高考数学一轮复习练案53第八章解析几何第四讲直线与圆圆与圆的位置关系含解析

高考数学一轮复习练案53第八章解析几何第四讲直线与圆圆与圆的位置关系含解析

‎ [练案53]第四讲　直线与圆、圆与圆的位置关系 A组基础巩固 一、单选题 ‎1．(2019·温州十校联考)对任意的实数k，直线y＝kx－1与圆C：x2＋y2－2x－2＝0的位置关系是(　C　)‎ A．相离　　 B．相切 C．相交　　 D．以上三个选项均有可能 ‎[解析]　直线y＝kx－1恒经过点A(0，－1)，圆x2＋y2－2x－2＝0的圆心为C(1,0)，半径为，而|AC|＝<，故直线y＝kx－1与圆x2＋y2－2x－2＝0相交．‎ ‎2．(2020·河南八市质检)过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为(　B　)‎ A．2x＋y－5＝0　　 B．2x＋y－7＝0‎ C．x－2y－5＝0　　 D．x－2y－7＝0‎ ‎[解析]　由题意，过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则点(3,1)在圆上，圆心与切点连线的斜率为k＝＝，∴切线的斜率为－2，则圆的切线方程为y－1＝－2(x－3)，即2x＋y－7＝0，选B.‎ ‎3．(2019·山东济宁期末)圆C1：x2＋(y－1)2＝1与圆C2：(x＋4)2＋(y－1)2＝4的公切线的条数为(　A　)‎ A．4　 B．3　‎ C．2　 D．1‎ ‎[解析]　两圆的圆心距|C‎1C2|＝4>2＋1，∴两圆外离，两圆的公切线有4条．‎ ‎4．(2020·河北沧州段考)已知直线x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝(　B　)‎ A．2　 B．6　‎ C．4　 D．2 ‎[解析]　∵圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0，即(x－2)2＋(y－1)2＝4，∴圆心为C(2,1)，半径为2.由题意可得，直线l：x＋ay－1＝0经过圆C的圆心(2,1)，故有2＋a－1＝0，∴a＝－1，点A(－4，－1)．∵|AC|＝＝2，|CB|＝R＝2，∴切线的长|AB|＝＝6，故选B.‎ ‎5．(2019·铜川模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋y2－4x＝0及点A(－1,0)，B(1,2)．在圆C上存在点P，使得|PA|2＋|PB|2＝12，则点P的个数为(　B　)‎ A．1　 B．2　‎ C．3　 D．4‎ - 7 -‎ ‎[解析]　设P(x，y)，则(x－2)2＋y2＝4，|PA|2＋|PB|2＝(x＋1)2＋(y－0)2＋(x－1)2＋(y－2)2＝12，即x2＋y2－2y－3＝0，即x2＋(y－1)2＝4，因为|2－2|<<2＋2，所以圆(x－2)2＋y2＝4与圆x2＋(y－1)2＝4相交，所以点P的个数为2.选B.‎ ‎6．(2019·四川南充模拟)若直线l：y＝kx＋1被圆C：x2＋y2－2x－3＝0截得的弦最短，则直线l的方程是(　D　)‎ A．x＝0　　 B．y＝1‎ C．x＋y－1＝0　　 D．x－y＋1＝0‎ ‎[解析]　依题意，直线l：y＝kx＋1过定点P(0,1)．圆C：x2＋y2－2x－3＝0化为标准方程为(x－1)2＋y2＝4.故圆心为C(1,0)，半径为r＝2.则易知定点P(0,1)在圆内．由圆的性质可知当PC⊥l时，此时直线l：y＝kx＋1被圆C：x2＋y2－2x－3＝0截得的弦最短．因为kPC＝＝－1，所以直线l的斜率k＝1，即直线l的方程是x－y＋1＝0.‎ ‎7．(2019·唐山模拟)若方程－x－m＝0有实数解，则实数m的取值范围(　B　)‎ A．－4≤m≤4　　 B．－4≤m≤4 C．－4≤m≤4　　 D．4≤m≤4 ‎[解析]　由题意知方程＝x＋m有实数解，分别作出y＝与y＝x＋m的图象，若两图象有交点，需－4≤m≤4.‎ 二、多选题 ‎8．直线y＝kx＋3被圆(x－2)2＋(y－3)2＝4截得的弦长为2，则直线的倾斜角可能为(　AD　)‎ A．　 B．　‎ C．　 D． ‎[解析]　由题意可知，圆心P(2,3)，半径r＝2，∴圆心P到直线y＝kx＋3的距离d＝，由d2＋()2＝r2，可得＋3＝4，解得k＝±.设直线的倾斜角为α，则tan α＝±，又α∈[0，π)，∴α＝或.‎ ‎9．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－4x＝0若直线y＝k(x＋1)上存在一点P，使过P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的值可以是(　AB　)‎ A．