山西省大同市第一中学2020届高三下学期模拟考试（五）数学（理）试题 Word版含解析

山西省大同市第一中学2020届高三下学期模拟考试（五）数学（理）试题 Word版含解析

www.ks5u.com ‎2020届高三年级数学（理）试题模拟试卷五 一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.设U={-1，2，3，4，5}，A={-1，5}，B={2，4}，则B∩（∁UA）=（ ）‎ A. B. 3,4, C. 3, D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由全集U及A，求出A的补集，再求出B与A补集的交集即可．‎ ‎【详解】解：∵U={-1，2，3，4，5}，A={-1，5}，B={2，4}，‎ ‎∴∁UA={2，3，4}，‎ 则B∩（∁UA）={2，4}．‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握交、并、补集的概念是解本题的关键．‎ ‎2.已知平面向量若则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量垂直的坐标表示可以求出，再根据向量的模的坐标计算公式即可求出．‎ ‎【详解】因为，所以，解得．．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题主要考查向量垂直的坐标表示，以及向量的模的坐标计算公式的应用，属于基础题．‎ ‎3.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（ ）‎ A. 2 B. C. D. ‎ - 23 -‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由已知条件求出扇形的半径为，再结合弧长公式求解即可.‎ ‎【详解】解：设扇形的半径为，‎ 由弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，可得，‎ 由弧长公式可得：这个圆心角所对的弧长是，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查了扇形的弧长公式，重点考查了运算能力，属基础题.‎ ‎4.已知是圆：上的动点，则点到直线：的距离的最小值为（ ）‎ A. 1 B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用点到直线的距离公式求得圆心到直线的距离，再用此距离减去半径，即得所求.‎ ‎【详解】解：因为圆：的圆心到直线：的距离 ‎，且圆的半径等于，‎ 故圆上的点到直线的最小距离为 故选：‎ ‎【点睛】本题考查圆上的点到直线的距离的最值问题，属于基础题.‎ ‎5.为了解成都锦江区粮丰社区居民的家庭收入和年支出的关系,现随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：‎ 收入（万元）‎ 支出（万元）‎ - 23 -‎ 根据上表可得,的回归直线方程,其中,由此估计该社区一户收入为14万元,家庭年支出为（ ）．‎ A. 万元 B. 万元 C. 万元 D. 万元 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出,根据,,可以求出,最后把14代入中,求出家庭年支出.‎ ‎【详解】.‎ 因此有,所以,最后把14代入得,‎ ‎.‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查了求几个数的平均数,本题考查了求线性回归方程,考查了线性回归方程的应用,考查了数学运算能力.‎ ‎6.现有10个数，它们能构成一个以1为首项，为公比等比数列，若从这个10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由题意写出成等比数列的10个数，然后找出小于8的项的个数，代入古典概率的计算公式即可求解 ‎【详解】解：由题意成等比数列的10个数为：1，，，‎ 其中小于8的项有：1，，，，，共6个数 这10个数中随机抽取一个数，‎ - 23 -‎ 则它小于8的概率是．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式及古典概率的计算公式的应用，属于基础试题 ‎7.若张三每天的工作时间在6小时至9小时之间随机均匀分布，则张三连续两天平均工作时间不少于7小时的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设第一天工作的时间为x小时，第二天工作的时间为y小时，列出不等关系，作出图形，求出对应的面积之比，可求出答案.‎ ‎【详解】设第一天工作的时间为x小时，第二天工作的时间为y小时，则，‎ 因为连续两天平均工作时间不少于7小时，所以，即，‎ 如下图，表示的区域为正方形，面积为9，其中满足的区域为图中阴影部分，其面积为，‎ 所有，张三连续两天平均工作时间不少于7小时的概率是.