高考数学复习课时提能演练(二十四) 3_8

高考数学复习课时提能演练(二十四) 3_8

‎ ‎ 课时提能演练(二十四)‎ ‎(45分钟 100分)‎ 一、选择题（每小题6分，共36分）‎ ‎1.如果在测量中，某渠道斜坡坡度为，设α为坡角，那么cosα等于( )‎ ‎2.线段AB外有一点C，∠ABC=60°，AB=‎200 km,汽车以‎80 km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以‎50 km/h的速度由B向C行驶，则运动开始几小时后，两车的距离最小( )‎ ‎（A） （B）1 （C） （D）2‎ ‎3.（2012·三明模拟）在‎200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高是( )‎ ‎（A）米 （B）米 （C）200米 （D）‎‎200米 ‎4.某人在C点测得某塔在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进‎10米到D，测得塔顶A的仰角为30°，则塔高为( )‎ ‎（A）‎15米 （B）‎5米 （C）‎10米 （D）‎‎12米 ‎5.（2012·福州模拟）为测一树的高度，在水平地面上选取A、B两点（点A、B及树的底部在同一直线上），从A、B两点分别测得树尖的仰角为30°,45°，且A、B两点间的距离为60 m，则树的高度为（ ）‎ ‎6.（2012·宁德模拟)如图，设A、B两点在河的两岸， ‎ 一测量者在A的同侧所在的河岸边选定一点C，测出 AC的距离为50 m,∠ACB=45°,∠CAB=105°后，就可 以计算出A、B两点的距离为（ ）‎ 二、填空题（每小题6分，共18分）‎ ‎7.某人站在‎60米高的楼顶A处测量不可到达的电视塔高，测得塔顶C的仰角为30°,塔底B的俯角为15°，已知楼底部D和电视塔的底部B在同一水平面上，则电视塔的高为_______米.‎ ‎8. (易错题)如图，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进‎100米到达B后，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD=‎50米，山坡对于地平面的坡角为θ，则cosθ=_______.‎ ‎9.如图，在四边形ABCD中，已知AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，则BC的长为_______.‎ 三、解答题（每小题15分，共30分）‎ ‎10.（2012·‎ 乌鲁木齐模拟）为了测量河对岸的塔高h,某人沿着河岸从点A走到点B，已知该人手中有一只测角仪，可以测水平面的夹角和铅直平面的仰角.已知AB=m，若要测出塔高，还需要测量哪些角？利用已知和测得的数据如何计算塔高？请你设计一个方案，包括：(1)指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；(2)写出计算塔高的步骤（用字母和公式表示即可）.‎ ‎11.（2012·南平模拟)“神舟八号”飞船返回舱 ‎ 顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面 指挥中心在返回舱预计到达的区域安排了同一条 直线上的三个救援中心（记为B，C，D）.当返回 舱距地面1万米的P点时（假定以后垂直下落，‎ 并在A点着陆），C救援中心测得飞船于其南偏东60°方向，仰角为60°，B救援中心测得飞船位于其南偏西30°方向，仰角为30°，D救援中心测得着陆点A位于其正东方向.‎ ‎（1）求B，C两救援中心间的距离；‎ ‎（2）求D救援中心与着陆点A间的距离.‎ ‎【探究创新】‎ ‎（16分）在一个特定时段内，以点E为中心的‎7海里以内海域被设为警戒水域，点E正北‎55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45°+θ（其中sinθ=,‎ ‎0°<θ<90°)且与点A相距10海里的位置C.‎ ‎（1）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）；‎ ‎（2）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.‎ 答案解析 ‎1.【解题指南】坡度是坡角α的正切值，可根据同角三角函数关系式求出 cosα.