【数学】2019届一轮复习人教A版随机抽样(1)学案

【数学】2019届一轮复习人教A版随机抽样(1)学案

‎9．1　随机抽样 ‎[知识梳理]‎ ‎1．简单随机抽样 ‎(1)定义：设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．‎ ‎(2)最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数表法．‎ ‎2．系统抽样 ‎(1)定义：当总体中的个体数目较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照事先定出的规则，从每一部分抽取一个个体得到所需要的样本，这种抽样方法叫做系统抽样．‎ ‎(2)系统抽样的操作步骤 假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本．‎ ‎①先将总体的N个个体编号；‎ ‎②确定分段间隔k，对编号进行分段，当(n是样本容量)是整数时，取k＝；当不是整数时，可随机地从总体中剔除余数x，取k＝；‎ ‎③在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l(l≤k)；‎ ‎④按照一定的规则抽取样本，通常是将l加上间隔k得到第2‎ 个个体编号1＋k，再加k得到第3个个体编号1＋2k，依次进行下去，直到获取整个样本．‎ ‎3．分层抽样 ‎(1)定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样．‎ ‎(2)应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样．‎ 注：三种抽样方法的比较 ‎[诊断自测]‎ ‎1．概念思辨 ‎(1)简单随机抽样每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关．(　　)‎ ‎(2)系统抽样在起始部分抽样时采用简单随机抽样．(　　)‎ ‎(3)分层抽样是将每层各抽取相同的个体数构成样本，分层抽样为保证各个个体等可能入样，必须进行每层等可能抽样．(　　)‎ ‎(4)要从1002个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本，需要剔除2个学生，这样对被剔除者不公平．(　　)‎ 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×‎ ‎2．教材衍化 ‎(1)(必修A3P‎64A组T3)某单位有职工140人，其中科技人员91人，行政干部28人，职员21人，为了了解职工的某种情况要从中抽取一个容量为20的样本．以下抽样方法中，依简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的顺序是(　　)‎ ‎①将140人从1～140编号，然后制出有编号1～140的140个形状大小相同的号签；将号签放入同一个箱子时进行均匀搅拌，并从中抽取20个号签，编号与签号相同的20人选出．‎ ‎②将140个人分成20组，每组7个人，并将每组7人按1～7编号，在第一组中采用抽签的方法抽出K号(1≤K≤7)，则其余各组K号也被抽到，20个人被选出．‎ ‎③按20∶140＝1∶7的比例，从科技人员中抽取13人，从行政人员中抽取4人，从职员中抽取3人，从各类人员中抽取所需人员时，均采用随机数表法，可抽出20人．‎ A．②①③ B．②③① ‎ C．①②③ D．③②①‎ 答案　C 解析　从简单随机抽样、系统抽样、分层抽样各自的操作步骤入手．故选C.‎ ‎(2)(必修A3P‎64A组T4)某初级中学有270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将按一、二、三年级依次统一编号为1,2，…，270；使用系统抽样时，将统一随机编号1,2，…，270，并将整个编号依次分为10段，如果抽得号码有下列四种情况：‎ ‎①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250；‎ ‎②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265；‎ ‎③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254；‎ ‎④30,57,84,111,138,165,192, 219,246,270.‎ 下列关于上述样本的结论正确的是(　　)‎ A．②③都不能为系统抽样 B．②④都不能为分层抽样 C．①④都可能为系统抽样 D．①③都可能为分层抽样 答案　D 解析　从抽得号码的编号入手，若为系统抽样，则抽样间隔应该相等，若可能为分层抽样，则一、二、三年级应按4∶3∶3的比例进行抽取，即1～108号抽取4人，109～189号抽取3人，190～270号应抽取3人．故选D.‎ ‎3．小题热身 ‎(1)(2013·全国卷Ⅰ)为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是(　　)‎ A．简单随机抽样 B．按性别分层抽样 C．按学段分层抽样 D．系统抽样 答案　C 解析　该地区不同学段学生视力情况有较大差异，不适合采用简单随机抽样和系统抽样，又男、女生视力差别不大，故不适合按性别分层抽样．故选C.‎ ‎(2)(2018·长春模拟)将高一(9)班参加社会实践编号为：1,2,3，…，48的48名学生，采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知5号，29号，41号学生在样本中，则样本中还有一名学生的编号是________．‎ 答案　17‎ 解析　根据系统抽样的概念，所取的4个样本的编号应成等差数列，故所求编号为17.‎ 题型1　简单随机抽样 　　下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的个数为(　　)‎ ‎①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本；‎ ‎②盒子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验．在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里；‎ ‎③从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验；‎ ‎④某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛．‎ A．0 B．1 ‎ C．2 D．3‎ 应用简单随机抽样的定义进行判断．‎ 答案　A 解析　①不是简单随机抽样．因为被抽取样本的总体的个数是无限的，而不是有限的；②不是简单随机抽样．因为它是有放回抽样；③不是简单随机抽样．