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文档介绍
高三数学(文数)总复习练习专题七 三角恒等变换与解三角形
1.(2015·重庆,6,易)若tan α=,tan(α+β)=,则tan β=( ) A. B. C. D. 【答案】 A tan β=tan(α+β-α) = ==. 2.(2015·江苏,8,易)已知tan α=-2,tan(α+β)=,则tan β的值为________. 【解析】 tan β=tan ===3. 【答案】 3 3.(2015· 广东,16,12分,易)已知tan α=2. (1)求tan的值; (2)求的值. 解:(1)tan====-3. (2) = = = = =1. 1.(2013·江西,3,易)若sin =,则cos α=( ) A.- B.- C. D. 【答案】 C 由余弦的二倍角公式得 cos α=1-2sin2 =1-2×=. 2.(2013·课标Ⅱ,6,易)已知sin 2α=,则cos2=( ) A. B. C. D. 【答案】 A cos2====.故选A. 3.(2012·重庆,5,中)=( ) A.- B.- C. D. 【答案】 C 原式= = ==sin30°=. 4.(2014·大纲全国,14,中)函数y=cos 2x+2sin x的最大值为__________. 【解析】 因为y=cos 2x+2sin x=1-2sin2x+2sin x=-2+,所以当sin x=时,函数y=cos 2x+2sin x取得最大值,最大值为. 【答案】 5.(2014·江苏,15,14分,中)已知α∈,sin α=. (1)求sin的值; (2)求cos的值. 解:(1)因为α∈,sin α=, 所以cos α=-=-. 故sin=sincos α+cossin α =×+×=-. (2)由(1)知sin 2α=2sin α cos α =2××=-, cos 2α=1-2sin2α=1-2×=, 所以cos =coscos 2α+sinsin 2α =×+× =-. 6.(2014·四川,17,12分,中)已知函数f(x)=sin. (1)求f(x)的单调递增区间; (2)若α是第二象限角,f =coscos 2α,求cos α-sin α的值. 解:(1)因为函数y=sin x的单调递增区间为,k∈Z, 由-+2kπ≤3x+≤+2kπ,k∈Z, 得-+≤x≤+,k∈Z. 所以函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z. (2)由已知,有f =sin =cos·(cos2α-sin2α), 所以sin αcos+cos αsin =(cos2α-sin2α), 即sin α+cos α=(cos α-sin α)2(sin α+cos α). 当sin α+cos α=0时,由α是第二象限角,知α=+2kπ,k∈Z. 此时,cos α-sin α=-. 当sin α+cos α≠0时, 有(cos α-sin α)2=. 由α是第二象限角,知cos α-sin α<0, 此时cos α-sin α=-. 综上所述,cos α-sin α=-或-. 7.(2012·广东,16,12分,中)已知函数f(x)=Acos,x∈R,且f =. (1)求A的值; (2)设α,β∈,f =-,f =,求cos(α+β)的值. 解:(1)因为f =Acos=Acos=A=,所以A=2. (2)由f =2cos =2cos=-2sin α=-, 得sin α=,又α∈, 所以cos α=. 由f =2cos =2cos β=, 得cos β=,又β∈, 所以sin β=, 所以cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=×-×=-. 考向1 三角函数式的化简与证明 1.两角和与差的三角函数公式 sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β;(Sα+β) sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β.(Sα-β) cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β;(Cα+β) cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β.(Cα-β) tan(α+β)=;(Tα+β) tan(α-β)=.(Tα-β) 2.二倍角公式 sin 2α=2sin αcos α;(S2α) cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α;(C2α) tan 2α=.(T2α) 3.公式的变形与应用 (1)两角和与差的正切公式的变形 tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β); tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan αtan β). (2)升幂公式 1+cos α=2cos2;1-cos α=2sin2. (3)降幂公式 sin2α=;cos2α=. (4)其他常用变形 sin 2α==; cos 2α==; 1±sin α=; tan==. 4.辅助角公式 asin α+bcos α=sin(α+φ), 其中cos φ=,sin φ=. 5.角的拆分与组合 (1)已知角表示未知角 例如,2α=(α+β)+(α-β),2β=(α+β)-(α-β), α=(α+β)-β=(α-β)+β, α=-=+. (2)互余与互补关系 例如,+=π, +=. (3)非特殊角转化为特殊角 例如,15°=45°-30°,75°=45°+30°. 转化思想是实施三角变换的主导思想,恒等变形前需清楚已知式中角的差异、函数名称的差异、运算结构的差异,寻求联系,实现转化. (1)(2013·重庆,9)4cos 50°-tan 40°=( ) A. B. C. D.2-1 (2)(2014·山东临沂质检,13)化简:sin2αsin2β+cos2αcos2β-cos 2αcos 2β=________. 【解析】 (1)4cos 50°-tan 40°=4sin 40°- = = = = ==,故选C. (2)方法一(从“角”入手,复角化单角): 原式=sin2αsin2β+cos2αcos2β-(2cos2α-1)(2cos2β-1) =sin2αsin2β+cos2αcos2β-(4cos2αcos2β-2cos2α-2cos2β+1) =sin2αsin2β-cos2αcos2β+cos2α+cos2β- =sin2αsin2β+cos2αsin2β+cos2β- =sin2β+cos2β-=1-=. 方法二(从“名”入手,异名化同名): 原式=sin2αsin2β+(1-sin2α)cos2β-cos 2αcos 2β =cos2β-sin2α(cos2β-sin2β)-cos 2αcos 2β =cos2β-cos 2β =-cos 2β=. 方法三(从“幂”入手,利用降幂公式先降次): 原式=·+·-cos 2α·cos 2β =(1+cos 2α·cos 2β-cos 2α-cos 2β)+(1+cos 2α·cos 2β+cos 2α+cos 2β)- cos 2α·cos 2β=+=. 方法四(从“形”入手,利用配方法,先对二次项配方): 原式=(sin αsin β-cos αcos β)2+2sin αsin β·cos αcos β-cos 2αcos 2β =cos2(α+β)+sin 2α·sin 2β-cos 2α·cos 2β =cos2(α+β)-cos(2α+2β) =cos2(α+β)-[2cos2(α+β)-1]=. 【答案】 (1)C (2) 【点拨】 解题(1)的思路是先切化弦,再化异角为同角,约分化简;解题(2)的关键是要抓住所给三角函数式的特点,明确化简思路,应用三角函数公式. 三角函数式的化简方法及思路 (1)化简的方法 弦切互化,异名化同名,异角化同角,降幂或升幂,“1”的代换等. (2)化简的基本思路 “一角二名三结构”,即: 一看“角”,这是最重要的一环,通过角之间的差别与联系,把角进行合理地拆分,从而正确使用公式; 二看“函数名称”,看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式,常见的有“切化弦”; 三看“结构特征”,分析结构特征,找到变形的方向,常见的有“遇到分式要通分”,“遇根式化被开方式为完全平方式”等. 根式的化简常常需要升幂去根号,在化简过程中注意角的范围,以确定三角函数值的正负. (2015·上海黄浦区模拟,19,12分)已知0查看更多
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