【数学】2019届一轮复习人教A版绝对值不等式学案

【数学】2019届一轮复习人教A版绝对值不等式学案

第4节　绝对值不等式 最新考纲　1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)；|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b∈R)；2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－c|＋|x－b|≥a.‎ 知 识 梳 理 ‎1．绝对值不等式的解法 ‎(1)含绝对值的不等式|x|a的解集 不等式 a>0‎ a＝0‎ a<0‎ ‎|x|a ‎(－∞，－a)∪(a，＋∞)‎ ‎(－∞，0)∪(0，＋∞)‎ R ‎(2)|ax＋b|≤c (c>0)和|ax＋b|≥c (c>0)型不等式的解法 ‎①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；‎ ‎②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c；‎ ‎(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法 ‎①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；‎ ‎②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；‎ ‎③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．‎ ‎2．含有绝对值的不等式的性质 ‎(1)如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立；‎ ‎(2)|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|；‎ ‎(3)如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．‎ ‎[常用结论与微点提醒]‎ ‎1．绝对值不等式的三种常用解法：零点分段法，数形结合法，构造函数法．‎ ‎2．不等式恒成立问题、存在性问题都可以转化为最值问题解决．‎ ‎3．可以利用绝对值三角不等式定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|求函数最值，要注意其中等号成立的条件．‎ 诊 断 自 测 ‎1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)若|x|＞c的解集为R，则c≤0.(　　)‎ ‎(2)不等式|x－1|＋|x＋2|＜2的解集为∅.(　　)‎ ‎(3)对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当a＞b＞0时等号成立．(　　)‎ ‎(4)对|a|－|b|≤|a－b|当且仅当|a|≥|b|时等号成立．(　　)‎ ‎(5)对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立．(　　)‎ 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√‎ ‎2．若函数f(x)＝|x＋1|＋|2x＋a|的最小值为3，则实数a的值为(　　)‎ A．5或8 B．－1或5‎ C．－1或－4 D．－4或8‎ 解析　分类讨论：‎ 当a≤2时，f(x)＝ 显然，x＝－时，f(x)min＝＋1－a＝3，∴a＝－4，‎ 当a>2时，f(x)＝ 显然x＝－时，f(x)min＝－－1＋a＝3，∴a＝8.‎ 答案　D ‎3．若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k＝________．‎ 解析　∵|kx－4|≤2，∴－2≤kx－4≤2，∴2≤kx≤6.‎ ‎∵不等式的解集为{x|1≤x≤3}，∴k＝2.‎ 答案　2‎ ‎4．不等式|x－1|－|x－5|<2的解集为________．‎ 解析　①当x≤1时，原不等式可化为1－x－(5－x)<2，‎ ‎∴－4<2，不等式恒成立，∴x≤1.‎ ‎②当10.‎ ‎(1)当a＝1时，则不等式f(x)≥3x＋2的解集为________．‎ ‎(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，则a的值为________．