高中数学第7章(第20课时)圆的方程3

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高中数学第7章(第20课时)圆的方程3

课 题:7.6圆的方程(三)‎ 教学目的:‎ ‎1.理解圆的参数方程 ‎2.熟练求出圆心在原点、半径为r的圆的参数方程 ‎3.理解参数θ的意义 ‎4.理解圆心不在原点的圆的参数方程 ‎5.能根据圆心坐标和半径熟练地求出圆的参数方程 ‎6.可将圆的参数方程化为圆的普通方程 教学重点:圆的参数方程(分圆心在原点与不在原点的两种情形) ‎ 教学难点:参数方程,参数的概念 ‎ 授课类型:新授课 课时安排:1课时 教 具:多媒体、实物投影仪 内容分析:‎ 本节为第三课时讲解圆的参数方程 为了突出重点,突破难点,可以对本节的例题、练习进行适当的调整和组合,并安排一些变式练习 ‎ 将参数方程化为普通方程时,常用的消参方法有:代入法、加减法、换元法等 要注意不能缩小或扩大曲线中的取值范围 ‎ 圆上的点的特征性质,在圆的参数方程中,得到了另一种形式的表示 在涉及圆上的动点距离、面积、定值、最值等问题时,用圆的参数方程来解往往更为简捷 ‎ 教学过程:‎ 一、复习引入: ‎ 一、复习引入: ‎ ‎1.圆的定义:平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆 ‎2.求曲线方程的一般步骤为:‎ ‎(1)建立适当的坐标系,用有序实数对表示曲线上任意一点M的坐标;‎ ‎(2)写出适合条件P的点M的集合;(可以省略,直接列出曲线方程)‎ ‎(3)用坐标表示条件P(M),列出方程;‎ ‎(4)化方程为最简形式;‎ ‎(5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点(可以省略不写,如有特殊情况,可以适当予以说明)‎ ‎3.建立圆的标准方程的步骤:建系设点;写点集;列方程;化简方程 ‎ ‎4. 圆的标准方程 : 圆心为,半径为,‎ 若圆心在坐标原点上,这时,则圆的方程就是 ‎5.圆的标准方程的两个基本要素: ‎ ‎6.圆的一般方程:只有当时,①表示的曲线才是圆,把形如①的表示圆的方程称为圆的一般方程 ‎(1)当时,①表示以(-,-)为圆心,为半径的圆;‎ ‎(2)当时,方程①只有实数解,,即只表示一个点(-,-);‎ ‎(3)当时,方程①没有实数解,因而它不表示任何图形 ‎ 二、讲解新课:‎ ‎1. “旋转角”的概念:一条射线从起始位置按逆时针方向旋转到终止位置形成的角,叫正角;按顺时针方向旋转形成的角形成的角,叫做负角;若没有旋转,就称为零角 ‎ 2.圆心为原点半径为r的圆的参数方程 如图所示在圆上,对于的每一个允许值,由方程组 ①,所确定的点P()都在圆上 方程组①叫做圆心为原点,半径为r的圆的参数方程,为参数 ‎3.圆心为原点半径为r的圆的参数方程 把圆心为原点O,半径为r的圆按向量平移,可得到圆心为,半径为r的圆 如图,设圆上任意一点P(x,y),它是圆O上一点按平移向量平移后得到的,则根据平移公式,有,‎ 由于,故 ②‎ 这就是圆心为,半径为r的圆的参数方程 ‎ 4.参数方程的意义:一般地,在取定的坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数,即 ③‎ 并且对于的每一个允许值,由方程组③所确定的点M()都在这条曲线上,那么方程组③就叫做这条曲线的参数方程,其中联系之间关系的变数叫做参变数,简称参数.它可以是有物理、几何意义的变数,也可以是没有明显意义的变数 点评:参数方程的特点是在于没有直接体现曲线上点的横、纵坐标之间的关系,而是分别体现了点的横、纵坐标与参数之间的关系 三、讲解范例:‎ 例 如图所示,已知点P是圆上的一个动点,点A是轴上的定点,坐标为(12,0).