2018届二轮复习 空间的平行与垂直问题 学案（ 江苏专用）

2018届二轮复习 空间的平行与垂直问题 学案（ 江苏专用）

专题13：空间的平行与垂直问题 班级 姓名 ‎ 一、前测训练 A B C A1‎ B1‎ C1‎ D ED ‎,3,5‎ ‎1．如图所示，在直三棱柱ABC－A1B‎1C1中，若D、E是棱CC1，AB的中点，求证：DE∥平面AB‎1C1．‎ 提示：法一：用线面平行的判定定理来证：‎ ‎“平行投影法”：取AB1的中点F，证四边形C1DEF是平行四边形．‎ ‎“中心投影法”延长BD与B‎1C1交于M，利用三角线中位线证DE∥AM．‎ 法二：用面面平行的性质 ‎ 取BB1中点G，证平面DEG∥平面AB‎1C1．‎ ‎2．已知底面为平行四边形的四棱锥S－ABCD中，P为SB中点，Q为AD上一点，若PQ∥面SDC，‎ 求证AQ=QD．‎ D S A B C P Q 提示 取SC的中点E，证明四边形DQPE为平行四边形即可。‎ ‎3．在正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，‎ ‎(1)求证：平面A1BD∥平面B1D‎1C ‎(2)若E，F分别是A‎1A，C‎1C的中点，求证：平面EB1D1∥平面BDF A1‎ D1‎ A B C D B1‎ C1‎ E·‎ F·‎ 提示：(1)用面面平行的判定定理证：‎ ‎ 证明BD∥B1D1，A1B∥D‎1C．‎ ‎ (2)证明BD∥B1D1，BF∥D1E．‎ ‎4．在正方体ABCD—A1B‎1C1D1中，M为棱CC1的中点，AC交BD于O，求证：A1O⊥平面MBD A1‎ D1‎ A B C D B1‎ C1‎ M·‎ O ‎ ‎ ‎ 提示：用线面垂直的判定定理：‎ ‎ 证BD⊥平面AA‎1C1C，从而得出BD⊥A1O；‎ ‎ 在矩形AA‎1C1C中，用平几知识证明A1O⊥OM；也可以取BC中点E，连接OE、B1E，证明BM⊥平面A1B1EO，从而证得BM⊥A1O。‎ ‎ ‎ ‎5．在正三棱柱ABC－A1B‎1C1中，所有棱长均相等，D为BB1的中点，求证：A1B⊥CD．‎ A1‎ B C C1‎ B1‎ D A 提示：取AB的中点E，连CE，证A1B⊥平面CDE．‎ ‎6．如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是菱形，PB＝PD，且E，F分别是BC， CD的中点．‎ 求证：平面PEF⊥平面PAC．‎ B C D A P E F 提示：设EF与AC交于点O，证EF⊥AC，EF⊥OP，‎ ‎ 从而得出EF⊥平面PAC．‎ ‎7．直三棱柱的底面是正三角形，分别是的中点。‎ 证明：平面平面；‎ 提示 首先证明，，得到平面，利用面面垂直的判定与性质定理可得平面平面 二、方法联想 ‎1．证明线面平行 方法1 构造三角形(中心投影法)，转化为线线平行．寻找平面内平行直线步骤，如下图：①在直线和平面外寻找一点P；②连接PA交平面α于点M；③连接PA交平面α于点N ‎，④连接MN即为要找的平行线．‎ 或 ‎①‎ ‎②‎ ‎③‎ P A ‎ B ‎ ‎④‎ ‎①‎ ‎②‎ ‎③‎ A B ‎ P ‎④‎ M ‎ N ‎ M ‎ N ‎ 方法2：构造平行四边形(平行投影法) ，转化为线线平行．寻找平面内平行直线步骤，如下图：①选择直线上两点A、B构造两平行直线和平面α相交于M、N；②连接MN即为要找的平行线．‎ ‎①‎ ‎②‎ ‎①‎ A M N B 方法3：构造面面平行．构造平行平面步骤，如下图：①过A做AC平行于平面α内一条直线A’C’；②连结BC；③平面ABC即为所要找的平行平面．