‎ 解析　(1)当a＝1时，f(x)≥3x＋2可化为|x－1|≥2.‎ 由此可得x≥3或x≤－1.‎ 故当a＝1时，不等式f(x)≥3x＋2的解集为{x|x≥3或x≤－1}．‎ ‎(2)由f(x)≤0得|x－a|＋3x≤0.‎ 此不等式化为不等式组或 即或 因为a>0，所以不等式组的解集为.‎ 由题设可得－＝－1，故a＝2.‎ 答案　(1){x|x≥3或x≤－1}　(2)2‎ 考点一　含绝对值不等式的解法 ‎【例1】 (一题多解)解不等式|x－1|＋|x＋2|≥5.‎ 解　法一　如图，设数轴上与－2，1对应的点分别是A，B，则不等式的解就是数轴上到A，B两点的距离之和不小于5的点所对应的实数．显然，区间[－2，1]不是不等式的解集．把A向左移动一个单位到点A1，此时A1A＋A1B＝1＋4＝5.把点B向右移动一个单位到点B1，此时B1A＋B1B＝5，故原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．‎ 法二　原不等式|x－1|＋|x＋2|≥5⇔‎ 或 或解得x≥2或x≤－3，‎ ‎∴原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．‎ 法三　将原不等式转化为|x－1|＋|x＋2|－5≥0.‎ 令f(x)＝|x－1|＋|x＋2|－5，则 f(x)＝作出函数的图象，如图所示．‎ 由图象可知，当x∈(－∞，－3]∪[2，＋∞)时，y≥0，‎ ‎∴原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．‎ 规律方法　形如|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法，利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a]，(a，b]，(b，＋∞)(此处设a＜b)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集；(2)几何法，利用|x－a|＋|x－b|＞c(c＞0)的几何意义：数轴上到点x1＝a和x2＝b的距离之和大于c的全体；(3)图象法：作出函数y1＝|x－a|＋|x－b|和y2＝c的图象，结合图象求解．‎ ‎【训练1】 (2017·全国Ⅲ卷改编)已知函数f(x)＝|x＋1|－‎ ‎|x－2|，则：‎ ‎(1)不等式f(x)≥1的解集为________；‎ ‎(2)若不等式f(x)≥x2－x＋m的解集非空，则m的取值范围为________．‎ 解析　(1)f(x)＝ 当x<－1时，f(x)＝－3≥1无解；‎ 当－1≤x≤2时，由2x－1≥1，得1≤x≤2；‎ 当x>2时，f(x)＝3≥1恒成立．‎ 故f(x)≥1的解集为[1，＋∞)．‎ ‎(2)不等式f(x)≥x2－x＋m等价于f(x)－x2＋x≥m，得m≤|x＋1|－|x－2|－x2＋x有解．‎ 又|x＋1|－|x－2|－x2＋x≤|x|＋1＋|x|－2－x2＋|x|＝－＋≤，当且仅当x＝时，|x＋1|－|x－2|－x2＋x＝.故m的取值范围是.‎ 答案　(1)[1，＋∞)　(2) 考点二　绝对值不等式性质的应用 ‎【例2】 (1)对任意x，y∈R，求|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值；‎ ‎(2)对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，求|x－2y＋1|的最大值．‎ 解　(1)∵x，y∈R，∴|x－1|＋|x|≥|(x－1)－x|＝1，‎ ‎∴|y－1|＋|y＋1|≥|(y－1)－(y＋1)|＝2，‎ ‎∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|≥1＋2＝3.‎ ‎∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为3.‎ ‎(2)|x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－1)|≤|x－1|＋|2(y－2)＋2|≤1＋2|y－2|＋2≤5，即|x－2y＋1|的最大值为5.‎ 规律方法　求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种：(1)利用绝对值的几何意义；(2)利用绝对值三角不等式，即|a|＋|b|≥|a±b|≥|a|－|b|；(3)利用零点分区间法．