1　 B．2　‎ C．3　 D．4‎ ‎[解析]　x2＋y2－4x＝0，∴(x－2)2＋y2＝4，∵过P所作的圆的两条切线相互垂直，所以P、圆心C、两切点构成正方形，PC＝2，由题意知，直线y＝k(x＋1)与以C为圆心，以2‎ - 7 -‎ eq (2)为半径的圆(x－2)2＋y2＝8相交，∴d＝≤2，即－2≤k≤2，故选AB.‎ ‎10．(2020·山东德州期末)已知点A是直线l：x＋y－＝0上一定点，点P、Q是圆x2＋y2＝1上的动点，若∠PAQ的最大值为90°，则点A的坐标可以是(　AC　)‎ A．(0，)　　 B．(1，－1)‎ C．(，0)　　 D．(－1,1)‎ ‎[解析]　如下图所示：‎ 原点到直线l距离为d＝＝1，‎ 则直线l与圆x2＋y2＝1相切，‎ 由图可知，当AP、AQ均为圆x2＋y2＝1的切线时，∠PAQ取得最大值，连接OP、OQ，由于∠PAQ的最大值为90°，且∠APO＝∠AQO＝90°，|OP|＝|OQ|＝1，‎ 则四边形APOQ为正方形，所以|OA|＝|OP|＝，‎ 由两点间的距离公式得 ‎|OA|＝＝，‎ 设A(t，－t)‎ 整理得2t2－2t＝0，解得t＝0或，因此，点A的坐标为(0，)或(，0)，故选AC.‎ 三、填空题 ‎11．自圆外一点P作圆x2＋y2＝1的两条切线PM，PN(M，N为切点)，若∠MPN＝90°，则动点P的轨迹方程是__x2＋y2＝2__.‎ ‎[解析]　由题意知四边形OMPN是正方形，所以|OP|＝，于是点P的轨迹是圆心在原点，半径为的圆，其方程是x2＋y2＝2.‎ ‎12．(2019·安徽安庆五校联盟联考)当圆C：x2＋y2－4x＋6y－3＝0的圆心到直线l：mx＋y＋m－1＝0的距离最大时，m＝　－　.‎ ‎[解析]　∵圆C的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝16，‎ ‎∴圆C的圆心C(2，－3)，‎ - 7 -‎ ‎∵直线l的方程为mx＋y＋m－1＝0，‎ ‎∴直线l过定点A(－1,1)，‎ ‎∴圆心到直线l：mx＋y＋m－1＝0的距离最大为圆心C与点A(－1,1)，之间的距离 ‎∴kl·kAC＝－1，即－m·＝－1，‎ ‎∴m＝－.‎ ‎13．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦的长为2，则a＝__1__.‎ ‎[解析]　两圆的方程相减，得公共弦所在的直线方程为(x2＋y2＋2ay－6)－(x2＋y2)＝0－4⇔y＝，又a>0，结合图形，利用半径、弦长的一半及弦心距所构成的直角三角形，可知＝＝1⇒a＝1.‎ 四、解答题 ‎14．(2019·江西赣州)已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.‎ ‎(1)若不经过坐标原点的直线l与圆C相切，且直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；‎ ‎(2)设点P在圆C上，求点P到直线x－y－5＝0距离的最大值与最小值．‎ ‎[解析]　(1)圆C的方程可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝2，即圆心的坐标为(－1,2)，半径为，因为直线l在两坐标轴上的截距相等且不经过坐标原点，所以可设直线l的方程为x＋y＋m＝0，于是有＝，得m＝1或m＝－3，‎ 因此直线l的方程为x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.‎ ‎(2)因为圆心(－1,2)到直线x－y－5＝0的距离为＝4，所以点P到直线x－y－5＝0距离的最大值与最小值分别为5和3.‎ ‎15．(2017·课标Ⅲ卷)在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0,1)，当m变化时，解答下列问题：‎ ‎(1)能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；‎ ‎(2)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．‎ ‎[解析]　(1)不能出现AC⊥BC的情况，理由如下：‎ 设A(x1,0)，B(x2,0)，则x1，x2满足x2＋mx－2＝0，‎ 所以x1x2＝－2.‎ 又C的坐标为(0,1)，故AC的斜率与BC的斜率之积为· ＝－，所以不能出现AC⊥BC的情况．‎ ‎(2)证明：由BC的中点坐标为(，)，‎ - 7 -‎ 可得BC的中垂线方程为y－＝x2(x－)．‎ 由(1)可得x1＋x2＝－m，‎ 所以AB的中垂线方程为x＝－.