高三数学(文数)总复习练习专题七 三角恒等变换与解三角形

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文档介绍

高三数学(文数)总复习练习专题七 三角恒等变换与解三角形

‎1.(2015·重庆,6,易)若tan α=,tan(α+β)=,则tan β=(  )‎ A. B. C. D. ‎【答案】 A tan β=tan(α+β-α)‎ ‎= ‎==.‎ ‎2.(2015·江苏,8,易)已知tan α=-2,tan(α+β)=,则tan β的值为________.‎ ‎【解析】 tan β=tan ‎===3.‎ ‎【答案】 3‎ ‎3.(2015· 广东,16,12分,易)已知tan α=2.‎ ‎(1)求tan的值;‎ ‎(2)求的值.‎ 解:(1)tan====-3.‎ ‎(2) ‎= ‎= ‎= ‎= ‎=1.‎ ‎1.(2013·江西,3,易)若sin =,则cos α=(  )‎ A.- B.- C. D. ‎【答案】 C 由余弦的二倍角公式得 cos α=1-2sin2 =1-2×=.‎ ‎2.(2013·课标Ⅱ,6,易)已知sin 2α=,则cos2=(  )‎ A. B. C. D. ‎【答案】 A cos2====.故选A.‎ ‎3.(2012·重庆,5,中)=(  )‎ A.- B.- C. D. ‎【答案】 C 原式= ‎= ‎==sin30°=.‎ ‎4.(2014·大纲全国,14,中)函数y=cos 2x+2sin x的最大值为__________.‎ ‎【解析】 因为y=cos 2x+2sin x=1-2sin2x+2sin x=-2+,所以当sin x=时,函数y=cos 2x+2sin x取得最大值,最大值为.‎ ‎【答案】  ‎5.(2014·江苏,15,14分,中)已知α∈,sin α=.‎ ‎(1)求sin的值;‎ ‎(2)求cos的值.‎ 解:(1)因为α∈,sin α=,‎ 所以cos α=-=-.‎ 故sin=sincos α+cossin α ‎=×+×=-.‎ ‎(2)由(1)知sin 2α=2sin α cos α ‎=2××=-,‎ cos 2α=1-2sin2α=1-2×=,‎ 所以cos ‎=coscos 2α+sinsin 2α ‎=×+× ‎=-.‎ ‎6.(2014·四川,17,12分,中)已知函数f(x)=sin.‎ ‎(1)求f(x)的单调递增区间;‎ ‎(2)若α是第二象限角,f =coscos 2α,求cos α-sin α的值.‎ 解:(1)因为函数y=sin x的单调递增区间为,k∈Z,‎ 由-+2kπ≤3x+≤+2kπ,k∈Z,‎ 得-+≤x≤+,k∈Z.‎ 所以函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z.‎ ‎(2)由已知,有f =sin ‎=cos·(cos2α-sin2α),‎ 所以sin αcos+cos αsin ‎=(cos2α-sin2α),‎ 即sin α+cos α=(cos α-sin α)2(sin α+cos α).‎ 当sin α+cos α=0时,由α是第二象限角,知α=+2kπ,k∈Z.‎ 此时,cos α-sin α=-.‎ 当sin α+cos α≠0时,‎ 有(cos α-sin α)2=.‎ 由α是第二象限角,知cos α-sin α<0,‎ 此时cos α-sin α=-.‎ 综上所述,cos α-sin α=-或-.‎ ‎7.(2012·广东,16,12分,中)已知函数f(x)=Acos,x∈R,且f =.‎ ‎(1)求A的值;‎ ‎(2)设α,β∈,f =-,f =,求cos(α+β)的值.‎ 解:(1)因为f =Acos=Acos=A=,所以A=2.‎ ‎(2)由f =2cos ‎=2cos=-2sin α=-,‎ 得sin α=,又α∈,‎ 所以cos α=.‎ 由f =2cos ‎=2cos β=,‎ 得cos β=,又β∈,‎ 所以sin β=,‎ 所以cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=×-×=-.‎ 考向1 三角函数式的化简与证明 ‎1.两角和与差的三角函数公式 sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β;(Sα+β)‎ sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β.(Sα-β)‎ cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β;(Cα+β)‎ cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β.(Cα-β)‎ tan(α+β)=;(Tα+β)‎ tan(α-β)=.(Tα-β)‎ ‎2.二倍角公式 sin 2α=2sin αcos α;(S2α)‎ cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α;(C2α)‎ tan 2α=.(T2α)‎ ‎3.公式的变形与应用 ‎(1)两角和与差的正切公式的变形 tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β);‎ tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan αtan β).‎ ‎(2)升幂公式 ‎1+cos α=2cos2;1-cos α=2sin2.‎ ‎(3)降幂公式 sin2α=;cos2α=.‎ ‎(4)其他常用变形 sin 2α==;‎ cos 2α==;‎ ‎1±sin α=;‎ tan==.