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查几何概型，几何概型的概率计算是通过长度、面积、体积等几何测度的比值得到的，属于基础题.‎ - 23 -‎ ‎8.已知数列满足，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由得，所以数列是以1为公差的等差数列，其中首项，再根据等差数列的通项公式可求得，从而可得.‎ ‎【详解】由得化简得，即，所以数列是以1为公差的等差数列，其中首项，‎ 所以，所以，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查根据数列的递推式构造新数列，使所构造的新数列是等差数列或等比数列，从而得原数列的通项公式的问题，属于中档题.‎ ‎9.已知双曲线：（，）的焦距为.点为双曲线的右顶点，若点到双曲线的渐近线的距离为，则双曲线的离心率是（ ）‎ A. B. C. 2 D. 3‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由点到直线距离公式建立的等式，变形后可求得离心率．‎ - 23 -‎ ‎【详解】由题意，一条渐近线方程为，即，∴，‎ ‎，即，，．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查求双曲线的离心率，掌握渐近线方程与点到直线距离公式是解题基础．‎ ‎10.已知奇函数满足，则代数式的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由奇函数定义求出，确定函数的单调性，化简不等式得满足的关系，再由代数式的几何意义求得取值范围．‎ ‎【详解】∵是奇函数，‎ ‎∴当时，，，‎ ‎∴，∴，‎ 即．在上是增函数．‎ 则不等式可化为，‎ ‎∴，，．‎ 满足条件的点在直线的左上方，‎ 而表示点到点间距离的平方，，‎ ‎∴．‎ - 23 -‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，考查二元一次不等式表示的平面区域，考查两点间的距离与点到直线的距离公式．函数的单调性与奇偶性属于基础应用，代数式是平方和形式时，用其几何意义：两点间距离的平方求解更加方便．‎ ‎11.若函数是定义在上的偶函数，对任意，都有，且当时，，若函数（）在区间恰有3个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. （3,5］ D. （1,5]‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得当时，函数，根据，得到函数的周期为2，把函数在区间恰有3个不同的零点，转化为即函数与的图象在区间上有3个不同的交点，结合对数函数的性质，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，函数是定义在上的偶函数，当时，，‎ 则当时，则，函数，‎ 又由对任意，都有，则，即周期为2，‎ 又由函数（）在区间恰有3个不同的零点，‎ 即函数与的图象在区间上有3个不同的交点，‎ 又由，‎ 则满足且，解得，‎ 即实数的取值范围是.‎ 故选：C.‎ - 23 -‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中根据函数的奇偶性得到函数的解析式，以及求得函数的周期，再集合两个函数的图象的性质列出不等式是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.‎ ‎12.平行四边形ABCD中，，，将绕直线BD旋转至与面BCD重合，在旋转过程中不包括起始位置和终止位置，有可能正确的是（　　　　）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用空间中线线、线面、面面间的位置关系直接求解．‎ ‎【详解】解：在A中，，不可能，若，‎ 则AB与CD共面，‎ 在旋转过程中不可能共面．故A错误；‎ 在B中，，，，‎ 有可能．故B正确；‎ 在C中，，，‎ ‎，，‎ ‎，但此时终止位置，不正确．‎ 在D中，如图，在旋转过程中，‎ - 23 -‎ 点A在平面BCD上的投影的轨迹即为线段AE，‎ ‎，‎ ‎，‎ 在旋转过程中AC与BD的夹角钝角部分会越来越大，‎ 选项不可能．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．‎ 二、填空题：本大题4小题，每小题5分，共20分． 把正确答案填在题中横线上．‎ ‎13.已知复数（是虚数单位）是虚数，且，则实数的值是______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算复数，根据，结合模长公式即可解出实数的值．‎ ‎【详解】由题：复数，是虚数，则，‎ ‎，‎ 即，解得或（舍）‎ 所以．‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】此题考查复数的运算和模长的计算并求参数取值，注意概念辨析，一个复数是虚数，则虚部不为零，此题的易错点在于漏掉考虑为虚数的限制条件．‎ - 23 -‎ ‎14.