因为这是“一次性”抽取，而不是“逐个”抽取；④不是简单随机抽样．因为不是等可能抽样，故选A.‎ 　　(2018·河北模拟)总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为(　　)‎ ‎7816‎ ‎6572‎ ‎0802‎ ‎6314‎ ‎0701‎ ‎4369‎ ‎9728‎ ‎0198‎ ‎3204‎ ‎9234‎ ‎4935‎ ‎8200‎ ‎3623‎ ‎4869‎ ‎6938‎ ‎7481‎ A．08 B．07 ‎ C．02 D．01‎ 随机数法．‎ 答案　D 解析　选出的5个个体的编号依次是08,02,14,07,01，故选D.‎ 方法技巧 ‎1．简单随机抽样的特点 ‎(1)被抽取样本的总体中的个体数是有限的；(2)是逐个抽取；(3)是不放回抽取；(4)是等可能抽取．只有四个特点都满足的抽样才是简单随机抽样．‎ ‎2．抽签法与随机数法的适用情况 ‎(1)抽签法适用于总体中个体数较少的情况，随机数法适用于总体中个体数较多的情况．‎ ‎(2)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：‎ 一是抽签是否方便；二是号签是否易搅匀．一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法．‎ ‎(3)在使用随机数法时，如遇到三位数或四位数，可从选择的随机数表中的某行某列的数字计起，每三个或四个作为一个单位，自左向右选取，有超过总体号码或出现重复号码的数字舍去．‎ 冲关针对训练 利用简单随机抽样，从n个个体中抽取一个容量为10的样本，若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为(　　)‎ A. B. ‎ C. D. 答案　C 解析　根据题意，＝，解得n＝28.故每个个体被抽到的概率为＝.故选C.‎ 题型2　系统抽样 　　(2017·徐州模拟)从编号为0,1,2，…，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量为5的一个样本，若编号为42的产品在样本中，则该样本中产品的最小编号为(　　)‎ A．8 B．10 ‎ C．12 D．16‎ 确定分段间隔，再利用间隔不变解题．‎ 答案　B 解析　从80件产品中用系统抽样的方法抽取5件，则可将这80件产品分成5组，每组16件，每组抽取1件，而编号为42的产品在第3组，所以第1组所抽取产品的编号为42－16×2＝10，故选B.‎ ‎[条件探究1]　把典例中条件“若编号为42的产品在样本中”改为“已知编号为10，a,42，b,74号在样本中”，求a＋b.‎ 解　由典例中解析易知编号构成首项为10，公差为16的等差数列，易求得a＝26，b＝58，故a＋b＝84.‎ ‎[条件探究2]　把典例中条件“若编号为42的产品在样本中”改为“抽到产品的编号之和为‎185”‎，则抽到的最小编号是多少？‎ 解　利用等差数列前n项和公式S5＝‎5a1＋·16＝185，得a1＝5.‎ 方法技巧 系统抽样的注意点 ‎1．系统抽样适用的条件是总体容量较大，样本容量也较大．‎ ‎2．若不改变抽样规则，则所抽取的号码构成一个等差数列，其首项为第一组所抽取的号码，公差为样本间隔．故问题可转化为等差数列问题解决．‎ ‎3．抽样规则改变，应注意每组抽取一个个体这一特性不变．‎ ‎4．如果总体容量N不能被样本容量n整除，可随机地从总体中剔除余数，然后再按系统抽样的方法抽样，其中起始编号的确定应用简单随机抽样的方法．‎ 冲关针对训练 ‎(2018·广东肇庆模拟)一个总体中有100个个体，随机编号为0,1,2，…，99.依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1,2，…，10.现用系统抽样的方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组中随机抽取的号码为m，那么在第k组中抽取的号码的个位数字与m＋k的个位数字相同．若m＝6，则在第7组中抽取的号码是(　　)‎ A．63 B．64 ‎ C．65 D．66‎ 答案　A 解析　由题设知，若m＝6，则在第7组中抽取的号码个位数字与13的个位数字相同，而第7组中数字编号依次为60,61,62,63，…，69，故在第7组中抽取的号码是63.故选A.‎ 题型3　分层抽样 　　(2015·北京高考)某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师人数为(　　)‎ 类别 人数 老年教师 ‎900‎ 中年教师 ‎1800‎ 青年教师 ‎1600‎ 合计 ‎4300‎ A．90 B．100 ‎ C．180 D．300‎ 根据抽样比列方程．‎ 答案　C 解析　设该样本中的老年教师人数为x，由题意及分层抽样的特点得＝，故x＝180.故选C.‎ 　　(2018·西安摸底考试)某工厂的三个车间在12月份共生产了3600双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从第一、二、三车间抽取的产品数分别为a，b，c，且a，b，c构成等差数列，则第二车间生产的产品数为(　　)‎ A．800 B．1000 ‎ C．1200 D．1500‎ 答案　C 解析　因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c.所以＝.所以第二车间抽取的产品数占抽样产品总数的.根据分层抽样的性质，可知第二车间生产的产品数占总数的，即为×3600＝1200.故选C.‎ 方法技巧 分层抽样问题类型及解题思路 ‎1．求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算．‎ ‎2．已知某层个体数量，求总体容量或反之：根据分层抽样就是按比例抽样，列比例式进行计算．‎ ‎3．分层抽样的计算应根据抽样比构造方程求解，其中“抽样比＝＝”．‎ 提醒：分层抽样时，每层抽取的个体可以不一样多，但必须满足抽取ni＝n·(i＝1,2，…，k)个个体(其中i是层数，n是抽取的样本容量，Ni是第i层中个体的个数，N是总体容量)．‎ 冲关针对训练 ‎(2014·广东高考)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为(　　)‎ ‎　‎ A．200,20 B．100,20 ‎ C．200,10 D．100,10‎ 答案　A 解析　由题意可得该地区共有中小学生10000人，故样本容量为10000×2%＝200，由分层抽样知应抽取高中学生的人数为200×＝40，其中近视人数为40×50%＝20，故选A.‎ ‎1.(2014·湖南高考)对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则(　　)‎ A．p1＝p2

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