2018届二轮复习 坐标系与参数方程 学案（全国通用）

2018届二轮复习 坐标系与参数方程 学案（全国通用）

‎【2018年高考考纲解读】‎ 高考对本内容的考查主要有：‎ ‎(1)直线、曲线的极坐标方程；‎ ‎(2)直线、曲线的参数方程；‎ ‎(3)参数方程与普通方程的互化；‎ ‎(4)极坐标与直角坐标的互化 ，本内容的考查要求为B级.‎ ‎【重点、难点剖析】‎ ‎1．直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则 ‎2．直线的极坐标方程 若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．‎ 几个特殊位置的直线的极坐标方程 ‎(1)直线过极点：θ＝α；‎ ‎(2)直线过点M(a,0)(a>0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a；‎ ‎(3)直线过M且平行于极轴：ρsin θ＝b.‎ ‎3．圆的极坐标方程 若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r的圆方程为：‎ ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ0－r2＝0.‎ 几个特殊位置的圆的极坐标方程 ‎(1)当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r；‎ ‎(2)当圆心位于M(r,0)，半径为r：ρ＝2rcos θ；‎ ‎(3)当圆心位于M，半径为r：ρ＝2rsin θ.‎ ‎(4)圆心在点M(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为(θ为参数，0≤θ≤2π)．圆心在点A(ρ0，θ0)，半径为r的圆的方程为r2＝ρ2＋ρ0－2ρρ0cos(θ－θ0)．‎ ‎4．直线的参数方程 经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程为(t为参数)．‎ 设P是直线上的任一点，则t表示有向线段的数量．‎ ‎5．圆的参数方程 圆心在点M(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为(θ为参数，0≤θ≤2π)．‎ ‎6．圆锥曲线的参数方程 ‎(1)椭圆＋＝1的参数方程为(θ为参数)．‎ ‎(2)双曲线－＝1的参数方程为(θ为参数)．‎ ‎(3)抛物线y2＝2px(p>0)的参数方程为(t为参数).‎ ‎【题型示例】‎ 题型一　极坐标 ‎ ‎【例1】【2017课标3，文22】在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为（t为参数），直线的参数方程为.设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．‎ ‎（1）写出C的普通方程；‎ ‎（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cosθ+sinθ)−=0，M为l3与C的交点，求M的极径.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【变式探究】【2016年高考北京文数】在极坐标系中，直线与圆交于A，B两点，则______.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】直线过圆的圆心，因此学科&网 ‎【变式探究】在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为(　　)[来 ‎ A．θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝2‎ B．θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝2‎ C．θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝1‎ D．θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝1‎ 解析　由ρ＝2cos θ得x2＋y2－2x＝0.‎ ‎∴(x－1)2＋y2＝1，‎ 圆的两条垂直于x轴的切线方程为x＝0和x＝2.‎ 故极坐标方程为θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝2，故选B.[来源: ]‎ 答案　B ‎【变式探究】(2015·广东，14)(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系xOy中，‎ 以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C1的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，曲线C2的参数方程为(t为参数)，则C1与C2交点的直角坐标为________．‎ 解析　∵曲线C1的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，∴曲线C1的直角坐标方程为x＋y＝－2.曲线C2的参数方程为(t为参数)，则其直角坐标方程为y2＝8x，联立解得x＝2，y＝－4，即C1，C2的交点坐标为(2，－4)．学科&网 答案　(2，－4)‎ ‎【举一反三】(2015·安徽，12)在极坐标系中，圆ρ＝8sin θ上的点到直线θ＝(ρ∈R)距离的最大值是________．‎ 解析　由ρ＝8sin θ得x2＋y2＝8y，即x2＋(y－4)2＝16，由θ＝得y＝x，即x－y＝0，∴圆心(0，4)到直线y＝x的距离为2，圆ρ＝8sin θ上的点到直线θ＝的最大距离为4＋2＝6.‎ 答案　6‎ ‎【变式探究】(2015·新课标全国Ⅰ，23)在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1) 2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎(1)求C1，C2的极坐标方程．‎ ‎(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．‎ ‎ ‎ ‎【举一反三】(2015·江苏。21(C))已知圆C的极坐标方程为ρ2＋2ρsin－4＝0，求圆C的半径．‎ 解　以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O，以极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy.‎ 圆C的极坐标方程为 ρ2＋2ρ－4＝0，‎ 化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0.‎ 则圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＋2y－4＝0，‎ 即(x－1)2＋(y＋1)2＝6，所以圆C的半径为.学科&网 题型二　参数方程及其应用 ‎【例3】【2017课标1，文22】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为 ‎．‎ ‎（1）若，求C与l的交点坐标；‎ ‎（2）若C上的点到l的距离的最大值为，求．‎ ‎【答案】（1），；（2）或．‎ 当时， 的最大值为.由题设得，所以；‎ 当时， 的最大值为.由题设得，所以.‎ 综上， 或.学科&网 ‎【变式探究】【2016高考新课标1卷】（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xy中,曲线C1的参数方程为（t为参数,a＞0）．‎ 在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2：ρ=.‎ ‎（I）说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程；‎ ‎（II）直线C3的极坐标方程为,其中满足tan=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a．‎ ‎【答案】（I）圆,（II）1‎ ‎【变式探究】 (2015·重庆，15)已知直线l的参数方程为(t为参数)‎ ‎，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos 2θ＝4，则直线l与曲线C的交点的极坐标为________．‎ 解析　直线l的直角坐标方程为y＝x＋2，由ρ2cos 2θ＝4得ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4，直角坐标方程为x2－y2＝4，把y＝x＋2代入双曲线方程解得x＝－2，因此交点为(－2，0)，其极坐标为(2，π)．‎ 答案　(2，π)‎ ‎【变式探究】(2014·福建)已知直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的参数方程为 ‎(θ为参数)．‎ ‎(1)求直线l和圆C的普通方程；‎ ‎(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围．‎ ‎【命题意图】本小题主要考查直线与圆的参数方程等基础知识，意在考查考生的运算求解能力及化归与转化思想．‎ ‎【解题思路】(1)消去参数，即可求出直线l与圆C的普通方程．‎ ‎(2)求出圆心的坐标，利用圆心到直线l的距离不大于半径，得到关于参数a的不等式，即可求出参数a的取值范围．‎ ‎【感悟提升】‎ ‎1．将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程，常用的消参方法有代入消参、加减消参和三角恒等式消参等，往往需要对参数方程进行变形，为消去参数创造条件．‎ ‎2．在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解．‎ ‎【变式探究】(2015·福建，21(2))在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为 ‎ (t为参数)．在极坐标系(与平面直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴)中，直线l的方程为ρsin＝m(m∈R)．‎ ‎①求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；‎ ‎②设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值．‎ ‎【举一反三】(2015·湖南，16Ⅱ)已知直线l：(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.‎ ‎(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎(2)设点M的直角坐标为(5，)，直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|·|MB|的值．‎ 解　(1)ρ＝2cos θ等价于ρ2＝2ρcos θ.①‎ 将ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x代入①即得曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.②‎ ‎(2)将代入②式，得t2＋5t＋18＝0.‎ 设这个方程的两个实根分别为t1，t2，则由参数t的几何意义即知，‎ ‎|MA|·|MB|＝|t1t2|＝18.‎ ‎ ‎