【数学】2018届一轮复习人教A版3-2导数与函数的单调性极值最值学案
§3.2 导数与函数的单调性、极值、最值
考纲展示► 1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；会求函数的单调区间．
2．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值；会求闭区间上函数的最大值、最小值．
3．会用导数解决实际问题．
考点1 利用导数研究函数的单调性
函数的单调性与导数
在(a，b)内的可导函数f(x)，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.
f′(x)≥0⇔f(x)在(a，b)上为________．
f′(x)≤0⇔f(x)在(a，b)上为________．
答案：增函数 减函数
(1)[教材习题改编]函数f(x)＝ex－2x的单调递增区间是________．
答案：(ln 2，＋∞)
(2)[教材习题改编]求f(x)＝x＋cos x，x∈R的单调区间．
解：f′(x)＝1－sin x≥0，
所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，
即(－∞，＋∞)是f(x)的单调递增区间．
导数符号与单调性．
已知函数f(x)＝x3－ax2＋ax是R上的增函数，则实数a的取值范围为__________．
答案：[0,3]
解析：依题意，f′(x)＝3x2－2ax＋a≥0恒成立，所以Δ＝4a2－12a≤0，解得0≤a≤3.
[典题1] 设函数f(x)＝x3－x2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.
(1)求b，c的值；
(2)求函数f(x)的单调区间；
(3)设函数g(x)＝f(x)＋2x，且g(x)在区间(－2，－1)内为单调递减函数，求实数a的取值范围．
[解] (1)f′(x)＝x2－ax＋b，
由题意得即
(2)由(1)，得f′(x)＝x2－ax＝x(x－a)．
①当a＝0时，f′(x)＝x2≥0恒成立，即函数f(x)在(－∞，＋∞)内为单调增函数．
②当a>0时，由f′(x)>0得，x>a或x<0；
由f′(x)<0得，0
0得，x>0或x0)的极小值点为________；
(2)函数y＝x＋(x>0)的极小值为________；
(3)函数y＝x＋(x>0)的最小值为________．
答案：(1)x＝ (2)2 (3)2
解析：(1)y′＝1－，令y′＝0，得x＝或x＝－(舍去)．当x∈(0，)时，y′<0；当x∈(，＋∞)时，y′>0.所以x＝是函数的极小值点．极值点是函数取得极值时对应的x的值，而不是函数值．
(2)由(1)知，当x＝时，函数取得极小值y＝＋＝2.
(3)由(1)(2)知，函数的极小值恰好是函数的最小值，即ymin＝2.极值是个“局部”概念，而最值是个“整体”概念．函数在开区间内只有一个极值时，那么极值是相应的最值．
[考情聚焦] 函数的极值是每年高考的必考内容，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度适中，为中高档题．
主要有以下几个命题角度：
角度一
知图判断函数的极值
[典题2] 设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )
A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)
C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)
D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)
[答案] D
[解析] 由题图可知，当x＜－2时，f′(x)＞0；当－2＜x＜1时，f′(x)＜0；当1＜x＜2时，f′(x)＜0；当x＞2时，f′(x)＞0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．
角度二
求函数的极值
[典题3] [2017·山东济宁模拟节选]已知函数f(x)＝(k≠0)，求函数f(x)的极值．
[解] f(x)＝，其定义域为(0，＋∞)，则f′(x)＝－.
令f′(x)＝0，得x＝1，
当k>0时，若00；
若x>1，则f′(x)<0，
∴f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，即当x＝1时，函数f(x)取得极大值.
当k<0时，若01，则f′(x)>0，
∴f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，即当x＝1时，函数f(x)取得极小值.
[点石成金] 1.求函数f(x)极值的步骤：
(1)确定函数的定义域；
(2)求导数f′(x)；
(3)解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；
(4)列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x0处取极小值．
2．可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同，应注意，导数为零的点不一定是极值点．对含参数的求极值问题，应注意分类讨论．
角度三
已知极值求参数
[典题4] (1)[2017·浙江金华十校联考]已知函数f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是________．
[答案]
[解析] f′(x)＝(ln x－ax)＋x＝ln x＋1－2ax，令f′(x)＝0，得2a＝.
