2019-2020学年安徽省黄山市屯溪区屯溪第一中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2019-2020学年安徽省黄山市屯溪区屯溪第一中学高一上学期期中数学试题（解析版）

‎2019-2020学年安徽省黄山市屯溪区屯溪第一中学高一上学期期中数学试题 一、单选题 ‎1．设集合，则=‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：由补集的概念，得，故选C．‎ ‎【考点】集合的补集运算 ‎【名师点睛】研究集合的关系，处理集合的交、并、补的运算问题，常用韦恩图、数轴等几何工具辅助解题．一般地，对离散的数集、抽象的集合间的关系及运算，可借助韦恩图，而对连续的集合间的运算及关系，可借助数轴的直观性，进行合理转化．‎ ‎2．若函数，则（ ）‎ A．-10 B．10 C．-2 D．2‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：由，故选C．‎ ‎【考点】分段函数的求值．‎ ‎3．下列集合A到B的对应中，不能构成映射的是（ ）‎ A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④‎ ‎【答案】A ‎【解析】对于①，由于的值可能是4或5，不唯一，且没有值，故①中的对应不能构成映射；对于②，‎ 没有值，故②中的对应不能构成映射；对于③，由于的值可能是3或4，不唯一，故③中的对应不能构成映射；对于④，满足，且，满足映射的定义，故④中对应能构成映射，故选A.‎ ‎4．若则化简的结果是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】 故选B.‎ 点睛：()n＝a(a使有意义)；当n为奇数时，＝a，当n为偶数时，＝|a|＝ ‎ ‎5．函数的图象是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据函数的奇偶性,单调性和函数的最值,以及函数的凹凸性即可判断.‎ ‎【详解】‎ 解：,‎ 易得函数为偶函数,‎ 即函数图像关于轴对称， ‎ ‎,‎ ‎,‎ 故当时,函数为增函数,当时,函数为减函数,当时,函数有最小值,最小值为1,‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的奇偶性,单调性和函数的最值,属于基础题 ‎6．若函数是幂函数，且其图象过点，则函数的单调增区间为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】分别求出m，a的值，求出函数的单调区间即可．‎ ‎【详解】‎ 解：由题意得：，解得：，‎ 故，将代入函数的解析式得：‎ ‎，解得：，‎ 故，‎ 令，解得：，‎ 故在递增，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了幂函数的定义以及对数函数的性质，是一道基础题．‎ ‎7．若函数的一个零点附近的函数值用二分法逐次计算的参考数据如下：‎ 那么方程的一个近似根（精确度0.1）为（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】先研究函数 ‎，再利用函数的单调性，结合二分法求函数零点，由参考数据可得,且,可得解．‎ ‎【详解】‎ 解：由函数为增函数，由参考数据可得,且,‎ 所以当精确度时,可以将作为函数零点的近似值,也即方程根的近似值．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用二分法求函数零点，重点考查了函数的单调性，属基础题.‎ ‎8．下列结论：①函数和是同一函数；②函数的定义域为，则函数的定义域为；③函数的递增区间为；其中正确的个数为（ ）‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 ‎【答案】A ‎【解析】【详解】试题分析：对于①，由于函数的定义域为R，的定义域为[0，+∞），这两个函数的定义域不同，故不是同一函数，故①不满足条件．‎ 对于②，由于函数f（x-1）的定义域为[1，2]，故有0≤x-1≤1．‎ 对于函数f（3x2），可得0≤3x2≤1，解得x∈[-,]‎ 故函数f（3x2）的定义域为[-,]，故②不正确．‎ 对于③，函数y=log2（x2+2x-3），令t=x2+2x-3＞0，求得x＜-3，或x＞1，‎ 故函数的定义域为（-∞，-3）∪（1，+∞），本题即求t在定义域内的增区间，‎ 利用二次函数的性质可得t的递增区间为（1，+∞），故③不正确．‎ ‎【考点】函数的定义域，单调性。‎ ‎9．高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,用其名字命名的“高斯函数”为：设,用表示不超过x的最大整数,则称为高斯函数例如：,,已知函数,则函数的值域为（ ）‎ A． B． C．