江西省高安中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题（A卷）

江西省高安中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题（A卷）

江西省高安中学2019-2020学年上学期期末考试 高二年级数学理科A卷 ‎ ‎ 一.选择题 （本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1.复平面内表示复数的点位于（ ）‎ ‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎2．下列有关命题的说法错误的是（ ）‎ A.已知是椭圆的两个焦点，过点的直线与椭圆交于A,B两点，则 的周长为 B．若“”为假命题，则与均为假命题 C．若命题，则命题 D.两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于0‎ ‎3.一个盒子里装有相同大小的黑球个,红球个,白球个.从中任取个,其中白球的个数记为,则概率等于表示的是(   )‎ A. B. C. D. ‎ ‎4.‎2018年9月24日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主、英国著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动．在1859年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想．在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字的素数个数大约可以表示为的结论（素数即质数，）．根据欧拉得出的结论，如右流程图中若输入的值为100，则输出的值应属于区间（ ）[来源:Zxxk.Com]‎ A. B． C． D．‎ ‎5.已知,则二项式展开式中的常数项为（ ）‎ A．8 B．‎28 ‎C．56 D．120‎ ‎6.已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的左焦点为F，以OF为直径的圆与双曲线C 的渐近线交于不同于原点O的A，B两点，若四边形AOBF的面积为，则双曲线C的渐近线方程为（ ）‎ ‎ A．y＝x B．y＝x C．y＝x D．y＝x ‎7.针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的.若有的把握认为是否追星和性别有关，则男生至少有（ ）‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎3.841‎ ‎6.635[来源:学科网ZXXK]‎ ‎10.828‎ 参考数据及公式如下：‎ A. 12 B. ‎11 ‎C. 10 D. 18‎ ‎8.某校在“数学联赛”考试后选取了6名教师参加阅卷，试卷共4道解答题，要求将这6名教师分成4组，每组改一道解答题，其中2组各有2名教师，另外2组各有1名教师，则不同的分配方案的种数是（ ）‎ A．216 B．‎420 C．720 D．1080‎ ‎9.已知函数的定义域为为的导函数,且满足,则不等式的解集是( )‎ A. B. C D.‎ ‎10..如图所示,点F是抛物线的焦点,点分别在抛物线及圆的实线部分上运动,且总是平行于x轴,则的周长的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎11.如图，在三棱柱中，侧棱底面,‎ 是棱的中点，是的延长线的交点.若点在直线上，则下列结论正确的是( )‎ A.当点为线段的中点时，平面 B.当点为线段的三等分点时，平面 C.在线段的延长线上，存在一点，使得平面 D.不存在点，使与平面垂直 ‎12.若曲线 和上分别存在点 ,使得 是以原点 为直角顶点的直角三角形, 交 轴于点 ，且 ，则实数 的取值范围是(    ) ‎ A.  B.  C.  D. ‎ 二.填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分。)‎ 收入(万元)‎ ‎8.2‎ ‎8.6‎ ‎10.0‎ ‎11.3‎ ‎11.9‎ 支出(万元)‎ ‎6.2‎ ‎7.5‎ ‎8.0‎ ‎8.5‎ ‎13.为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得回归直线方程，则 .‎ ‎14.随机变量的分布列为,其中 为常数,则 的值为__________.‎ ‎15.若不等式对任意实数恒成立,则实数的取值范围是__________‎ ‎16.已知函数f（x）＝x3－3x＋b与函数有相同的对称中心，若有最大值，则实数的取值范围是__________.‎ 三、解答题：(本大题共6小题，满分70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。)‎ ‎17.（本小题满分10分）在直角坐标系中,直线的方程为,曲线的参数方程为 (为参数).‎ ‎（1）.已知在极坐标系(与直角坐标系取相同的长度单位,且以原点为极点,以轴正半轴为极轴)中,点的极坐标为,判断点与直线的位置关系;‎ ‎（2）.设点是曲线上的一个动点,求它到直线的距离的最小值.