满足，即；集合中应满足，即；则 故选：B ‎【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题 ‎2.已知,则（ ）‎ A. 1 B. C. D. -2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求内层函数值，再求外层函数即可 ‎【详解】先求得，再求得，即 故选：B ‎【点睛】本题考查分段函数中函数值的求法，属于基础题 ‎3.向量和向量（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由向量垂直的坐标运算即可求出参数 ‎【详解】由题知，，则，又，‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查由向量垂直求解参数，属于基础题 ‎4.将图像左移个单位后，对称轴为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出平移之后的表达式，再由对称轴通式化简即可 ‎【详解】图像左移个单位可得：，再令，‎ 解得；‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查函数图像平移法则，正弦型函数对称轴通式的求法，属于基础题 ‎5.设函数的导函数为，且，则（ ）.‎ A. 0 B. -4 C. -2 D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可先求函数的导数，先令求出，再令即可求解 ‎【详解】由，令得，‎ 解得，则，‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查函数具体导数值的求法，属于基础题 ‎6.若定义域为的函数不是偶函数，则下列命题中一定为真命题的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可通过列举函数图像结合奇函数进行选项排除 ‎【详解】如图：‎ 函数为奇函数图像（不唯一），‎ ‎，如图中的，则错误，‎ B项为偶函数的性质，显然矛盾，则B错误；‎ 通过图像显然，则C正确；‎ D项不一定成立，如图：‎ ‎，显然是不成立的，D错误；‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查函数性质的应用，全称命题和存在命题的辨析，属于基础题 ‎7.正方形ABCD的边长为1，E为CD中点，则向量（ ）.‎ A. B. C. 0 D. 1‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可建立直角坐标系，由向量的坐标运算求解即可 ‎【详解】如图：‎ 则,E为CD中点，‎ 则，，‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查向量数量积的坐标运算，建系法在向量中的应用，属于基础题 ‎8.偶函数的定义域为，则的最小值（ ）‎ A. -3 B. 3 C. -8 D. 8‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由偶函数的性质可先求得，再由定义域关于原点对称求得，进而可求的值域 ‎【详解】为偶函数，，由可得；又定义域关于原点对称，故，解得，，当时，‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查偶函数的性质，二次函数最值的求解，属于基础题 ‎9.在围成的正方形中随机投掷10000个点，则落入曲线,和轴围成的区域的点的个数的估计值为（ ）‎ A. 5000 B. 6667 C. 7500 D. 7854‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 应用微积分基本定理求出对应的原函数，再由定积分定义求出空白区域面积，由正方形面积减去空白区域面积即可求出阴影部分面积，结合几何概型可推导出对应区域内的点的个数 详解】‎ 由微积分基本定理可求出的原函数为，空白区域面积为，故阴影部分面积，由几何概型可知，落入阴影部分的点数估计值为 故选：B ‎【点睛】本题考查定积分与微积分的基本定理，几何概型，属于基础题 ‎10.（ ）‎ A. 0 B. -2 C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可由求出，由同角三角函数的基本关系即可求解 ‎【详解】由，又，故，‎ ‎，则 故选：A ‎【点睛】本题考查正切角的和角公式的应用，常见角的三角函数求值，属于基础题 ‎11.是上的增函数，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据增函数的定义需使每段分段函数都是增函数，再由临界点建立不等关系即可求解 ‎【详解】是上的增函数，满足，解得 故选：B ‎【点睛】本题考查由函数的单调性求解参数范围，属于基础题 ‎12.若对于任意，不等式恒成立，则实数的最大值是(　　)‎ A. B. 1 C. 2 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析：利用基本不等式和参数分离得在时恒成立，构造函数 ‎，通过求导判断函数的单调性求得的最小值，即可求得的最大值．‎ 详解：当时，不等式即为，显然成立，‎ 当时，设，‎ 所以不等式恒成立，即为不等式恒成立，‎ 即有（当时等号成立），‎ 由题意可得，即有在时恒成立，‎ 令函数，则，‎ 令，即有，‎ 令，‎ 当时，，函数单调递增，由于，即有的根为2，‎ 当时，函数单调递增，时，函数单调递减，‎ 即有时，取得最小值，其最小值为，‎ 所以实数的最大值为，故选D．‎ 点睛：本题主要考查了导数在函数中的综合应用，以及不等式恒成立问题的求解，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．‎ 二、填空题 ‎13.函数在处的切线斜率为________.