宁夏回族自治区石嘴山市第三中学2019-2020学年高二上学期12月月考数学（理）试题

宁夏回族自治区石嘴山市第三中学2019-2020学年高二上学期12月月考数学（理）试题

石嘴山三中2019-2020学年第一学期高二年级第二次月考考试 理科数学试题 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.若一个命题p的逆命题是一个假命题,则下列判断一定正确的是(   )‎ A. 命题p是真命题 B. 命题p的否命题是假命题 C. 命题p的逆否命题是假命题 D. 命题p的否命题是真命题 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用逆否命题真假一致性原理解答即可.‎ ‎【详解】由于一个命题的逆命题和否命题互为逆否命题，且互为逆否命题的真假性是一致的，所以命题p的否命题是假命题.‎ 故答案为B ‎【点睛】本题主要考查逆否命题，考查互为逆否命题的真假性一致性原理，意在考查学生对这些知识的理解能力掌握水平.‎ ‎2.“且”是“”成立的（ ）条件.‎ A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分也非必要 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先推导“充分性”：由且，可以得到；再推导“必要性”：由，得或，由此可得解论.‎ ‎【详解】先推导“充分性”：由且，得，所以“且 ‎”是“”的充分条件；‎ 再推导“必要性”：由，得或，所以“且”不是“”的必要条件；‎ 所以“且”是“”充分非必要条件，‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，在判断时，需对“充分性”和“必要性”的两个方面进行验证，属于基础题.‎ ‎3.已知，，则，，的大小关系是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用不等式的性质，判断出三者的大小关系.‎ ‎【详解】由于，，所以，故为三者中的最大值.由于，所以，所以，所以.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查不等式的性质，考查比较大小的方法，属于基础题.‎ ‎4.已知等差数列的前项和为，若，，则等于（）‎ A. 2 B. ‎3 ‎C. 4 D. 8‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据，可算出，又，根据等差中项的性质求解即可 ‎【详解】由，又，‎ 答案选B ‎【点睛】本题考查等差数列基本量的求法，常规思路为求解首项和公差，本通解题思路运用了和等差中项的性质，简化了运算 ‎5.若实数满足约束条件，则的最小值为（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出约束条件所表示的区域，然后利用平移法求出的最大值．‎ ‎【详解】作出实数，满足约束条件表示的平面区域，如图所示．‎ 由可得，则表示直线在轴上的截距，纵截距越大，越小．‎ 作直线，然后把该直线向可行域平移，当直线经过点时，最大，最小．‎ 由可得，此时，‎ 故选．‎ ‎【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．‎ ‎6.已知F1、F2为椭圆的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若，则|AB|= ( )‎ A. 6 B. ‎7 ‎C. 5 D. 8‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 运用椭圆的定义，可得三角形ABF2的周长为‎4a=20，再由周长，即可得到AB的长．‎ ‎【详解】椭圆=1的a=5，‎ 由题意的定义，可得，|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=‎2a，‎ 则三角形ABF2的周长为‎4a=20，‎ 若|F‎2A|+|F2B|=12，‎ 则|AB|=20﹣12=8．‎ 故答案为D ‎【点睛】本题考查椭圆的方程和定义，考查运算能力，属于基础题．‎ ‎7.已知是椭圆的两个焦点，过且垂直于轴的直线交于两点，且，则的方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在直角三角形利用勾股定理求，再由椭圆的定义求的值.‎ ‎【详解】因为，所以，又，‎ 所以在直角三角形中，，‎ 因为，所以，‎ 所以椭圆的方程为：.‎ ‎【点睛】本题考查焦半径、椭圆的定义、椭圆的标准方程等知识，考查运算求解能力.‎ ‎8.已知满足条件∠ABC=30°，AB=12，AC=x的ΔABC有两个，则x的取值范围是（ ）‎ A. x=6 B. 60；在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交．‎ ‎16.下列说法中错误的是__________（填序号）‎ ‎①命题“，有”的否定是“”，有”；‎ ‎②已知，，，则的最小值为；‎ ‎③设，命题“若，则”的否命题是真命题；‎ ‎④已知，，若命题为真命题，则的取值范围是.‎ ‎【答案】①④‎ ‎【解析】‎ ‎①命题“，有”的否定是“∀x1，x2∈M，x1≠x2，有[f（x1）﹣f（x2）]（x2﹣x1）≤‎0”‎，故不正确；‎ ‎②已知a＞0，b＞0，a+b=1，则=（）（a+b）=5+≥5+2即的最小值为，正确；‎ ‎③设x，y∈R，命题“若xy=0，则x2+y2=‎0”‎的否命题是“若xy≠0，则x2+y2≠‎0”‎，是真命题，正确；‎ ‎④已知p：x2+2x﹣3＞0，q：＞1，若命题（￢q）∧p为真命题，则￢q与p为真命题，即，‎ 则x的取值范围是（﹣∞，﹣3）∪（1，2]∪[3，+∞），故不正确．‎ 故答案为①④．‎ 三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎17.已知命题：方程表示焦点在轴上的椭圆，命题：,不等式恒成立.‎ ‎（1）若“”是真命题，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若“”为假命题，“”为真命题，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求出命题的等价条件，根据“”是真命题，即可求出实数的取值范围．