已知的展开式中的系数是－35，则______.______.‎ ‎【答案】 (1). 1 (2). 1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用二项展开式的通项求参数,令,求得,令求得,然后可求得 ‎【详解】由的展开式的通项令得,所以由解得,所以得 令得 令得,‎ 所以 故答案为:1;1.‎ ‎【点睛】本题考查了二项展定理的应用,赋值法求参数的应用,掌握二项展开式的通项是解题的关键,属于一般难度的题.‎ ‎15.某班主任对全班30名男生进行了作业量多少调查，数据如下表：‎ 认为作业多 认为作业不多 总计 喜欢玩电脑游戏 ‎12‎ ‎8‎ ‎20‎ 不喜欢玩电脑游戏 ‎2‎ ‎8‎ ‎10‎ 总计 ‎14‎ ‎16‎ ‎30‎ 该班主任据此推断男生认为作业多与喜欢玩电脑游戏有关系，则这种推断犯错误的概率不超过________．‎ - 23 -‎ 附表及公式：‎ P（K2≥k0）‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ 参考公式：K2＝.‎ ‎【答案】0.05‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据2×2列联表计算出随机变量K2的观测值k，再与临界值进行比较，即可得出．‎ ‎【详解】计算得K2的观测值k＝≈4.286＞3.841，则推断犯错误的概率不超过0.05.‎ 故答案为：0.05．‎ ‎【点睛】本题主要考查独立性检验的基本思想的应用，属于基础题．‎ ‎16.已知直线 与函数的图像恰有四个公共点,,,,其中,则________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 因为直线恒过,画出图像,可知符合条件时,点为切点,此时,则,进而求得的值 ‎【详解】由题,直线恒过,则画出图像如图所示,‎ - 23 -‎ 因为直线与函数图像恰有四个公共点,则是切点,即与相切,且,则,所以,‎ 因为,所以,则,‎ 所以 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查已知零点求参问题,考查导数几何意义的应用,考查数形结合思想 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17.已知函数的部分图像如图所示，直线，是其相邻的两条对称轴．‎ ‎(1) 求函数的解析式；‎ ‎(2) 若，，求的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ - 23 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据图像,相邻对称轴之间距离为,即,可得,将代入求解,进而得到函数解析式；‎ ‎（2）由（1）可得,因为,可得,则,则,根据三角恒等变换代入求值即可 ‎【详解】（1）如图所示,和是相邻的两条对称轴,则,即,所以,‎ 因为点在函数图像上,所以,则,即,‎ 因为,当时,,所以 ‎（2）由（1）,则,即,‎ 因为,所以,则,‎ 则 ‎【点睛】本题考查由图像求正弦型函数解析式,考查利用三角恒等变换求值,考查运算能力与数形结合思想 ‎18.己知数列满足，.‎ - 23 -‎ ‎（1）求证：数列为等比数列：‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)在已知等式两边同除以,然后变形为可证;‎ ‎(2)得到后,利用分组求和,错位相减法可求得.‎ ‎【详解】解：（1）由两边同除以得 ‎，‎ ‎.‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 数列是以为首项，为公比的等比数列.‎ ‎（2）由（1）有，‎ ‎.‎ ‎.‎ 令，‎ - 23 -‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查了利用定义证明等比数列,考查了分组求和,考查了错位相减法求和,属于中档题.‎ ‎19.已知正四棱锥的底面边长和高都为2.现从该棱锥的5个顶点中随机选取3个点构成三角形，设随机变量表示所得三角形的面积.‎ ‎（1）求概率的值；‎ ‎（2）求随机变量的概率分布及其数学期望.‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意，分别得出“从5个顶点中随机选取3个点构成三角形”和“”所包含的基本事件个数，基本事件个数比即为所求概率；‎ ‎（2）先由题意得到的可能取值，求出对应的概率，进而可得到分布列，求出期望.‎ ‎【详解】解：（1）从5个顶点中随机选取3个点构成三角形，‎ 共有种取法.其中的三角形如，‎ 这类三角形共有个.‎ - 23 -‎ 因此.‎ ‎（2）由题意，的可能取值为，2，.‎ 其中的三角形是侧面，这类三角形共有4个；‎ 其中的三角形有两个，和.‎ 因此，.‎ 所以随机变量的概率分布列为：‎ ‎2‎ 所求数学期望 ‎.‎ ‎【点睛】本题主要考查古典概型，以及离散型随机变量的分布列与期望，熟记概率计算公式，以及随机变量的分布列与期望的概念即可，属于常考题型.