‎ ‎4.辅助角公式 asin α+bcos α=sin(α+φ),‎ 其中cos φ=,sin φ=.‎ ‎5.角的拆分与组合 ‎(1)已知角表示未知角 例如,2α=(α+β)+(α-β),2β=(α+β)-(α-β),‎ α=(α+β)-β=(α-β)+β,‎ α=-=+.‎ ‎(2)互余与互补关系 例如,+=π,‎ +=.‎ ‎(3)非特殊角转化为特殊角 例如,15°=45°-30°,75°=45°+30°.‎ 转化思想是实施三角变换的主导思想,恒等变形前需清楚已知式中角的差异、函数名称的差异、运算结构的差异,寻求联系,实现转化.‎ ‎(1)(2013·重庆,9)4cos 50°-tan 40°=(  )‎ A. B. C. D.2-1‎ ‎(2)(2014·山东临沂质检,13)化简:sin2αsin2β+cos2αcos2β-cos 2αcos 2β=________.‎ ‎【解析】 (1)4cos 50°-tan 40°=4sin 40°- ‎= ‎= ‎= ‎= ‎==,故选C.‎ ‎(2)方法一(从“角”入手,复角化单角):‎ 原式=sin2αsin2β+cos2αcos2β-(2cos2α-1)(2cos2β-1)‎ ‎=sin2αsin2β+cos2αcos2β-(4cos2αcos2β-2cos2α-2cos2β+1)‎ ‎=sin2αsin2β-cos2αcos2β+cos2α+cos2β- ‎=sin2αsin2β+cos2αsin2β+cos2β- ‎=sin2β+cos2β-=1-=.‎ 方法二(从“名”入手,异名化同名):‎ 原式=sin2αsin2β+(1-sin2α)cos2β-cos 2αcos 2β ‎=cos2β-sin2α(cos2β-sin2β)-cos 2αcos 2β ‎=cos2β-cos 2β ‎=-cos 2β=.‎ 方法三(从“幂”入手,利用降幂公式先降次):‎ 原式=·+·-cos 2α·cos 2β ‎=(1+cos 2α·cos 2β-cos 2α-cos 2β)+(1+cos 2α·cos 2β+cos 2α+cos 2β)- cos 2α·cos 2β=+=.‎ 方法四(从“形”入手,利用配方法,先对二次项配方):‎ 原式=(sin αsin β-cos αcos β)2+2sin αsin β·cos αcos β-cos 2αcos 2β ‎=cos2(α+β)+sin 2α·sin 2β-cos 2α·cos 2β ‎=cos2(α+β)-cos(2α+2β)‎ ‎=cos2(α+β)-[2cos2(α+β)-1]=.‎ ‎【答案】 (1)C (2) ‎【点拨】 解题(1)的思路是先切化弦,再化异角为同角,约分化简;解题(2)的关键是要抓住所给三角函数式的特点,明确化简思路,应用三角函数公式.‎ ‎ 三角函数式的化简方法及思路 ‎(1)化简的方法 弦切互化,异名化同名,异角化同角,降幂或升幂,“1”的代换等.‎ ‎(2)化简的基本思路 ‎“一角二名三结构”,即:‎ 一看“角”,这是最重要的一环,通过角之间的差别与联系,把角进行合理地拆分,从而正确使用公式;‎ 二看“函数名称”,看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式,常见的有“切化弦”;‎ 三看“结构特征”,分析结构特征,找到变形的方向,常见的有“遇到分式要通分”,“遇根式化被开方式为完全平方式”等.‎ 根式的化简常常需要升幂去根号,在化简过程中注意角的范围,以确定三角函数值的正负.‎ ‎(2015·上海黄浦区模拟,19,12分)已知00.‎ ‎∴f(α)=sin α+≥2=1,‎ 又f(α)=sin β ≤1,∴f(α)=1,‎ 此时sin α=,‎ 即sin α=,∴α=或.‎ 又∵0<β<π,0b 解的个数 一解 两解 一解 一解 上表中A为锐角时,a0,∴sin A=1,即A=,故选B.‎ ‎(2)在△ABC中,sin A∶sin B∶sin C=5∶11∶13,‎ ‎∴a∶b∶c=5∶11∶13,‎ 故令a=5k,b=11k,c=13k(k>0),由余弦定理可得 cos C===-<0,‎ 又∵C∈(0,π),∴C∈,‎ ‎∴△ABC为钝角三角形,故选C.‎ ‎【答案】 (1)B (2)C ‎【点拨】 解题(1)的关键是利用正弦定理进行边角互化,将已知式子转化为角角关系;解题(2)的关键是利用正弦定理将角角关系转化为边边关系,进而利用余弦定理求出最大边所对角的余弦值.‎ ‎ 利用正、余弦定理判断三角形形状的思路和途径 要判断三角形的形状,应围绕三角形的边角关系进行思考,主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形,要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别.依据已知条件中的边角关系判断时,主要有如下两条途径:‎ ‎(1)“角化边”:利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系,通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状.‎ ‎(2)“边化角”:利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系,通过三角函数恒等变形,得出内角的关系,从而判断出三角形的形状,此时要注意应用A+B+C=π这个结论.‎ 在两种解法的等式变形中,一般两边不要约去公因式,应移项提取公因式,以免漏解.‎ ‎(2012·上海,16)在△ABC中,若sin2A+sin2B1,即a2+b2-c2>0,‎ ‎∴cos C=>0,‎ ‎∴0
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