‎ ‎【训练2】 (1)若关于x的不等式|2 014－x|＋|2 015－x|≤d有解，求实数d的取值范围；‎ ‎(2)不等式≥|a－2|＋sin y对一切非零实数x，y均成立，求实数a的取值范围．‎ 解　(1)∵|2 014－x|＋|2 015－x|≥|2 014－x－2 015＋x|＝1，‎ ‎∴关于x的不等式|2 014－x|＋|2 015－x|≤d有解时，d≥1.‎ ‎(2)∵x＋∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，‎ ‎∴∈[2，＋∞)，其最小值为2.‎ 又∵sin y的最大值为1，‎ 故不等式≥|a－2|＋sin y恒成立时，‎ 有|a－2|≤1，解得a∈[1，3]．‎ 考点三　含绝对值的不等式的应用 ‎【例3】 (2016·浙江卷)已知a≥3，函数F(x)＝min{2|x－1|，x2－2ax＋4a－2}，其中min{p，q}＝ ‎(1)求使得等式F(x)＝x2－2ax＋4a－2成立的x的取值范围；‎ ‎(2)①求F(x)的最小值m(a)；‎ ‎②求F(x)在区间[0，6]上的最大值M(a)．‎ 解　(1)由于a≥3，故当x≤1时，(x2－2ax＋4a－2)－2|x－1|＝x2＋2(a－1)(2－x)＞0，‎ 当x＞1时，(x2－2ax＋4a－2)－2|x－1|‎ ‎＝(x－2)(x－2a)．‎ 所以使得等式F(x)＝x2－2ax＋4a－2成立的x的取值范围是[2，2a]．‎ ‎(2)①设函数f(x)＝2|x－1|，g(x)＝x2－2ax＋4a－2，则f(x)min＝f(1)＝0，g(x)min＝g(a)＝－a2＋4a－2，‎ 所以，由F(x)的定义知m(a)＝min，‎ 即m(a)＝ ‎②当0≤x≤2时，F(x)＝f(x)≤max＝2＝F(2)．‎ 当2≤x≤6时，F(x)＝g(x)≤max ‎＝max＝max.‎ 所以M(a)＝ 规律方法　(1)解决与绝对值有关的综合问题的关键是去掉绝对值，化为分段函数来解决．(2)数形结合是解决与绝对值有关的综合问题的常用方法．‎ ‎【训练3】 已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.‎ ‎(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；‎ ‎(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求实数a的取值范围．‎ 解　(1)当a＝1时，f(x)>1化为|x＋1|－2|x－1|－1>0.‎ 当x≤－1时，不等式化为x－4>0，无解；‎ 当－10，解得0，解得1≤x<2.‎ 所以f(x)>1的解集为.‎ ‎(2)由题设可得，f(x)＝ 所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B(2a＋1，0)，C(a，a＋1)，‎ ‎△ABC的面积为(a＋1)2.‎ 由题设得(a＋1)2>6，故a>2.‎ 所以实数a的取值范围为(2，＋∞)．‎ 基础巩固题组 一、选择题 ‎1．已知全集U＝R，集合M＝{x||x－1|≤2}，则∁UM＝(　　)‎ A．{x|－13} D．{x|x≤－1或x≥3}‎ 解析　M＝{x|－1≤x≤3}，又知全集是R，所以其补集为∁UM＝{x|x<－1或x>3}．‎ 答案　C ‎2．不等式|x－2|－|x－1|>0的解集为(　　)‎ A. B. C. D. 解析　不等式可化为|x－2|>|x－1|，两边平方化简得2x<3，∴x<.‎ 答案　A ‎3．不等式|x－5|＋|x＋3|≥10的解集是(　　)‎ A．[－5，7] B．[－4，6]‎ C．(－∞，－5]∪[7，＋∞) D．(－∞，－4]∪[6，＋∞)‎ 解析　|x－5|＋|x＋3|表示数轴上的点到－3，5的距离之和，不等式|x－5|＋|x ‎＋3|≥10的解集是(－∞，－4]∪[6，＋∞)．‎ 答案　D ‎4．不等式1≤|2x－1|<2的解集为(　　)‎ A.∪ B. C.∪ D．(－∞，0]∪[1，＋∞)‎ 解析　不等式等价于不等式组由(1)得－1.因此M∩N＝.‎ 答案　A ‎6．(2018·浙江名校三联)已知f(x)＝2x2－4x－1，设有n个不同的数xi(i＝1，2，…，n)满足0≤x1a.‎ ‎(1)若不等式有解，则实数a的取值范围为________．‎ ‎(2)若不等式的解集为R，则实数a的取值范围为________．‎ 解析　由||x＋1|－|x－3||≤|x＋1－(x－3)|＝4.可得－4≤|x＋1|－|x－3|≤4.‎ ‎(1)若不等式有解，则a<4；‎ ‎(2)若不等式的解集为R，则a<－4.