‎ ‎18. ( 本小题满分12分）‎ 已知函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若函数的值域为R，求实数的取值范围.‎ ‎19.( 本小题满分12分）‎ 从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图:‎ ‎(1).求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差 (同一组中的数据用该组区间的中间值作代表); (2).由直方图可以认为,这种产品的质量指标值服从正态分布,其中近似为样本平均数 ,近似为样本方差. ①利用该正态分布,求; ②某用户从该企业购买了件这种产品,记表示这件产品中质量指标值位于区间的产品件数,利用①的结果,求. 附: . 若,则,‎ ‎20. ( 本小题满分12分）‎ 如图，在四棱锥 中，底面 是矩形， 平面 ， ，点 、 分别在线段 、 上，且 ,其中 ，连接 ，延长 与 的延长线交于点 ，连接 ‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若 时，求二面角 的正弦值；‎ ‎（3）若直线 与平面 所成角的正弦值为 时，求 值．‎ ‎21.( 本小题满分12分)‎ 已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，且线段的中点坐标为，椭圆的上顶点的坐标为．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设直线与椭圆交于，两点，若直线与的斜率之和为，求证：直线过定点．‎ ‎22. ( 本小题满分12分）‎ 已知函数 ‎(1).若在定义域上不单调,求的取值范围;‎ ‎(2).设,分别是的极大值和极小值,且,求的取值范围.‎ 高二年级数学理A卷数学答案 一．选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 选项 C D A B B C A D A B D C 二、填空题 ‎13 9.8 14, 15 . 16.[－1，＋∞）‎ 三、解答题：(本大题共6小题，满分70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。)‎ ‎17.解：1. 点的极坐标为,则直角坐标为, ‎ 把代入直线的方程, ‎ 因为,所以点在直线上. 。。。。。。。。。5分 2.因为点是曲线上的一个动点,则点的坐标可设为.‎ 点到直线的距离为 ‎.‎ 所以当时, 取得最小值。。。。。。。。10分 .‎ ‎18. （1）由已知不等式，得. ‎ 考虑到，不等式又可化为或 解得或.‎ 所以不等式的解集为. 。。。。。。。6分 ‎（2）设，则.‎ ‎ ‎ 因为当且仅当时取等号，‎ 所以. ‎ 因为函数的值域为，‎ 所以有解，即.‎ 因为，所以，即.‎ 所以实数的取值范围是。。。。。。。。。12分 ‎ ‎ 解:1.抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差分别为: ,。。。。。。。2分 .。。。。。。。4分 2.①由1知, ,从而.。。。。。。。8分 ②由①知,一个产品的质量指标值位于区间的概率为依题意知, 所以.。。。。。。。12分 ‎ ‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）在线段 上取一点 ，使得 ， ， ‎ 且 ，‎ ‎，‎ ‎， 且 ，‎ 且 ，‎ 四边形为平行四边形，‎ ‎，‎ 又 平面 ， 平面 ，‎ 平面 ．。。。。。。。。3分 ‎（2）以 为坐标原点，分别以 ， ， 为 ， ， 轴建立空间直角坐标系 ‎ ‎ ‎，0， ， ，0， ， ，2， ， ，2， ， ，0， ，‎ ‎， ，1， ， ，0， ‎ 设平面 的一个法向量为 ，‎ ‎， ，‎ ‎，令 ， ， ，‎ 设平面 的一个法向量为 ，‎ ‎， ，[来源:Z。xx。k.Com]‎ ‎，‎ 令 ， ， ， ，‎ ‎，‎ ‎，‎ 二面角 的正弦值为 ．。。。。。。。7分 ‎（Ⅲ）令 ， ， ， ， ，‎ 设平面 的一个法向量为 ，‎ ‎， ，‎ ‎，令 ，‎ ‎，‎ ‎ ‎ 由题意可得： ，‎ ‎，‎ ‎， ．。。。。。。。12分 ‎.‎ ‎21.（1）设，，‎ 因为线段的中点坐标为，所以，（2分）‎ 又，，上述两式相减可得，‎ 因为直线的斜率为，即，所以，（4分）‎ 又因为椭圆的上顶点的坐标为，所以，‎ 所以，所以椭圆的标准方程为，（5分）‎ ‎（2）设点，，将代入，消去可得，‎ 则，，（7分）‎ 所以，‎ 所以，化简得，（10分）‎ 所以直线的方程为，即，‎ 令，可得，所以直线过点，‎ 故直线过定点．（12分）‎ ‎22解：1.由已知,‎ ‎①若在定义域上单调递增,则,即在上恒成立,而,所以;‎ ‎②若在定义域上单调递减,则,即在上恒成立,而,[来源:学科网]‎ 所以.因为在定义域上不单调,所以,即.。。。。。。。4分 2.由知,欲使在有极大值和极小值,必须.又,所以.‎ 令的两根分别为,即的两根分别为,于是.。。。。。。。6分 不妨设,则在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,所以,所以 令,于是. ,.。。。。。。。9分 由,得.[来源:Z+xx+k.Com]‎ 因为,‎ 所以在上为减函数.‎ 所以.。。。。。。。12分 ‎ ‎ ‎ ‎