1, D．1,2,‎ ‎【答案】C ‎【解析】由分式函数值域的求法得：,又,所以,由高斯函数定义的理解得：函数的值域为,得解．‎ ‎【详解】‎ 解：因为,所以,‎ 又,‎ 所以,‎ 由高斯函数的定义可得：函数的值域为,‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了分式函数值域的求法及对新定义的理解,属中档题．‎ ‎10．若，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】【详解】试题分析：用特殊值法，令，，得，选项A错误，，选项B错误， ，选项D错误， ‎ 因为 选项C正确，故选C．‎ ‎【考点】‎ 指数函数与对数函数的性质 ‎【名师点睛】‎ 比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.‎ ‎11．已知函数（，且）在上单调递减，且关于x的方程恰有两个不相等的实数解，则的取值范围是 A． B．[，] C．[，]{} D．[，）{}‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：由在上单调递减可知，由方程恰好有两个不相等的实数解，可知，，又时，抛物线与直线相切，也符合题意，∴实数的取值范围是，故选C.‎ ‎【考点】函数性质综合应用 ‎【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：‎ ‎（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；‎ ‎（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；‎ ‎（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．‎ ‎12．已知函数,则关于x的不等式的解集为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】令,是定义域为R,是奇函数,并且是增函数,,然后将所求不等式转换成,再利用的单调性解决．‎ ‎【详解】‎ 由,令，‎ 则 ，由,恒成立,‎ 定义域为R,‎ 设，则 是奇函数,并且是增函数, ‎ 设，‎ 则 ‎,‎ 即函数为奇函数，‎ 则函数为奇函数,‎ 又当时,为单调增函数,‎ 在R上单调递增,‎ ‎,‎ ‎,‎ 即,‎ 又函数为增函数,‎ 所以,解得,‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的奇偶性和单调性的应用,对数函数指数函数的运算性质,属于难题．‎ 二、填空题 ‎13．=______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】【详解】试题分析：．‎ ‎【考点】对数的运算．‎ ‎14．已知是上的偶函数，且在，单调递增，若，则的取值范围为____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由偶函数的性质将不等式表示为，再由函数在区间上的单调性得出与的大小关系，解出不等式即可。‎ ‎【详解】‎ 函数是上的偶函数，所以，‎ 由，得，‎ 函数在区间上单调递增，，得，‎ 解得，因此，实数的取值范围是，故答案为：。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数不等式的求解，对于这类问题，一般要考查函数的奇偶性与单调性，将不等式转化为（若函数为偶函数，可化为），结合单调性得出与的大小（或与的大小）关系，考查推理能力与分析问题的能力，属于中等题。‎ ‎15．若函数存在零点，则m的取值范围是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：解：设，因为，所以函数函数存在零点时，则满足m的取值范围是-1m＜0，故答案为 ‎【考点】函数的零点 点评：本题考查函数的零点，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件．‎ ‎16．已知函数y＝f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，，若关于x的方程[f（x）]2＋af（x）＋b＝0（a，b∈R）有且只有7个不同的实数根，则的取值范围是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先作出函数y＝f（x）的图像，观察图像可知：关于x的方程、有且只有7个不同实数根等价于方程必有两个根,,其中,,由根与系数的关系知,,，即可得解.‎ ‎【详解】‎ 解：函数y＝f（x）图象如图所示：‎ 由题意,在和上是减函数,在和上是增函数,‎ 时,函数取极大值1,时,取极小值,时,,‎ 关于x的方程、‎ 有且只有7个不同实数根,则方程必有两个根,,其中,,由根与系数的关系知,,‎ 则，‎ 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题考查分段函数及复合函数的根的个数问题,较难,数形结合是解题的关键．