‎ ‎①‎ ‎②‎ A B C A’‎ C’‎ 证明线线平行 ‎ 方法1：利用中位线；‎ 方法2：利用平行四边形；‎ 方法3：利用平行线段成比例；‎ 方法4：利用平行公理；‎ 方法5：利用线面平行性质定理；‎ 方法6：利用线面垂直性质定理；‎ 方法7：利用面面平行．‎ ‎2．已知线面平行 方法 过直线l做平面β交已知平面α于直线m，则l∥m．‎ l m α ‎3．面面平行证明 ‎ 方法 在一个平面内寻找两条相交直线证明与另一个平面平行．‎ 注意 证面面平行必须先通过证线面平行，不可以直接通过证线线平行来证面面平行．‎ ‎4．证明线面垂直 方法 证明直线与平面内两条相交直线垂直．‎ 证明线线垂直 ‎ 方法1：利用线面垂直；‎ 方法2：利用线线平行；‎ 方法3：利用勾股定理；‎ 方法4：利用等腰三角形三线合一；‎ 方法5：利用菱形对角线互相垂直；‎ 方法6：利用四边形为矩形．‎ ‎5．构造垂面证线线垂直 要证l垂直于AB，构造垂面证线线垂直步骤:‎ 如下图：①过A找垂直于l的直线AC；②连结BC，③证BC垂直l ，则l⊥面ABC．‎ A B l C ‎①‎ ‎②‎ ‎6．证明面面垂直 关键是找到和另一个平面垂直的垂线，转化为线面垂直．‎ 找垂线的一般方法：‎ ‎（1）分别在两个平面内找两条互相垂直的直线，再判断其中一条直线垂直于平面；‎ ‎（2）找（或做）两平面交线的垂线．‎ ‎7．已知面面垂直 优先在其中一个平面内做两个平面交线的垂线，转化为线面垂直．‎ 三、例题分析 A C D B E P F 例1：在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA＝2AB．‎ ‎ (1)若F为PC的中点，求证：PC⊥平面AEF；‎ ‎(2)求证：CE∥平面PAB．‎ 证明：(1)在△ABC中，∵∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，‎ ‎ ∴AC＝2AB，又∵PA＝2AB，∴AC＝PA，‎ ‎ ∵F为PC的中点，∴AF⊥PC；‎ ‎ ∵PA⊥平面ABCD，CDÌ平面ABCD，∴PA⊥CD，‎ ‎ ∵∠ACD＝90°，∴CD⊥AC， AC∩PA＝A，∴CD⊥平面PAC，‎ ‎ ∵PCÌ平面PAC，∴CD⊥PC，‎ ‎∵E为PD的中点，F为PC的中点，∴EF∥CD，∴EF⊥PC，‎ A C D B E P F ‎∵AF∩EF＝F，∴PC⊥平面AEF．‎ ‎ (2)提示：‎ ‎①中心投影法：延长CD与AB交于G，证明CE∥PG．‎ ‎ ②平行投影法：取PA中点M，过C作CN∥AD交AB于N．‎ ‎ 证四边形CEMN是平行四边形，从而得CE∥MN．‎ ‎ ③面面平行的性质：取AD中点H，证明平面CEH∥平面PAB．‎ ‎【教学建议】‎ ‎ 1．本题涉及到证明空间的线面垂直与线面平行．‎ ‎2．证明线面垂直通常的方法：‎ ‎ (1)定义法：a⊥b，b为平面α内任意一条直线Þ a⊥平面α．‎ ‎ (2)线面垂直的判定定理：a⊥m，a⊥n，mÌ平面α，nÌ平面α，m∩n＝AÞ a⊥平面α．‎ ‎ (3)面面垂直的性质定理：平面α⊥平面β，平面α∩平面β＝l，aÌ平面α，a⊥lÞ a⊥平面α．‎ ‎3．证明直线与平面平行的方法：‎ ‎ (1)定义法：常常借助反证法完成；‎ ‎(2)判定定理：a∥b，aË平面α，bÌ平面αÞ a∥平面α．‎ ‎ 用判定定理来证线面平行的关键是在平面内找到与已知直线平行的直线，‎ 其方法有：中心投影法与平行投影法．‎ 证明线线平行常用方法：‎ ‎①平面几何的方法：三角形中位线，平行四边形，平行线段成比例等．‎ ‎②面面平行的性质：α∥β，γ∩α＝m，γ∩β＝nÞm∥n．