‎ ‎（2）若“”为假命题，“”为真命题，则只有一个为真命题，即可求实数的取值范围．‎ ‎【详解】（1）因为,不等式恒成立，‎ 所以，解得，又“”是真命题等价于“”是假命题．‎ 所以所求实数的取值范围是 ‎ ‎（2）方程表示焦点在轴上的椭圆， ‎ ‎ “”为假命题，“”为真命题，‎ 一个为真命题，一个为假命题，‎ 当真假时， 则，此时无解． ‎ 当假真时，则，此时或 ‎ ‎ 综上所述，实数的取值范围是 ‎【点睛】本题考查命题的真假以及根据复合的真假求参数的取值范围，属于基础题．‎ ‎18.锐角的内角的对边分别为，已知.‎ ‎(1)求角的大小；‎ ‎(2)若，求的周长的取值范围．‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由正弦定理和题设条件，整理得，得到，即可求解角的大小；‎ ‎ (2)由正弦定理，得到，得到周长，利用三角函数的性质，即可求解.‎ ‎【详解】（1）由题意，因为，‎ 由正弦定理可得：，‎ 又由，‎ 代入整理得，‎ 又由，则，所以，即，‎ 又因为，所以.‎ ‎(2)因为,且由正弦定理，可得，‎ 即 所以周长 ‎，‎ 即 ‎ 又因为锐角三角形，且，‎ 所以，解得，‎ 所以，则有 即 ，‎ 即的周长取值范围为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，同角三角函数基本关系式，余弦定理在解三角形中的综合应用，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，以及合理应用正弦定理、余弦定理求解是解答的关键，着重考查了转化思想与运算、求解能力，属于基础题．‎ ‎19.近年来大气污染防治工作得到各级部门的重视，某企业在现有设备下每日生产总成本（单位：万元）与日产量（单位：吨）之间的函数关系式为，现为了配合环境卫生综合整治，该企业引进了除尘设备，每吨产品除尘费用为万元，除尘后当日产量时，总成本．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若每吨产品出厂价为48万元，试求除尘后日产量为多少时，每吨产品的利润最大，最大利润为多少？‎ ‎【答案】（1）；（2）除尘后日产量为8吨时，每吨产品的利润最大，最大利润为4‎ 万元.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出除尘后的函数解析式，利用当日产量x＝1时，总成本y＝142，代入计算得k＝1；（2）求出每吨产品的利润，利用基本不等式求解即可．‎ ‎【详解】（1）由题意，除尘后总成本，‎ ‎∵当日产量时，总成本，代入计算得；‎ ‎（2）由（1），‎ 总利润 每吨产品的利润，‎ 当且仅当，即时取等号，‎ ‎∴除尘后日产量为8吨时，每吨产品的利润最大，最大利润为4万元．‎ ‎【点睛】本题考查将实际问题的最值问题转化为函数的最值问题，考查基本不等式求最值，考查学生的计算能力，属于中档题 ‎20.已知等差数列的前项和为，且，.数列满足，.‎ ‎（Ⅰ）求数列和的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前项和，并求的最小值.‎ ‎【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ），最小值 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据等差数列前项和为的公式和等差数列的性质，推得，‎ ‎，从而求出等差数列的公差，即可得出数列的通项公式为．利用累加法即可求得的通项公式．‎ ‎（Ⅱ）利用错位相减法求数列的前项和，再利用数列的单调性求得的最小值．‎ ‎【详解】（Ⅰ）由，得，.‎ 故的公差，.‎ 即数列的通项公式为. ‎ 当时，，‎ 而，‎ 故，即数列的通项公式为. ‎ ‎（Ⅱ），‎ ‎ ，‎ 上述两式相减，得 得. ‎ 设，显然当时，，，且单调递增. ‎ 而，，，故的最小值为.‎ ‎【点睛】本题主要考查等差数列通项公式的求解，利用累加法求解数列的通项公式，以及错位相减法求数列的前项和，错位相减法常用在数列的通项公式形式为等差数列乘等比数列．‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）若的解集为，求实数的值；‎ ‎（2）若，都，使成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意可得的两根是，，运用韦达定理可得；‎ ‎（2）问题转化为，分别求出函数、在给定区间上的最小值，即可得出答案．‎ ‎【详解】（1）由得，整理得，‎ 因为不等式的解集为，所以方程的两个根是，；‎ 由根与系数的关系得，即；‎ ‎（2）由已知，只需，‎ 因为在区间上为增函数，在区间上为减函数，‎ 由于，‎ 所以函数在上的最小值为，‎ 因为开口向上，且对称轴为，故 ‎①当，即时，，解得；‎ ‎②当，即时，‎ ‎，‎ 解得或，所以；‎ ‎③当，即时，，‎ 解得，所以.‎ 综上所述，的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查函数单调性和最值，考查分类讨论思想方法和任意性、存在性问题解法，注意转化思想的运用，考查化简运算能力，属于难题．‎ ‎22.设为坐标原点，椭圆的焦距为，离心率为，直线与 交于，两点．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设点，，求证：直线过定点，并求出定点的坐标．‎ ‎【答案】(1)(2)证明见解析，定点．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由焦距和离心率求出，根据椭圆的性质求出,即可写出椭圆的方程.‎ ‎(2)将直线代入椭圆方程，利用韦达定理求出，结合直线的方程，求出，,将表示为坐标形式，化简求出的值，根据直线方程的性质即可得到直线过定点的坐标.‎ ‎【详解】解：（1）‎ 因为，则 故，所以椭圆的方程为 ‎（2）设，，‎ 联立，消去整理可得 所以，，‎ 所以 因为，‎ 所以 所以 整理可得 解得或（舍去）‎ 所以直线过定点 ‎【点睛】本题难度较大，主要考查了椭圆的基本性质，向量的数量积以及直线与圆锥曲线的位置关系，考查运算求解能力，属于难题.‎