2014届高考数学一轮必备考情分析学案:14_2《圆周角定理与圆的切线》

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2014届高考数学一轮必备考情分析学案:14_2《圆周角定理与圆的切线》

‎14.2圆周角定理与圆的切线 考情分析 考查圆的切线定理和性质定理的应用.‎ 基础知识 ‎1.圆周角定理 ‎(1)圆周角:顶点在圆周上且两边都与圆相交的角.‎ ‎(2)圆周角定理:圆周角的度数等于它所对弧度数的一半.‎ ‎(3)圆周角定理的推论 ‎①同弧(或等弧)上的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等.‎ ‎②半圆(或直径)所对的圆周角是90°;90°的圆周角所对的弦是直径.‎ ‎2.圆的切线 ‎(1)直线与圆的位置关系 直线与圆交点的个数 直线到圆心的距离d与圆的半径r的关系 相交 两个 d<r 相切 一个 d=r 相离 无 d>r ‎(2)切线的性质及判定 ‎①切线的性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径.‎ ‎②切线的判定定理 过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线.‎ ‎(3)切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线长相等.‎ ‎3.弦切角 ‎(1)弦切角:顶点在圆上,一边与圆相切,另一边与圆相交的角.‎ ‎(2)弦切角定理及推论 ‎①定理:弦切角的度数等于所夹弧的度数的一半.‎ ‎②推论:同弧(或等弧)上的弦切角相等,同弧(或等弧)上的弦切角与圆周角 相等.‎ 题型一 圆周角的计算与证明 ‎【例1】如图,AB为⊙O的直径,弦AC、BD交于点P,若AB=3,CD=1,则sin∠APB=________.‎ 解析 连接AD,BC.因为AB是圆O 的直径,所以∠ADB=∠ACB=90°.‎ 又∠ACD=∠ABD,所以在△ACD中,由正弦定理得:====AB=3,又CD=1,所以sin∠DAC=sin∠DAP=,所以cos∠DAP=.‎ 又sin∠APB=sin (90°+∠DAP)=cos∠DAP=.‎ 答案  ‎【变式1】 如图,点A,B,C是圆O上的点,且AB=4,∠ACB=30°,则圆O的面积等于________.‎ 解析 连接AO,OB.因为∠ACB=30°,所以∠AOB=60°,△AOB为等边三角形,故圆O的半径r=OA=AB=4,圆O的面积S=πr2=16π.‎ 答案 16π 题型二 弦切角定理及推论的应用 ‎【例2】如图,梯形ABCD内接于⊙O,AD∥BC,过B引⊙O的切线分别交DA、CA的延长线于E、F.已知BC=8,CD=5,AF=6,则EF的长为________.‎ ‎ ‎ 解析 ∵BE切⊙O于B,∴∠ABE=∠ACB.‎ 又AD∥BC,∴∠EAB=∠ABC,‎ ‎∴△EAB∽△ABC,∴=.‎ 又AE∥BC,∴=,∴=.‎ 又AD∥BC,∴=,‎ ‎∴AB=CD,∴=,∴=,‎ ‎∴EF==.‎ 答案  ‎【变式2】如图,已知圆上的弧=,过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点,证明:‎ ‎ ‎ ‎(1)∠ACE=∠BCD;‎ ‎(2)BC2=BE×CD.‎ 证明 (1)因为=,‎ 所以∠BCD=∠ABC.‎ 又因为EC与圆相切于点C,故∠ACE=∠ABC,‎ 所以∠ACE=∠BCD.‎ ‎(2)因为∠ECB=∠CDB,∠EBC=∠BCD,‎ 所以△BDC∽△ECB,故=,‎ 即BC2=BE×CD.‎ 巩固提高 ‎1.如图所示,△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=6,以AC为直径的圆与斜边交于点P,则BP长为________.‎ 解析 连接CP.由推论2知∠CPA=90°,即CP⊥AB,由射影定理知,AC2=‎ AP·AB.∴AP=3.6,∴BP=AB-AP=6.4.‎ 答案 6.4‎ ‎2.如图所示,AB、AC是⊙O的两条切线,切点分别为B、C,D是优弧上的点,已知∠BAC=80°, 那么∠BDC=________.‎ 解析 连接OB、OC,则OB⊥AB,OC⊥AC,∴∠BOC=180°-∠BAC=100°,‎ ‎∴∠BDC=∠BOC=50°.‎ 答案 50°‎ ‎3.如图所示,CD是圆O的切线,切点为C,点A、B在圆O上,BC=1,∠BCD=30°,则圆O的面积为________.‎ ‎ ‎ 解析 连接OC,OB,依题意得,∠COB=2∠CAB=2∠BCD=60°,又OB=OC,‎ 因此△BOC是等边三角形,‎ OB=OC=BC=1,即圆O的半径为1,‎ 所以圆O的面积为π×12=π.‎ 答案 π 4. 如图,直角三角形ABC中,∠B=90°,AB=4,以BC为直径的圆交AC边于点D,AD=2,则∠C的大小为________.‎ ‎ ‎ 解析 连接BD,则有∠ADB=90°.在Rt△ABD中,AB=4,AD=2,所以∠A=60°;在Rt△ABC中,∠A=60°,于是有∠C=30°.‎ 答案 30°‎ ‎5.如图,MN是圆O的直径,MN的延长线与圆O上过点P的切线PA相交于点A,若∠M=30°,AP=2,则圆 O的直径为________.‎ ‎ ‎ 解析 连接OP,因为∠M=30°,所以∠AOP=60°,因为PA切圆O于P,所以OP⊥AP,在Rt△ADO中,OP===2,故圆O的直径为4.‎ 答案 4‎ ‎ ‎ 高考资源网版权所有!投稿可联系QQ:1084591801‎
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