福建省莆田市2020届高三下学期3月模拟考试 数学（理）
2020年莆田市高中毕业班教学质量检测试卷
数学(理科)
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。本试卷共5页。满分150分。考试时间120分钟。
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.考生作答时，将答案答在答题卡上。请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效。在草稿纸、试题卷上答题无效。
3.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
4.保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A＝{x|y＝lg(x＋1)}，B＝{x|x2＋x－2<0}，则A∩B＝
A.{x|－1
0，0<φ<π)的图象关于直线x＝对称，且f()＝0。当ω取最小值时，φ＝
A. B. C. D.
9.已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F的直线l交C于A，B两点，y轴被以AB为直径的圆所截得的弦长为6，则|AB|＝
A.5 B.7 C.10 D.14
10.已知三棱锥P－ABC的四个顶点在球O的球面上，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝BC＝2，PB与平面PAC所成的角为30°，则球O的表面积为
A.6π B.12π C.16π D.48π
11.已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的左支交于P，Q两点。若|PF2|＝|F1F2|，且3|PF1|＝2|QF1|，则C的离心率为
A. B. C. D.2
12.设函数f(x)＝ax－xa(a>1)的定义域为(0，＋∞)，已知f(x)有且只有一个零点，下列四个结论：
①a＝e； ②f(x)在区间(1，e)单调递增；
③x＝e是f(x)的零点； ④x＝1是f(x)的极大值点，f(e)是f(x)的最小值。
其中正确的个数是
A.1 B.2 C.3 D.4
第II卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
13.已知非零向量a，b满足|a|＝4|b|，且(a－2b)⊥b，则a与b的夹角为 。
14.设x，y满足约束条件，则z＝的最大值为 。
15.已知函数f(x)＝，且f(a)＝5，则f(2－a)＝ 。
16.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c。已知ccosB＋bcos(A＋B)＝0，BD是AC边上的中线，且BD＝1，则△ABC面积的最大值为 。
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
(一)必考题：共60分。
17.(12分)
设{an}是公差不为0的等差数列，其前n项和为Sn。已知a1，a2，a5成等比数列，S5＝25。
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝(－1)nan＋，数列{bn}的前n项和为Tn，求T2n。
18.(12分)
如图，四棱锥P－ABCD的底面是菱形，AB＝AC＝2，PA＝2，PB＝PD。
(1)证明：平面PAC⊥平面ABCD；
(2)若PA⊥AC，点M在棱PC上，且BM⊥MD，求二面角B－AM－C的余弦值。
19.(12分)
莆田市是福建省“历史文化名城”之一，也是旅游资源丰富的城市。“九头十八巷”、“二十四景”美如画。某文化传媒公司为了解莆田民众对当地风景民俗知识的了解情况，在全市进行网上问卷(满分100分)调查，民众参与度极高。该公司对得分数据X进行统计拟合，认为X服从正态分布N(63，144)。
(1)从参与调查的民众中随机抽取200名作为幸运者，试估算其中得分在75分以上(含75分)的人数(四舍五入精确到1人)；
(2)在(1)的条件下，为感谢参与民众，该公司组织两种活动，得分在75分以上(含75分)的幸运者选择其中一种活动参与。活动如下：
活动一 参与一次抽奖。已知抽中价值200元的礼品的概率为，抽中价值420元的礼品的概率为；
活动二 挑战一次闯关游戏。规则如下：游戏共有三关，闯关成功与否相互独立，挑战者依次闯关，第一关闯关失败者没有获得礼品，第二关起闯关失败者只能获得上一关的礼品，获得的礼品不累计，闯关结束，已知第一关通过的概率为，可获得价值300元的礼品；第二关通过的概率为，可获得价值800元的礼品；第三关通过的概率为，可获得价值1800元的礼品。
若参与活动的幸运者均选择礼品价值期望值较高的活动，该公司以该期望值为依据，需准备多少元的礼品?
附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ
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