设φ(x)＝，则φ′(x)＝－，易知φ(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以φ(x)max＝φ(1)＝1，则φ(x)的大致图象如图所示．
若函数f(x)有两个极值点，则直线y＝2a和y＝φ(x)的图象有两个交点，所以0<2a<1，得00，f(x)单调递增；当x>1时，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以x＝1是f(x)的极大值点．
②若a<0，由f′(x)＝0，得x＝1或x＝－.因为x＝1是f(x)的极大值点，所以－>1，解得－10.所以S在x＝1处取得极小值，也是最小值，所以两段铁丝的长都是1.
(2)[教材习题改编]已知f(x)＝x3－x2＋1，求f(x)在[－1,2]上的最大值，最小值．
解：∵f(x)＝x3－x2＋1，
则f′(x)＝3x2－3x.
令f′(x)＝0得，3x2－3x＝0，
解得x＝0或x＝1.
当－1≤x<0时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当00，f(x)单调递增．
故f(x)在[－1,0)上递增，在(0,1)上递减，在(1,2]上递增．
比较端点值和极值得，
f(x)的最大值为f(2)＝3，最小值为f(－1)＝－.
区间内的单峰函数．
函数f(x)在区间[a，b]内只有一个极大值点，则函数在该点处取得________；如果函数在区间[a，b]内只有一个极小值点，则函数在该点处取得________．
答案：最大值 最小值
[典题5] 已知函数f(x)＝(ax2＋bx＋c)ex在[0,1]上单调递减且满足f(0)＝1，f(1)＝0.
(1)求a的取值范围；
(2)设g(x)＝f(x)－f′(x)，求g(x)在[0,1]上的最大值和最小值．
[解] (1)由得
则f(x)＝[ax2－(a＋1)x＋1]ex，
f′(x)＝[ax2＋(a－1)x－a]ex，
依题意，对于任意x∈[0,1]，有f′(x)≤0.
当a＞0时，因为二次函数y＝ax2＋(a－1)x－a的图象开口向上，而f′(0)＝－a＜0，所以需f′(1)＝(a－1)e＜0，即0＜a＜1；
当a＝1时，对于任意x∈[0,1]，有f′(x)＝(x2－1)ex≤0，且只在x＝1时f′(x)＝0，f(x)符合条件；
当a＝0时，对于任意x∈[0,1]，f′(x)＝－xex≤0，
且只在x＝0时，f′(x)＝0，f(x)符合条件；
当a＜0时，因为f′(0)＝－a＞0，f(x)不符合条件．
故a的取值范围为[0,1]．
(2)因为g(x)＝(－2ax＋1＋a)ex，
g′(x)＝(－2ax＋1－a)ex，
(ⅰ)当a＝0时，g′(x)＝ex＞0，
g(x)在x＝0处取得最小值g(0)＝1，
在x＝1处取得最大值g(1)＝e.
(ⅱ)当a＝1时，对于任意x∈[0,1]有g′(x)＝－2xex≤0，
g(x)在x＝0处取得最大值g(0)＝2，
在x＝1处取得最小值g(1)＝0.
(ⅲ)当0＜a＜1时，由g′(x)＝0得x＝＞0.0
①若≥1，即0＜a≤时，
g(x)在[0,1]上单调递增，
g(x)在x＝0处取得最小值g(0)＝1＋a，
在x＝1处取得最大值g(1)＝(1－a)e.
②若＜1，即＜a＜1时，
g(x)在x＝处取得最大值g＝2ae，
在x＝0或x＝1处取得最小值，
而g(0)＝1＋a，g(1)＝(1－a)e，
由g(0)－g(1)＝1＋a－(1－a)e＝(1＋e)a＋1－e＝0，得a＝.