‎ ‎③线面垂直的性质：a⊥平面α，b⊥平面αÞa∥b．‎ ‎④公理4：a∥c，b∥cÞa∥b．‎ ‎(3)面面平行的性质：平面α∥平面β， aÌ平面αÞ a∥平面α．‎ 例2：如图，三棱台中，分别为的中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若求证：平面平面. ‎ 证明（1）证法一：连接设,连接，在三棱台中，分别为的中点，可得，所以四边形是平行四边形，则为的中点，又是的中点，所以,‎ 又平面，平面，所以平面.‎ 证法二：在三棱台中，由为的中点，‎ 可得所以为平行四边形，可得 在中，分别为的中点，‎ 所以又，‎ 所以平面平面，‎ 因为平面，‎ 所以平面.‎ ‎(2)证明：连接.因为分别为的中点，所以由得，又为的中点，所以因此四边形是平行四边形，所以 又，所以.‎ 又平面，，所以平面，‎ 又平面，所以平面平面 ‎【教学建议】‎ ‎1. 本题涉及到证明空间线面平行和线线、线面、面面垂直.‎ ‎2．本题考查了空间几何体的特征及空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系和垂直关系，从证明方法看，起点低，入口宽，特别是第一小题.证明过程中，关键是注意构造线线的平行关系、垂直关系，特别是注意利用平行四边形，发现线线关系，进一步得到线面关系、面面关系.‎ 例3：如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，PD＝DC＝4，AD＝2，E为PC的中点．‎ ‎ (1)求证：AD⊥PC；(2)求三棱锥P－ADE的体积；‎ A B D C E P ‎(3)在线段AC上是否存在一点M，使得PA∥平面EDM，若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．‎ 证明(1)∵ PD⊥平面ABCD，ADÌ平面ABCD，∴PD⊥AD，‎ ‎ ∵底面ABCD为矩形，∴AD⊥DC，又PD∩DC＝D，‎ ‎ ∴AD⊥平面PDC，PCÌ平面PDC，‎ ‎ ∴AD⊥PC；‎ ‎ (2)由(1)知AD⊥平面PDC，∴AD的长为A到平面PDE的距离，‎ ‎ 在直角三角形PDC中，E为PC中点，PD＝DC＝4，‎ ‎ ∴S△PDE＝4，∴VP－ADE＝VA－PDE＝×S△PDE×AD＝×4×2＝．‎ ‎ (3) 当M为AC中点时，PA∥平面EDM，‎ 即在线段AC上存在一点M，使得PA∥平面EDM．‎ ‎∵M为AC中点，E为PC中点，∴EM∥PA，又PAË平面EDM，EMÌ平面EDM，‎ ‎∴PA∥平面EDM．‎ 此时AM＝AC＝＝．‎ ‎【教学建议】‎ ‎1．本题主要涉及证明线线垂直，体积计算与探究命题成立的条件．‎ ‎2．证明空间两条异面直线垂直问题，通常是证明一条直线垂直与另一条直线所在的一个平面；‎ ‎ 多面体体积的计算，关键是找到多面体的高，另一方面对于不易找高的多面体，可以利用几何体体积之间的关系进行转化，转化为比较容易计算的几何体体积．‎ ‎3．对命题条件的探索常采用以下三种方法：‎ ‎ ①先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；‎ ‎②先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明其充分性；‎ ‎③把几何问题转化为代数问题，探索命题成立的条件．‎ ‎4．对命题结论的探索常采用以下方法：‎ ‎ 首先假设结论存在，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论就肯定假设，如果得到了矛盾的结果就否定假设．