‎ ‎20.在平面直角坐标系中，已知椭圆过点，且离心率.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）直线的斜率为，直线与椭圆交于、两点，求的面积的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由椭圆的离心率可得出，将点的坐标代入椭圆的方程，可得出和的值，由此可得出椭圆的标准方程；‎ - 23 -‎ ‎（2）设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，由求出的范围，列出韦达定理，利用弦长公式计算出，利用点到直线的距离公式求出的高，然后利用三角形的面积公式结合基本不等式可求出该三角形面积的最大值.‎ ‎【详解】（1）设椭圆的焦距为，则，.‎ 则椭圆的方程可化为，‎ 将点的坐标代入椭圆的方程得，可得，，‎ 因此，椭圆的方程为；‎ ‎（2）设直线的方程为，设点、，‎ 将直线的方程与椭圆的方程联立，‎ 消去，整理得，，得.‎ 由韦达定理得，.‎ 则，‎ 直线的一般方程为，点到直线的距离为，‎ 所以，，‎ 当且仅当时，即当时，等号成立，‎ 因此，面积的最大值为.‎ - 23 -‎ ‎【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中三角形面积最值的计算，在求解直线与椭圆的综合问题时，一般将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理设而不求法求解，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）若为偶函数，求实数的值；‎ ‎（2）当时，求函数的零点；‎ ‎（3）若方程在上有两个不同的实数根，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）和；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由偶函数的性质可知，即可求出的值；‎ ‎（2）可得，解方程可求函数的零点；‎ ‎（3）分离参数得出，运用函数图象求解即可．‎ ‎【详解】解：（1）为偶函数 ‎（2）‎ 当时，由得，‎ 当或时，由得（舍去），；‎ 综上知，的零点为和，‎ - 23 -‎ ‎（3），‎ 当，单调递增，且值域为；‎ 当，单调递减，‎ ‎，‎ 作出上述函数图象，可得，‎ ‎【点睛】本题考查了函数的性质，运用导数，函数的图象，分离参数，解决函数的零点问题，综合性较强，属于难题．‎ - 23 -‎ ‎（二）选考题：共10分． 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎22.在直角坐标系中，曲线的参数方程(为参数)，直线的参数方程(为参数).‎ ‎（1）求曲线在直角坐标系中的普通方程；‎ ‎（2）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，当曲线截直线所得线段的中点极坐标为时，求直线的倾斜角.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）消去参数后化简整理即可得到曲线的普通方程；‎ ‎（2）将直线的参数方程代入曲线的普通方程中，可得到关于的一元二次方程，由韦达定理并结合参数的几何意义可得，从而求得，最后写出直线的倾斜角即可.‎ ‎【详解】（1）由曲线的参数方程 (为参数)， 可得：，‎ 由，得：，‎ 曲线的参数方程化为普通方程为：；‎ ‎（2）中点的极坐标化成直角坐标为，‎ - 23 -‎ 将直线的参数方程代入曲线的普通方程中，得：，‎ 化简整理得：，‎ ‎，‎ 即，‎ ‎，‎ 即，‎ 又，‎ 直线的倾斜角为.‎ ‎【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，考查直线参数方程中的几何意义的应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.‎ ‎23.已知a，b，c为正数，函数f(x)＝|x＋1|＋|x－5|.‎ ‎(1)求不等式f(x)≤10解集；‎ ‎(2)若f(x)的最小值为m，且a＋b＋c＝m，求证：a2＋b2＋c2≥12.‎ ‎【答案】(1) {x|－3≤x≤7} (2) 证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）分段讨论的范围，去掉绝对值符号得出不等式的解；‎ ‎（2）求出的值，根据基本不等式得出结论．‎ ‎【详解】解：（1），‎ 等价于或或，‎ 解得或或，‎ 所以不等式的解集为．‎ ‎（2）因为，‎ - 23 -‎ 当且仅当即时取等号．‎ 所以，即．‎ ‎，，，‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎．当且仅当时等号成立．‎ ‎【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，不等式的证明与基本不等式的应用，属于中档题．‎ ‎ ‎ - 23 -‎ - 23 -‎