‎ ‎【解析】选B.因为tanα=，则sinα=cosα，代入sin2α+cos2α=1得：‎ cosα=‎ ‎2.【解析】选C.如图所示，设过x h后两车距离为y，则BD=200-80x，BE=50x，‎ ‎∴y2=(200-80x)2+(50x)2-2×(200-80x)·50x·cos60°，‎ 整理得y2=12 900x2-42 000x+40 000(0≤x≤2.5)，‎ ‎∴当x=时y2最小，即y最小.‎ ‎3.【解析】选A.设塔高为x米，则由题意得200tan30°=(200-x)tan60°，解得x=.‎ ‎4.【解题指南】作出图形确定三角形，找到要用的角度和边长，利用余弦定理求得.‎ ‎【解析】选C.如图，设塔高为h，在Rt△AOC中，∠ACO＝45°，‎ 则OC＝OA＝h.‎ 在Rt△AOD中，∠ADO＝30°，则OD＝h，‎ 在△OCD中，∠OCD＝120°，CD＝10，‎ 由余弦定理得：‎ OD2＝OC2＋CD2－2OC·CD·cos∠OCD，‎ 即(h)2＝h2＋102－2h×10×cos120°，‎ ‎∴h2－5h－50＝0，解得h＝10或h＝－5(舍去).‎ ‎5.【解析】选B.如图，设树高为h，则OB＝h,OA= ‎ AB=OA-OB= =60,‎ ‎6.【解析】选A.在△ABC中∠ABC＝30°,由正弦定理得：‎ ‎∴AB= m.‎ ‎7.【解析】如图，用AD表示楼高，AE与水平面平行，‎ E在线段BC上，‎ 设塔高为h,‎ 因为∠CAE=30°,∠BAE=15°,AD=BE=60,‎ 则 在Rt△AEC中，‎ 所以塔高为米.‎ 答案：‎ ‎8.【解析】在△ABC中，‎ 答案：‎ ‎9.【解析】在△ABD中，设BD＝x，‎ 则BA2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cos∠BDA，‎ 即142＝x2＋102－2·10x·cos60°，‎ 整理得x2－10x－96＝0，‎ 解之得x1＝16，x2＝－6(舍去).‎ 由正弦定理得 答案：‎ ‎【方法技巧】三角形中的几何计算问题 以平面几何图形为背景，求解有关长度、角度、面积、最值等问题，通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理加以解决．在解决某些具体问题时，常先引入变量(如边长、角度等)，然后把要解的三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，解之即可.‎ ‎10.【解析】‎ ‎(1)需要测量的角有：∠BAD=α,‎ ‎∠DBA=β,∠CAD=θ(或∠CBD=θ).‎ ‎(2)第一步：‎ 在△ADB中,由正弦定理可求出：AD=(或）.‎ 第二步：在Rt△CDA中，可求出：h=AD·tanθ=·tanθ.（或在 Rt△CDB中，h=BD·tanθ=·tanθ).‎ ‎11.【解析】（1）由题意知PA⊥AC，PA⊥AB，则△PAC，△PAB均为直角三角形，在Rt△PAC中，PA＝1，∠PCA＝60°，解得AC＝‎ 在Rt△PAB中，PA＝1，∠PBA＝30°，解得AB=,‎ ‎【探究创新】‎ ‎【解析】(1)AB=40，AC=10，‎ ‎∠BAC=θ,sinθ=,‎ 由于0°<θ<90°,所以cosθ=‎ 由余弦定理得：‎ 所以船的行驶速度为（海里/小时）.‎ ‎（2）方法一：如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系,‎ 设点B、C的坐标分别是B（x1,y1),C(x2,y2),BC与x轴的交点为D.‎ 由题设得，x1=y1=AB=40,‎ x2=ACcos∠CAD ‎=10cos(45°-θ)=30,‎ y2=ACsin∠CAD ‎=10sin(45°-θ)=20.‎ 所以过点B、C的直线l的斜率k==2,直线l的方程为y=2x-40，即2x-y-40=0.‎ 又点E（0，-55）到直线l的距离 所以船会进入警戒水域.‎ 方法二：设直线AE与BC的延长线相交于点Q.‎ 在△ABC中，由余弦定理得，‎ 从而sin∠ABC=‎ 在△ABQ中，由正弦定理得,‎ 由于AE=55>40=AQ,所以点Q位于点A和点E之间，且QE=AE-AQ=15.过点E作EP⊥BC于点P，则EP为点E到直线BC的距离.‎ 在Rt△QPE中，PE=QE·sin∠PQE=QE·sin∠AQC=QE·sin(45°-∠ABC)=15×=3<7.‎ 所以船会进入警戒水域.‎