则当＜a≤时，g(0)－g(1)≤0，
g(x)在x＝0处取得最小值g(0)＝1＋a；
当＜a＜1时，g(0)－g(1)＞0，
g(x)在x＝1处取得最小值g(1)＝(1－a)e.
[点石成金] 求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤：
(1)求函数在(a，b)上的极值；
(2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)；
(3)将函数f(x)的各极值与 f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
已知函数f(x)＝(x－k)ex.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．
解：(1)由题意知f′(x)＝(x－k＋1)ex.
令f′(x)＝0，得x＝k－1.
当x变化时，f(x)与f′(x)的变化情况如下表.
x
(－∞，k－1)
k－1
(k－1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
－ek－1
所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞)．
(2)当k－1≤0，即k≤1时，f(x)在[0,1]上单调递增，
所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k；
当00时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(0,1)
B．(－1,0)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(－1,0)
D．(0,1)∪(1，＋∞)
答案：A
解析：设y＝g(x)＝(x≠0)，
则g′(x)＝，
当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，
∴ g′(x)<0，
∴ g(x)在(0，＋∞)上为减函数，且g(1)＝f(1)＝－f(－1)＝0.
∵ f(x)为奇函数，∴ g(x)为偶函数，
∴ g(x)的图象的示意图如图所示．
当x＞0，g(x)＞0时，f(x)＞0,0＜x＜1；
当x＜0，g(x)＜0时，f(x)>0，x＜－1.
∴ 使得f(x)＞0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)，故选A.
2．[2015·福建卷]若定义在R上的函数f(x)满足f(0)＝－1，其导函数f′(x)满足f′(x)>k>1，则下列结论中一定错误的是( )
A．f< B．f>
C．f< D．f>
答案：C
解析：令g(x)＝f(x)－kx＋1，
则g(0)＝f(0)＋1＝0，
g＝f－k·＋1
＝f－.
∵ g′(x)＝f′(x)－k>0，
∴ g(x)在[0，＋∞)上为增函数．
又k>1，∴ >0，
∴ g>g(0)＝0.
∴ f－>0，
即f>.
3．[2014·新课标全国卷Ⅰ]已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0>0，则a的取值范围是( )
A．(2，＋∞) B．(－∞，－2)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)
答案：B
解析：f′(x) ＝3ax2－6x，
当a＝3时，f′(x)＝9x2－6x＝3x(3x－2)，
则当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0；
当x∈时，f′(x)<0；
当x∈时，f′(x)>0.
注意f(0)＝1，f＝>0，则f(x)的大致图象如图所示．
不符合题意，排除A，C.
当a＝－时，f′(x)＝－4x2－6x＝－2x(2x＋3)，
则当x∈时，f′(x)<0；
当x∈时，f′(x)>0，；
当∈(0，＋∞)时，f′(x)<0.注意f(0)＝1，f＝－，则f(x)的大致图象如图所示．
不符合题意，排除D.
4．[2014·新课标全国卷Ⅱ]设函数f(x)＝sin .若存在f(x)的极值点x0满足x＋[f(x0)]23，其中k∈Z.由题意，存在整数k使得不等式m2>3成立．当k≠－1且k≠0时，必有2>1，此时不等式显然不能成立，故k＝－1或k＝0，此时，不等式即为m2>3，解得m<－2或m>2.
5．[2013·新课标全国卷Ⅱ]已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是( )
A. ∃x0∈R，f(x0)＝0
B. 函数y＝f(x)的图象是中心对称图形
C. 若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减
D. 若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝0
答案：C
解析：由三次函数的值域为R知f(x)＝0有解，所以A项正确；因为y＝x3
的图象为中心对称图形，而f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c的图象可以由y＝x3的图象平移得到，故B项正确；若f(x)有极小值点，则f′(x)＝0有两个不等实根x1，x2(x10时，(x－2)ex＋x＋2>0；
(2)证明：当a∈[0,1)时，函数g(x)＝(x>0)有最小值．设g(x)的最小值为h(a)，求函数h(a)的值域．
(1)解：f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(－2，＋∞)．
f′(x)＝＝≥0，
当且仅当x＝0时，f′(x)＝0，
所以f(x)在(－∞，－2)，(－2，＋∞)上单调递增．
因此当x∈(0，＋∞)时，f(x)>f(0)＝－1.