‎ ‎【答案】-2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求导，再将代入导数公式即可求解 ‎【详解】由，‎ 故答案为：-2‎ ‎【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题 ‎14.________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可采取拼凑角的方式，，结合差角公式和同角三角函数的求法，先求出，即可求解 ‎【详解】，‎ 又，在第四象限，为负值，‎ 即，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查同角三角函数的基本求法，两角差的余弦公式，属于中档题 ‎15.已知命题，若是的充分不必要条件，求的取值范围________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 是的充分不必要条件可转化为是的充分不必要条件，再化简两命题对应的取值范围，进一步判断即可 ‎【详解】“是的充分不必要条件”是的充分不必要条件，命题中：‎ ‎，命题中：，由是的充分不必要条件可知，应满足，解得 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查由命题的充分不必要条件求解参数范围，属于中档题 ‎16.已知，则tanα＝______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由sinα＋cosα＝，有sin（α＋Φ）＝，‎ 即sin（α＋Φ）＝1，其中tanΦ＝‎ 于是α＋Φ＝2kπ＋（k∈Z）‎ 所以tanα＝tan（2kπ＋－Φ）＝cotΦ＝‎ 考点：三角函数性质 三、解答题 ‎17.函数为上的奇函数，其中点是一个对称点，且在上单调 ‎（1）求值 ‎（2）求解析式 ‎【答案】（1）‎ ‎（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先由诱导公式将原函数转化为，再由奇函数性质即可求得值；‎ ‎（2）由图像关于对称可得，又在上是单调函数得，联立求解即可解得具体，进而求得解析式 ‎【详解】（1）是上的奇函数,‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎（2），图像关于对称，，‎ ‎，，.①‎ 又在上是单调函数，，‎ ‎，②‎ ‎，.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数中由奇偶性求解具体参数值，由单调性求解具体参数值，属于中档题 ‎18.，‎ ‎（1）求的单调区间 ‎（2）求在上的最值.‎ ‎【答案】（1）单调增区间为和,单调减区间为 ‎（2）‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）先求导数，再令导数为0，结合导数的正负求解单调区间即可；‎ ‎（2）先求出在上的极值点，再求出两端点值，即可求出函数最值 详解】（1）‎ 令得或 令得 单增区间为和 单减区间为 ‎（2）令得或 ‎【点睛】本题考查由函数导数判断函数单调性，函数在指定区间的最值的求法，属于中档题 ‎19.已知向量，‎ ‎（1）当最小正周期为时，求的值；‎ ‎（2）函数有零点，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先由向量的数量积公式求出表达式，得，令即可求解；‎ ‎（2）要使函数有零点，即有根，由函数的值域即可求解参数取值范围 ‎【详解】解：（1）‎ ‎（2）由题知有根 又 ‎【点睛】本题考查三角函数由三角函数的最小正周期求解参数，函数与方程的转化，属于中档题 ‎20.函数f(x)=ax3+3x2+3x(a≠0).‎ ‎（1）讨论函数f(x)的单调性；‎ ‎（2）若函数f(x)在区间（1，2）是增函数，求a的取值范围.‎ ‎【答案】（1）a≥1时，在（-，+）是增函数；00，x>0时,，所以当a>0时，f（x）在区间（1，2）是增函数.‎ 若a<0时，f（x）在区间（1,2）是增函数当且仅当且，解得.‎ 综上，a的取值范围是.‎ 考点：1.函数的导数；2.导数性质的应用.‎ ‎21.函数，其图像过定点 ‎（1）求值；‎ ‎（2）将图像左移个单位后得到，求在上的最大和最小值及此时对应的的取值是多少？‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）当时，；当时，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先将函数表达式结合降幂公式化简可得，结合函数过点和即可求解具体值；‎ ‎（2）根据函数图像平移法则先求得，由求得，再结合余弦函数性质即可求解 ‎【详解】（1）‎ 又图像过点，‎ 或 又，‎ ‎（2）由（1）知 ‎，‎ 当时，即时，‎ 当时，即时，‎ ‎【点睛】本题考查三角函数表达式的化简求值，降幂公式的使用，两角差的余弦公式的逆用，在具体区间函数最值的求解，属于中档题 ‎22.已知 ‎（1）求的极值.‎ ‎（2）当时恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）极小值为，极大值为 ‎（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先令，对求导，令，结合导数正负判断原函数单调性，进而求解极值；‎ ‎（2）可采用分离参数法，得在时恒成立，令，利用导数研究的增减性，求出的最大值即可求解 ‎【详解】解：（1）令 则 令，解得或.‎ 当变化时，与的变化情况如下表：‎ ‎-1‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 所以，.‎ ‎（2）由题意知，当时，恒成立，‎ 即，令 则，‎ 所以当时，，单调递增；‎ 当时，，单调递减，‎ 故当时，，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数求解函数的极值点，利用分离常数法和导数研究函数在定区间恒成立问题，属于中档题 ‎ ‎