点P在圆上运动时,线段PA的中点M的轨迹是什么?‎ 分析:应先根据线段中点坐标公式特点M的横、纵坐标表示出来,然后判断其关系,从而确定其曲线类型 ‎ 解:设点M的坐标是()‎ ‎∵圆的参数方程为:‎ 又∵点P在圆上,∴设P的坐标为(4cosθ,4sinθ)‎ 由线段中点坐标公式可得点M的轨迹的参数方程为:‎ 从而判断线段PA的中点M的轨迹是以点(6,0)为圆心、2为半径的圆 ‎ 四、课堂练习:课本P81练习 1,2.‎ ‎1.填空:已知圆O的参数方程是 ‎ (0≤θ<2π)‎ ‎(1)如果圆上点P所对应的参数θ=,则点P的坐标是 ‎ ‎(2)如果圆上点Q的坐标是(-),则点Q所对应的参数θ等于 ‎ 解析:(1)由得 ‎ (2)由 (0≤θ<2π)得 ∴θ=.‎ 答案:(1)() (2)‎ ‎2.把圆的参数方程化成普通方程:‎ ‎(1) (2)‎ 解:(1)由 得 ‎∵ ∴‎ 即: ‎ ‎(2)由 得 又∵ ∴‎ ‎3.经过圆上任一点P作x轴的垂线,垂足为Q,求线段PQ中点轨迹的普通方程 解:设M()为线段PQ的中点,‎ ‎∵圆的参数方程为 ‎ 又∵点P为圆上任一点 ‎∴可设点P的坐标为(2cosθ,2sinθ)‎ 则Q点的坐标为(2cosθ,0)‎ 由线段中点坐标公式,得点M的轨迹的参数方程为:‎ 消去参数θ,可得: 即 五、小结 :圆的参数方程(分圆心在原点与不在原点的两种情形) 参数方程,参数的概念; 参数方程与普通方程的互化;参数方程的意义及实际应用 ‎ 六、课后作业:‎ ‎1.填空题 ‎(1)已知圆的参数方程是 (0≤θ<2π)若圆上一点M的坐标为(4,-4),则M所对应的参数θ的值为 ‎ 分析:将点M的坐标代入参数方程分别求得sinθ,cosθ的值,由此求θ的值 解:将点M(4,-4)代入 得 又∵0≤θ<2π,∴θ=.答案:‎ ‎(2)已知圆的参数方程为,则它的普通方程为 ‎ 分析:由参数方程解得cosθ、sinθ的表达式,由求出x与y的关系式,即可求得 解:由得 由 得 ‎ 答案:‎ ‎2.已知点M是圆上的一个动点,点N(2,6)为定点,当点M在圆上运动时,求线段MN的中点P的轨迹方程,并说明轨迹的图形 分析:先将圆化为利用圆的参数方程求解 解:将已知圆的方程化为:‎ 则其参数方程为故可设点M(2+2cosθ,2sinθ)‎ 又∵点N(2,6).∴MN的中点P为 ‎∴点P的轨迹方程为: ‎ 它表示圆心在(2,3),半径为1的圆 ‎3.若实数满足,求的最大值.‎ 分析一:将圆化为参数方程来解 解法一:将圆变为 ‎∴圆的参数方程为 代入得 ‎=(1+cosθ)-(-2+sinθ)=3+(cosθ-sinθ)‎ ‎=3+cos(θ+)≤3+‎ ‎∴的最大值为3+‎ 分析二:令=u代入圆方程来解.‎ 解析二:令u=,则代入圆方程得 由即 ‎∴3-≤u≤3+,即3-≤x-y≤3+‎ ‎∴的最大值为3+‎ ‎4.已知对于圆上任意一点P(),不等式恒成立,求实数的取值范围 分析:将圆的参数方程代入,转化为求的最值问题来解 解:由得其参数方程为:‎ 代入,得cosθ+1+sinθ+≥0‎ ‎∴≥-cosθ-sinθ-1‎ ‎∴≥-sin(θ+)-1恒成立,‎ ‎∴转化为求-sin(θ+)-1的最大值,‎ ‎∵-sin(θ+)-1的最大值为-1‎ ‎∴≥-1‎ ‎5.已知圆,定点A(1,0),B、C是圆上两个动点,保持A、B、C在圆上逆时针排列,且∠BOC=(O为坐标原点),求△ABC重心G的轨迹方程 分析:利用三角形重心坐标公式:来解 解:令B(cosθ,sinθ),则C(cos(θ+),sin(θ+)),‎ 设重心G坐标为()‎ 则即 化为普通方程得:‎ 七、板书设计(略)‎ 八、课后记:‎ ‎ ‎
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