黑龙江省鸡西市鸡东县第二中学2020届高三上学期期中考试数学（理）试卷
理科数学试卷
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．复数z＝(2＋i)i的虚部是 ( )．
A．2 B．－2 C．2i D．－2i
2．已知全集U＝R，集合A＝{x|x＋1<0}，B＝{x|x－3<0}，那么集合(∁UA)∩B＝ ( )．
A．{x|－1≤x<3} B．{x|－1
3}
3．“a＝1”是“函数f(x)＝lg(ax＋1)在(0，＋∞)单调递增”的 ( )．
A．充分不必要条件
B．充分必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
4．设数列{an}是等差数列，若a3＋a4＋a5＝12，则a1＋a2＋…＋a7＝ ( )．
A．14 B．21 C．28 D．35
5．某程序的框图如图所示，则运行该程序后输出的B值是 ( )．
A．5 B．11 C．23 D．47
第5题图 第6题图
6．已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的图象如图所示，则下列叙述正确的是( )．
A．f(b)>f(c)>f(d)
B．f(b)>f(a)>f(e)
C．f(c)>f(b)>f(a)
D．f(c)>f(e)>f(d)
7．若实数x，y满足不等式组：则该约束条件所围成的平面区域的面积是 ( )．
A．3 B. C．2 D．2
8．若函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)的最小正周期为π，则它的图象的一个对称中心为( )．
A. B.
C. D.
9．一个空间几何体的三视图及其尺寸如图所示，则该空间几何体的体积是 ( )．
A. B.
C．14 D．7
10．函数f(x)在定义域R上不是常数函数，且f(x)满足条件：对任意x∈R，都有f(2＋x)＝f(2－x)，f(1＋x)＝－f(x)，则f(x)是 ( )．
A．奇函数但非偶函数
B．偶函数但非奇函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．是非奇非偶函数
11．设点P是双曲线－＝1(a>0，b>0)与圆x2＋y2＝a2＋b2在第一象限的交点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF1|＝3|PF2|，则双曲线的离心率为 ( )．
A. B. C. D.
12．已知函数y＝f(x)是定义在R上且以3为周期的奇函数，当x∈时，f(x)＝ln(x2－x＋1)，则函数f(x)在区间[0,6]上的零点个数为( )．
A．3 B．5 C．7 D．9
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)
13．已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是2x－3y＋1＝0，则f(1)＋f′(1)＝______.
14．二项式6的展开式中的常数项为________．
15．向量a＝(－1,1)在向量b＝(3,4)方向上的投影为____________．
16．如图，矩形OABC内的阴影部分是由曲线
f(x)＝sin x(x∈(0，π))及直线x＝a(a∈(0，π))
与x轴围成，向矩形OABC内随机投掷一点，
若落在阴影部分的概率为，则a的值是________．
三、解答题：本大题共6小题,共70分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
.17. （本小题满分12分）已知函数 在区间上单调递增,在区间上单调递减;如图,四边形中,,,为的内角的对边，且满足.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若，设，,，
求四边形面积的最大值.
18．（本小题满分12分）
现有长分别为、、的钢管各根（每根钢管质地均匀、粗细相同且附有不同的编号），从中随机抽取根（假设各钢管被抽取的可能性是均等的,），再将抽取的钢管相接焊成笔直的一根．
（Ⅰ）当时,记事件{抽取的根钢管中恰有根长度相等}，求；
（Ⅱ）当时,若用表示新焊成的钢管的长度（焊接误差不计）,①求的分布列；
②令，，求实数的取值范围．
19．（本小题满分12分）
如图，几何体中，四边形为菱形，，，
面∥面,、、都垂直于面,且，为的中点，为的中点.
（Ⅰ）求证：为等腰直角三角形；
（Ⅱ）求二面角的余弦值.
20．（本小题满分12分）
已知向量，，（为常数， 是自然对数的底数），曲线在点处的切线与轴垂直,．
（Ⅰ）求的值及的单调区间；
（Ⅱ）已知函数(为正实数),若对于任意，总存在， 使得，求实数的取值范围．
21．（本小题满分12分）
已知椭圆:的焦距为,离心率为,其右焦点为,过点作直线交椭圆于另一点.
(Ⅰ)若,求外接圆的方程;
(Ⅱ)若过点的直线与椭圆相交于两点、，设为上一点，且满足（为坐标原点），当时，求实数的取值范围.
请考生在第22题、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。答题时用2B铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑。
22. （本小题满分10分） 《选修4——4:坐标系与参数方程》 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，以轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线的参数方程为（t为参数），圆的极坐标方程是。
（I）求直线与圆的公共点个数；
（II）在平面直角坐标系中，圆经过伸缩变换得到曲线，设为曲线上一点，求的最大值，并求相应点的坐标.
23. （本小题满分10分） 《选修4——5:不等式选讲》 已知函数.
（I）解不等式；
（II）若，求证：.