‎ 四、反馈练习 ‎1.已知是两条不同的直线，为两个不同的平面，有下列四个命题：‎ ‎①若，m⊥n，则；②若，则；‎ ‎③若，则；④若，则．‎ 其中正确的命题是（填上所有正确命题的序号）___________‎ 答案：①④‎ ‎2.设a、b为两条直线，、为两个平面，有下列四个命题：‎ ‎①若a，b，且a∥b，则∥；‎ ‎②若a，b，且a⊥b，则⊥；‎ ‎③若a∥，b，则a∥b ；‎ ‎④若a⊥，b⊥，则a∥b，其中正确命题的序号为 ‎ 答案：④‎ ‎3.已知圆锥的侧面积为，母线长为，则此圆锥的体积为（结果保留）__________‎ 答案：‎ ‎4. 四棱锥中，侧棱底面，底面为矩形，且，点是的中点，连接.记四棱锥的体积为，四面体的体积为，则的值是 ．‎ 答案：4‎ D E B A ‎5．一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面,且该六棱柱的高为底面周长为3,已知该六棱柱的顶点都在同一球面上,则这个球的体积为 . ‎ 答案： ‎ ‎6. 三角形所在的平面与长方形所在的平面垂直，，‎ ‎，．则点到平面的距离是 ．‎ 答案：‎ ‎7.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD.则在三棱锥A－BCD 中，下列命题正确的是________．(填序号)‎ ‎①平面ABD⊥平面ABC ②平面ADC⊥平面BDC ‎③平面ABC⊥平面BDC ④平面ADC⊥平面ABC 答案　④‎ ‎8.在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P在AD上运动，设∠ABP＝θ，将△ABP沿BP折起，使得平面ABP垂直于平面BPDC，AC长最小时θ的值为________．‎ 图K40－5‎ 答案：45°　‎ ‎9.在正三棱锥S－ABC中，M，N分别是SC，BC的中点，且MN⊥AM，若侧棱SA＝2，则正三棱锥 S－ABC外接球的表面积是________．‎ 答案：　36π ‎10.如图，在三棱柱ABC－A1B‎1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC 为直角的等腰直角三角形，AC＝‎2a，BB1＝‎3a，D是A‎1C1的中点，点F 在线段AA1上，当AF＝________时，CF⊥平面B1DF.‎ 答案：a或‎2a ‎11．如图四边形ABCD为菱形，G为AC与BD交点，，‎ 证明：平面平面；‎ ‎12．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外的一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.‎ ‎13．如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，PA＝AB＝4，G为PD中点，E点在AB上，平面PEC⊥平面PDC.‎ ‎(1)求证：AG⊥平面PCD；‎ ‎(2)求证：AG∥平面PEC；‎ ‎(3)求点G到平面PEC的距离．‎ ‎ 答案： ‎14. 在直角梯形中，，是的中点，是与的交点，将沿折起到图2中的位置，得到四棱锥.‎ ‎(1)证明：平面；‎ ‎(2)当平面平面时，四棱锥的体积为，求的值.‎ 答案 (1) 证明略，详见解析；(2) .‎ ‎15．如图，三棱锥P-ABC中，PA平面ABC，.‎ ‎（1）求三棱锥P-ABC的体积；‎ ‎（2）证明：在线段PC上存在点M，使得ACBM，并求的值.‎ 答案（1） （2）‎