‎ 答案　(1)(－∞，4)　(2)(－∞，－4)‎ 三、解答题 ‎11．(一题多解)设函数f(x)＝|2x＋1|－|x－4|.‎ ‎(1)解不等式f(x)＞2；‎ ‎(2)求函数y＝f(x)的最小值．‎ 解　(1)法一　令2x＋1＝0，x－4＝0分别得x＝－，x＝4.‎ 原不等式可化为：‎ 或或 即或或 ‎∴x＜－7或x＞.‎ ‎∴原不等式的解集为.‎ 法二　f(x)＝|2x＋1|－|x－4|＝ 画出f(x)的图象，如图所示．‎ 求得y＝2与f(x)图象的交点为(－7，2)，.‎ 由图象知f(x)＞2的解集为.‎ ‎(2)由(1)的法二图象知：当x＝－时，‎ 知：f(x)min＝－.‎ ‎12．已知函数f(x)＝|2x－a|＋|2x＋3|，g(x)＝|x－1|＋2.‎ ‎(1)解不等式：|g(x)|＜5；‎ ‎(2)若对任意的x1∈R，都有x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)成立，求实数a的取值范围．‎ 解　(1)由||x－1|＋2|＜5，得－5＜|x－1|＋2＜5，‎ 所以－7＜|x－1|＜3，解不等式得－2＜x＜4，‎ 所以原不等式的解集是{x|－2＜x＜4}．‎ ‎(2)因为对任意的x1∈R，都有x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)成立，所以{y|y＝f(x)}⊆{y|y＝g(x)}，‎ 又f(x)＝|2x－a|＋|2x＋3|≥|2x－a－(2x＋3)|＝|a＋3|，g(x)＝|x－1|＋2≥2，所以|a＋3|≥2，‎ 解得a≥－1或a≤－5，‎ 所以实数a的取值范围是{a|a≥－1或a≤－5}．‎ 能力提升题组 ‎13．(2016·天津卷)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增，若实数a满足f(2|a－1|)>f(－)，则a的取值范围是(　　)‎ A. B.∪ C. D. 解析　因为f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增，所以 f(－x)＝f(x)，且f(x)在(0，＋∞)上单调递减．由f(2|a－1|)>f(－)，f(－)＝f()可得2|a－1|<，即|a－1|<，所以时，同理可得x＝时，|2x－1|－|x＋a|最小值为＋a，‎ ‎∵不等式|2x－1|－|x＋a|≥a对任意的实数x恒成立，∴＋a≥a恒成立，‎ ‎∴a<－，‎ 综上所述实数a的取值范围是.‎ 答案　D ‎15．(2017·浙江卷)已知a∈R，函数f(x)＝|x＋－a|＋a在区间[1，4]上的最大值是5，则a的取值范围是________．‎ 解析　当x∈[1，4]时，x＋∈[4，5]，下面对a分三种情况讨论：‎ 当a≥5时，f(x)＝a－x－＋a＝2a－x－，函数的最大值为2a－4＝5，解得a＝(舍去)；‎ 当a≤4时，f(x)＝x＋－a＋a＝x＋≤5，此时满足题意；‎ 当4＜a＜5时，[f(x)]max＝max{|4－a|＋a，|5－a|＋a}，‎ 则或 解得a＝或4＜a＜.‎ 综上，a的取值范围是.‎ 答案　 ‎16．已知a和b是任意非零实数．‎ ‎(1)求的最小值；‎ ‎(2)若不等式|2a＋b|＋|2a－b|≥|a|(|2＋x|＋|2－x|)恒成立，求实数x的取值范围．‎ 解　(1)∵≥＝＝4，∴的最小值为4.‎ ‎(2)若不等式|2a＋b|＋|2a－b|≥|a|(|2＋x|＋|2－x|)恒成立，即|2＋x|＋|2－x|≤恒成立，‎ 故|2＋x|＋|2－x|≤.‎ 由(1)可知，的最小值为4.‎ ‎∴x的取值范围即为不等式|2＋x|＋|2－x|≤4的解集．‎ 解不等式得－2≤x≤2.故实数x的取值范围为[－2，2]．‎ ‎17．已知函数f(x)＝log2(|x＋1|＋|x－2|－a)．‎ ‎(1)当a＝7时，求函数f(x)的定义域；‎ ‎(2)若关于x的不等式f(x)≥3的解集是R，求实数a的最大值．‎ 解　(1)由题设知|x＋1|＋|x－2|＞7，‎ ‎①当x＞2时，得x＋1＋x－2＞7，解得x＞4.‎ ‎②当－1≤x≤2时，得x＋1＋2－x＞7，无解．‎ ‎③当x＜－1时，得－x－1－x＋2＞7，解得x＜－3.‎ ‎∴函数f(x)的定义域为(－∞，－3)∪(4，＋∞)．‎ ‎(2)不等式f(x)≥3，即|x＋1|＋|x－2|≥a＋8，‎ ‎∵当x∈R时，恒有|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，又不等式|x＋1|＋|x－2|≥a＋8的解集是R，‎ ‎∴a＋8≤3，即a≤－5，∴a的最大值为－5.‎