‎ 三、解答题 ‎17．设集合,集合．‎ ‎（1）若,求；‎ ‎（2）若,求实数m的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）或 ‎【解析】（1）当时,求出集合A,B,由此能求出．‎ ‎（2）根据和,进行分类讨论,能求出实数m的取值范围．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）因为集合,集合．‎ 当时,,‎ ‎．‎ ‎（2）①若,则,解得．‎ ‎②若,则,解得,‎ 要使,则或,解得．‎ 综上,实数m的取值范围是或．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查并集的求法,考查实数的取值范围的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意交集、并集性质的合理运用．‎ ‎18．已知函数是定义在R上的偶函数,当时,．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求的解析式.‎ ‎【答案】（1）0（2）‎ ‎【解析】根据题意,由函数的解析式可得与的值,又由函数为偶函数,可得即可得答案；‎ 根据题意,设,即,分析可得的解析式,结合函数的奇偶性分析可得答案；‎ ‎【详解】‎ 解：根据题意,当时,．‎ 则,,‎ 又由函数为偶函数,则,‎ 则；‎ 设,即,则,‎ 又由函数为偶函数,则,‎ 则 ‎【点睛】‎ 本题考查函数的奇偶性以及单调性的综合应用,关键是求出函数的解析式,属于基础题．‎ ‎19．攀枝花是一座资源富集的城市，矿产资源储量巨大，已发现矿种76种，探明储量39种，其中钒、钛资源储量分别占全国的63%和93%，占全球的11%和35%，因此其素有“钒钛之都”的美称．攀枝花市某科研单位在研发钛合金产品的过程中发现了一种新合金材料，由大数据测得该产品的性能指标值（‎ 值越大产品的性能越好）与这种新合金材料的含量（单位：克）的关系为：当时，是的二次函数；当时，．测得部分数据如下表：‎ ‎（单位：克）‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎6‎ ‎10‎ ‎…‎ ‎8‎ ‎8‎ ‎…‎ ‎（Ⅰ）求关于的函数关系式；‎ ‎（Ⅱ）求该新合金材料的含量为何值时产品的性能达到最佳．‎ ‎【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）当时产品的性能达到最佳.‎ ‎【解析】（Ⅰ）当0≤x＜7时，y是x的二次函数，可设y＝ax2+bx+c（a≠0），利用已知条件求出a，b，c得到函数的解析式；‎ ‎（Ⅱ）利用分段函数求出函数的最值，推出结论．‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）当时，是的二次函数，可设，‎ 由可得，由，即，‎ 由，可得，解得，‎ 即有；‎ 当时，，由，，可得，即有；‎ 综上可得.‎ ‎（Ⅱ）当时，，‎ 即有时，取得最大值12；‎ 当时，递减，可得，当时，取得最大值．‎ 综上可得当时产品的性能达到最佳.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的解析式的求法，分段函数的应用，考查转化思想以及计算能力．‎ ‎20．已知函数f(x)对于任意x,y∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时,f(x)<0,f(1)=-.‎ ‎(1)求证:f(x)在R上是减函数.‎ ‎(2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.‎ ‎【答案】(1)见解析 (2) 最大值为2,最小值为-2‎ ‎【解析】【详解】‎ ‎(1)方法一:∵函数f(x)对于任意x,y∈R总有f(x)+f(y)=f(x+y),‎ ‎∴令x=y=0,得f(0)=0.‎ 再令y=-x,得f(-x)=-f(x).‎ 在R上任取x1>x2,则x1-x2>0,‎ f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2).‎ 又∵x>0时,f(x)<0,而x1-x2>0,‎ ‎∴f(x1-x2)<0,‎ 即f(x1)x2,‎ 则f(x1)-f(x2)‎ ‎=f(x1-x2+x2)-f(x2)‎ ‎=f(x1-x2)+f(x2)-f(x2)‎ ‎=f(x1-x2).‎ 又∵x>0时,f(x)<0,而x1-x2>0,‎ ‎∴f(x1-x2)<0,‎ 即f(x1)

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