所以(x－2)ex>－(x＋2)，(x－2)ex＋x＋2>0.
(2)证明：g′(x)＝＝[f(x)＋a]．
由(1)知f(x)＋a单调递增．对任意的a∈[0,1)，f(0)＋a＝a－1<0，f(2)＋a＝a≥0.因此，存在唯一xa∈(0,2]，使得f(xa)＋a＝0，即g′(xa)＝0.
当0xa时，f(x)＋a>0，g′(x)>0，g(x)单调递增．
因此g(x)在x＝xa处取得最小值，最小值为
g(xa)＝＝＝.
于是h(a)＝，
由′＝>0，得y＝单调递增．
所以，由xa∈(0,2]，得＝0时，g(x)>0，求b的最大值；
(3)已知1.414 2<<1.414 3，估计ln 2的近似值(精确到0.001)．
解：(1)f′(x)＝ex＋e－x－2≥0，当且仅当x＝0时等号成立．所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．
(2)g(x)＝f(2x)－4bf(x)＝e2x－e－2x－4b(ex－e－x)＋(8b－4)x，
g′(x)＝2[e2x＋e－2x－2b(ex＋e－x)＋(4b－2)]
＝2(ex＋e－x－2)(ex＋e－x－2b＋2)．
①当b≤2时，g′(x)≥0，当且仅当x＝0时等号成立，所以g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．而g(0)＝0，所以对任意x>0，g(x)>0；
②当b>2时，若x满足20，ln 2>>0.692 8；
当b＝＋1时，ln(b－1＋)＝ln ，
g(ln)＝－－2＋(3 ＋2)ln 2 <0，
ln 2<<0.693 4.
所以ln 2的近似值为0.693.
课外拓展阅读
利用导数确定函数的单调区间问题
[典例] [2014·山东卷]设函数f(x)＝－k(k为常数，e＝2.718 28…是自然对数的底数)．
(1)当k≤0时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点，求k的取值范围．
[解] (1)函数y＝f(x)的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝－k
＝－
＝.
由k≤0可得ex－kx＞0，
所以当x∈(0,2)时f′(x)＜0，函数y＝f(x)单调递减；
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0，函数y＝f(x)单调递增．
所以f(x)的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2，＋∞)．
(2)由(1)知，当k≤0时，函数f(x)在(0,2)内单调递减．
故f(x)在(0,2)内不存在极值点．
当k＞0时，设函数g(x)＝ex－kx，x∈(0，＋∞)．
因为g′(x)＝ex－k＝ex－eln k，
当0＜k≤1时，
当x∈(0,2)时，g′(x)＝ex－k＞0，y＝g(x)单调递增，
故f(x)在(0,2)内不存在两个极值点；
当k＞1时，得
x∈(0，ln k)时，g′(x)＜0，函数y＝g(x)单调递减．
x∈(ln k，＋∞)时，g′(x)＞0，函数y＝g(x)单调递增．
所以函数y＝g(x)的最小值为g(ln k)＝k(1－ln k)．
若函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点，则
解得e＜k＜，
综上所述，函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点时，k的取值范围为.
[答题模板]
用导数法求函数的单调区间一般可用以下几步答题：
第一步：求函数f(x)的定义域；
第二步：求函数f(x)的导数f′(x)；
第三步：由f′(x)＞0(f′(x)＜0)解出相应的x的范围；
第四步：写出函数f(x)的单调区间；
第五步：反思回顾，查看关键点、易错点和解题规范．
