新教材数学北师大版（2019）必修第二册课件：6-6-3 球的表面积和体积 课件（89张）
6.3 球的表面积和体积
必备知识·自主学习
1.球的相关概念
(1)球的大圆
球面被经过_____的平面截得的圆称为球的大圆.
(2)球的小圆
球面被不经过_____的平面截得的圆称为球的小圆.
导思 1.球的表面积公式是什么?
2.球的体积公式是什么?
球心
球心
(3)直线与球相切
直线与球有唯一_____时,称直线与球相切,这一交点称为直线与球的切点.
(4)切线长
过球外一点的所有切线的切线长都_____.
2.球的表面积和体积公式
S球面=_____,V球=________.其中R为球的半径.
交点
相等
4πR2
34 R
3
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)球心和球的小圆圆心的连线和球的小圆垂直.( )
(2)球的表面积S和体积V的大小是关于半径R的函数.( )
提示:(1)√ (2) √
2.表面积为Q的多面体的每一个面都与表面积为64π的球相切,则这个多面体的
体积为( )
A. Q B.Q C. Q D.2Q
【解析】选C.4πR2=64π⇒R=4,所以V= QR= Q.
1
3
4
3
1
3
4
3
3.(教材二次开发:习题改编)已知各个顶点都在同一个球面上的正方体的棱长
为2,则这个球的表面积为( )
A.12π B.16π C.20π D.24π
【解析】选A.正方体的棱长为2,正方体的体对角线的长为2 ,即正方体外接
球的直径为2 ,半径为 .所以球的表面积为S=4 π( )2=12 π.
3
3 3 3
关键能力·合作学习
类型一 球的表面积(数学运算)
【题组训练】
1.若球的过球心的圆面的周长是C,则这个球的表面积是( )
D.2πC2
2.等体积的球和正方体的表面积S球与S正方体的大小关系是( )
A.S正方体>S球 B.S正方体
1)的球O1和球O2相切,且均与直二面角α-l-β的两个半平
面都相切,另有一个半径为1的小球O与这二面角的两个半平面也都相切,同时
与球O1和球O2都外切,则r的值为 ( )
2 1 7 3A. 2 1 B. 7 3 C. D.2 2
【解析】选D.如图所示,过点O1,O2分别作O1M⊥l,O2N⊥l,垂足分别为点M,N,过点
O分别作OA⊥l,OB⊥O1O2,
则|O1M|=|O2N|= r,
|OA|= ,|O1B|=|O2B|=r,
|OO1|=|OO2|=r+1,
|OB|=
|AB|=|OA|+|OB|=
2
2
2 2
1 1OO O B 2r 1,
2 2r 1 2r,
所以
等式两边平方得2r+1=2r2-4r+2,
化简得2r2-6r+1=0,由于r>1,
解得r= .
【误区警示】一定要画出正确的截面图.
2r 1 2r 2 ，
7 3
2
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错
的得0分)
5.一个正方体内有一个内切球,用一个平面去截,所得截面图形可能是图中的
( )
【解析】选AB.由组合体的结构特征知,球只与正方体的六个面相切,而与两侧
棱相离.
6.我国古代数学名著《九章算术》中将正四棱锥称为方锥.已知半球内有一个
方锥,方锥的底面内接于半球的底面,方锥的顶点在半球的球面上,若方锥的体
积为18,则半球的说法正确的是 ( )
A.半径是3 B.体积为18π
C.表面积为27π D.表面积为18π
【解析】选ABC.由题意可得方锥的高为球的半径R,且方锥的底面正方形的对
角线为球的直径2R,
所以正方形的边长a=
所以方锥的体积V= ·R=18,
解得R=3,所以A选项正确;所以半球的表面积为S= ·4πR2+πR2=3πR2=27π,
所以C选项正确;
半球体积为球的体积的一半,即V半球= πR3=18π,B选项正确.
【光速解题】选项逐一验证,计算准确.
2R 2R,
2
21 2R3 1
2
1 1 4V2 2 3
球
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.两个半径为1的实心铁球,熔化成一个大球,这个大球的半径是__________.