‎ 联立又x＋mx2－2＝0，‎ 可得 所以过A，B，C三点的圆的圆心坐标为(－，－)，‎ 半径r＝.‎ 故圆在y轴上截得的弦长为2＝3，‎ 即过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．‎ B组能力提升 ‎1．(2018·课标Ⅲ卷)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是(　A　)‎ A．[2,6]　　 B．[4,8]‎ C．[，3]　　 D．[2，3]‎ ‎[解析]　由圆(x－2)2＋y2＝2可得圆心坐标为(2,0)，半径r＝，△ABP的面积记为S，点P到直线AB的距离记为d，则有S＝|AB|·d.易知|AB|＝2，dmax＝＋＝3，dmin＝－＝，所以2≤S≤6，故选A.‎ ‎2．(2019·山东济宁期末)已知圆M：(x－a)2＋y2＝4(a>0)与圆N：x2＋(y－1)2＝1外切，则直线x－y－＝0被圆M截得线段的长度为(　D　)‎ A．1　 B．　‎ C．2　 D．2 ‎[解析]　由题意，＝2＋1，‎ ‎∴a＝2，圆心M(2，0)到直线x－y－＝0的距离d＝＝1，‎ ‎∴直线x－y－＝0被圆M截得线段的长度为2＝2，故选D.‎ ‎3．(2020·枣庄模拟)已知点A(0，－6)，B(0,6)，若对圆(x－a)2＋(y－3)2＝4上任意一点P，都有∠APB为锐角，则实数a的取值范围是(　D　)‎ A．(－5，5)‎ B．(－，)‎ C．(－∞，－5)∪(5，＋∞)‎ - 7 -‎ D．(－∞，－)∪(，＋∞)‎ ‎[解析]　若对圆(x－a)2＋(y－3)2＝4上任意一点P，都有∠APB为锐角，则圆(x－a)2＋(y－3)2＝4与圆x2＋y2＝36外离，即圆心距大于两圆的半径之和，>6＋2，解得a2>55，a>或a<－.选D.‎ ‎4．(2020·安徽“江南十校”联考)已知圆C的圆心在直线x＋y＝0上，圆C与直线x－y＝0相切，且在直线x－y－3＝0上截得的弦长为，则圆C的方程为__(x－1)2＋(y＋1)2＝2__.‎ ‎[解析]　解法一：所求圆的圆心在直线x＋y＝0上，‎ ‎∴设所求圆的圆心为(a，－a)．‎ 又∵所求圆与直线x－y＝0相切，‎ ‎∴半径r＝＝|a|.‎ 又所求圆在直线x－y－3＝0上截得的弦长为，‎ 圆心(a，－a)到直线x－y－3＝0的距离d＝，‎ ‎∴d2＋()2＝r2，即＋＝‎2a2，‎ 解得a＝1，∴圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.‎ 解法二：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，‎ 则圆心(a，b)到直线x－y－3＝0的距离d＝，‎ ‎∴r2＝＋，即2r2＝(a－b－3)2＋3.①‎ 由于所求圆与直线x－y＝0相切，∴(a－b)2＝2r2.②‎ 又∵圆心在直线x＋y＝0上，∴a＋b＝0.③‎ 联立①②③，解得 故圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.‎ ‎5．(2019·天津市和平区模拟)已知a，b为正数，若直线2ax＋by－2＝0被圆x2＋y2＝4截得的弦长为2，则a的最大值是　　.‎ ‎[解析]　由题意知圆心到直线的距离d＝＝1，∴＝1，即‎4a2＋b2＝4.∴a＝·‎2‎a·≤·＝(当且仅当a＝，b＝时取等号)．‎ ‎6．(2020·湖南省东部六校联考)已知直线l：4x＋3y＋10＝0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方．‎ - 7 -‎ ‎(1)求圆C的方程；‎ ‎(2)过点M(1,0)的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎[解析]　(1)设圆心C(a,0)(a>－)，‎ 则＝2，解得a＝0或a＝－5(舍)．‎ 所以圆C：x2＋y2＝4.‎ ‎(2)如图，当直线AB⊥x轴时，x轴平分∠ANB.‎ 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，N(t,0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 由得，(k2＋1)x2－2k2x＋k2－4＝0，‎ 所以x1＋x2＝，x1x2＝.‎ 若x轴平分∠ANB，‎ 则kAN＝－kBN⇒＋＝0‎ ‎⇒＋＝0‎ ‎⇒2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t＝0‎ ‎⇒－＋2t＝0‎ ‎⇒t＝4.‎ 所以当点N为(4,0)时，能使得∠ANM＝∠BNM总成立．‎ - 7 -‎