【解析】设大球的半径为R,则有 πR3=2× π×13,R3=2,所以R= .
答案:
4
3
4
3
3 2
3 2
8.在三棱锥A-BCD中,AB=CD=1,AD=BC=2,∠ABC=90°,则该三棱锥的外接球的表
面积为________,该三棱锥的体积的最大值为________.
【解析】因为在三棱锥A-BCD中AB=CD=1,AD=BC=2,∠ABC=90°,所以AC=
取AC中点O,连接OB,OD,
则OA=OB=OC=OD= ,
所以三棱锥A-BCD的外接球的球心为O,
球半径r= ,所以三棱锥A-BCD的外接球的表面积S=4πr2=4×π× =5π.
当平面ADC⊥平面ABC时,
三棱锥A-BCD的体积最大,
2 21 2 5,
5
2
5
2
5
4
设D到平面ABC的距离为h,
则 ×AD×DC= ×AC×h,
解得h=
所以该三棱锥的体积的最大值为:
V= ×S△ABC×h= × ×AB×BC×h
=
答案:5π
1
2
1
2
AD DC 2 1 2 .AC 5 5
1
3
1
3
1
2
1 1 2 2 51 2 .3 2 155
2 5
15
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知过球面上A,B,C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半,且
AB=18,BC=24,AC=30,求球的表面积和体积.
【解析】因为AB2+BC2=AC2,
所以△ABC是以AC为斜边的直角三角形,
其外接圆为过A,B,C的平面截球所得截面,
2r=30,r=15.由题意得 +152=R2,
解得R2=300,R=10 .
所以S=4πR2=1 200π,
V=
2R( )2
3
334 4R 10 3 4 000 3 .3 3
10.如图,圆锥型容器内盛有水,水深3 dm,水面直径2 dm,放入一个铁球后,
水恰好把铁球淹没,求该铁球的体积.
3
【解析】设铁球的半径为r,则放入铁球后水深为3r,上底面半径为 r,此时
铁球与水的体积和为 ·π·( r)2·3r=3 πr3.原来水的体积为
·π·( )2·3=3 π,铁球的体积为 πr3,
则3 π+ πr3=3πr3,解得r3= .
所以铁球的体积V=
所以该铁球的体积为 .
3
1
3 3
1
3 3
4
3
4
3
9
5
4 9 12 .3 5 5
12
5
【创新迁移】
1.球O的球心为点O,球O内切于底面半径为 、高为3的圆锥,三棱锥V-ABC内
接于球O,已知OA⊥OB,AC⊥BC,则三棱锥V-ABC的体积的最大值为________.
3
【解析】圆锥的母线长为
设球O的半径为r,则 ,解得r=1.
因为OA⊥OB,OA=OB=1,所以AB= ,
因为AC⊥BC,所以C在以AB为直径的圆上,
所以当平面OAB⊥平面ABC时,
O到平面ABC的距离最大为 ,
故V到平面ABC的最大距离为 +1.
又C到AB的最大距离为 ,△ABC面积最大为
3 9 2 3 ，
r 3 r
3 2 3
2
2
2
2
22
2
1 222 2
，
所以三棱锥V-ABC的体积的最大值为
所以三棱锥V-ABC的体积的最大值为 .
答案:
1 1 2 2 2 22 ( 1) .3 2 2 2 12
2 2
12
2 2
12
2.已知两个圆锥有公共底面,且两圆锥的顶点和底面的圆都在同一个球面上.
若圆锥的底面面积是这个球表面积的 ,则这两个圆锥中,体积较小者与体
积较大者的高的比值为多少?
3
16
【解析】该几何体的轴截面如图,
设球的半径为R,圆锥底面半径为r,
由题意得πr2= ×4πR2,所以r= R.
所以OO1=
体积较小的圆锥的高AO1=R- R= R,
体积较大的圆锥的高BO1=R+ R= R,
所以这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大者的高的比值为 .
3
16
3
2
2 2 1R r R.2
1
2
1
2
1
2
3
2
1
3
